1.1.3空间向量的坐标与空间直角坐标系（1） 导学案——2022-2023学年高二上学期数学人教B版（2019）选择性必修第一册

学科 数学 年级 高一 时间 2022年 月 日 课题 1.1.3空间向量的坐标 课型 新授课 课时 第1课时 主备教师 学习 目标 1、掌握空间向量的正交分解及坐标表示. 2、 掌握空间向量线性运算的坐标表示. 3、 掌握空间向量数量积的坐标表示，并利用数量积判断两向量的共线与垂直. 一、知识填空： 知识点一 空间向量的坐标 1．一般地，如果空间向量的基底{e1，e2，e3}中，e1，e2，e3都是 向量，且这三个向量两两 ，就称这组基底为单位正交基底； 在单位正交基底下向量的分解称为向量的单位正交分解． 2．向量的坐标：在单位正交基底下向量p＝xe1＋ye2＋ze3，则称有序实数组 为向量p的坐标，记作p＝ ，其中x,y,z都称为p的坐标分量。 知识点二 空间向量的坐标运算 1．空间向量的坐标运算法则 设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则 (1)a＋b＝ (2)a－b＝ (3)λa＝ (λ∈R)． (4)a＋b＝ (5)a·b＝ (6)|a|＝ ＝ . (7)cos〈a，b〉＝ ＝ . 2．空间向量相关结论的坐标表示 设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则 (1)a∥b⇔ ⇔ (λ∈R)． 更进一步，当a的每一个坐标分量都不为零时，有a∥b⇔ (2)a⊥b⇔ ⇔ 二、预习自测 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) 1．若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则a∥b⇔ ( ) 2．空间中同时垂直于两个不共线向量的向量有无数个，而且这无数个向量相互平行．( ) 3．若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则〈a，b〉是钝角⇔a1b1＋a2b2＋a3b3<0.( ) 4．把向量a＝(x，y，z)平移后其坐标不变．( ) 三、拓展. 例1、已知是单位正交基底，分别写出下列空间向量的坐标： （1） （2） （3） （4） 例2、 已知，求下列向量的坐标： （1） （2） （3） 变式： (1)已知a＝(2,3，－4)，b＝(－4，－3，－2)，若b＝x－2a，则x等于( ) A．(0,3，－6) B．(0,6，－20) C．(0,6，－6) D．(6,6，－6) (2)已知a＝(2，－1，－2)，b＝(0，－1,4)，求a＋b, 2a·(－b)，(a＋b)·(a－b)． 例3、 已知，求。 变式： (1)已知a，b均为单位向量，它们的夹角为，那么|a＋3b|＝( ) A． B． C． D．4 (2)(数学运算)设向量a＝(－1，－1,1)，b＝(－1,0,1)，则cos〈a，b〉＝( ) A． B． C． D． 例4、 （1）已知，且，求所要满足的关系式； （2）已知，求一个非零空间向量，使得且。 变式：已知a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)． (1)若|c|＝3，d＝b－a，且c∥d，求c； (2)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k. 4、 课堂检测： 1、(数学运算)已知A(1，－2，0)和向量a＝(－3,4,12)，且＝2a，则点B的坐标为( ) A．(－7,10,24) B．(7，－10，－24) C．(－6,8,24) D．(－5,6,24) 2.已知a＝(1,1,0)，b＝(0,1,1)，则a·(－2b)＝ ，(a－b)·(2a－3b)＝ . 3.设a＝(1,5，－1)，b＝(－2,3,5)． (1)若(ka＋b)∥(a－3b)，求k； (2)若(ka＋b)⊥(a－3b)，求k. 4.(2021·济宁段考)已知向量a＝(－4,2,4)，b＝(－6,3，－2)． (1)求|a|； (2)求向量a与b夹角的余弦值 五、小结 学科网（北京）股份有限