1.4.2 第2课时 用空间向量研究夹角问题-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册作业与测评全书Word（人教A版2019）

数学 选择性必修·第一册[人教A版]作业与测评 第2课时　用空间向量研究夹角问题 知识点一　用向量法求直线与直线所成的角 1．直线l1，l2的方向向量分别是v1，v2，若v1与v2的夹角为θ，直线l1与l2所成的角为α，则(　　) A．α＝θ B．α＝π－θ C．cosθ＝|cosα| D．cosα＝|cosθ| 答案：D 解析：由题意知，θ与α相等或互补，且α∈，所以cosα＝|cosθ|.故选D. 2.如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值为(　　) A. B. C. D. 答案：D 解析：解法一：∵＝＋，＝＋，∴·＝(＋)·(＋)＝·＝.而||＝＝＝＝，同理，||＝.设直线AM与CN所成的角为α，则cosα＝＝＝.故选D. 解法二：如图，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A(1，0，0)，M，C(0，1，0)，N，∴＝，＝.故·＝0×1＋×0＋1×＝，||＝＝，||＝＝.令α为所求角，则cosα＝＝＝.故选D. 3．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，AC＝BC＝AA1＝2，E为A1C1的中点，则BA1与AE所成角的余弦值是(　　) A. B. C. D. 答案：B 解析：以C1为原点，C1A1，C1B1，C1C所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，BC＝AC＝AA1＝2，则A(2，0，2)，E(1，0，0)，B(0，2，2)，A1(2，0，0)，所以＝(－1，0，－2)，＝(2，－2，－2)，所以cos〈，〉＝＝ ＝，故BA1与AE所成角的余弦值为.故选B. 知识点二　用向量法求直线与平面所成的角 4．正四棱锥S－ABCD中，SA＝AB＝2，则直线AC与平面SBC所成角的正弦值为(　　) A. B. C. D. 答案：C 解析：建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.由题意得A(1，－1，0)，C(－1，1，0)，B(1，1，0)，S(0，0，)．∴＝(－2，2，0)，＝(－1，－1，)，＝(1，－1，)．设平面SBC的法向量为n＝(x，y，z)，则∴令z＝，得x＝0，y＝2，∴n＝(0，2，)．设直线AC与平面SBC所成的角为θ，则sinθ＝|cos〈n，〉|＝＝. 5．已知向量m，n分别是直线l的方向向量、平面α的法向量，若cos〈m，n〉＝－，则l与α所成的角为________． 答案：30° 解析：设l与α所成的角为θ，则0°≤θ≤90°.因为向量m，n分别是直线l的方向向量、平面α的法向量，且cos〈m，n〉＝－，所以sinθ＝|cos〈m，n〉|＝，所以l与α所成的角为30°. 6．已知正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为a，侧棱长为a，M为A1B1的中点，求BC1与平面AMC1所成角的正弦值． 解：建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，M，C1，B(0，a，0)，故＝，＝，＝. 设平面AMC1的法向量为n＝(x，y，z)． 则∴ 令y＝2，则z＝－，x＝0， ∴n＝. ∴cos〈，n〉＝＝＝－. 设BC1与平面AMC1所成的角为θ， 则sinθ＝|cos〈，n〉|＝. 知识点三　用向量法求平面与平面的夹角 7.如图，在正方体ABEF－DCE′F′中，M，N分别为AC，BF的中点，则平面MNA与平面MNB夹角的余弦值为(　　) A．－ B． C．－ D． 答案：B 解析：设正方体的棱长为1，以B为原点，BA，BE，BC所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则B(0，0，0)，M，N，A(1，0，0)．设平面MNA的法向量为n1＝(x，y，z)，由于＝，＝，则即令x＝1，得y＝1，z＝1，于是n1＝(1，1，1)．同理可求得平面MNB的一个法向量为n2＝(1，－1，－1)，设平面MNA与平面MNB的夹角为θ，则cosθ＝|cos〈n1，n2〉|＝＝＝.故平面MNA与平面MNB夹角的余弦值为. 8.如图，四边形ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE＝3AF，∠EBD＝60°，则平面BEF与平面BDE夹角的余弦值为________． 答案： 解析：∵DA，DC，DE两两垂直，∴可建立空间直角坐标系Dxyz，如图所示．∵∠EBD＝60°，∴＝，由AD＝3，知BD＝3，∴DE＝3，AF＝.则A(3，0，0)，F(3，0，)，E(0，0，3)，B(3，3，0)，C(0，3，0)，∴＝(0，－3，)，＝(3，0，－2)．设平面BEF的法向量为n＝(x，y，z)，则即令z＝，则n＝(4，2，)为平面BEF的一个法向量．连接AC，∵DE⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴DE⊥AC.∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD.又BD∩DE＝D，BD，DE⊂平面BDE，∴AC⊥平面BDE，∴平面BDE的一个法向量为＝(3，－3，0)，∴|cos〈n，〉|＝＝＝.∴平面BEF与平面BDE夹角的余弦值为. 一、单项选择题 1．已知A(0，1，1)，B(2，－1，0)，C(3，5，7)，D(1，2，4)，则直线AB与CD所成角的余弦值为(　　) A. B．－ C. D．－ 答案：A 解析：＝(2，－2，－1)，＝(－2，－3，－3)，而cos〈，〉＝＝＝，故直线AB与CD所成角的余弦值为.故选A. 2.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AB⊥AC，D为CC1的中点，AB＝AC＝AA1，则AB1与A1D所成角的余弦值是(　　) A. B. C. D. 答案：C 解析：以A为原点，AB，AC，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设AB＝2，则A(0，0，0)，B1(2，0，2)，A1(0，0，2)，D(0，2，1)，所以＝(2，0，2)，＝(0，2，－1)，设AB1与A1D所成的角为θ，则cosθ＝＝＝. 3.如图，平面ABCD⊥平面ABEF，四边形ABCD是正方形，四边形ABEF是矩形，且AF＝AD＝a，G是EF的中点，则GB与平面AGC所成角的正弦值为(　　) A. B. C. D. 答案：C 解析：以A为原点，AF，AB，AD所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，G(a，a，0)，C(0，2a，2a)，B(0，2a，0)，∴＝(a，a，0)，＝(0，2a，2a)，＝(－a，a，0)．设平面AGC的法向量为n＝(x，y，z)，则即取y＝－1，则x＝1，z＝1，∴n＝(1，－1，1)．设GB与平面AGC所成的角为α，∵＝(－a，a，0)，∴sinα＝＝＝. 4．已知向量m＝(1，2，－1)，n＝(t，1，－t)，且m⊥平面α，n⊥平面β，若平面α与平面β夹角的余弦值为，则实数t的值为(　　) A．或－1 B．或1 C．－1或2 D．－ 答案：B 解析：因为m＝(1，2，－1)，n＝(t，1，－t)，所以m·n＝2＋2t，|m|＝，|n|＝，因为m⊥平面α，n⊥平面β，又平面α与平面β夹角的余弦值为，所以＝，化简得5t2－6t＋1＝0，解得t＝或t＝1.故选B. 5.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，AC＝BC＝CC1，D是棱AB的中点，则平面ABC与平面B1CD夹角的正弦值为(　　) A. B. C. D．1 答案：C 解析：如图，以C为原点，建立空间直角坐标系，令AC＝2，则A(2，0，0)，C(0，0，0)，B(0，2，0)，D(1，1，0)，B1(0，2，2)，设平面B1CD的法向量为n＝(x，y，z)，∵＝(1，1，0)，＝(0，2，2)，则令x＝1，则y＝－1，z＝1，∴n＝(1，－1，1)，又平面ABC的一个法向量为m＝(0，0，1)，故cos〈n，m〉＝＝＝，设平面ABC与平面B1CD的夹角为θ，θ∈，则cosθ＝，故平面ABC与平面B1CD夹角的正弦值为sinθ＝＝.故选C. 二、多项选择题 6.正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点，则(　　) A．直线DD1与直线AF垂直 B．直线A1G与平面AEF平行 C．平面AEF与平面ABCD夹角的余弦值为 D．点C和点G到平面AEF的距离相等 答案：BC 解析：如图，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则D(0，0，0)，A(1，0，0)，A1(1，0，1)，E，F，G，D1(0，0，1)，C(0，1，0)．对于A，＝(0，0，1)，＝，从而·＝≠0，所以直线DD1与直线AF不垂直，A错误；对于B，＝，＝，＝，设平面AEF的法向量为n＝(x1，y1，z1)，则即取x1＝2，则y1＝1，z1＝2，故平面AEF的一个法向量为n＝(2，1，2)，因为·n＝0，A1G⊄平面AEF，所以直线A1G与平面AEF平行，B正确；对于C，由图可知平面ABCD的一个法向量为m＝(0，0，1)，设平面AEF与平面ABCD的夹角为θ，则cosθ＝＝，即平面AEF与平面ABCD夹角的余弦值为，C正确；对于D，＝(1，－1，0)，则点C到平面AEF的距离为＝，＝，则点G到平面AEF的距离为＝，故点C和点G到平面AEF的距离不相等，D错误．故选BC. 7.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为线段A1C1的中点，Q为线段BC1上的动点(不包括端点)，则(　　) A．存在点Q，使得PQ∥BD B．存在点Q，使得PQ⊥平面AB1C1D C．对任意点Q，PQ⊥BD均不成立 D．三棱锥Q－APD的体积是定值 答案：BC 解析：在正方体ABCD－A1B1C1D1中，建立如图所示的空间直角坐标系，令AB＝2，则D(0，0，0)，A(2，0，0)，P(1，1，2)，A1(2，0，2)，B(2，2，0)，C1(0，2，2)，＝(－2，0，2)，令＝λ＝(－2λ，0，2λ)，0<λ<1，则Q(2－2λ，2，2λ)，＝(1－2λ，1，2λ－2)．对于A，＝(2，2，0)，若PQ∥BD，则∥，必有2λ－2＝0，即λ＝1与0<λ<1矛盾，A错误；对于B，＝(2，0，0)，＝(0，2，2)，若PQ⊥平面AB1C1D，则即解得λ＝，则Q是BC1的中点时，PQ⊥DA，PQ⊥DC1，而DA∩DC1＝D，DA，DC1⊂平面AB1C1D，因此PQ⊥平面AB1C1D，B正确；对于C，·＝2(1－2λ)＋2＝4(1－λ)>0，即对任意λ∈(0，1)，向量与都不垂直，C正确；对于D，＝(1，1，2)，设平面APD的法向量为n＝(x，y，z)，则令z＝－1，得n＝(0，2，－1)，于是点Q到平面APD的距离d＝＝，λ∈(0，1)，d不是常数，又A，D，P是三个定点，△APD的面积是定值，因此三棱锥Q－APD的体积不是定值，D错误．故选BC. 三、填空题 8．若直线l的一个方向向量为a＝(－2，3，1)，平面α的一个法向量为n＝(4，0，1)，则直线l与平面α所成角的正弦值为________． 答案： 解析：由题意，得直线l与平面α所成角的正弦值为＝＝. 9．在正三棱柱ABC－A1B1C1中，各棱长都相等，E为BB1的中点，则平面AEC与平面ABC的夹角为________． 答案： 解析：设正三棱柱的棱长为2，以AC的中点O为原点，OA，OB所在直线分别为x轴、y轴，AC的垂直平分线为z轴，建立空间直角坐标系，则A(1，0，0)，C(－1，0，0)，B(0，，0)，E(0，，1)，＝(－2，0，0)，＝(－1，，1)．设平面AEC的法向量为n1＝(x，y，z)，则令z＝，得n1＝(0，－1，)．易知平面ABC的一个法向量为n2＝(0，0，1)，则cos〈n1，n2〉＝＝.故平面AEC与平面ABC的夹角为. 10.如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AA1＝2，E，F分别是BC，A1C1的中点．设D是线段B1C1上的动点(包括两个端点)，若直线BD与EF所成角的余弦值为，则线段BD的长为________． 答案：2 解析：如图，以E为原点，建立空间直角坐标系，则E(0，0，0)，F，B(0，－1，0)，设D(0，t，2)(－1≤t≤1)，则＝，＝(0，t＋1，2)，设直线BD与EF所成的角为θ，则cosθ＝＝＝，即23t2＋14t－37＝0，解得t＝1或t＝－(舍去)，所以BD＝||＝＝2. 四、解答题 11.如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AA1＝2，P，Q分别为A1B1，BC的中点． (1)求异面直线BP与AC1所成角的余弦值； (2)求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值． 解：如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，设AC，A1C1的中点分别为O，O1，连接OB，OO1，则OB⊥OC，OO1⊥OC，OO1⊥OB.以O为原点，OB，OC，OO1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，因为AB＝AA1＝2，所以A(0，－1，0)，B(，0，0)，C(0，1，0)，A1(0，－1，2)，B1(，0，2)，C1(0，1，2)． (1)因为P为A1B1的中点，所以P， 从而＝，又＝(0，2，2)， 故cos，＝＝＝. 因此异面直线BP与AC1所成角的余弦值为. (2)因为Q为BC的中点，所以Q， 因此＝，＝(0，2，2)，＝(0，0，2)． 设n＝(x，y，z)为平面AQC1的法向量， 则即 不妨取n＝(，－1，1)． 设直线CC1与平面AQC1所成的角为θ， 则sinθ＝|cos，n|＝＝＝， 所以直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值为. 12．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DA＝DB，PB⊥BC，E为PB的中点，F为PC上一点，且PC＝3PF. (1)求证：PC⊥DE； (2)求平面DEF与平面ABCD夹角的余弦值． 解：(1)证明：因为PD⊥底面ABCD，AD，BD⊂底面ABCD，所以PD⊥AD，PD⊥BD， 又PB⊥BC，AD∥BC，所以AD⊥PB， 又PD∩PB＝P，PD，PB⊂平面PDB， 所以AD⊥平面PDB， 因为BD⊂平面PDB，所以AD⊥BD. 以D为原点，DA，DB，DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设PD＝1，则由已知，可得D(0，0，0)，B(0，1，0)，C(－1，1，0)，P(0，0，1)，E，F， 所以＝(－1，1，－1)，＝， 故·＝(－1)×0＋1×＋(－1)×＝0， 所以PC⊥DE. (2)＝，＝， 设平面DEF的法向量为m＝(x，y，z)， 由得 令y＝1，则x＝－1，z＝－1， 所以m＝(－1，1，－1)为平面DEF的一个法向量． 因为PD⊥底面ABCD，所以＝(0，0，1)为平面ABCD的一个法向量， 所以cos〈m，〉＝＝＝－， 所以平面DEF与平面ABCD夹角的余弦值为. 13．三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱与底面垂直，AA1＝AB＝AC＝1，AB⊥AC，N是BC的中点，点P在A1B1上，且满足＝λ，当直线PN与平面ABC所成的角θ的正切值取最大值时，λ的值为(　　) A. B. C. D. 答案：A 解析：由题意知AB，AC，AA1两两垂直，以A为原点，AB，AC，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系Axyz，如图所示，则B(1，0，0)，C(0，1，0)，A1(0，0，1)，B1(1，0，1)，N，P(λ，0，1)，∴＝.易得平面ABC的一个法向量为n＝(0，0，1)，则直线PN与平面ABC所成的角θ满足sinθ＝|cos〈，n〉|＝，∴tanθ＝，当λ＝时，tanθ取得最大值2. 14.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，AA1＝3.M是AB的中点，N是B1C1的中点，点P在线段A1N上，且A1P＝A1N，Q是BC1与B1C的交点． (1)求证：PQ∥平面A1CM； (2)在线段AA1上是否存在点S，使得直线CS与平面A1CM所成角的正弦值为？请说明理由． 解：(1)证明：以A为原点，建立空间直角坐标系，如图所示，则A1(0，0，3)，C(2，0，0)，M(0，1，0)，N(1，1，3)，Q， 所以＝(1，1，0)，＝，＝(－2，1，0)，＝(－2，0，3)， 因为＝＝， 所以＝－＝. 设平面A1CM的法向量为n＝(x，y，z)， 则即 令z＝2，则x＝3，y＝6，故n＝(3，6，2)， 所以·n＝×3＋×6－×2＝0， 则⊥n. 因为PQ⊄平面A1CM，所以PQ∥平面A1CM. (2)假设线段AA1上存在点S，使得直线CS与平面A1CM所成角的正弦值为， 不妨设AS＝h(0≤h≤3)，则S(0，0，h)， 故＝(－2，0，h)， 所以|cos〈，n〉|＝＝， 故＝， 解得h＝2. 所以当S为线段AA1上靠近A1的三等分点时，直线CS与平面A1CM所成角的正弦值为. 17 学科网（北京）股份有限公司 $$