2.2.1 直线的点斜式方程-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册作业与测评课件PPT（人教A版2019）

第二章　直线和圆的方程 2.2　直线的方程 2.2.1　直线的点斜式方程 知识对点练 40分钟综合练 目录 知识对点练 知识点一　直线的点斜式方程 1．已知直线的方程是y＋4＝2x－6，则(　　) A．直线经过点(－3，4)，斜率为2 B．直线经过点(4，－3)，斜率为2 C．直线经过点(3，－4)，斜率为2 D．直线经过点(－4，3)，斜率为－2 解析：直线的方程y＋4＝2x－6可化为y－(－4)＝2(x－3)，故直线经过点(3，－4)，斜率为2. 1 2 3 4 5 6 7 8 知识对点练 4 2．已知直线经过点A(3，1)，斜率为－1，则直线的方程是(　　) A．y＝－x＋4 B．y＝x－2 C．y＝－x－4 D．y＝x＋2 解析：由题意可知，所求直线的方程为y－1＝－(x－3)，即y＝－x＋4.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 知识对点练 5 1 2 3 4 5 6 7 8 知识对点练 6 4．经过点A(－1，4)且在y轴上的截距为2的直线的方程是(　　) A．y＝－2x－2 B．y＝2x＋2 C．y＝－2x＋2 D．y＝2x－2 解析：在y轴上的截距为2的直线的方程可以设为y＝kx＋2.将点A(－1，4)代入方程，得4＝－k＋2，解得k＝－2，即所求直线的方程为y＝－2x＋2. 1 2 3 4 5 6 7 8 知识对点练 7 1 2 3 4 5 6 7 8 知识对点练 8 6．直线l1：y＝ax＋b与直线l2：y＝bx＋a(ab≠0，a≠b)在同一平面直角坐标系内的图象只可能是(　　) 解析：对于A，由l1得a>0，b<0，而由l2得a>0，b>0，矛盾；对于B，由l1得a<0，b>0，而由l2得a>0，b>0，矛盾；对于C，由l1得a>0，b<0，而由l2得a<0，b>0，矛盾；对于D，由l1得a>0，b>0，由l2得a>0，b>0.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 知识对点练 9 1 2 3 4 5 6 7 8 知识对点练 10 1 2 3 4 5 6 7 8 知识对点练 11 40分钟综合练 一、单项选择题 1．方程y＝k(x－2)表示(　　) A．过点(2，0)的所有直线 B．过点(2，0)且不垂直于y轴的所有直线 C．过点(2，0)且不垂直于x轴的所有直线 D．过点(2，0)且除去x轴的所有直线 解析：y＝k(x－2)为直线的点斜式方程，只能表示斜率存在的直线，且直线过点(2，0)．故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 13 2．过点(2，3)且一个方向向量为(1，－1)的直线方程为(　　) A．y＝－x＋5 B．y＝－x＋1 C．y＝x＋1 D．y＝x－5 解析：由题意知，直线的一个方向向量为(1，－1)，所以斜率为k＝－1，因为直线过点(2，3)，所以直线的方程为y－3＝－(x－2)，即y＝－x＋5.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 14 3．已知直线(a－2)y＝(3a－1)x－1，为使这条直线不经过第二象限，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，2) B．(－∞，2] C．(2，＋∞) D．[2，＋∞) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 16 5．已知k∈R，b＝k2－2k＋3，则下列直线的方程不可能是y＝kx＋b的是(　　) 解析：∵b＝k2－2k＋3＝(k－1)2＋2，∴直线的方程y＝kx＋b在y轴上的截距不小于2，且当k＝1时，y轴上的截距为2，故D可能；当k＝－1时，b＝6, 故B不正确；当b＝3时，k＝0或k＝2，由图象知A，C可能． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 18 解析：对于A，点斜式方程y－y1＝k(x－x1)适用于过点(x1，y1)且不垂直于x轴的任何直线，满足点斜式方程的条件，故A正确；对于B，显然P(x1，y1)不满足方程，故B不正确；对于C，斜截式y＝kx＋b适用于不垂直于x轴的任何直线，故C正确；对于D，直线y＝kx＋b与y轴交于点B(0，b)，其中截距b＝|OB|不正确，因为截距是b，其值可正、可负、可为零，故D不正确．故选AC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 19 7．在同一直角坐标系中表示直线y＝ax与y＝x＋a，一定错误的是(　　) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 20 解析：解法一：①当a>0时，直线y＝ax的倾斜角为锐角且过原点，直线y＝x＋a在y轴上的截距a>0，A，B，C，D都不成立；②当a＝0时，直线y＝ax的倾斜角为0°，所以A，B，C，D都不成立；③当a<0时，直线y＝ax的倾斜角为钝角且过原点，直线y＝x＋a的倾斜角为锐角，且在y轴上的截距a<0，C成立．故选ABD. 解法二：直线y＝x＋a的倾斜角为锐角，B，D满足题意；A中，直线y＝ax的倾斜角为锐角，所以a>0，而直线y＝x＋a在y轴上的截距a<0，所以满足题意．故选ABD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 21 三、填空题 8．已知直线l过点(1，2)，倾斜角为45°，则直线l在y轴上的截距为____． 解析：由题意知，直线l的斜率为tan45°＝1，则直线l的方程为y－2＝x－1，令x＝0，得y＝1，所以直线l在y轴上的截距为1. 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 22 y＝－2x＋1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 23 10．设点A(－1，0)，B(1，0)，直线y＝－2x＋b与线段AB相交，则b的取值范围是________． 解析：b为直线y＝－2x＋b在y轴上的截距，如图，当直线y＝－2x＋b过点A(－1，0)和点B(1，0)时，b分别取得最小值和最大值．所以b的取值范围是[－2，2]． [－2，2] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 24 四、解答题 11．求满足下列条件的m的值： (1)直线l1：y＝－x＋1与直线l2：y＝(m2－2)x＋2m平行； (2)直线l1：y＝－2x＋3与直线l2：y＝(2m－1)x－5垂直． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 25 12．已知△ABC的三个顶点分别为A(1，6)，B(－1，－2)，C(6，3)，求AB边上的中线CM所在直线的斜截式方程． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 26 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 27 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 28 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 29 　　　　　　　　　　　　　 R 知识点二　直线的斜截式方程 3．已知直线l的倾斜角为120°，且在y轴上的截距是3，则直线l的方程为(　　) A．y＝eq \r(3)x＋3 B．y＝－eq \r(3)x－3 C．y＝－eq \r(3)x＋3 D．y＝eq \r(3)x－3 解析：由题意可知，直线l的斜率为tan120°＝－eq \r(3)，又因为该直线在y轴上的截距是3，故直线l的方程为y＝－eq \r(3)x＋3. 知识点三　两条直线的位置关系 5．已知过点A(－2，m)和点B(m，4)的直线为l1，l2：y＝－2x＋1，l3：y＝－eq \f(1,n)x－eq \f(1,n).若l1∥l2，l2⊥l3，则m＋n的值为(　　) A．－10 B．－2 C．0 D．8 解析：∵l1∥l2，∴kAB＝eq \f(4－m,m＋2)＝－2，解得m＝－8.又l2⊥l3，∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,n)))×(－2)＝－1，解得n＝－2.∴m＋n＝－10.故选A. 7．判断下列各对直线是否平行或垂直． (1)l1：y＝eq \f(1,2)x＋3，l2：y＝eq \f(1,2)x－2；(2)l1：y＝eq \f(5,3)x，l2：y＝－eq \f(3,5)x. 解：(1)因为l1：y＝eq \f(1,2)x＋3，l2：y＝eq \f(1,2)x－2， 所以k1＝eq \f(1,2)，b1＝3，k2＝eq \f(1,2)，b2＝－2， 因为k1＝k2且b1≠b2，所以l1∥l2. (2)因为l1：y＝eq \f(5,3)x，l2：y＝－eq \f(3,5)x， 所以k1＝eq \f(5,3)，k2＝－eq \f(3,5)， 因为k1k2＝eq \f(5,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))＝－1，所以l1⊥l2. 知识点四　直线方程的应用 8．求斜率为eq \f(3,4)，且与两坐标轴围成的三角形的面积是6的直线l的方程． 解：设直线l的方程为y＝eq \f(3,4)x＋b，易知直线l与x轴、y轴的交点分别为Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)b，0))，B(0，b)， ∴eq \f(1,2)·eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)b))·|b|＝6，解得b＝±3. ∴直线l的方程为y＝eq \f(3,4)x±3. 解析：若a－2＝0，即a＝2时，直线的方程可化为x＝eq \f(1,5)，此时直线不经过第二象限，满足条件；若a－2≠0，直线的方程可化为y＝eq \f(3a－1,a－2)x－eq \f(1,a－2)，此时若直线不经过第二象限，则eq \f(3a－1,a－2)>0且eq \f(1,a－2)≥0，解得a>2.综上，满足条件的实数a的取值范围是[2，＋∞)． 4．将直线y＝3x绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位长度，所得到的直线方程为(　　) A．y＝－eq \f(1,3)x＋eq \f(1,3) B．y＝－eq \f(1,3)x＋1 C．y＝3x－3 D．y＝eq \f(1,3)x＋1 解析：将直线y＝3x绕原点逆时针旋转90°，得到直线y＝－eq \f(1,3)x，再向右平移1个单位长度，所得到的直线为y＝－eq \f(1,3)(x－1)，即y＝－eq \f(1,3)x＋eq \f(1,3). 二、多项选择题 6．下列叙述中正确的是(　　) A．点斜式方程y－y1＝k(x－x1)适用于过点(x1，y1)且不垂直于x轴的任何直线 B.eq \f(y－y1,x－x1)＝k表示过点P(x1，y1)且斜率为k的直线方程 C．斜截式y＝kx＋b适用于不垂直于x轴的任何直线 D．直线y＝kx＋b与y轴交于点B(0，b)，其中截距b＝|OB| 解析：设垂直于直线y＝eq \f(1,2)x的直线l的方程为y＝－2x＋m.因为直线l在y轴上的截距为1，所以m＝1，所以直线l的方程是y＝－2x＋1. 9．已知直线l在y轴上的截距为1，且垂直于直线y＝eq \f(1,2)x，则直线l的方程是_________________． 解：(1)∵l1∥l2，∴两条直线的斜率相等， ∴m2－2＝－1且2m≠1，∴m＝±1. (2)∵l1⊥l2，∴2m－1＝eq \f(1,2)，∴m＝eq \f(3,4). 解：因为A(1，6)，B(－1，－2)， 所以AB边上的中点M(0，2)， 又C(6，3)，所以kCM＝eq \f(3－2,6－0)＝eq \f(1,6)， 所以AB边上的中线CM所在直线的斜截式方程为y＝eq \f(1,6)x＋2. 解析：在y＝eq \r(3)x＋3中，令y＝0，得x＝－eq \r(3)，即M(－eq \r(3)，0)．因为直线l的斜率为eq \r(3)，所以其倾斜角为60°.若直线l绕点M逆时针旋转30°，则得到的直线l′的倾斜角为90°，此时直线l′的斜率不存在，故其方程为x＝－eq \r(3)；若直线l绕点M顺时针旋转30°，则得到的直线l′的倾斜角为30°，此时直线l′的斜率为tan30°＝eq \f(\r(3),3)，故其方程为y＝eq \f(\r(3),3)(x＋eq \r(3))，即y＝eq \f(\r(3),3)x＋1.综上，直线l′的方程为x＝－eq \r(3)或y＝eq \f(\r(3),3)x＋1. 13．已知点M是直线l：y＝eq \r(3)x＋3与x轴的交点，将直线l绕点M旋转30°，则所得到的直线l′的方程为________________________． x＝－eq \r(3)或y＝eq \f(\r(3),3)x＋1 14．(1)求过点M(m，0)和点N(2，1)的直线的方程； (2)已知等腰三角形ABC的顶点A(－1，2)，AC的斜率为eq \r(3)，点B(－3，2)，求直线AC，BC及∠A的平分线所在直线的方程． 解：(1)当m＝2时，过点M(m，0)和点N(2，1)的直线斜率不存在，其方程为x＝2； 当m≠2时，直线的斜率为k＝eq \f(0－1,m－2)＝－eq \f(1,m－2)， 又直线过点N(2，1)， ∴直线的点斜式方程为y－1＝－eq \f(1,m－2)(x－2)． 综上，当m＝2时，所求直线的方程为x＝2； 当m≠2时，所求直线的方程为y－1＝－eq \f(1,m－2)(x－2)． (2)直线AC的方程为y＝eq \r(3)x＋2＋eq \r(3). ∵直线AB∥x轴，直线AC的倾斜角为60°， ∴直线BC的倾斜角α为30°或120°. 当α＝30°时，直线BC的方程为y＝eq \f(\r(3),3)x＋2＋eq \r(3)， ∠A的平分线的倾斜角为120°， 其所在直线的方程为y＝－eq \r(3)x＋2－eq \r(3)； 当α＝120°时，直线BC的方程为y＝－eq \r(3)x＋2－3eq \r(3)， ∠A的平分线的倾斜角为30°， 其所在直线的方程为y＝eq \f(\r(3),3)x＋2＋eq \f(\r(3),3). $$