1.1.1 第2课时 空间向量的数量积-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册作业与测评全书Word（人教B版2019）

第2课时　空间向量的数量积

知识点一　空间向量的夹角

1．如图所示，已知四面体ABCD的每条棱长都等于a，F，G分别是棱AD，DC的中点，求下列各对向量的夹角．

(1)〈，〉；(2)〈，〉；(3)〈，〉．

解：(1)〈，〉＝π.

(2)∵FG∥AC，∴〈，〉＝π.

(3)∵FG∥AC，∠CAD＝，

∴〈，〉＝〈，〉＝π－＝.

2．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求分别与，，，，的夹角．

解：连接BD(图略)，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AC⊥BD，∠BAC＝45°，AC＝AD1＝CD1，

所以〈，〉＝〈，〉＝45°，

〈，〉＝180°－〈，〉＝135°，

〈，〉＝∠D1AC＝60°，

〈，〉＝180°－〈，〉＝180°－60°＝120°，〈，〉＝〈，〉＝90°.

知识点二　空间向量数量积的计算

3．如图，已知空间四边形ABDC的对角线和每条边长都等于1.求：

(1)·；

(2)·；

(3)·.

解：(1)·＝||||cos〈，〉＝1×1×cos60°＝.

(2)·＝||||cos〈，〉＝1×1×cos0°＝1.

(3)·＝||||cos〈，〉＝1×1×cos120°＝－.

4．如图，已知单位正方体ABCD－A′B′C′D′，求：

(1)向量在上的投影的数量；

(2)向量在上的投影的数量．

解：(1)向量在上的投影的数量为||·cos∠A′CB＝||＝1.

(2)向量在上的投影的数量为||·cos(π－∠A′CB)＝－||＝－1.

知识点三　空间向量数量积的性质及其应用

5．在空间四边形OABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝，则cos〈，〉＝(　　)

A． B．

C．－ D．0

答案：D

解析：·＝·(－)＝·－·＝||||cos〈，〉－||·||cos〈，〉，因为〈，〉＝〈，〉＝，||＝||，所以·＝0，所以⊥，所以cos〈，〉＝0.故选D.

6．已知a，b是空间向量，|a|＝3，|b|＝5，且a·b＝12，则a在b上的投影的数量为(　　)

A．4 B．

C．－ D．－3

答案：B

解析：设a与b的夹角为θ，则a在b上的投影的数量为|a|cosθ＝＝.

7．已知a，b均为空间单位向量，且它们的夹角为60°，那么|a＋3b|＝(　　)

A． B．

C． D．4

答案：C

解析：|a＋3b|2＝(a＋3b)2＝a2＋6a·b＋9b2＝|a|2＋6|a|·|b|cos〈a，b〉＋9|b|2，∵|a|＝|b|＝1，〈a，b〉＝60°，∴|a＋3b|2＝13，∴|a＋3b|＝.故选C.

8．已知|a|＝3，|b|＝4，m＝a＋b，n＝a＋λb，〈a，b〉＝135°，若m⊥n，则λ＝________．

答案：－

解析：由m·n＝(a＋b)·(a＋λb)＝|a|2＋(λ＋1)a·b＋λ|b|2＝0，得18＋(λ＋1)×3×4×cos135°