阶段测试1 空间向量的运算-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册作业与测评全书Word（人教A版2019）

数学 选择性必修·第一册[人教A版]作业与测评 阶段测试1　空间向量的运算 一、单项选择题 1．已知{a，b，c}是空间的一个基底，则可以与向量m＝a－2c，n＝a＋2c构成空间的另一个基底的向量是(　　) A．a B．b C．c D．a－c 答案：B 解析：对于A，根据题意知，a＝(a－2c)＋(a＋2c)，故A不符合题意；对于B，设b＝s(a－2c)＋t(a＋2c)，则s，t不存在，故B符合题意；对于C，c＝－(a－2c)＋(a＋2c)，故C不符合题意；对于D，由a－c＝x(a－2c)＋y(a＋2c)＝(x＋y)a＋(2y－2x)c，则所以所以a－c＝(a－2c)＋(a＋2c)，故D不符合题意．故选B. 2．已知A(1，1，0)，B(0，3，0)，C(2，2，2)，则向量在上的投影向量的坐标是(　　) A. B. C. D. 答案：D 解析：因为A(1，1，0)，B(0，3，0)，C(2，2，2)，所以＝(－1，2，0)，＝(1，1，2)，所以||＝＝，·＝(－1)×1＋2×1＋0×2＝1，所以向量在上的投影向量是·＝·＝＝，所以向量在上的投影向量的坐标是.故选D. 3．如图，已知A，B，C是边长为1的小正方形网格上不共线的三个格点，点P为平面ABC外一点，且〈，〉＝〈，〉＝120°，||＝3，若＝＋，则||＝(　　) A．4 B． C．6 D． 答案：D 解析：以{，，}为基底，则2＝4，2＝2＝9，·＝0，·＝2×3×cos120°＝－3，·＝3×3×cos120°＝－.因为＝＋，所以＝＋＝－－＋，则||2＝(－－＋)2＝2＋2＋2＋2·－2·－2·＝4＋9＋9＋0－2×(－3)－2×＝37，所以||＝.故选D. 4.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，PD⊥底面ABCD，PD＝2DC，E为PC上一点，且PC＝4EC，则异面直线AC与BE所成角的余弦值为(　　) A．－ B． C． D．－ 答案：B 解析：以D为原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，设PD＝2DC＝2，则A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，E，＝(－1，1，0)，＝，cos〈，〉＝＝＝，则异面直线AC与BE所成角的余弦值为.故选B. 5.如图，平行六面体ABCD－A1B1C1D1的所有棱长都为2，四边形ABCD是正方形，∠A1AD＝∠A1AB＝，O是B1C与BC1的交点，则直线AO与CD所成角的余弦值为(　　) A．1 B． C． D． 答案：B 解析：因为AB∥CD，所以直线AO与CD所成的角即为AO与AB所成的角，因为＝＋＝＋＋，所以2＝＝22＋×22×2＋2×2×cos＋×2×2×cos＝9，即||＝3，又因为·＝2＋·＋·＝5，所以cos〈，〉＝＝＝，所以直线AO与AB所成角的余弦值为，即直线AO与CD所成角的余弦值为.故选B. 二、多项选择题 6．已知空间内三点A(3，2，0)，B(2，1，3)，C(0，2，－1)，则(　　) A．||＝ B．AB⊥AC C．cos∠ABC＝ D．△ABC的面积为 答案：ABD 解析：因为空间内三点A(3，2，0)，B(2，1，3)，C(0，2，－1)，所以＝(－1，－1，3)，＝(－3，0，－1)，＝(2，－1，4)，则||＝，||＝，||＝，A正确；因为·＝0，所以AB⊥AC，B正确；cos∠ABC＝＝＝，C错误；△ABC的面积为||||＝，D正确．故选ABD. 7．下列命题中正确的是(　　) A．|a|＋|b|＝|a－b|是a，b共线的充要条件 B．若a∥b，则存在唯一的实数λ，使得a＝λb C．对空间中任意一点O和不共线的三点A，B，C，若＝2－4＋3，则P，A，B，C四点共面 D．若{a，b，c}为空间的一个基底，则{a＋b，b＋2c，c＋3a}构成空间的另一个基底 答案：CD 解析：对于A，因为向量a，b同向时，|a|＋|b|≠|a－b|，即必要性不成立，故A错误；对于B，当a≠0，b＝0时，满足a∥b，但不存在实数λ，使得a＝λb，故B错误；对于C，由＝2－4＋3，得＝＋，若，共线，则，，三个向量共线，故A，B，C三点共线，与已知矛盾，故，不共线，由向量共面的充要条件知，，共面，而，，过同一点P，所以P，A，B，C四点共面，故C正确；对于D，若{a，b，c}为空间的一个基底，则a，b，c不共面，假设a＋b，b＋2c，c＋3a共面，设a＋b＝x(b＋2c)＋y(c＋3a)＝3ya＋xb＋(2x＋y)c，所以无解，故a＋b，b＋2c，c＋3a不共面，则{a＋b，b＋2c，c＋3a}构成空间的另一个基底，故D正确．故选CD. 三、填空题 8．若a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1，2)，c＝(1，4，4)，且a，b，c共面，则λ＝________． 答案：1 解析：由题意，得向量b，c不共线，因为a，b，c共面，所以存在实数x，y，使得a＝xb＋yc，即(1，λ，2)＝(2x＋y，－x＋4y，2x＋4y)，所以解得λ＝1. 9．已知2a＋b＝(0，－5，10)，c＝(1，－2，－2)，a·c＝4，|b|＝12，则〈b，c〉＝________． 答案：120° 解析：(2a＋b)·c＝0×1＋(－5)×(－2)＋10×(－2)＝－10，即2a·c＋b·c＝－10.又a·c＝4，∴b·c＝－18，又|c|＝3，|b|＝12，∴cos〈b，c〉＝＝－.∵0°≤〈b，c〉≤180°，∴〈b，c〉＝120°. 10．已知A，B，C，D四点共面，且任意三点不共线，O为平面ABCD外任意一点，若＝＋＋λ，则λ＝________． 答案： 解析：＝＋＋λ＝＋(－)＋λ＝－＋＋λ，因为A，B，C，D四点共面，且任意三点不共线，所以根据空间向量共面的条件，得－＋＋λ＝1，解得λ＝. 四、解答题 11．已知空间向量a＝(2，－1，－2)，b＝(1，1，－4)． (1)求|2a－3b|； (2)若向量a＋2b与ka－3b垂直，求实数k的值． 解：(1)因为a＝(2，－1，－2)，b＝(1，1，－4)， 所以2a－3b＝(1，－5，8)， 所以|2a－3b|＝＝3. (2)由题意得a＋2b＝(4，1，－10)，ka－3b＝(2k－3，－k－3，－2k＋12)， 由向量a＋2b与ka－3b垂直，得(a＋2b)·(ka－3b)＝0， 则4(2k－3)＋(－k－3)－10(－2k＋12)＝0，解得k＝5. 12.如图，设圆柱OO1的一个轴截面为矩形ABCD，M是上靠近点B的三等分点，N是上靠近点D的三等分点，且点M，N位于轴截面ABCD的两侧，BC＝4.设＝a，＝b，＝c. (1)用a，b，c表示，； (2)求·. 解：(1)如图，连接MC，AM，CN，由圆柱的对称性可知，MC＝AN，AM＝CN， 所以四边形MCNA为平行四边形，所以＝， 所以＝＋＝＋＝a＋b，＝＋＋＝－a＋b＋c. (2)因为⊥，所以⊥， 所以a·b＝0. 因为⊥，所以a·c＝0. 因为⊥，所以b·c＝0. 因为M是上靠近点B的三等分点，N是上靠近点D的三等分点， 所以∠MBC＝，∠MCB＝， 所以|a|＝||＝4×sin＝2，|b|＝||＝4×sin＝2， 所以·＝(－a＋b＋c)·(a＋b)＝－a2－a·b＋a·b＋b2＋a·c＋b·c＝－4＋12＝8. 13．[多选]下列说法正确的是(　　) A．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，{，，}可以构成空间的一个基底 B．已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足＝(＋＋)，则点M在平面ABC内 C．若向量p＝mx＋ny＋kz，则称(m，n，k)为p在基底{x，y，z}下的坐标，已知向量p在基底{a，b，c}下的坐标为(1，2，3)，则向量p在基底{a－b，a＋b，c}下的坐标为 D．已知PA，PB，PC是从点P出发的三条线段，每两条线段的夹角均为60°，PA＝PB＝PC＝1，若M满足＝＋2＋3，则cos〈，〉＝ 答案：BCD 解析：对于A，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，，，共面，则{，，}不能构成空间的一个基底，A错误；对于B，＝＋＋，而＋＋＝1，则M，A，B，C四点共面，从而点M在平面ABC内，B正确；对于C，依题意，p＝a＋2b＋3c，设p＝x(a－b)＋y(a＋b)＋zc(x，y，z∈R)，即(x＋y)a＋(y－x)b＋zc＝a＋2b＋3c，则解得因此向量p在基底{a－b，a＋b，c}下的坐标为，C正确；对于D，＝－＝2＋3，·＝·＝·＝1×1×＝，则||＝＝＝＝，||＝＝＝＝1，·＝(2＋3)·(－) ＝22－2·＋3·－3·＝2－2×＋3×－3×＝1，cos〈，〉＝＝＝，D正确．故选BCD. 14.如图，在底面ABCD为菱形的平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，∠A1AD＝∠A1AB＝∠DAB＝60°. (1)当为何值时，AC1⊥A1B； (2)若AB＝AA1＝1，且＝，求AP的长． 解：(1)当＝1时，AC1⊥A1B.理由如下： 设＝a，＝b，＝c， 则a与b，b与c，c与a的夹角均为60°， 因为底面ABCD为菱形，所以|a|＝|b|， ＝＋＝＋＋＝a＋b＋c，＝＋＝a－c， 若AC1⊥A1B，则⊥， 即·＝(a＋c＋b)·(a－c)＝a2－c2＋a·b－c·b＝0， 即|a|2－|c|2＋|a||b|cos60°－|c||b|cos60°＝|a|2－|c|2＋|a|2－|c||a|＝0， 解得|a|＝|c|或3|a|＋2|c|＝0(舍去)， 所以当＝1时，AC1⊥A1B. (2)因为＝，所以＝＋＝＋＋， 因为AB＝AA1＝1， 所以2＝＝2＋2＋2＋·＋·＋·＝1＋＋＋＋＋＝， 所以||＝，所以AP的长为. 8 学科网（北京）股份有限公司 $$