1.1.1 空间向量及其线性运算-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册作业与测评课件PPT（人教A版2019）

第一章　空间向量与立体几何 1.1　空间向量及其运算 1.1.1　空间向量及其线性运算 知识对点练 40分钟综合练 目录 知识对点练 解析：共线的单位向量是相等向量或相反向量． 　 1 2 3 4 5 6 7 8 知识对点练 4 2．下列关于单位向量与零向量的叙述正确的是(　　) A．零向量是没有方向的向量，两个单位向量的模相等 B．零向量的方向是任意的，所有单位向量都相等 C．零向量的长度为0，单位向量不一定是相等向量 D．零向量只有一个方向，单位向量的方向不一定相同 解析：零向量的方向是任意的，且长度为0，两个单位向量的模相等，但方向不一定相同．故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 知识对点练 5 1 2 3 4 5 6 7 8 知识对点练 6 1 2 3 4 5 6 7 8 知识对点练 7 1 2 3 4 5 6 7 8 知识对点练 8 1 2 3 4 5 6 7 8 知识对点练 9 1 2 3 4 5 6 7 8 知识对点练 10 1 2 3 4 5 6 7 8 知识对点练 11 1 2 3 4 5 6 7 8 知识对点练 12 7．如图，在四面体ABCD中，M，N分别为△BCD，△ACD的重心，G为AM上一点，且GM∶GA＝1∶3.求证：B，G，N三点共线． 1 2 3 4 5 6 7 8 知识对点练 13 1 2 3 4 5 6 7 8 知识对点练 14 1 2 3 4 5 6 7 8 知识对点练 15 1 2 3 4 5 6 7 8 知识对点练 16 40分钟综合练 一、单项选择题 1．以下说法正确的是(　　) A．方向相反的两个向量是相反向量 B．若a，b满足|a|＞|b|且a，b同向，则a＞b C．不相等的两个空间向量的模必不相等 D．对于任意向量a，b，必有|a＋b|≤|a|＋|b| 解析：长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，故A错误；向量是不能比较大小的，故B错误；不相等的两个空间向量的模也可以相等，故C错误；由向量加法的几何意义可知D正确．故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 18 2．对于空间的任意三个向量a，b，2a－b，它们一定是(　　) A．共面向量 B．共线向量 C．不共面向量 D．既不共线也不共面的向量 解析：记c＝2a－b，由共面向量的判定方法易知，a，b，c三个向量是共面向量．故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 21 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 22 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 23 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 24 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 25 平行四边形 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 26 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 27 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 28 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 29 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 30 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 31 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 32 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 33 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 34 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 35 　　　　　　　　　　　　　 R 知识点一　空间向量的有关概念 1．下列说法中错误的是(　　) A．向量eq \o(AB,\s\up13(→))与eq \o(BA,\s\up13(→))的长度相等 B．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同 C．只有零向量的模等于0 D．共线的单位向量都相等 3．如图所示，已知ABCD－A1B1C1D1为平行六面体，若以此平行六面体的顶点为向量的起点、终点，求： (1)与eq \o(BB1,\s\up13(→))相等的向量； (2)与eq \o(BC1,\s\up13(→))相反的向量； (3)与eq \o(BA1,\s\up13(→))平行的向量． 解：(1)与eq \o(BB1,\s\up13(→))相等的向量为eq \o(AA1,\s\up13(→))，eq \o(CC1,\s\up13(→))，eq \o(DD1,\s\up13(→)). (2)与eq \o(BC1,\s\up13(→))相反的向量为eq \o(C1B,\s\up13(→))，eq \o(D1A,\s\up13(→)). (3)与eq \o(BA1,\s\up13(→))平行的向量为eq \o(A1B,\s\up13(→))，eq \o(CD1,\s\up13(→))，eq \o(D1C,\s\up13(→)). 知识点二　空间向量的线性运算 4．如图所示空间四边形ABCD，连接AC，BD，设M，G分别是BC，CD的中点，则eq \o(MG,\s\up13(→))－eq \o(AB,\s\up13(→))＋eq \o(AD,\s\up13(→))＝(　　) A．eq \f(3,2) eq \o(DB,\s\up13(→)) B．3eq \o(MG,\s\up13(→)) C．3eq \o(GM,\s\up13(→)) D．2eq \o(MG,\s\up13(→)) 解析：eq \o(MG,\s\up13(→))－eq \o(AB,\s\up13(→))＋eq \o(AD,\s\up13(→))＝eq \o(MG,\s\up13(→))－(eq \o(AB,\s\up13(→))－eq \o(AD,\s\up13(→)))＝eq \o(MG,\s\up13(→))－eq \o(DB,\s\up13(→))＝eq \o(MG,\s\up13(→))＋eq \o(BD,\s\up13(→))＝eq \o(MG,\s\up13(→))＋2eq \o(MG,\s\up13(→))＝3eq \o(MG,\s\up13(→)).故选B. 5．已知平行六面体ABCD－A′B′C′D′，化简下列向量表达式，并在图中标出化简得到的向量． (1)eq \o(AB,\s\up13(→))＋eq \o(AD,\s\up13(→))＋eq \o(AA′,\s\up13(→))； (2)eq \o(DD′,\s\up13(→))－eq \o(AB,\s\up13(→))＋eq \o(BC,\s\up13(→))； (3)eq \o(AB,\s\up13(→))＋eq \o(AD,\s\up13(→))＋eq \f(1,2)(eq \o(DD′,\s\up13(→))－eq \o(BC,\s\up13(→)))． 解：(1)eq \o(AB,\s\up13(→))＋eq \o(AD,\s\up13(→))＋eq \o(AA′,\s\up13(→))＝eq \o(AB,\s\up13(→))＋eq \o(BC,\s\up13(→))＋eq \o(CC′,\s\up13(→))＝eq \o(AC′,\s\up13(→))，向量eq \o(AC′,\s\up13(→))如图所示． (2)eq \o(DD′,\s\up13(→))－eq \o(AB,\s\up13(→))＋eq \o(BC,\s\up13(→))＝eq \o(DD′,\s\up13(→))－(eq \o(AB,\s\up13(→))－eq \o(AD,\s\up13(→)))＝eq \o(DD′,\s\up13(→))－eq \o(DB,\s\up13(→))＝eq \o(BD′,\s\up13(→))，向量eq \o(BD′,\s\up13(→))如图所示． (3)eq \o(AB,\s\up13(→))＋eq \o(AD,\s\up13(→))＋eq \f(1,2)(eq \o(DD′,\s\up13(→))－eq \o(BC,\s\up13(→)))＝eq \o(AC,\s\up13(→))＋eq \f(1,2)(eq \o(CC′,\s\up13(→))＋eq \o(CB,\s\up13(→)))＝eq \o(AC,\s\up13(→))＋eq \f(1,2) eq \o(CB′,\s\up13(→))，设M是线段CB′的中点，则eq \o(AB,\s\up13(→))＋eq \o(AD,\s\up13(→))＋eq \f(1,2)(eq \o(DD′,\s\up13(→))－eq \o(BC,\s\up13(→)))＝eq \o(AC,\s\up13(→))＋eq \o(CM,\s\up13(→))＝eq \o(AM,\s\up13(→)).向量eq \o(AM,\s\up13(→))如图所示． 知识点三　向量共线 6．下列条件中，能说明空间中不重合的A，B，C三点共线的是(　　) A．eq \o(AB,\s\up13(→))＋eq \o(BC,\s\up13(→))＝eq \o(AC,\s\up13(→)) B．eq \o(AB,\s\up13(→))－eq \o(BC,\s\up13(→))＝eq \o(AC,\s\up13(→)) C．eq \o(AB,\s\up13(→))＝－2eq \o(BC,\s\up13(→)) D．|eq \o(AB,\s\up13(→))|＝|eq \o(BC,\s\up13(→))| 解析：对于A，对于空间中的任意向量，都有eq \o(AB,\s\up13(→))＋eq \o(BC,\s\up13(→))＝eq \o(AC,\s\up13(→))，不能说明A，B，C三点共线，故A不符合题意；对于B，若eq \o(AB,\s\up13(→))－eq \o(BC,\s\up13(→))＝eq \o(AC,\s\up13(→))，则eq \o(AC,\s\up13(→))＋eq \o(BC,\s\up13(→))＝eq \o(AB,\s\up13(→))，而eq \o(AC,\s\up13(→))＋eq \o(CB,\s\up13(→))＝eq \o(AB,\s\up13(→))，据此可知eq \o(BC,\s\up13(→))＝eq \o(CB,\s\up13(→))，即B，C两点重合，故B不符合题意；对于C，eq \o(AB,\s\up13(→))＝－2eq \o(BC,\s\up13(→))，则A，B，C三点共线，故C符合题意；对于D，|eq \o(AB,\s\up13(→))|＝|eq \o(BC,\s\up13(→))|，则线段AB的长度与线段BC的长度相等，不一定有A，B，C三点共线，故D不符合题意．故选C. 证明：设eq \o(AB,\s\up13(→))＝a，eq \o(AC,\s\up13(→))＝b，eq \o(AD,\s\up13(→))＝c， 则eq \o(BG,\s\up13(→))＝eq \o(BA,\s\up13(→))＋eq \o(AG,\s\up13(→))＝eq \o(BA,\s\up13(→))＋eq \f(3,4) eq \o(AM,\s\up13(→)) ＝－eq \o(AB,\s\up13(→))＋eq \f(3,4)(eq \o(AB,\s\up13(→))＋eq \o(BM,\s\up13(→))) ＝－eq \f(1,4) eq \o(AB,\s\up13(→))＋eq \f(3,4)×eq \f(1,3)(eq \o(BC,\s\up13(→))＋eq \o(BD,\s\up13(→))) ＝－eq \f(1,4) eq \o(AB,\s\up13(→))＋eq \f(1,4)(eq \o(AC,\s\up13(→))－eq \o(AB,\s\up13(→))＋eq \o(AD,\s\up13(→))－eq \o(AB,\s\up13(→))) ＝－eq \f(3,4) eq \o(AB,\s\up13(→))＋eq \f(1,4) eq \o(AC,\s\up13(→))＋eq \f(1,4) eq \o(AD,\s\up13(→)) ＝－eq \f(3,4)a＋eq \f(1,4)b＋eq \f(1,4)c， eq \o(BN,\s\up13(→))＝eq \o(BA,\s\up13(→))＋eq \o(AN,\s\up13(→))＝eq \o(BA,\s\up13(→))＋eq \f(1,3)(eq \o(AC,\s\up13(→))＋eq \o(AD,\s\up13(→))) ＝－a＋eq \f(1,3)b＋eq \f(1,3)c＝eq \f(4,3) eq \o(BG,\s\up13(→))， ∴eq \o(BN,\s\up13(→))∥eq \o(BG,\s\up13(→)). 又BN∩BG＝B，∴B，G，N三点共线． 知识点四　向量共面 8．已知A，B，C三点不共线，平面ABC外一点O满足eq \o(OM,\s\up13(→))＝eq \f(1,3) eq \o(OA,\s\up13(→))＋eq \f(1,3) eq \o(OB,\s\up13(→))＋eq \f(1,3) eq \o(OC,\s\up13(→)). (1)判断eq \o(MA,\s\up13(→))，eq \o(MB,\s\up13(→))，eq \o(MC,\s\up13(→))三个向量是否共面； (2)判断M是否在平面ABC内． 解：(1)由题意得eq \o(OA,\s\up13(→))＋eq \o(OB,\s\up13(→))＋eq \o(OC,\s\up13(→))＝3eq \o(OM,\s\up13(→))， ∴eq \o(OA,\s\up13(→))－eq \o(OM,\s\up13(→))＝(eq \o(OM,\s\up13(→))－eq \o(OB,\s\up13(→)))＋(eq \o(OM,\s\up13(→))－eq \o(OC,\s\up13(→)))＝eq \o(BM,\s\up13(→))＋eq \o(CM,\s\up13(→)). ∴eq \o(MA,\s\up13(→))＝eq \o(BM,\s\up13(→))＋eq \o(CM,\s\up13(→))＝－eq \o(MB,\s\up13(→))－eq \o(MC,\s\up13(→)). ∴向量eq \o(MA,\s\up13(→))，eq \o(MB,\s\up13(→))，eq \o(MC,\s\up13(→))共面． (2)由(1)知向量eq \o(MA,\s\up13(→))，eq \o(MB,\s\up13(→))，eq \o(MC,\s\up13(→))共面，而它们有共同的起点M，且A，B，C三点不共线， ∴M，A，B，C四点共面，即M在平面ABC内． 3.如图，已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1，在下列选项中，与eq \o(CD,\s\up13(→))相等的向量是(　　) A．eq \o(AB,\s\up13(→)) B．eq \o(A1C1,\s\up13(→)) C．eq \o(B1A1,\s\up13(→)) D．eq \o(AA1,\s\up13(→)) 解析：由于ABCD－A1B1C1D1是平行六面体，所以|eq \o(CD,\s\up13(→))|＝|eq \o(B1A1,\s\up13(→))|，且eq \o(CD,\s\up13(→))与eq \o(B1A1,\s\up13(→))方向相同，故eq \o(B1A1,\s\up13(→))＝eq \o(CD,\s\up13(→)).故选C. 4.在三棱柱ABC－A1B1C1中，D是CC1的中点，F是A1B的中点，且eq \o(DF,\s\up13(→))＝αeq \o(AB,\s\up13(→))＋βeq \o(AC,\s\up13(→))，则(　　) A．α＝eq \f(1,2)，β＝－1 B．α＝－eq \f(1,2)，β＝1 C．α＝1，β＝－eq \f(1,2) D．α＝－1，β＝eq \f(1,2) 解析：根据向量加法的多边形法则以及已知可得，eq \o(DF,\s\up13(→))＝eq \o(DC,\s\up13(→))＋eq \o(CB,\s\up13(→))＋eq \o(BF,\s\up13(→))＝eq \f(1,2) eq \o(C1C,\s\up13(→))＋eq \o(CB,\s\up13(→))＋eq \f(1,2) eq \o(BA1,\s\up13(→))＝eq \f(1,2) eq \o(A1A,\s\up13(→))＋eq \o(AB,\s\up13(→))－eq \o(AC,\s\up13(→))＋eq \f(1,2) eq \o(BA,\s\up13(→))＋eq \f(1,2) eq \o(AA1,\s\up13(→))＝eq \f(1,2) eq \o(AB,\s\up13(→))－eq \o(AC,\s\up13(→))，∴α＝eq \f(1,2)，β＝－1.故选A. 5．在下列条件中，使M与A，B，C一定共面的是(　　) A.eq \o(OM,\s\up13(→))＝eq \o(OA,\s\up13(→))－eq \o(OB,\s\up13(→))－eq \o(OC,\s\up13(→)) B.eq \o(OM,\s\up13(→))＝eq \f(1,5) eq \o(OA,\s\up13(→))＋eq \f(1,3) eq \o(OB,\s\up13(→))＋eq \f(1,2) eq \o(OC,\s\up13(→)) C.eq \o(MA,\s\up13(→))＋eq \o(MB,\s\up13(→))＋eq \o(MC,\s\up13(→))＝0 D.eq \o(OM,\s\up13(→))＋eq \o(OA,\s\up13(→))＋eq \o(OB,\s\up13(→))＋eq \o(OC,\s\up13(→))＝0 解析：对于A，由于eq \o(OM,\s\up13(→))＝eq \o(OA,\s\up13(→))－eq \o(OB,\s\up13(→))－eq \o(OC,\s\up13(→))不满足右边式子的系数和为1，所以四点不一定共面，故A不符合题意；对于B，由于eq \o(OM,\s\up13(→))＝eq \f(1,5) eq \o(OA,\s\up13(→))＋eq \f(1,3) eq \o(OB,\s\up13(→))＋eq \f(1,2) eq \o(OC,\s\up13(→))不满足右边式子的系数和为1，所以四点不一定共面，故B不符合题意；对于C，由eq \o(MA,\s\up13(→))＋eq \o(MB,\s\up13(→))＋eq \o(MC,\s\up13(→))＝0，可得eq \o(MA,\s\up13(→))＝－eq \o(MB,\s\up13(→))－eq \o(MC,\s\up13(→))，根据向量共面定理并结合三个向量有公共点，可知四点一定共面，故C符合题意；对于D，由eq \o(OM,\s\up13(→))＋eq \o(OA,\s\up13(→))＋eq \o(OB,\s\up13(→))＋eq \o(OC,\s\up13(→))＝0，可得eq \o(OM,\s\up13(→))＝－eq \o(OA,\s\up13(→))－eq \o(OB,\s\up13(→))－eq \o(OC,\s\up13(→))，由于不满足右边式子的系数和为1，所以四点不一定共面，故D不符合题意．故选C. 二、多项选择题 6．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各式中运算结果为eq \o(AC1,\s\up13(→))的是(　　) A．eq \o(AB,\s\up13(→))＋eq \o(AD,\s\up13(→))＋eq \o(D1D,\s\up13(→)) B．eq \o(AA1,\s\up13(→))＋eq \o(B1C1,\s\up13(→))＋eq \o(D1C1,\s\up13(→)) C．eq \o(AB,\s\up13(→))＋eq \o(C1C,\s\up13(→))＋eq \o(B1C1,\s\up13(→)) D．eq \o(AA1,\s\up13(→))＋eq \o(DC,\s\up13(→))＋eq \o(B1C1,\s\up13(→)) 解析：对于A，eq \o(AB,\s\up13(→))＋eq \o(AD,\s\up13(→))＋eq \o(D1D,\s\up13(→))＝eq \o(AB,\s\up13(→))＋eq \o(AD,\s\up13(→))＋eq \o(C1C,\s\up13(→))＝eq \o(A1C1,\s\up13(→))＋eq \o(C1C,\s\up13(→))＝eq \o(A1C,\s\up13(→))；对于B，eq \o(AA1,\s\up13(→))＋eq \o(B1C1,\s\up13(→))＋eq \o(D1C1,\s\up13(→))＝eq \o(AD1,\s\up13(→))＋eq \o(D1C1,\s\up13(→))＝eq \o(AC1,\s\up13(→))；对于C，eq \o(AB,\s\up13(→))＋eq \o(C1C,\s\up13(→))＋eq \o(B1C1,\s\up13(→))＝eq \o(A1B,\s\up13(→))＋eq \o(B1C1,\s\up13(→))＝eq \o(A1B,\s\up13(→))＋eq \o(BC,\s\up13(→))＝eq \o(A1C,\s\up13(→))；对于D，eq \o(AA1,\s\up13(→))＋eq \o(DC,\s\up13(→))＋eq \o(B1C1,\s\up13(→))＝eq \o(AB1,\s\up13(→))＋eq \o(B1C1,\s\up13(→))＝eq \o(AC1,\s\up13(→)). 7．下列说法中错误的是(　　) A．若a，b共线，则a，b所在的直线平行 B．若a，b所在的直线是异面直线，则a，b一定不共面 C．若向量a，b，c两两共面，则向量a，b，c一定也共面 D．若eq \o(OA,\s\up13(→))，eq \o(OB,\s\up13(→))，eq \o(OC,\s\up13(→))不共面，且eq \o(OD,\s\up13(→))＝eq \f(1,3) eq \o(OA,\s\up13(→))＋eq \f(1,3) eq \o(OB,\s\up13(→))＋eq \f(1,3) eq \o(OC,\s\up13(→))，则A，B，C，D四点共面 解析：对于A，若a，b共线，则a，b有可能在同一条直线上， 故A错误；对于B，即使a，b所在的直线是异面直线，也可以通过 平移的方式使得向量a，b共面，故B错误；对于C，如图所示，在 四面体PABC中，向量eq \o(PA,\s\up13(→))，eq \o(PB,\s\up13(→))，eq \o(PC,\s\up13(→))两两共面，但三个向量并不共面， 故C错误；对于D，由eq \o(OA,\s\up13(→))，eq \o(OB,\s\up13(→))，eq \o(OC,\s\up13(→))不共面，且eq \o(OD,\s\up13(→))＝eq \f(1,3) eq \o(OA,\s\up13(→))＋eq \f(1,3) eq \o(OB,\s\up13(→))＋eq \f(1,3) eq \o(OC,\s\up13(→))，得eq \o(OD,\s\up13(→))－eq \o(OA,\s\up13(→))＝eq \f(1,3)(eq \o(OB,\s\up13(→))－eq \o(OA,\s\up13(→)))＋eq \f(1,3)(eq \o(OC,\s\up13(→))－eq \o(OA,\s\up13(→)))，即eq \o(AD,\s\up13(→))＝eq \f(1,3) eq \o(AB,\s\up13(→))＋eq \f(1,3) eq \o(AC,\s\up13(→))，则向量eq \o(AD,\s\up13(→))，eq \o(AB,\s\up13(→))，eq \o(AC,\s\up13(→))共面，又它们有公共点A，因此A，B，C，D四点共面，故D正确．故选ABC. 解析：因为eq \o(AC,\s\up13(→))＝eq \o(AB,\s\up13(→))＋eq \o(AD,\s\up13(→))，所以四边形ABCD是以AB与AD为邻边，AC为对角线的平行四边形． 三、填空题 8．在四边形ABCD中，若eq \o(AC,\s\up13(→))＝eq \o(AB,\s\up13(→))＋eq \o(AD,\s\up13(→))，则四边形ABCD的形状一定是___________． 解析：eq \o(OP,\s\up13(→))＝eq \f(1,2)(eq \o(OM,\s\up13(→))＋eq \o(ON,\s\up13(→)))＝eq \f(1,2) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2,3)\o(OA,\s\up13(→))＋\f(1,2)（\o(OB,\s\up13(→))＋\o(OC,\s\up13(→))）))＝eq \f(1,3) eq \o(OA,\s\up13(→))＋eq \f(1,4) eq \o(OB,\s\up13(→))＋eq \f(1,4) eq \o(OC,\s\up13(→))＝eq \f(1,3)a＋eq \f(1,4)b＋eq \f(1,4)c. 9．如图，在四面体OABC中，M是棱OA上靠近点A的三等分点，N，P分别是BC，MN的中点．设eq \o(OA,\s\up13(→))＝a，eq \o(OB,\s\up13(→))＝b，eq \o(OC,\s\up13(→))＝c，用a，b，c表示eq \o(OP,\s\up13(→))＝_______________． eq \f(1,3)a＋eq \f(1,4)b＋eq \f(1,4)c 解析：如图，延长DE交边BC于点F，连接AF，则eq \o(AB,\s\up13(→))＋eq \f(1,2) eq \o(BC,\s\up13(→))＝eq \o(AF,\s\up13(→))，eq \f(3,2) eq \o(DE,\s\up13(→))＋eq \o(AD,\s\up13(→))＝eq \o(AD,\s\up13(→))＋eq \o(DF,\s\up13(→))＝eq \o(AF,\s\up13(→))，故eq \o(AB,\s\up13(→))＋eq \f(1,2) eq \o(BC,\s\up13(→))－eq \f(3,2) eq \o(DE,\s\up13(→))－eq \o(AD,\s\up13(→))＝eq \o(AF,\s\up13(→))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)\o(DE,\s\up13(→))＋\o(AD,\s\up13(→))))＝eq \o(AF,\s\up13(→))－eq \o(AF,\s\up13(→))＝0. 10．在三棱锥A－BCD中，若△BCD是正三角形，E为其中心，则化简eq \o(AB,\s\up13(→))＋eq \f(1,2) eq \o(BC,\s\up13(→))－eq \f(3,2) eq \o(DE,\s\up13(→))－eq \o(AD,\s\up13(→))的结果为________． 四、解答题 11．如图，在正六棱柱ABCDEF－A1B1C1D1E1F1中： (1)化简eq \o(A1F1,\s\up13(→))－eq \o(EF,\s\up13(→))－eq \o(BA,\s\up13(→))＋eq \o(FF1,\s\up13(→))＋eq \o(CD,\s\up13(→))＋eq \o(F1A1,\s\up13(→))，并在图中标出化简结果； (2)化简eq \o(DE,\s\up13(→))＋eq \o(E1F1,\s\up13(→))＋eq \o(FD,\s\up13(→))＋eq \o(BB1,\s\up13(→))＋eq \o(A1E1,\s\up13(→))，并在图中标出化简结果． 解：(1)eq \o(A1F1,\s\up13(→))－eq \o(EF,\s\up13(→))－eq \o(BA,\s\up13(→))＋eq \o(FF1,\s\up13(→))＋eq \o(CD,\s\up13(→))＋eq \o(F1A1,\s\up13(→)) ＝eq \o(AF,\s\up13(→))＋eq \o(FE,\s\up13(→))＋eq \o(AB,\s\up13(→))＋eq \o(BB1,\s\up13(→))＋eq \o(CD,\s\up13(→))＋eq \o(DC,\s\up13(→)) ＝eq \o(AE,\s\up13(→))＋eq \o(AB1,\s\up13(→))＋0 ＝eq \o(AE,\s\up13(→))＋eq \o(ED1,\s\up13(→))＝eq \o(AD1,\s\up13(→)). eq \o(AD1,\s\up13(→))在图中所示如下： (2)eq \o(DE,\s\up13(→))＋eq \o(E1F1,\s\up13(→))＋eq \o(FD,\s\up13(→))＋eq \o(BB1,\s\up13(→))＋eq \o(A1E1,\s\up13(→))＝eq \o(DE,\s\up13(→))＋eq \o(EF,\s\up13(→))＋eq \o(FD,\s\up13(→))＋eq \o(BB1,\s\up13(→))＋eq \o(B1D1,\s\up13(→))＝0＋eq \o(BD1,\s\up13(→))＝eq \o(BD1,\s\up13(→)). eq \o(BD1,\s\up13(→))在图中所示如下： 12.如图，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且BM＝eq \f(1,3)BD，AN＝eq \f(1,3)AE.求证：向量eq \o(MN,\s\up13(→))，eq \o(CD,\s\up13(→))，eq \o(DE,\s\up13(→))共面． 证明：因为M在BD上，且BM＝eq \f(1,3)BD， 所以eq \o(MB,\s\up13(→))＝eq \f(1,3) eq \o(DB,\s\up13(→))＝eq \f(1,3) eq \o(DA,\s\up13(→))＋eq \f(1,3) eq \o(AB,\s\up13(→)). 同理eq \o(AN,\s\up13(→))＝eq \f(1,3) eq \o(AD,\s\up13(→))＋eq \f(1,3) eq \o(DE,\s\up13(→)). 所以eq \o(MN,\s\up13(→))＝eq \o(MB,\s\up13(→))＋eq \o(BA,\s\up13(→))＋eq \o(AN,\s\up13(→)) ＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)\o(DA,\s\up13(→))＋\f(1,3)\o(AB,\s\up13(→))))＋eq \o(BA,\s\up13(→))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)\o(AD,\s\up13(→))＋\f(1,3)\o(DE,\s\up13(→)))) ＝eq \f(2,3) eq \o(BA,\s\up13(→))＋eq \f(1,3) eq \o(DE,\s\up13(→))＝eq \f(2,3) eq \o(CD,\s\up13(→))＋eq \f(1,3) eq \o(DE,\s\up13(→)). 又eq \o(CD,\s\up13(→))与eq \o(DE,\s\up13(→))不共线， 根据向量共面的充要条件可知，向量eq \o(MN,\s\up13(→))，eq \o(CD,\s\up13(→))，eq \o(DE,\s\up13(→))共面． 解析：因为eq \o(D1B,\s\up13(→))＝eq \o(D1A,\s\up13(→))＋eq \o(AB,\s\up13(→))＝eq \o(D1A,\s\up13(→))＋eq \o(D1C1,\s\up13(→))，又D1F＝λFC1，D1E＝eq \f(1,3)EB，所以4eq \o(D1E,\s\up13(→))＝eq \o(D1A,\s\up13(→))＋eq \f(λ＋1,λ) eq \o(D1F,\s\up13(→))，即eq \o(D1E,\s\up13(→))＝eq \f(1,4) eq \o(D1A,\s\up13(→))＋eq \f(λ＋1,4λ) eq \o(D1F,\s\up13(→))，因为A，E，F三点共线，所以eq \f(1,4)＋eq \f(λ＋1,4λ)＝1，解得λ＝eq \f(1,2). 13．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E在对角线D1B上，且D1E＝eq \f(1,3)EB，点F在棱D1C1上，且D1F＝λFC1，若A，E，F三点共线，则λ＝________． eq \f(1,2) 14．如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别在棱AA1，CC1上，且A1M＝eq \f(1,3)AA1，CN＝eq \f(1,3)CC1.求证：D，M，B1，N四点共面． 证明：在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，连接MD，DN，NB1，B1M， 因为A1M＝eq \f(1,3)AA1，CN＝eq \f(1,3)CC1， 所以eq \o(MB1,\s\up13(→))＝eq \o(MA1,\s\up13(→))＋eq \o(A1B1,\s\up13(→))＝eq \f(1,3) eq \o(AA1,\s\up13(→))＋eq \o(A1B1,\s\up13(→))＝eq \f(1,3) eq \o(AA1,\s\up13(→))＋eq \o(AB,\s\up13(→))， eq \o(DN,\s\up13(→))＝eq \o(DC,\s\up13(→))＋eq \o(CN,\s\up13(→))＝eq \o(AB,\s\up13(→))＋eq \f(1,3) eq \o(CC1,\s\up13(→))＝eq \f(1,3) eq \o(AA1,\s\up13(→))＋eq \o(AB,\s\up13(→))， 所以eq \o(DN,\s\up13(→))＝eq \o(MB1,\s\up13(→))，即DN＝MB1且DN∥MB1， 所以D，M，B1，N四点共面． $$