2.3.1 两条直线的交点坐标-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册作业与测评全书Word（人教A版2019）

数学 选择性必修·第一册[人教A版]作业与测评 2.3.1　两条直线的交点坐标 知识点一　两条直线的交点问题 1．直线x＋2y－2＝0与直线2x＋y－3＝0的交点坐标是(　　) A．(4，1) B．(1，4) C． D． 答案：C 解析：由方程组得即直线x＋2y－2＝0与直线2x＋y－3＝0的交点坐标是. 2．如果直线l1：4ax＋y＋2＝0与直线l2：(1－3a)x＋y－2＝0相交，交点的纵坐标为8，则a的值为(　　) A． B．－ C．－ D． 答案：A 解析：由方程组解得由题意知＝8，即a＝. 3．经过两条直线2x＋3y＋1＝0和2x－3y＋3＝0的交点，且平行于直线y＝x的直线的一般式方程为________． 答案：3x－3y＋4＝0 解析：由解得故交点坐标为，由所求直线平行于直线y＝x，可得所求直线的斜率为1，故所求直线的方程为y－＝x＋1，化为一般式方程为3x－3y＋4＝0. 4．分别判断下列直线是否相交．若相交，求出它们的交点坐标： (1)l1：2x－y＝7和l2：3x＋2y－7＝0； (2)l1：4x＋2y＋5＝0和l2：y＝－2x＋3. 解：(1)方程组的解为 因此直线l1和l2相交，交点坐标为(3，－1)． (2)方程组无解，这表明直线l1和l2没有公共点，故l1∥l2. 知识点二　直线过定点问题 5．已知直线l：mx－m＋y－1＝0过定点，则定点的坐标为(　　) A．(3，1) B．(3，－1) C．(1，－1) D．(1，1) 答案：D 解析：直线l：mx－m＋y－1＝0可化为m(x－1)＋y－1＝0，则x＝1时有y＝1，即恒过定点(1，1)． 6．不论a为何实数，直线(a－3)x＋2ay＋6＝0恒过(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案：D 解析：直线(a－3)x＋2ay＋6＝0可化为a(x＋2y)－3x＋6＝0，令解得因为点(2，－1)在第四象限，所以直线(a－3)x＋2ay＋6＝0恒过第四象限．故选D. 知识点三　对称问题 7．若点M(－3，4)与点N(1，0)关于直线l：ax－by＋3＝0对称，则a＋b的值为(　　) A．－3.5 B．3 C．－1 D．2 答案：D 解析：因为kMN＝＝－1，故＝1，而MN的中点为(－1，2)，故－a－2b＋3＝0，所以a＝b＝1，所以a＋b＝2. 8．若直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2，1)对称，则直线l2过定点(　　) A．(0，4) B．(0，2) C．(－2，4) D．(4，－2) 答案：B 解析：直线l1：y＝k(x－4)经过定点(4，0)，其关于点(2，1)对称的点为(0，2)．又直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2，1)对称，故直线l2过定点(0，2)． 一、单项选择题 1．设A＝{(x，y)|x＋y－4＝0}，B＝{(x，y)|2x－y－5＝0}，则A∩B＝(　　) A．{1，3} B．{(1，3)} C．{(3，1)} D．∅ 答案：C 解析：由得故A∩B＝{(3，1)}． 2．过两条直线l1：x－3y＋4＝0和l2：2x＋y＋5＝0的交点和原点的直线的方程为(　　) A．19x－9y＝0 B．9x＋19y＝0 C．19x－3y＝0 D．3x＋19y＝0 答案：D 解析：过两条直线交点的直线系方程为x－3y＋4＋λ(2x＋y＋5)＝0，代入原点坐标，求得λ＝－，故所求直线的方程为x－3y＋4－(2x＋y＋5)＝0，即3x＋19y＝0. 3．已知一条光线从点P(－1，5)射出，经直线x－y＝0反射后经过点(2，3)，则反射光线所在直线的方程为(　　) A．2x＋3y－13＝0 B．3x＋4y－17＝0 C．4x＋3y－17＝0 D．3x＋2y－12＝0 答案：C 解析：设点P(－1，5)关于直线x－y＝0的对称点为P′(a，b)，则解得故反射光线所在的直线过点P′(5，－1)与点(2，3)，则反射光线所在直线的方程为4x＋3y－17＝0.故选C. 4．直线l被两条直线l1：4x＋y＋3＝0和l2：3x－5y－5＝0截得的线段的中点为P(－1，2)，则直线l的方程为(　　) A．y－x＋7＝0 B．3x－y－7＝0 C．3x＋y＋1＝0 D．3x＋y－1＝0 答案：C 解析：设l与l1的交点为A(a，y1)，l与l2的交点为B(b，y2)，∴y1＝－4a－3，y2＝－1，由中点坐标公式得＝－1，＝2，即a＋b＝－2，(－4a－3)＋＝4，解得a＝－2，b＝0，A(－2，5)，B(0，－1)，则直线l的方程为＝，即3x＋y＋1＝0. 5．若非零实数a，b满足3a＝2b(a＋1)，且直线＋＝1过一定点，则定点坐标为(　　) A． B．(1，3) C．(－3，－2) D． 答案：A 解析：∵非零实数a，b满足3a＝2b(a＋1)，∴＝＋.∵＋＝1，∴＋y＝1，∴6x＋(a＋1)y＝3a，∴(6x＋y)＋a(y－3)＝0.由解得∴定点坐标为. 二、多项选择题 6．已知直线l1：3x－y－1＝0，l2：x＋2y－5＝0，l3：x－ay－3＝0不能围成三角形，则实数a的值可以是(　　) A．1 B．－2 C． D．－1 答案：BCD 解析：解方程组得所以l1与l2的交点M的坐标为(1，2)．三条直线不能围成三角形，有以下三种情况：①l3经过点M：1－2a－3＝0，a＝－1；②l3∥l1：－3a＝1×(－1)，a＝；③l3∥l2：－a＝1×2，a＝－2.综上，a＝－1或a＝或a＝－2. 7．若直线l：y＝kx－与直线2x＋3y－6＝0的交点位于第一象限，则直线l的斜率k的值可能为(　　) A． B． C． D．2 答案：CD 解析：易知直线l过定点(0，－)，画出图象如图所示，由图分析，可知直线l的斜率k＞kAB＝，结合选项，易知选CD. 三、填空题 8．已知A＝{(x，y)|2x－y－1＝0}，B＝{(x，y)|x＋3y－11＝0}，C＝{(x，y)|y＝3x＋b}，若(A∩B)⊆C，则b＝________. 答案：－3 解析：A∩B＝＝{(2，3)}，把(2，3)代入y＝3x＋b，得b＝－3. 9．点A(3，2)关于直线x－y＋4＝0的对称点是________． 答案：(－2，7) 解析：设点A(3，2)关于直线x－y＋4＝0的对称点是A′(m，n)，则解得故点A(3，2)关于直线x－y＋4＝0的对称点是(－2，7)． 10．直线l和两条直线l1：x－3y＋10＝0及l2：2x＋y－8＝0都相交，且以这两个交点为端点的线段的中点是P(0，1)，则直线l的方程是________，直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为________． 答案：x＋4y－4＝0　2 解析：由直线l和两条直线l1，l2均有交点，知这两个交点必分别在l1，l2上，设两交点分别为A(3y1－10，y1)，B(x2，－2x2＋8)．∵线段AB的中点是P(0，1)，∴解得∴A，B两点的坐标分别为(－4，2)，(4，0)，∴过A，B的直线方程为x＋4y－4＝0，即直线l的方程为x＋4y－4＝0.令x＝0，得y＝1，令y＝0，得x＝4，故直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为×4×1＝2. 四、解答题 11．在平行四边形ABCD中，A(1，1)，B(7，3)，D(4，6)，M是线段AB的中点，线段CM与BD交于点P. (1)求直线CM的方程； (2)求点P的坐标． 解：(1)设点C的坐标为(x，y)．在平行四边形ABCD中， 因为线段AC与线段BD的中点重合， 所以解得 所以C(10，8)． 因为M为AB的中点， 所以点M的坐标为(4，2)． 因为C(10，8)，M(4，2)， 所以直线CM的方程为x－y－2＝0. (2)因为B(7，3)，D(4，6)， 所以直线BD的方程为x＋y－10＝0. 联立方程解得 所以点P的坐标为(6，4)． 12．若光线沿直线7x－y－3＝0入射到直线2x－y＋2＝0后反射，求反射光线所在直线的方程． 解：由得 即直线7x－y－3＝0与直线2x－y＋2＝0的交点为N(1，4)． 在直线7x－y－3＝0上取点H(0，－3)， 设点H(0，－3)关于直线2x－y＋2＝0的对称点为H′(m，n)， 则解得 即H′(－4，－1)． 因为kNH′＝＝1，所以反射光线所在直线的方程为y－4＝x－1，即x－y＋3＝0. 13．已知P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是直线y＝kx＋2025(k为常数)上两个不同的点，则关于x和y的方程组的解的情况，下列说法正确的是(　　) A．无论k，P1，P2如何，总是无解 B．无论k，P1，P2如何，总有唯一解 C．存在k，P1，P2，使是方程组的一组解 D．存在k，P1，P2，使之有无穷多解 答案：B 解析：∵直线y＝kx＋2025的斜率存在，∴x1≠x2，由题意得则x1y2－x2y1＝x1(kx2＋2025)－x2(kx1＋2025)＝2025(x1－x2)≠0，故l1：x1x＋y1y＝1与l2：x2x＋y2y＝1相交，∴方程组总有唯一解，A，D错误，B正确；若是方程组的一组解，则则点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线x＋2y＝1，即y＝－x＋上，但已知这两个点在直线y＝kx＋2025上，而这两条直线不是同一条直线，∴不可能是方程组的一组解，C错误． 14．某地A，B两村在一直角坐标系下的位置分别为A(1，2)，B(4，0)，一条河所在直线的方程为l：x＋2y－10＝0.若在河边l上建一座供水站P，使其分别到A，B两镇的管道之和最省，则供水站P应建在什么地方？ 解：如图，作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于P，因为若P′(异于P)在直线l上， 则|AP′|＋|BP′|＝|A′P′|＋|BP′|>|A′B|， 因此供水站只能建在P处，才能使得所用管道最省． 设A′(a，b)，则AA′的中点在l上，且AA′⊥l， 即解得 即A′(3，6)． 所以直线A′B的方程为6x＋y－24＝0. 解方程组得 所以点P的坐标为. 故供水站P应建在点处． 8 学科网（北京）股份有限公司 $$