2.1.1 倾斜角与斜率-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册作业与测评全书Word（人教A版2019）

数学 选择性必修·第一册[人教A版]作业与测评 2.1.1　倾斜角与斜率 知识点一　直线的倾斜角与斜率的概念 1．给出下列说法： ①任意一条直线有唯一的倾斜角；②一条直线的倾斜角可以为－30°；③倾斜角为0°的直线只有一条，即x轴；④若直线的倾斜角为α，则sinα∈(0，1)；⑤若α是直线l的倾斜角，且sinα＝，则α＝45°. 其中正确说法的个数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案：A 解析：任意一条直线有唯一的倾斜角，故①正确；直线的倾斜角α的取值范围是0°≤α＜180°，故②错误；倾斜角为0°的直线有无数条，它们都垂直于y轴，故③错误；④中α＝0°时，sinα＝0，故④错误；⑤中α有可能为135°，故⑤错误．故选A. 2．已知直线l1的斜率为，直线l2的倾斜角是直线l1的倾斜角的2倍，则直线l2的斜率为(　　) A． B． C．－ D．－ 答案：D 解析：直线l1的斜率为，设直线l1的倾斜角为α，则tanα＝，所以α＝60°，所以直线l2的倾斜角为2α＝120°，斜率为tan120°＝－. 3．[多选]下列叙述正确的是(　　) A．若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应 B．若直线的倾斜角为α，则必有斜率与之对应 C．与y轴垂直的直线的斜率为0 D．与x轴垂直的直线的斜率不存在 答案：ACD 解析：每一条直线都有倾斜角且倾斜角唯一，但并不是每一条直线都有斜率，故A正确，B错误；垂直于y轴的直线的倾斜角为0°，其斜率为0，故C正确；垂直于x轴的直线的倾斜角为90°，其斜率不存在，故D正确．故选ACD. 4．已知直线的斜率为k，且－≤k≤，那么倾斜角α的取值范围是(　　) A．∪ B．∪ C．∪ D．∪ 答案：C 解析：由题意可得－≤tanα≤，且0≤α<π，解得α∈∪. 5．若直线l的一个方向向量为n＝(1，－)，则l的倾斜角为(　　) A．30° B．60° C．120° D．150° 答案：C 解析：设l的倾斜角为α，0°≤α<180°，由题意得l的斜率k＝tanα＝－，则α＝120°. 知识点二　斜率与倾斜角的相关计算 6．(1)求经过下列两点的直线的倾斜角和斜率： ①A(－2，1)，B(2，－3)；②A(3，2)，B(5，2)；③A(3，－1)，B(3，3)． (2)已知直线l过点A(2，1)，B(m，3)，求直线l的斜率及倾斜角的范围． (3)若过A(3－n－n2，－2n)，B(n2＋2，3－n2)两点的直线的倾斜角为135°，求n的值． 解：(1)①∵A(－2，1)，B(2，－3)， ∴kAB＝＝＝－1， ∴直线AB的倾斜角为135°. ②∵A(3，2)，B(5，2)，∴kAB＝＝0， ∴直线AB的倾斜角为0°. ③∵A(3，－1)，B(3，3)， ∴直线AB的倾斜角为90°，斜率不存在． (2)设直线l的斜率为k，倾斜角为α， 当m＝2时，A(2，1)，B(2，3)． 直线AB的倾斜角为90°，斜率k不存在； 当m＞2时，k＝＝＞0， 此时直线l的倾斜角为锐角，即0°<α<90°； 当m＜2时，k＝＝＜0， 此时直线l的倾斜角为钝角，即90°<α<180°. (3)依题意可得，直线的斜率为－1， 又直线过A(3－n－n2，－2n)，B(n2＋2，3－n2)两点， 即＝－1. 整理，得＝1，且2n2＋n－1≠0. 解得n＝－2. 知识点三　直线斜率公式的应用 7．[多选]下列各组中的三点共线的是(　　) A．(1，4)，(－1，2)，(3，5) B．(3，5)，(7，6)，(－5，3) C．(1，0)，，(7，2) D．(0，0)，(2，4)，(－1，－2) 答案：BCD 解析：对于A，≠，三点不共线；对于B，＝，三点共线；对于C，＝，三点共线；对于D，＝，三点共线． 一、单项选择题 1．已知直线l的倾斜角为β-15°，则下列结论中正确的是(　　) A．0°≤β＜180° B．15°＜β＜180° C．15°≤β＜180° D．15°≤β＜195° 答案：D 解析：因为直线l的倾斜角为β－15°，所以0°≤β－15°＜180°，即15°≤β＜195°. 2．如果直线l先沿x轴负方向平移2个单位长度，再沿y轴正方向平移2个单位长度后，又回到原来的位置，那么直线l的斜率是(　　) A．-2 B．-1 C．1 D．2 答案：B 解析：设A(a，b)是直线l上任意一点，则平移后得点A′(a－2，b＋2)，于是直线l的斜率k＝kAA′＝＝－1.故选B. 3．若直线l的斜率为k，且二次函数y＝x2－2kx＋1的图象与x轴没有交点，则直线l的倾斜角α的取值范围是(　　) A．{α|0°<α<90°} B．{α|135°<α<180°} C．{α|0°≤α<45°或135°<α<180°} D．{α|0°≤α<180°} 答案：C 解析：由二次函数y＝x2－2kx＋1的图象与x轴没有交点，得(－2k)2－4＜0，解得－1<k<1，所以直线l的倾斜角α的取值范围是{α|0°≤α<45°或135°<α<180°}．故选C. 4．已知直线l过点(m，1)，(m＋1，1－tanα)，则(　　) A．α一定是直线l的倾斜角 B．α一定不是直线l的倾斜角 C．180°－α不一定是直线l的倾斜角 D．180°－α一定是直线l的倾斜角 答案：C 解析：设θ为直线l的倾斜角，则tanθ＝＝－tanα.当α＝0°时，tanθ＝0，此时θ＝0°；当α＝30°时，tanθ＝－，此时θ＝150°.比较各选项可知选C. 5．已知点A(2，－3)，B(－3，－2)，直线l过点P(1，1)，且与线段AB相交，则直线l的斜率k满足(　　) A．k≥或k≤－4 B．k≥或k≤－ C．－4≤k≤ D．≤k≤4 答案：A 解析：如图所示，过点P作直线PC⊥x轴交线段AB于点C，作出直线PA，PB.①直线l与线段AB的交点在线段AC(除去点C)上时，直线l的倾斜角为钝角，斜率的范围是k≤kPA.②直线l与线段AB的交点在线段BC(除去点C)上时，直线l的倾斜角为锐角，斜率的范围是k≥kPB.因为kPA＝＝－4，kPB＝＝，所以直线l的斜率k满足k≥或k≤－4. 二、多项选择题 6.如图所示，已知四条直线l1，l2，l3，l4的斜率分别是k1，k2，k3，k4，倾斜角分别是α1，α2，α3，α4，则下列关系正确的是(　　) A．k2<k1<k4<k3 B．k3<k2<k1<k4 C．α2<α1<α4<α3 D．α3<α2<α1<α4 答案：BC 解析：直线l1，l2，l3，l4的斜率分别是k1，k2，k3，k4，倾斜角分别是α1，α2，α3，α4，由倾斜角的定义知0<α1<α4<，α3>，α2＝0，∴α2<α1<α4<α3，故C正确，D错误；由k＝tanα，知k2＝0，k3<0，0<k1<k4，∴k3<k2<k1<k4，故A错误，B正确．故选BC. 7．设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角可能为(　　) A．α＋45° B．α－135° C．135°－α D．α－45° 答案：AB 解析：根据题意，画出图形，如图所示．通过图形可知，当0°≤α<135°时，l1的倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，l1的倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°.故选AB. 三、填空题 8．已知M(2m，m＋1)，N(m－2，1)，则当m＝________时，直线MN的倾斜角为直角． 答案：－2 解析：若直线MN的倾斜角为直角，则2m＝m－2，解得m＝－2. 9．已知点M(5，3)和N(－3，2)，若直线PM和PN的斜率分别为2和－，则点P的坐标为________． 答案：(1，－5) 解析：设点P的坐标为(x，y)，则解得即点P的坐标为(1，－5)． 10．若经过点P(1－a，1)和Q(2a，3)的直线斜率不存在，则实数a＝________；若经过点P(1－a，1)和Q(2a，3)的直线的倾斜角为钝角，则实数a的取值范围是________． 答案：　 解析：若经过点P(1－a，1)和Q(2a，3)的直线斜率不存在，则1－a＝2a，故a＝.若直线PQ的倾斜角为钝角，则直线PQ的斜率k＝＝<0，解得a<. 四、解答题 11．已知点A(1，2)，在坐标轴上有一点P，使得直线PA的倾斜角为60°，求点P的坐标． 解：①当点P在x轴上时，设点P(a，0)． ∵A(1，2)，直线PA的倾斜角为60°， ∴kPA＝＝＝. 解得a＝1－， ∴点P的坐标为. ②当点P在y轴上时，设点P(0，b)． 同理可得b＝2－， ∴点P的坐标为(0，2－)． 综上，点P的坐标为或(0，2－)． 12．已知A(1，2)，B(2，1)，C(0，m)三点． (1)若过A，C两点的直线的方向向量为(1，1)，求m的值； (2)A，B，C三点可能共线吗？若能，求出m的值． 解：(1)过A，C两点的直线的斜率k＝1， 所以k＝＝1， 解得m＝1. (2)kAB＝＝－1，kAC＝＝2－m， 若A，B，C三点共线，则kAB＝kAC， 即2－m＝－1，解得m＝3， 所以当m＝3时，A，B，C三点共线． 13．[多选]若等腰直角三角形的一条直角边所在直线的斜率为2，则斜边所在直线的斜率为(　　) A．-3 B． C．-4 D． 答案：AB 解析：如图，设Rt△ABC的直角边AC所在直线的斜率为2，设其倾斜角为α，则tanα＝2，以AC为等腰直角三角形的直角边，∠C为直角可作Rt△AB1C和Rt△AB2C(以∠A为直角可得对应直角三角形的斜边所在直线的斜率相等)，则易得斜边AB1所在直线的倾斜角α1＝α＋45°，此时kAB1＝tanα1＝tan(α＋45°)＝＝－3，斜边AB2所在直线的倾斜角α2＝α－45°，此时kAB2＝tanα2＝tan(α－45°)＝＝. 14．已知点M(x，y)在函数y＝－x＋3的图象上，当1≤x≤3且x≠2时，求的取值范围． 解：的几何意义是过M(x，y)，N(2，1)两点的直线的斜率． 因为点M在函数y＝－x＋3的图象上，且1≤x≤3， 所以可设该线段为AB，其中A，B. 由于kNA＝－，kNB＝， 所以的取值范围是∪. 8 学科网（北京）股份有限公司 $$