2.2.2 直线的两点式方程-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册作业与测评全书Word（人教A版2019）

数学 选择性必修·第一册[人教A版]作业与测评 2.2.2　直线的两点式方程 知识点一　直线的两点式方程 1．经过点A(2，5)，B(－3，6)的直线在x轴上的截距为(　　) A．2 B．－3 C．－27 D．27 答案：D 解析：由两点式得直线的方程为＝，即x＋5y－27＝0.令y＝0，得x＝27. 2．已知点P(3，m)在过点M(2，－1)和N(－3，4)的直线上，则m的值是(　　) A．5 B．2 C．－2 D．－6 答案：C 解析：由两点式方程，得直线MN的方程为＝，化简，得x＋y－1＝0.又点P(3，m)在此直线上，代入得3＋m－1＝0，解得m＝－2. 知识点二　直线的截距式方程 3．在平面直角坐标系Oxy中，直线－＝1在y轴上的截距为(　　) A．－8 B．8 C．－ D． 答案：A 解析：对于方程－＝1，令x＝0，解得y＝－8，故直线－＝1在y轴上的截距为－8. 4．过坐标平面内两点P1(2，0)，P2(0，3)的直线的方程是(　　) A．＋＝1 B．＋＝0 C．＋＝1 D．－＝1 答案：C 解析：由直线方程的截距式，得所求直线的方程为＋＝1.故选C. 5．若直线＋＝1的倾斜角为θ，则tanθ＝(　　) A．－ B．－ C． D． 答案：B 解析：由题意，得tanθ＝－. 6．已知直线l过点A(－2，1)，且在两坐标轴上的截距互为相反数，那么直线l的方程是(　　) A．x＋2y＝0或x－y＋3＝0 B．x－y－1＝0或x－y＋3＝0 C．x－y－1＝0或x＋y－3＝0 D．x＋2y＝0或x＋y－3＝0 答案：A 解析：①当直线在两坐标轴上的截距都为0时，直线过原点，设直线方程为y＝kx，把点(－2，1)代入，得k＝－，即直线l的方程为x＋2y＝0；②当直线在两坐标轴上的截距互为相反数且不等于0时，设直线方程为＋＝1，把点(－2，1)代入，得＋＝1，解得a＝－3，即直线l的方程为x－y＋3＝0.综上，直线l的方程为x＋2y＝0或x－y＋3＝0.故选A. 知识点三　直线方程的应用 7．菱形的两条对角线AC，BD的长分别为8和6，并且分别位于x轴和y轴上，求菱形各边所在直线的方程． 解：由题意不妨设A(－4，0)，C(4，0)，B(0，－3)，D(0，3)， 由截距式方程可知，边AB所在直线的方程为＋＝1，即3x＋4y＋12＝0. 同理可得，边BC所在直线的方程为3x－4y－12＝0， 边CD所在直线的方程为3x＋4y－12＝0， 边AD所在直线的方程为3x－4y＋12＝0. 8．已知点D在直线BC上．若直线BC在两坐标轴上的截距之和是9，求直线BC的方程． 解：由已知得直线BC的斜率存在且不为0. 设直线BC在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b， 则直线BC的截距式方程为＋＝1. 由题意得a＋b＝9，① 又点D在直线BC上，∴＋＝1， ∴6b＋3a＝2ab，② 由①②联立，得2a2－21a＋54＝0， 即(2a－9)(a－6)＝0，解得a＝或a＝6. ∴或 故直线BC的方程为＋＝1或＋＝1， 即2x＋2y－9＝0或x＋2y－6＝0. 一、单项选择题 1．若直线＋＝1经过第一、二、三象限，则(　　) A．a>0，b>0 B．a>0，b<0 C．a<0，b>0 D．a<0，b<0 答案：C 解析：因为直线经过第一、二、三象限，所以结合图形可知a＜0，b＞0. 2．若直线－＝1被两坐标轴截得的线段长为，则实数c的值为(　　) A． B． C．6 D．5 答案：B 解析：直线－＝1在x轴、y轴上的截距分别为3和－4.依题意得＝，所以c＝. 3．一条光线从A处射到点B(0，1)后被y轴反射，则反射光线所在直线的方程为(　　) A．y＝2x＋1 B．y＝－2x＋1 C．y＝x－ D．y＝－x－ 答案：B 解析：由光的反射定律可得，点A关于y轴的对称点M在反射光线所在的直线上．再由点B(0，1)也在反射光线所在的直线上，用截距式可求得反射光线所在直线的方程为＋＝1，即y＝－2x＋1. 4．已知直线l经过点A(－4，－2)，且点A是直线l被两坐标轴截得的线段中点，则直线l的方程为(　　) A．x＋2y＋8＝0 B．－x－2y＋8＝0 C．x－2y＋8＝0 D．x－2y－8＝0 答案：A 解析：设直线l与两坐标轴的交点坐标为(a，0)，(0，b)，由题意知＝－4，＝－2，∴a＝－8，b＝－4，∴直线l的方程为＋＝1，即x＋2y＋8＝0. 5．直线l：＋＝1中，a∈{1，3，5，7}，b∈{2，4，6，8}．若l与两坐标轴围成的三角形的面积不小于10，则这样的直线的条数为(　　) A．6 B．7 C．8 D．16 答案：B 解析：因为a>0，b>0，所以直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为S＝ab，于是ab≥10⇒ab≥20，当a＝1时，没有这样的b满足条件；当a＝3时，b＝8；当a＝5时，b∈{4，6，8}；当a＝7时，b∈{4，6，8}，所以这样的直线的条数为7.故选B. 二、多项选择题 6．有关直线方程，下列说法正确的是(　　) A．直线方程的两点式适用于求与两坐标轴不垂直的直线方程 B．直线方程＝也可写成＝ C．所有可以用截距式表示的直线都可以用两点式表示 D．不经过原点的直线都可以用方程＋＝1表示 答案：ABC 解析：A正确，从两点式方程的形式看，只要x1≠x2，y1≠y2，就可以用两点式来求解直线的方程；B正确，方程＝与＝的形式有异，但实质相同，均表示过点(x1，y1)和(x2，y2)的直线；C显然正确；D错误，不经过原点的直线，当斜率不存在时，方程为x＝a(a≠0)的形式．故选ABC. 7．已知直线l的两点式方程为＝，则下列说法不正确的是(　　) A．直线l经过点(5，2) B．直线l的斜截式方程为x＝y－ C．直线l的倾斜角为锐角 D．直线l的截距式方程为＋＝1 答案：ABD 解析：由题意，得直线l经过两点(8，9)，(2，5)，故A，D不正确；将两点式化为斜截式，为y＝x＋，故B不正确；直线l的斜率为>0，所以直线l的倾斜角为锐角，故C正确． 三、填空题 8．直线l在x轴与y轴上的截距均为2，则直线l的倾斜角为________． 答案：135° 解析：由题意，可得直线l的方程为＋＝1，化简可得y＝－x＋2，所以k＝－1，即直线l的倾斜角为135°. 9．已知A(－1，2)，B(5，6)，经过线段AB的中点M，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为________． 答案：2x－y＝0或x＋y－6＝0 解析：由题意知，线段AB的中点M的坐标为(2，4)．当直线过原点时，所求直线的方程为y＝x＝2x，即2x－y＝0；当直线不过原点时，设直线的方程为＋＝1，把中点M的坐标(2，4)代入直线的方程，得a＝6，故所求直线的方程为＋＝1，即x＋y－6＝0.综上，所求直线的方程为2x－y＝0或x＋y－6＝0. 10．过点P(4，3)的直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于点A，B，O为坐标原点，则△AOB面积的最小值为________，此时直线l在两坐标轴上的截距之和为________． 答案：24　14 解析：设直线l的方程为＋＝1(a>0，b>0)，把点P(4，3)代入，得＋＝1，∴1≥2，得ab≥48，当且仅当a＝8，b＝6时取等号，∴S△AOB＝ab≥24，即△AOB面积的最小值为24，此时a＋b＝8＋6＝14. 四、解答题 11．求过点P(2，5)且分别满足下列条件的直线的方程： (1)在两个坐标轴上的截距相等； (2)与两个坐标轴的正半轴所围成的三角形的面积是20. 解：(1)①若直线经过原点，设其方程为y＝kx，因为直线过点P(2，5)，故有5＝2k，解得k＝，所以直线的方程为y＝x，即5x－2y＝0. ②若直线不经过原点，设直线在两坐标轴上的截距为a，方程为＋＝1，因为直线过点P(2，5)，所以＋＝1，解得a＝7，所以直线的方程为＋＝1，即x＋y－7＝0. 综上，所求直线的方程为5x－2y＝0或x＋y－7＝0. (2)设直线在x轴、y轴上的截距分别为a，b(a>0，b>0)， 可设直线的方程为＋＝1， 由题意得解得 所以所求直线的方程为＋＝1，即5x＋2y－20＝0. 12．已知直线l：＋＝1. (1)若直线l的斜率等于2，求实数m的值； (2)若直线l分别与x轴、y轴的正半轴交于点A，B，O是坐标原点，求△AOB面积的最大值及此时直线l的方程． 解：(1)直线l过点(m，0)，(0，4－m)， 则k＝＝2，则m＝－4. (2)由m＞0，4－m＞0，得0＜m＜4， 则S△AOB＝＝， 易知当m＝2时，S△AOB有最大值2， 此时直线l的方程为x＋y－2＝0. 13．过点P(1，3)作直线l，若l经过点A(a，0)和B(0，b)，且a，b均为正整数，则这样的直线l可以作出(　　) A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条 答案：B 解析：∵a，b均为正整数，∴可设直线l：＋＝1，将点P(1，3)代入直线l的方程，得＋＝1，当b＝3时，＝0，方程无解，∴a＝＝＝1＋，∵a∈N*，≠0，∴∈N*，∴b－3＝1或b－3＝3，∴或即满足题意的直线l有2条． 14．已知直线l过点A(2，3)，且与x轴的正半轴交于点M，与y轴的正半轴交于点N. (1)若A为MN的中点，求直线l的方程； (2)求|OM|＋2|ON|的最小值． 解：(1)由题意可设直线l的方程为＋＝1， 由A(2，3)为MN的中点，可知m＝|OM|＝4，n＝|ON|＝6， 故直线l的方程为＋＝1， 即3x＋2y－12＝0. (2)将点A(2，3)代入方程＋＝1(a，b>0)，得＋＝1， 故|OM|＋2|ON|＝a＋2b＝(a＋2b)＝2＋6＋＋≥8＋4， 当且仅当＝时取等号，此时a＝2＋2，b＝3＋， 故|OM|＋2|ON|的最小值为8＋4. 8 学科网（北京）股份有限公司 $$