2.2.2 直线的两点式方程-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册作业与测评课件PPT（人教A版2019）

第二章　直线和圆的方程 2.2　直线的方程 2.2.2　直线的两点式方程 知识对点练 40分钟综合练 目录 知识对点练 知识点一　直线的两点式方程 1．经过点A(2，5)，B(－3，6)的直线在x轴上的截距为(　　) A．2 B．－3 C．－27 D．27 1 2 3 4 5 6 7 8 知识对点练 4 2．已知点P(3，m)在过点M(2，－1)和N(－3，4)的直线上，则m的值是(　　) A．5 B．2 C．－2 D．－6 1 2 3 4 5 6 7 8 知识对点练 5 1 2 3 4 5 6 7 8 知识对点练 6 1 2 3 4 5 6 7 8 知识对点练 7 1 2 3 4 5 6 7 8 知识对点练 8 6．已知直线l过点A(－2，1)，且在两坐标轴上的截距互为相反数，那么直线l的方程是(　　) A．x＋2y＝0或x－y＋3＝0 B．x－y－1＝0或x－y＋3＝0 C．x－y－1＝0或x＋y－3＝0 D．x＋2y＝0或x＋y－3＝0 1 2 3 4 5 6 7 8 知识对点练 9 1 2 3 4 5 6 7 8 知识对点练 10 知识点三　直线方程的应用 7．菱形的两条对角线AC，BD的长分别为8和6，并且分别位于x轴和y轴上，求菱形各边所在直线的方程． 1 2 3 4 5 6 7 8 知识对点练 11 1 2 3 4 5 6 7 8 知识对点练 12 1 2 3 4 5 6 7 8 知识对点练 13 40分钟综合练 解析：因为直线经过第一、二、三象限，所以结合图形可知a＜0，b＞0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 17 4．已知直线l经过点A(－4，－2)，且点A是直线l被两坐标轴截得的线段中点，则直线l的方程为(　　) A．x＋2y＋8＝0 B．－x－2y＋8＝0 C．x－2y＋8＝0 D．x－2y－8＝0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 18 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 21 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 22 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 23 三、填空题 8．直线l在x轴与y轴上的截距均为2，则直线l的倾斜角为________． 135° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 24 9．已知A(－1，2)，B(5，6)，经过线段AB的中点M，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为_________________________． 2x－y＝0或x＋y－6＝0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 25 10．过点P(4，3)的直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于点A，B，O为坐标原点，则△AOB面积的最小值为_____，此时直线l在两坐标轴上的截距之和为_____． 24 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 26 四、解答题 11．求过点P(2，5)且分别满足下列条件的直线的方程： (1)在两个坐标轴上的截距相等； (2)与两个坐标轴的正半轴所围成的三角形的面积是20. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 27 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 28 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 29 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 30 13．过点P(1，3)作直线l，若l经过点A(a，0)和B(0，b)，且a，b均为正整数，则这样的直线l可以作出(　　) A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 31 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 32 14．已知直线l过点A(2，3)，且与x轴的正半轴交于点M，与y轴的正半轴交于点N. (1)若A为MN的中点，求直线l的方程； (2)求|OM|＋2|ON|的最小值． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 33 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 34 　　　　　　　　　　　　　 R 解析：由两点式得直线的方程为eq \f(y－6,5－6)＝eq \f(x＋3,2＋3)，即x＋5y－27＝0.令y＝0，得x＝27. 解析：由两点式方程，得直线MN的方程为eq \f(y－（－1）,4－（－1）)＝eq \f(x－2,－3－2)，化简，得x＋y－1＝0.又点P(3，m)在此直线上，代入得3＋m－1＝0，解得m＝－2. 知识点二　直线的截距式方程 3．在平面直角坐标系Oxy中，直线eq \f(x,4)－eq \f(y,8)＝1在y轴上的截距为(　　) A．－8 B．8 C．－eq \f(1,8) D．eq \f(1,8) 解析：对于方程eq \f(x,4)－eq \f(y,8)＝1，令x＝0，解得y＝－8，故直线eq \f(x,4)－eq \f(y,8)＝1在y轴上的截距为－8. 4．过坐标平面内两点P1(2，0)，P2(0，3)的直线的方程是(　　) A．eq \f(x,3)＋eq \f(y,2)＝1 B．eq \f(x,2)＋eq \f(y,3)＝0 C．eq \f(x,2)＋eq \f(y,3)＝1 D．eq \f(x,2)－eq \f(y,3)＝1 解析：由直线方程的截距式，得所求直线的方程为eq \f(x,2)＋eq \f(y,3)＝1.故选C. 5．若直线eq \f(x,2)＋eq \f(y,7)＝1的倾斜角为θ，则tanθ＝(　　) A．－eq \f(2,7) B．－eq \f(7,2) C．eq \f(2,7) D．eq \f(7,2) 解析：由题意，得tanθ＝－eq \f(7,2). 解析：①当直线在两坐标轴上的截距都为0时，直线过原点，设直线方程为y＝kx，把点(－2，1)代入，得k＝－eq \f(1,2)，即直线l的方程为x＋2y＝0；②当直线在两坐标轴上的截距互为相反数且不等于0时，设直线方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,－a)＝1，把点(－2，1)代入，得eq \f(－2,a)＋eq \f(1,－a)＝1，解得a＝－3，即直线l的方程为x－y＋3＝0.综上，直线l的方程为x＋2y＝0或x－y＋3＝0.故选A. 解：由题意不妨设A(－4，0)，C(4，0)，B(0，－3)，D(0，3)， 由截距式方程可知，边AB所在直线的方程为eq \f(x,－4)＋eq \f(y,－3)＝1，即3x＋4y＋12＝0. 同理可得，边BC所在直线的方程为3x－4y－12＝0， 边CD所在直线的方程为3x＋4y－12＝0， 边AD所在直线的方程为3x－4y＋12＝0. 8．已知点Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(3,2)))在直线BC上．若直线BC在两坐标轴上的截距之和是9，求直线BC的方程． 解：由已知得直线BC的斜率存在且不为0. 设直线BC在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b， 则直线BC的截距式方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1. 由题意得a＋b＝9，① 又点Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(3,2)))在直线BC上，∴eq \f(3,a)＋eq \f(3,2b)＝1， ∴6b＋3a＝2ab，② 由①②联立，得2a2－21a＋54＝0， 即(2a－9)(a－6)＝0，解得a＝eq \f(9,2)或a＝6. ∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝\f(9,2)，,b＝\f(9,2)))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝6，,b＝3.)) 故直线BC的方程为eq \f(2x,9)＋eq \f(2y,9)＝1或eq \f(x,6)＋eq \f(y,3)＝1， 即2x＋2y－9＝0或x＋2y－6＝0. 一、单项选择题 1．若直线eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1经过第一、二、三象限，则(　　) A．a>0，b>0 B．a>0，b<0 C．a<0，b>0 D．a<0，b<0 2．若直线eq \f(x,3)－eq \f(y,4)＝1被两坐标轴截得的线段长为eq \f(1,c)，则实数c的值为(　　) A．eq \f(1,6) B．eq \f(1,5) C．6 D．5 解析：直线eq \f(x,3)－eq \f(y,4)＝1在x轴、y轴上的截距分别为3和－4.依题意得eq \r(32＋（－4）2)＝eq \f(1,c)，所以c＝eq \f(1,5). 3．一条光线从Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0))处射到点B(0，1)后被y轴反射，则反射光线所在直线的方程为(　　) A．y＝2x＋1 B．y＝－2x＋1 C．y＝eq \f(1,2)x－eq \f(1,2) D．y＝－eq \f(1,2)x－eq \f(1,2) 解析：由光的反射定律可得，点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0))关于y轴的对称点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))在反射光线所在的直线上．再由点B(0，1)也在反射光线所在的直线上，用截距式可求得反射光线所在直线的方程为eq \f(x,\f(1,2))＋eq \f(y,1)＝1，即y＝－2x＋1. 解析：设直线l与两坐标轴的交点坐标为(a，0)，(0，b)，由题意知eq \f(a＋0,2)＝－4，eq \f(b＋0,2)＝－2，∴a＝－8，b＝－4，∴直线l的方程为eq \f(x,－8)＋eq \f(y,－4)＝1，即x＋2y＋8＝0. 5．直线l：eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1中，a∈{1，3，5，7}，b∈{2，4，6，8}．若l与两坐标轴围成的三角形的面积不小于10，则这样的直线的条数为(　　) A．6 B．7 C．8 D．16 解析：因为a>0，b>0，所以直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为S＝eq \f(1,2)ab，于是eq \f(1,2)ab≥10⇒ab≥20，当a＝1时，没有这样的b满足条件；当a＝3时，b＝8；当a＝5时，b∈{4，6，8}；当a＝7时，b∈{4，6，8}，所以这样的直线的条数为7.故选B. 二、多项选择题 6．有关直线方程，下列说法正确的是(　　) A．直线方程的两点式适用于求与两坐标轴不垂直的直线方程 B．直线方程eq \f(y－y1,y2－y1)＝eq \f(x－x1,x2－x1)也可写成eq \f(y－y2,y1－y2)＝eq \f(x－x2,x1－x2) C．所有可以用截距式表示的直线都可以用两点式表示 D．不经过原点的直线都可以用方程eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1表示 解析：A正确，从两点式方程的形式看，只要x1≠x2，y1≠y2，就可以用两点式来求解直线的方程；B正确，方程eq \f(y－y1,y2－y1)＝eq \f(x－x1,x2－x1)与eq \f(y－y2,y1－y2)＝eq \f(x－x2,x1－x2)的形式有异，但实质相同，均表示过点(x1，y1)和(x2，y2)的直线；C显然正确；D错误，不经过原点的直线，当斜率不存在时，方程为x＝a(a≠0)的形式．故选ABC. 7．已知直线l的两点式方程为eq \f(y－9,5－9)＝eq \f(x－8,2－8)，则下列说法不正确的是(　　) A．直线l经过点(5，2) B．直线l的斜截式方程为x＝eq \f(3,2)y－eq \f(11,2) C．直线l的倾斜角为锐角 D．直线l的截距式方程为eq \f(－11x,2)＋eq \f(11y,3)＝1 解析：由题意，得直线l经过两点(8，9)，(2，5)，故A，D不正确；将两点式化为斜截式，为y＝eq \f(2,3)x＋eq \f(11,3)，故B不正确；直线l的斜率为eq \f(2,3)>0，所以直线l的倾斜角为锐角，故C正确． 解析：由题意，可得直线l的方程为eq \f(x,2)＋eq \f(y,2)＝1，化简可得y＝－x＋2，所以k＝－1，即直线l的倾斜角为135°. 解析：由题意知，线段AB的中点M的坐标为(2，4)．当直线过原点时，所求直线的方程为y＝eq \f(4,2)x＝2x，即2x－y＝0；当直线不过原点时，设直线的方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,a)＝1，把中点M的坐标(2，4)代入直线的方程，得a＝6，故所求直线的方程为eq \f(x,6)＋eq \f(y,6)＝1，即x＋y－6＝0.综上，所求直线的方程为2x－y＝0或x＋y－6＝0. 解析：设直线l的方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1(a>0，b>0)，把点P(4，3)代入，得eq \f(4,a)＋eq \f(3,b)＝1，∴1≥2eq \r(\f(4,a)·\f(3,b))，得ab≥48，当且仅当a＝8，b＝6时取等号，∴S△AOB＝eq \f(1,2)ab≥24，即△AOB面积的最小值为24，此时a＋b＝8＋6＝14. 解：(1)①若直线经过原点，设其方程为y＝kx，因为直线过点P(2，5)，故有5＝2k，解得k＝eq \f(5,2)，所以直线的方程为y＝eq \f(5,2)x，即5x－2y＝0. ②若直线不经过原点，设直线在两坐标轴上的截距为a，方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,a)＝1，因为直线过点P(2，5)，所以eq \f(2,a)＋eq \f(5,a)＝1，解得a＝7，所以直线的方程为eq \f(x,7)＋eq \f(y,7)＝1，即x＋y－7＝0. 综上，所求直线的方程为5x－2y＝0或x＋y－7＝0. (2)设直线在x轴、y轴上的截距分别为a，b(a>0，b>0)， 可设直线的方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1， 由题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)ab＝20，,\f(2,a)＋\f(5,b)＝1，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝4，,b＝10，)) 所以所求直线的方程为eq \f(x,4)＋eq \f(y,10)＝1，即5x＋2y－20＝0. 12．已知直线l：eq \f(x,m)＋eq \f(y,4－m)＝1. (1)若直线l的斜率等于2，求实数m的值； (2)若直线l分别与x轴、y轴的正半轴交于点A，B，O是坐标原点，求△AOB面积的最大值及此时直线l的方程． 解：(1)直线l过点(m，0)，(0，4－m)， 则k＝eq \f(4－m,－m)＝2，则m＝－4. (2)由m＞0，4－m＞0，得0＜m＜4， 则S△AOB＝eq \f(m（4－m）,2)＝eq \f(－（m－2）2＋4,2)， 易知当m＝2时，S△AOB有最大值2， 此时直线l的方程为x＋y－2＝0. 解析：∵a，b均为正整数，∴可设直线l：eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1，将点P(1，3)代入直线l的方程，得eq \f(1,a)＋eq \f(3,b)＝1，当b＝3时，eq \f(1,a)＝0，方程无解，∴a＝eq \f(b,b－3)＝eq \f(b－3＋3,b－3)＝1＋eq \f(3,b－3)，∵a∈N*，eq \f(3,b－3)≠0，∴eq \f(3,b－3)∈N*，∴b－3＝1或b－3＝3，∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝4，,a＝4))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝6，,a＝2，))即满足题意的直线l有2条． 解：(1)由题意可设直线l的方程为eq \f(x,m)＋eq \f(y,n)＝1， 由A(2，3)为MN的中点，可知m＝|OM|＝4，n＝|ON|＝6， 故直线l的方程为eq \f(x,4)＋eq \f(y,6)＝1， 即3x＋2y－12＝0. (2)将点A(2，3)代入方程eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1(a，b>0)，得eq \f(2,a)＋eq \f(3,b)＝1， 故|OM|＋2|ON|＝a＋2b＝(a＋2b)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,a)＋\f(3,b)))＝2＋6＋eq \f(4b,a)＋eq \f(3a,b)≥8＋4eq \r(3)， 当且仅当eq \f(4b,a)＝eq \f(3a,b)时取等号，此时a＝2＋2eq \r(3)，b＝3＋eq \r(3)， 故|OM|＋2|ON|的最小值为8＋4eq \r(3). $$