1.1.1 第2课时 空间向量的数量积-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册作业与测评全书Word（人教B版2019）

数学　选择性必修·第一册　作业与测评 第2课时　空间向量的数量积 知识点一　空间向量的夹角 1．如图所示，已知四面体ABCD的每条棱长都等于a，F，G分别是棱AD，DC的中点，求下列各对向量的夹角． (1)〈，〉；(2)〈，〉；(3)〈，〉． 解：(1)〈，〉＝π. (2)∵FG∥AC，∴〈，〉＝π. (3)∵FG∥AC，∠CAD＝， ∴〈，〉＝〈，〉＝π－＝. 2．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求分别与，，，，的夹角． 解：连接BD(图略)，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AC⊥BD，∠BAC＝45°，AC＝AD1＝CD1， 所以〈，〉＝〈，〉＝45°， 〈，〉＝180°－〈，〉＝135°， 〈，〉＝∠D1AC＝60°， 〈，〉＝180°－〈，〉＝180°－60°＝120°，〈，〉＝〈，〉＝90°. 知识点二　空间向量数量积的计算 3．如图，已知空间四边形ABDC的对角线和每条边长都等于1.求： (1)·； (2)·； (3)·. 解：(1)·＝||||cos〈，〉＝1×1×cos60°＝. (2)·＝||||cos〈，〉＝1×1×cos0°＝1. (3)·＝||||cos〈，〉＝1×1×cos120°＝－. 4．如图，已知单位正方体ABCD－A′B′C′D′，求： (1)向量在上的投影的数量； (2)向量在上的投影的数量． 解：(1)向量在上的投影的数量为||·cos∠A′CB＝||＝1. (2)向量在上的投影的数量为||·cos(π－∠A′CB)＝－||＝－1. 知识点三　空间向量数量积的性质及其应用 5．在空间四边形OABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝，则cos〈，〉＝(　　) A． B． C．－ D．0 答案：D 解析：·＝·(－)＝·－·＝||||cos〈，〉－||·||cos〈，〉，因为〈，〉＝〈，〉＝，||＝||，所以·＝0，所以⊥，所以cos〈，〉＝0.故选D. 6．已知a，b是空间向量，|a|＝3，|b|＝5，且a·b＝12，则a在b上的投影的数量为(　　) A．4 B． C．－ D．－3 答案：B 解析：设a与b的夹角为θ，则a在b上的投影的数量为|a|cosθ＝＝. 7．已知a，b均为空间单位向量，且它们的夹角为60°，那么|a＋3b|＝(　　) A． B． C． D．4 答案：C 解析：|a＋3b|2＝(a＋3b)2＝a2＋6a·b＋9b2＝|a|2＋6|a|·|b|cos〈a，b〉＋9|b|2，∵|a|＝|b|＝1，〈a，b〉＝60°，∴|a＋3b|2＝13，∴|a＋3b|＝.故选C. 8．已知|a|＝3，|b|＝4，m＝a＋b，n＝a＋λb，〈a，b〉＝135°，若m⊥n，则λ＝________． 答案：－ 解析：由m·n＝(a＋b)·(a＋λb)＝|a|2＋(λ＋1)a·b＋λ|b|2＝0，得18＋(λ＋1)×3×4×cos135°＋16λ＝0，解得λ＝－. 一、单项选择题 1．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，则(＋)·(＋)＝(　　) A．－2 B．－1 C．0 D．1 答案：D 解析：因为正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，所以(＋)·(＋)＝·＋·＋2＋·＝0＋0＋1＋0＝1.故选D. 2．已知a＝3p－2q，b＝p＋q，p和q是相互垂直的单位向量，则a·b＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案：A 解析：由题意，知p·q＝0，p2＝q2＝1，所以a·b＝(3p－2q)·(p＋q)＝3p2－2q2＋p·q＝1. 3．如图，在三棱锥P－ABC中，PA＝PB＝PC＝2，∠APB＝90°，∠BPC＝∠APC＝60°，M为BC的中点，Q为AM的中点，则线段PQ的长度为(　　) A． B． C． D． 答案：C 解析：由题意，得＝(＋)＝＋＋，所以2＝2＋2＋2＋·＋·＋·＝1＋＋＋0＋×2×2×＋×2×2×＝，所以PQ＝.故选C. 4．设空间中有四个互异的点A，B，C，D，已知A，B，C不共线且(＋－2)·(－)＝0，则△ABC是(　　) A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 答案：B 解析：因为＋－2＝(－)＋(－)＝＋，所以(＋－2)·(－)＝(＋)·(－)＝2－2＝0，所以||＝||，因此△ABC是等腰三角形． 5．如图，正四面体A－BCD中，E是BC的中点，那么(　　) A．·<· B．·＝· C．·>· D．·与·不能比较大小 答案：C 解析：根据题意，得⊥，∴·＝0，又·＝(＋)·＝·(－)＋·＝||||cos120°－||||cos120°＋||||cos120°＝－||2<0，∴·>·.故选C. 二、多项选择题 6．设a，b为空间中的任意两个非零向量，下列各式中正确的是(　　) A．a2＝|a|2 B．＝ C．(a·b)2＝a2·b2 D．(a－b)2＝a2－2a·b＋b2 答案：AD 解析：a2＝a·a＝|a||a|cos0＝|a|2，故A正确；因为向量不能做除法，所以无意义，故B错误；(a·b)2＝(|a||b|cos〈a，b〉)2＝|a|2|b|2·cos2〈a，b〉，故C错误；(a－b)2＝(a－b)·(a－b)＝a2－2a·b＋b2，故D正确．故选AD. 7．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列结论正确的是(　　) A．(＋＋)2＝32 B．·＝0 C．与的夹角为60° D．正方体ABCD－A1B1C1D1的体积为|··| 答案：ABC 解析：设正方体的棱长为a，对于A，(＋＋)2＝2＋2＋2＋2(·＋·＋·)＝3a2＝32，A正确；对于B，·＝(－)·(＋)＝(＋－)·(＋)＝(－)·(＋)＋·(＋)＝2－2＋·＋·＝a2－a2＝0，B正确；对于C，因为△AB1D1是等边三角形，所以与的夹角为60°，C正确；对于D，|··|＝0，D错误．故选ABC. 三、填空题 8．在棱长为2的正四面体A－BCD中，E是BC的中点，则·＝________． 答案：1 解析：∵E是BC的中点，∴＝＋＝＋(＋)，∴·＝·＝·＋·＋·＝||||cos120°＋||||cos60°＋2＝－2＋1＋2＝1. 9．已知空间四边形OABC，若各边及对角线长都相等，且E，F分别为AB，OC的中点，则向量与夹角的余弦值为__________． 答案：－ 解析：如图，不妨设＝a，＝b，＝c，且|a|＝|b|＝|c|＝1，则a·b＝b·c＝c·a＝，∵＝(a＋b)，＝c－b，且||＝，||＝，∴·＝(a＋b)·＝a·c＋b·c－a·b－b2＝－，∴cos〈，〉＝＝－. 10．已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，cos〈m，n〉＝，若n⊥(tm＋n)，则实数t的值为________． 答案：－4 解析：∵n⊥(tm＋n)，∴n·(tm＋n)＝0，即tm·n＋n2＝0，∴t|m||n|cos〈m，n〉＋|n|2＝0，由已知得t×|n|2×＋|n|2＝0，解得t＝－4. 四、解答题 11．如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E为B1C1的中点． (1)求〈，〉，〈，〉的大小； (2)求向量在向量上的投影的数量． 解：(1)因为在正方体ABCD－A1B1C1D1中，DD1⊥BC， 所以〈，〉＝90°. 因为D1C1∥DC， 所以〈，〉＝〈，〉＝135°. (2)连接EC， 因为DC⊥平面BCC1B1， EC⊂平面BCC1B1， 所以DC⊥EC， 又AD⊥DC， 所以向量在向量上的投影为， 因为DC＝1， 所以向量在向量上的投影的数量为1. 12．已知正四面体O－ABC的棱长为1，如图，求： (1)·； (2)(＋)·(＋)； (3)|＋＋|. 解：在正四面体O－ABC中，||＝||＝||＝1，〈，〉＝〈，〉＝〈，〉＝60°. (1)·＝||||cos〈，〉＝1×1×cos60°＝. (2)(＋)·(＋)＝(＋)·(－＋－)＝(＋)·(＋－2)＝2＋2·－2·＋2－2·＝12＋2×1×1×cos60°－2×1×1×cos60°＋12－2×1×1×cos60°＝1＋1－1＋1－1＝1. (3)|＋＋|＝ ＝＝. 13．[多选]给定两个不共线的空间向量a与b，定义叉乘运算：a×b，规定：①a×b为同时与a，b垂直的向量；②a，b，a×b三个向量构成右手系(即三个向量的方向依次与右手的拇指、食指、中指的指向一致，如图1所示)；③|a×b|＝|a||b|sin〈a，b〉．如图2，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，AA1＝4，则下列结论正确的是(　　) A．×＝ B．×＝× C．(＋)×＝×＋× D．VABCD－A1B1C1D1＝(×)· 答案：ACD 解析：∵|×|＝||||sin90°＝2×2×1＝4，且分别与，垂直，∴×＝，故A正确；由题意，得×＝，×＝，故B错误；∵＋＝，∴|(＋)×|＝|×|＝2×4×1＝8，且(＋)×与共线同向，∵|×|＝2×4×1＝8，×与共线同向，|×|＝2×4×1＝8，×与共线同向，∴|×＋×|＝8，且×＋×与共线同向，故C正确；(×)·＝||||||×sin90°×cos0°＝2×2×4＝16＝VABCD－A1B1C1D1，故D正确．故选ACD. 14．如图，在三棱锥P－ABC中，若AB＝AC＝3，AP＝4，∠BAC＝∠PAC＝∠BAP＝60°，D为棱BC上一点，且CD＝2BD，M为线段AD的中点． (1)求||； (2)求向量与夹角的余弦值． 解：(1)因为M为线段AD的中点，CD＝2BD， 所以＝，＝， 所以＝＋＝＋＝＋(＋)＝＋ ＝＋ ＝＋ ＝－＋＋， 又因为·＝·＝4×3×cos60°＝6，·＝3×3×cos60°＝， 所以||＝ ＝ ＝. (2)由(1)得 ·＝· ＝－·＋·＋2 ＝－6＋×＋×9＝－3， 所以cos〈，〉＝＝＝. 10 学科网（北京）股份有限公司 $$