阶段测试2 用空间向量研究直线、平面的位置关系-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册作业与测评全书Word（人教A版2019）

数学 选择性必修·第一册[人教A版]作业与测评 阶段测试2　用空间向量研究直线、平面的位置关系 一、单项选择题 1．下列命题正确的是(　　) A．一条直线的方向向量是唯一的 B．若直线l的方向向量与平面α的法向量平行，则l⊥α C．若平面α的法向量与平面β的法向量平行，则α⊥β D．若直线l的方向向量与平面α的法向量垂直，则l∥α 答案：B 解析：对于A，一条直线的方向向量不唯一，故A错误；对于B，若直线l的方向向量与平面α的法向量平行，则l⊥α，故B正确；对于C，若平面α的法向量与平面β的法向量平行，则α∥β，故C错误；对于D，若直线l的方向向量与平面α的法向量垂直，则l∥α或l⊂α，故D错误．故选B. 2．已知向量a，b是平面α内两个不相等的非零向量，非零向量c在直线l上，则“c·a＝0，且c·b＝0”是“l⊥α”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：B 解析：若c·a＝0，且c·b＝0，则c⊥a，c⊥b，由于向量a，b所在的直线不一定相交，所以不一定能得到l⊥α；若l⊥α，则c⊥a，c⊥b，可得c·a＝0，c·b＝0.综上所述，“c·a＝0，且c·b＝0”是“l⊥α”的必要不充分条件．故选B. 3．已知＝(1，5，－2)，＝(3，1，z)，＝(x－1，y，－3)，若⊥，且⊥平面ABC，则＝(　　) A. B. C. D. 答案：D 解析：因为＝(1，5，－2)，＝(3，1，z)，⊥，所以3＋5－2z＝0，解得z＝4，所以＝(3，1，4)．因为＝(x－1，y，－3)，且⊥平面ABC，所以即 解得x＝，y＝－，所以＝.故选D. 4．如图，以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕，把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后，则下列结论错误的是(　　) A.·≠0 B．AB⊥DC C．BD⊥AC D．平面ADC的法向量和平面ABC的法向量互相垂直 答案：D 解析：以D为原点，DB，DC，DA所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设等腰直角三角形ABC的斜边BC＝2，则B(1，0，0)，C(0，1，0)，A(0，0，1)，则＝(1，0，－1)，＝(0，1，－1)，＝(0，1，0)，＝(－1，0，0)．对于A，·＝0＋0＋1＝1≠0，故A正确；对于B，·＝0＋0＋0＝0，故AB⊥DC，故B正确；对于C，·＝0＋0＋0＝0，故BD⊥AC，故C正确；对于D，x轴⊥平面ADC，则平面ADC的一个法向量为＝(－1，0，0)，设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，则即令y＝1，则x＝1，z＝1，故n＝(1，1，1)，则·n＝－1＋0＋0＝－1，故D错误．故选D. 5.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P，Q，M，N，T分别为所在棱的中点，则下列结论正确的是(　　) A．QN⊥BB1 B．QN∥平面BCC1B1 C．直线QN与PT为异面直线 D．B1D⊥平面PMT 答案：D 解析：如图，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，对于A，Q(2，0，1)，N(1，2，0)，B(0，0，2)，B1(0，0，0)，＝(－1，2，－1)，＝(0，0，－2)，·＝2≠0，所以QN与BB1不垂直，故A错误；对于B，平面BCC1B1的一个法向量为＝(2，0，0)，·＝－2≠0，所以QN与平面BCC1B1的法向量不垂直，则QN与平面BCC1B1不平行，故B错误；对于C，P(1，0，2)，T(0，2，1)，＝(－1，2，－1)，＝(－1，2，－1)，所以＝，则PT∥QN，故C错误；对于D，D(2，2，2)，M(2，1，0)，＝(2，2，2)，＝(1，1，－2)，·＝0，＝(－1，2，－1)，·＝0，PM∩PT＝P，PM，PT⊂平面PMT，所以B1D⊥平面PMT，故D正确．故选D. 二、多项选择题 6．已知平面α内两个向量a＝(1，1，1)，b＝(0，2，－1)，且c＝ma＋nb＋(4，－4，1)，若c为平面α的一个法向量，则(　　) A．m＝－1 B．m＝1 C．n＝2 D．n＝－2 答案：AC 解析：c＝ma＋nb＋(4，－4，1)＝(m，m，m)＋(0，2n，－n)＋(4，－4，1)＝(m＋4，m＋2n－4，m－n＋1)，由c为平面α的一个法向量，得即解得故选AC. 7．在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，E为CC1的中点，则(　　) A．A1C1∥平面ABE B．AC1∥平面BDE C．BE⊥平面A1B1E D．BE⊥平面B1D1E 答案：BC 解析：以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，设底面边长为1，则D(0，0，0)，A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，A1(1，0，2)，B1(1，1，2)，C1(0，1，2)，D1(0，0，2)，E(0，1，1)．对于A，设n1＝(x1，y1，z1)是平面ABE的法向量，因为＝(0，1，0)，＝(－1，0，1)，则即令x1＝1，则y1＝0，z1＝1，可得n1＝(1，0，1)，又因为＝(－1，1，0)，则·n1＝－1≠0，所以A1C1与平面ABE不平行，故A错误；对于B，设n2＝(x2，y2，z2)是平面BDE的法向量，因为＝(1，1，0)，＝(0，1，1)，则即令x2＝1，则y2＝－1，z2＝1，可得n2＝(1，－1，1)，又因为＝(－1，1，2)，则·n2＝－1×1＋1×(－1)＋2×1＝0，可知⊥n2，且AC1⊄平面BDE，所以AC1∥平面BDE，故B正确；对于C，D，设n3＝(x3，y3，z3)是平面A1B1E的法向量，因为＝(0，1，0)，＝(－1，0，－1)，则即令x3＝1，则y3＝0，z3＝－1，可得n3＝(1，0，－1)，则＝－n3，可知∥n3，所以BE⊥平面A1B1E，平面A1B1E与平面B1D1E相交，所以BE与平面B1D1E不垂直，故C正确，D错误．故选BC. 三、填空题 8．已知n＝(－3，1，2)是平面α的一个法向量，点A(0，－3，－1)，B(k，2k，2)都在平面α内，则k＝________． 答案：9 解析：由点A(0，－3，－1)，B(k，2k，2)，得＝(k，2k＋3，3)，由n＝(－3，1，2)是平面α的一个法向量，且A，B∈α，得n·＝0，因此－3k＋(2k＋3)＋2×3＝0，所以k＝9. 9．设直线l的方向向量为a，平面α的一个法向量为n＝(2，2，4)，若a＝(1，1，2)，则直线l与平面α的位置关系为________；若a＝(－1，－1，1)，则直线l与平面α的位置关系为________． 答案：垂直　平行或l在平面α内 解析：当a＝(1，1，2)时，a＝n，即a∥n，则l⊥α.当a＝(－1，－1，1)时，a·n＝－1×2＋(－1)×2＋1×4＝0，即a⊥n，则l∥α或l⊂α. 10．已知空间中三点A(－1，1，1)，B(0，0，1)，C(1，2，－3)．若直线AB上存在一点M，满足CM⊥AB，则点M的坐标为________；若空间中点N满足BN⊥平面ABC，则符合条件的一个点N的坐标是________． 答案：　(4，4，4)(答案不唯一) 解析：设M(x，y，z)，A(－1，1，1)，B(0，0，1)，C(1，2，－3)，∵＝(1，－1，0)，＝(2，1，－4)，＝(x，y，z－1)，＝(x－1，y－2，z＋3)，∴由题意，得∴x＝－，y＝，z＝1，∴点M的坐标为.设n＝(x1，y1，z1)是平面ABC的法向量，则n·＝x1－y1＝0，n·＝2x1＋y1－4z1＝0.令x1＝1，则y1＝1，z1＝，∴n＝.设N(a，b，c)，则＝(a，b，c－1)．由题知，∥n，即＝＝，∴点N的坐标满足(4k，4k，3k＋1)，其中k≠0.令k＝1，则N(4，4，4)． 四、解答题 11.直三棱柱ABC－A1B1C1的底面三角形ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别是A1B1，A1A的中点，如图，建立空间直角坐标系． (1)求的坐标及BN的长； (2)求证：A1B⊥C1M. 解：(1)由题意，可知C(0，0，0)，A(1，0，0)，B(0，1，0)，A1(1，0，2)，B1(0，1，2)，C1(0，0，2)，M，N(1，0，1)， 则＝(1，－1，1)， 可得||＝＝， 所以BN的长为. (2)证明：由(1)可得，＝(－1，1，－2)，＝， 因为·＝－＋＋0＝0， 所以A1B⊥C1M. 12.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，AC＝BC＝BB1，D为AB的中点．建立空间直角坐标系，用向量法证明： (1)BC1⊥AB1； (2)BC1∥平面A1CD. 证明：(1)如图，以C1为原点，建立空间直角坐标系． 设AC＝BC＝BB1＝2， 则B(0，2，2)，C1(0，0，0)，A(2，0，2)，B1(0，2，0)， ∴＝(0，－2，－2)，＝(－2，2，－2)， ∴·＝0，∴BC1⊥AB1. (2)由(1)，得D(1，1，2)，A1(2，0，0)，C(0，0，2)， ∴＝(0，－2，－2)，＝(1，－1，－2)，＝(－2，0，2)， 设n＝(x，y，z)是平面A1CD的法向量， 则即 令x＝1，则n＝(1，－1，1)， ∴·n＝0，∵BC1⊄平面A1CD， ∴BC1∥平面A1CD. 13．已知长方体ABCD－A1B1C1D1，AB＝1，BC＝2，AA1＝3，在A1B上取一点M，在B1C上取一点N，使得直线MN∥平面A1ACC1，则线段MN的最小值为______． 答案： 解析：如图，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(2，1，0)，C(0，1，0)，A1(2，0，3)，B1(2，1，3)，C1(0，1，3)，D1(0，0，3)，可得＝(－2，1，0)，＝(0，0，3)，＝(0，1，－3)，＝(－2，0，－3)，＝(0，1，0)，设n＝(x，y，z)是平面A1ACC1的法向量，则即取x＝1，则y＝2，z＝0，故n＝(1，2，0)，设＝λ＝(0，λ，－3λ)，＝μ＝(－2μ，0，－3μ)，则＝＋＋＝(－2μ，1－λ，3λ－3μ)，因为直线MN∥平面A1ACC1，则⊥n，可得·n＝－2μ＋2－2λ＝0，解得μ＝1－λ，则＝(2λ－2，1－λ，6λ－3)，可得||2＝(2λ－2)2＋(1－λ)2＋(6λ－3)2＝41λ2－46λ＋14＝41＋≥，当且仅当λ＝，μ＝时，||2取得最小值，即线段MN的最小值为. 14．已知矩形ABCD，AB＝4，AD＝2，E为CD的中点，沿AE折成直二面角，M为BC的中点． (1)求证：BC⊥DM； (2)在棱DE上是否存在点N，使得CN∥平面ADM？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 解：(1)证明：如图，取AE的中点F，连接DF，MF， 因为四边形ABCD为矩形，所以CE⊥BC，AD⊥DE， 因为E为CD的中点，AB＝4， 所以DE＝CE＝CD＝2， 因为AD＝DE＝2，所以DF⊥AE， 又平面ADE⊥平面ABCE，平面ADE∩平面ABCE＝AE，DF⊂平面ADE， 所以DF⊥平面ABCE， 因为BC⊂平面ABCE，所以DF⊥BC. 由M，F分别为BC，AE的中点， 得MF为四边形ABCE的中位线， 所以MF∥CE， 所以MF⊥BC， 又MF∩DF＝F，MF，DF⊂平面DFM， 所以BC⊥平面DFM， 又DM⊂平面DFM，所以BC⊥DM. (2)如图，作MP⊥平面ABCE，以M为原点，MF，MB，MP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系． 由(1)知，MF为四边形ABCE的中位线，所以MF＝3. 由AD⊥DE，得AE＝＝2，AF＝EF＝，DF＝＝， 所以M(0，0，0)，A(4，1，0)，D(3，0，)，E(2，－1，0)，C(0，－1，0)，＝(4，1，0)，＝(3，0，)， 设n＝(x，y，z)是平面ADM的法向量， 则即 取x＝2，则n＝(2，－8，－3)． 设存在点N，使得CN∥平面ADM，＝(－1，－1，－)，设＝λ＝(－λ，－λ，－λ)，λ∈(0，1)， 所以N(3－λ，－λ，－λ)， 所以＝(3－λ，1－λ，－λ)， 由CN∥平面ADM，得⊥n， 所以·n＝0⇒2(3－λ)－8(1－λ)－3(－λ)＝－8＋12λ＝0，解得λ＝， 即DN＝DE，所以＝. 所以存在点N，使得CN∥平面ADM，此时＝. 9 学科网（北京）股份有限公司 $$