2.2.3 直线的一般式方程-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册作业与测评课件PPT（人教A版2019）

第二章　直线和圆的方程 2.2　直线的方程 2.2.3　直线的一般式方程 知识对点练 40分钟综合练 目录 知识对点练 1 2 3 4 5 6 7 8 知识对点练 4 1 2 3 4 5 6 7 8 知识对点练 5 1 2 3 4 5 6 7 8 知识对点练 6 1 2 3 4 5 6 7 8 知识对点练 7 1 2 3 4 5 6 7 8 知识对点练 8 知识点二　平行、垂直问题 5．[多选]已知直线l：x－3y＋1＝0，则下列说法正确的是(　　) A．直线l过点(－1，0) B．直线l与直线l1：x－3y＋2＝0平行 C．直线l在x轴上的截距为2 D．直线l与直线l2：3x＋y＋1＝0垂直 1 2 3 4 5 6 7 8 知识对点练 9 1 2 3 4 5 6 7 8 知识对点练 10 6．已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，求满足下列条件的直线l′的方程： (1)过点(－1，3)，且与l平行； (2)过点(－1，3)，且与l垂直． 1 2 3 4 5 6 7 8 知识对点练 11 1 2 3 4 5 6 7 8 知识对点练 12 7．已知直线l1：3x＋(m＋1)y－6＝0，l2：mx＋2y－(m＋2)＝0，分别求满足下列条件的m的值： (1)l1⊥l2；(2)l1∥l2. 1 2 3 4 5 6 7 8 知识对点练 13 (2)∵l1∥l2， ∴－3×2＝－m×(m＋1)， ∴m＝－3或m＝2. 当m＝－3时，l1∥l2； 当m＝2时，l1与l2重合，不符合题意，舍去． 综上，m＝－3. 1 2 3 4 5 6 7 8 知识对点练 14 知识点三　直线一般式方程的应用 8．设直线l的方程为(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y＝2m－6，根据下列条件分别确定m的值： (1)直线l在x轴上的截距是－3； (2)直线l的斜率是1. 1 2 3 4 5 6 7 8 知识对点练 15 1 2 3 4 5 6 7 8 知识对点练 16 40分钟综合练 一、单项选择题 1．下列直线中，倾斜角为钝角的直线是(　　) A．x－3y＋4＝0 B．x＋3y＋4＝0 C．x－3＝0 D．y＋4＝0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 18 2．两条直线l1：mx－y＋n＝0和l2：nx－y＋m＝0在同一坐标系中，则正确的图形可能是(　　) 解析：化一般式为斜截式，得l1：y＝mx＋n，l2：y＝nx＋m，可见两条直线的斜率、在y轴上的截距恰好互换，故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 21 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 22 二、多项选择题 6．已知直线l：(a2＋a＋1)x－y＋1＝0，其中a∈R，下列说法正确的是(　　) A．当a＝－1时，直线l与直线x＋y＝0垂直 B．若直线l与直线x－y＝0平行，则a＝0 C．直线l的斜率一定存在 D．当a＝0时，直线l在两坐标轴上的截距相等 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 23 解析：对于A，当a＝－1时，直线l的方程为x－y＋1＝0，显然与直线x＋y＝0垂直，所以A正确；对于B，若直线l与直线x－y＝0平行，则(a2＋a＋1)(－1)＝1×(－1)，解得a＝0或a＝－1，经检验均符合题意，所以B不正确；对于C，由直线l的方程知其斜率一定存在，所以C正确；对于D，当a＝0时，直线l的方程为x－y＋1＝0，在x轴、y轴上的截距分别是－1，1，所以D不正确．故选AC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 24 7．下列说法正确的是(　　) A．直线2x－y＋5＝0的一个方向向量为(1，2) B．若两直线ax＋2y＝0与x＋(a＋1)y＋4＝0平行，则实数a的值为1 C．若AB>0，BC>0，则直线Ax－By－C＝0不经过第二象限 D．若直线l的方程为xsin50°＋ycos50°＋2024＝0，则直线l的倾斜角为50° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 25 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 26 三、填空题 8．直线l与直线m：3x－y－2＝0关于x轴对称，则这两条直线与y轴围成的三角形的面积为________． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 27 9．已知直线l1：ax＋y＋1＝0，l2：x＋ay＋1＝0.若l1⊥l2，则实数a＝____；若l1∥l2，则实数a＝____． 解析：因为l1⊥l2，所以a×1＋1×a＝0，解得a＝0.因为l1∥l2，所以a×a－1×1＝0，解得a＝±1.当a＝1时，l1：x＋y＋1＝0与l2：x＋y＋1＝0重合，舍去；当a＝－1时，l1：－x＋y＋1＝0，l2：x－y＋1＝0，l1与l2不重合，满足条件．综上，a＝－1. 0 －1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 28 10．已知直线l与直线3x＋4y－7＝0平行，且与两坐标轴围成的三角形的面积为24，则直线l的方程为______________． 3x＋4y±24＝0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 29 四、解答题 11．菱形ABCD的顶点A，C的坐标分别为(－4，7)，(6，－5)，BC边所在的直线过点P(4，－1)． (1)求BC，AD边所在直线的一般式方程； (2)求对角线BD所在直线的一般式方程． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 30 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 31 12．求满足下列条件的直线的方程： (1)经过点A(－1，－3)，且斜率等于直线3x＋8y－1＝0斜率的2倍； (2)在y轴上的截距与在x轴上的截距之差为3，且垂直于过M(2，3)和N(0，4)两点的直线； (3)过点M(0，4)，且与两坐标轴围成的三角形的周长为12. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 32 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 33 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 34 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 35 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 36 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 37 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 38 　　　　　　　　　　　　　 R 知识点一　直线的一般式方程 1．直线2x－1＝0的斜率为(　　) A．不存在 B．0 C．eq \f(1,2) D．－eq \f(1,2) 解析：由2x－1＝0，得x＝eq \f(1,2)，则其斜率不存在． 2．直线eq \r(2)x＋eq \r(6)y＋1＝0的倾斜角是(　　) A．150° B．30° C．60° D．120° 解析：直线的斜率k＝－eq \f(\r(2),\r(6))＝－eq \f(\r(3),3)，故其倾斜角为150°. 3．下列直线中，斜率为－eq \f(4,3)，且不经过第一象限的是(　　) A．3x＋4y＋7＝0 B．4x＋3y＋7＝0 C．4x＋3y－42＝0 D．3x＋4y－42＝0 解析：将一般式化为斜截式，斜率为－eq \f(4,3)的有B，C两项，其中B项化为y＝－eq \f(4,3)x－eq \f(7,3)，C项化为y＝－eq \f(4,3)x＋14.又y＝－eq \f(4,3)x＋14过点(3，10)，即直线经过第一象限，所以只有B满足要求． 4．根据下列条件求直线的一般式方程： (1)直线的斜率为2，且经过点A(1，3)； (2)斜率为eq \r(3)，且在y轴上的截距为4； (3)经过A(2，－3)，B(－1，－5)两点； (4)在x轴、y轴上的截距分别为2，－4. 解：(1)因为直线的斜率k＝2，且经过点A(1，3)，由直线的点斜式方程可得y－3＝2(x－1)，整理可得2x－y＋1＝0，所以直线的一般式方程为2x－y＋1＝0. (2)由直线的斜率k＝eq \r(3)，且在y轴上的截距为4，得直线的斜截式方程为y＝eq \r(3)x＋4，整理可得直线的一般式方程为eq \r(3)x－y＋4＝0. (3)由直线的两点式方程可得eq \f(y－（－3）,－5－（－3）)＝eq \f(x－2,－1－2)，整理得直线的一般式方程为2x－3y－13＝0. (4)由直线的截距式方程可得eq \f(x,2)＋eq \f(y,－4)＝1，整理得直线的一般式方程为2x－y－4＝0. 解析：对于A，当y＝0时，x＝－1，所以直线l过点(－1，0)，故A正确；对于B，直线l：x－3y＋1＝0可化为y＝eq \f(1,3)x＋eq \f(1,3)，直线l1：x－3y＋2＝0可化为y＝eq \f(1,3)x＋eq \f(2,3)，因为eq \f(1,3)＝eq \f(1,3)，eq \f(1,3)≠eq \f(2,3)，所以l∥l1，故B正确；对于C，直线l过点(－1，0)，所以直线l在x轴上的截距为－1，故C不正确；对于D，直线l2的斜率为－3，由eq \f(1,3)×(－3)＝－1，可得直线l与直线l2垂直，故D正确． 解：l的方程可化为y＝－eq \f(3,4)x＋3， ∴l的斜率为－eq \f(3,4). (1)∵l′与l平行，∴l′的斜率为－eq \f(3,4). 又l′过点(－1，3)， ∴由点斜式可得直线l′的方程为y－3＝－eq \f(3,4)(x＋1)，即3x＋4y－9＝0. (2)∵l′与l垂直，∴l′的斜率为eq \f(4,3)， 又l′过点(－1，3)， ∴由点斜式可得直线l′的方程为y－3＝eq \f(4,3)(x＋1)，即4x－3y＋13＝0. 解：由题意可知直线l1的一个方向向量为(m＋1，－3)，直线l2的一个方向向量为(2，－m)， (1)∵l1⊥l2，∴(m＋1)×2＋3×m＝0， ∴m＝－eq \f(2,5). 解：(1)由题意，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m2－2m－3≠0，　　①,\f(2m－6,m2－2m－3)＝－3， ②)) 由①式，得m≠3且m≠－1. 由②式，得3m2－4m－15＝0， 解得m＝3或m＝－eq \f(5,3).∴m＝－eq \f(5,3). (2)由题意，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2m2＋m－1≠0，　　　　③,－\f(m2－2m－3,2m2＋m－1)＝1， ④)) 由③式，得m≠－1且m≠eq \f(1,2). 由④式，得3m2－m－4＝0， 解得m＝－1或m＝eq \f(4,3). ∴m＝eq \f(4,3). 解析：由题意，直线x－3y＋4＝0的斜率k＝eq \f(1,3)，倾斜角为锐角，A不符合题意；直线x＋3y＋4＝0的斜率k＝－eq \f(1,3)，倾斜角为钝角，B符合题意；直线x－3＝0的斜率不存在，倾斜角为90°，C不符合题意；直线y＋4＝0的斜率k＝0，倾斜角为0°，D不符合题意． 3．直线eq \r(3)x＋y＝0绕原点逆时针旋转90°后所对应的直线的斜率为(　　) A．－eq \r(3) B．eq \r(3) C．－eq \f(\r(3),3) D．eq \f(\r(3),3) 解析：由eq \r(3)x＋y＝0，得y＝－eq \r(3)x，则斜率k＝－eq \r(3)，因为绕原点逆时针旋转90°后所对应的直线与原直线垂直，所以所求直线的斜率为eq \f(－1,k)＝eq \f(－1,－\r(3))＝eq \f(\r(3),3). 4．已知直线mx＋ny＝－1平行于直线4x＋3y＋5＝0且在y轴上的截距为eq \f(1,3)，则m，n的值分别为(　　) A．4和3 B．－4和3 C．－4和－3 D．4和－3 解析：由题意得n≠0，于是直线可化为y＝－eq \f(m,n)x－eq \f(1,n).由－eq \f(m,n)＝－eq \f(4,3)，－eq \f(1,n)＝eq \f(1,3)，得m＝－4，n＝－3. 5．若直线l的方程为x－my＝0(|m|≤1)，则直线l的倾斜角的取值范围为(　　) A.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π)) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2))) C.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))∪eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,4))) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(3π,4))) 解析：当m＝0时，直线l的倾斜角为eq \f(π,2)；当m≠0时，直线l的斜率k＝eq \f(1,m)，因为|m|≤1，所以k≥1或k≤－1，所以eq \f(π,4)≤α<eq \f(π,2)或eq \f(π,2)< α≤eq \f(3π,4).综上，eq \f(π,4)≤α≤eq \f(3π,4). 解析：对于A，由2x－y＋5＝0，可得直线的斜率为k＝2，所以直线2x－y＋5＝0的一个方向向量为(1，2)，故A正确；对于B，由题可得eq \f(a,1)＝eq \f(2,a＋1)≠0，解得a＝1或a＝－2，故B错误；对于C，若AB>0，BC>0，直线Ax－By－C＝0变形为y＝eq \f(A,B)x－eq \f(C,B)，则斜率eq \f(A,B)>0，在y轴上的截距－eq \f(C,B)<0，所以直线Ax－By－C＝0经过第一、三、四象限，不经过第二象限，故C正确；对于D，直线l：xsin50°＋ycos50°＋2024＝0的斜率为k＝－eq \f(sin50°,cos50°)＝－tan50°＝tan130°，因此直线l的倾斜角为130°，故D错误． 解析：由题意可得直线l：3x＋y－2＝0，又直线l，m与x轴的交点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，0))，与y轴的交点分别为(0，2)，(0，－2)，则直线l，m与y轴围成的三角形的面积为eq \f(1,2)×4×eq \f(2,3)＝eq \f(4,3). eq \f(4,3) 解析：设直线l：3x＋4y＋m＝0(m≠－7)，令y＝0，得x＝－eq \f(m,3)；令x＝0，得y＝－eq \f(m,4).∵直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为24，∴eq \f(1,2)×eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(m,3)))×eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(m,4)))＝24，∴m＝±24.∴直线l的方程为3x＋4y±24＝0. 解：(1)由菱形的性质，可知BC∥AD，则kAD＝kBC＝kCP＝eq \f(－1＋5,4－6)＝－2. 所以BC边所在直线的方程为y＋5＝－2(x－6)，即2x＋y－7＝0， AD边所在直线的方程为y－7＝－2(x＋4)，即2x＋y＋1＝0. (2)线段AC的中点为E(1，1)，kAC＝eq \f(7＋5,－4－6)＝－eq \f(6,5)， 由菱形的几何性质，可知BD⊥AC且E为BD的中点，则kBD＝－eq \f(1,kAC)＝eq \f(5,6)， 所以对角线BD所在直线的方程为y－1＝eq \f(5,6)(x－1)，即5x－6y＋1＝0. 解：(1)因为直线3x＋8y－1＝0的斜率为－eq \f(3,8)， 所以所求直线的斜率k＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,8)))＝－eq \f(3,4). 又直线经过点(－1，－3)， 因此所求直线的方程为y＋3＝－eq \f(3,4)(x＋1)， 即3x＋4y＋15＝0. (2)由题意得kMN＝eq \f(4－3,0－2)＝－eq \f(1,2)， 所求直线的斜率k＝－eq \f(1,kMN)＝2. 设所求直线的斜截式方程为y＝2x＋b， 当x＝0时，y＝b；当y＝0时，x＝－eq \f(b,2). 由b＋eq \f(b,2)＝3，得b＝2， 故所求直线的方程为y＝2x＋2，即2x－y＋2＝0. (3)设直线与x轴的交点为(a，0)， 因为点M(0，4)在y轴上， 所以由题意有4＋eq \r(a2＋42)＋|a|＝12， 解得a＝±3， 所以所求直线的方程为eq \f(x,3)＋eq \f(y,4)＝1或eq \f(x,－3)＋eq \f(y,4)＝1， 即4x＋3y－12＝0或4x－3y＋12＝0. 解析：从A，B中各任意取一个数相加，有9种情况．当直线l1∥l2时，a≠0，则eq \f(4,a)＝eq \f(a,4)≠eq \f(－3,4)，则a＝±4.当a＝4时，从A，B中各取一个数相加为a＝4的有2＋2，3＋1，2种情况；当a＝－4时，从A，B中各取一个数相加为a＝－4的有－6＋2，3－7，2种情况，所以满足条件的有4种情况，则所求概率为P＝eq \f(4,9). 13．集合A＝{－6，2，3}，B＝{－7，1，2}，从A，B中各任意取一个数相加为a，则直线l1：4x＋ay－3＝0与直线l2：ax＋4y＋4＝0平行的概率为(　　) A.eq \f(1,9) B.eq \f(4,9) C.eq \f(1,3) D.eq \f(2,9) 14．现定义：在平面直角坐标系Oxy中，在坐标轴正半轴上的点称为“正直点”，横纵坐标均为整数的点称为“整数点”，已知A(5＋2a，0)，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(5＋2a,a＋1)))均为“正直点”． (1)求a的取值范围； (2)若A，B也为“整数点”，求直线AB的一般式方程． 解：(1)由题意，可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(5＋2a>0，,\f(5＋2a,a＋1)>0，))解得a>－1. 故a的取值范围为(－1，＋∞)． (2)由题意，可知5＋2a，eq \f(5＋2a,a＋1)＝2＋eq \f(3,a＋1)均为整数，所以2a，eq \f(3,a＋1)均为整数， 又a>－1，则2a＝k>－2，k∈Z，eq \f(3,a＋1)＝eq \f(3,\f(k,2)＋1)＝eq \f(6,k＋2)， 所以k＋2＝1，2，3，6，即k＝－1，0，1，4. 所以a＝－eq \f(1,2)，eq \f(1,2)，0或2， 当a＝－eq \f(1,2)时，A(4，0)，B(0，8)，直线AB的一般式方程为2x＋y－8＝0； 当a＝eq \f(1,2)时，A(6，0)，B(0，4)，直线AB的一般式方程为2x＋3y－12＝0； 当a＝0时，A(5，0)，B(0，5)，直线AB的一般式方程为x＋y－5＝0； 当a＝2时，A(9，0)，B(0，3)，直线AB的一般式方程为x＋3y－9＝0. 所以直线AB的一般式方程为2x＋y－8＝0或2x＋3y－12＝0或x＋y－5＝0或x＋3y－9＝0. $$