1.4.1 第2课时 空间中直线、平面的平行-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册作业与测评全书Word（人教A版2019）

数学 选择性必修·第一册[人教A版]作业与测评 第2课时　空间中直线、平面的平行 知识点一　空间中直线与直线平行 1．若直线l1和l2是两条不同的直线，其方向向量分别是a＝(1，－1，2)，b＝(－2，2，－4)，则直线l1与l2________． 答案：平行 解析：∵b＝－2a，∴直线l1与l2平行． 2．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，AD＝4，AA1＝2，点M在棱BB1上，且BM＝2MB1，点S在DD1上，且SD1＝2SD，N，R分别为A1D1，BC的中点，用向量法证明：MN∥RS. 证明：证法一：设＝a，＝b，＝c， 则＝＋＋＝c－a＋b，＝＋＋＝b－a＋c， ∴＝，∴∥， 又R∉MN，∴MN∥RS. 证法二：如图所示，以A为原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Axyz，则根据题意得M，N(0，2，2)，R(3，2，0)，S. ∴＝，＝， ∴＝. ∴∥.∵M∉RS，∴MN∥RS. 知识点二　空间中直线与平面平行 3．若直线l的方向向量为r，平面α的法向量为n，则下列选项中能使l∥α的是(　　) A．r＝(1，0，0)，n＝(－1，0，0) B．r＝(1，－2，3)，n＝(0，3，2) C．r＝(0，1，1)，n＝(－1，0，－1) D．r＝(1，3，5)，n＝(1，0，－1) 答案：B 解析：对于A，r·n＝－1≠0，A不符合题意；对于B，r·n＝1×0－2×3＋3×2＝0，r⊥n，B符合题意；对于C，r·n＝0×(－1)＋1×0＋1×(－1)＝－1≠0，C不符合题意；对于D，r·n＝1×1＋3×0＋5×(－1)＝－4≠0，D不符合题意．故选B. 4．直线l的一个方向向量为m＝(－4，2，2)，平面α的一个法向量为n＝(2，－1，x)，若l∥平面α，则x＝(　　) A．－5 B．5 C．－1 D．1 答案：B 解析：直线l的一个方向向量为m＝(－4，2，2)，平面α的一个法向量为n＝(2，－1，x)，因为l∥平面α，则m⊥n，所以m·n＝－8－2＋2x＝2x－10＝0，解得x＝5.故选B. 5.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的正方形，DD1＝4，E，F分别是AA1，CC1的中点．建立空间直角坐标系，用向量法证明：BE∥平面AFD1. 证明：如图所示，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Dxyz， 则B(2，2，0)，E(2，0，2)，A(2，0，0)，D1(0，0，4)，F(0，2，2)， 所以＝(0，－2，2)，＝(－2，0，4)，＝(－2，2，2)， 设m＝(x，y，z)是平面AFD1的法向量， 所以 令x＝2，得y＝1，z＝1，所以m＝(2，1，1)， 所以·m＝0×2－2×1＋2×1＝0， 因为BE⊄平面AFD1，所以BE∥平面AFD1. 知识点三　空间中平面与平面平行 6．若两个互相平行的平面α，β的法向量分别为a＝(－1，2，－2)，b＝(2，m，4)，则实数m的值为(　　) A．－4 B．4 C．－2 D．2 答案：A 解析：因为α∥β，则它们的法向量a，b共线，所以存在实数λ，使b＝λa，即(2，m，4)＝(－λ，2λ，－2λ)，则所以λ＝－2，m＝－4.故选A. 7．若两个不重合平面α，β的法向量分别为u＝(2，－3，5)，v＝，则α与β的位置关系是________． 答案：平行 解析：∵u＝－2v，∴α与β平行． 8．已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，M分别是A1C1，A1D和B1A上任意一点．建立空间直角坐标系，用向量法证明：平面A1EF∥平面B1MC. 证明：如图，建立空间直角坐标系Dxyz，则A1(1，0，1)，B1(1，1，1)，C1(0，1，1)，A(1，0，0)，D(0，0，0)，C(0，1，0)，所以＝(－1，1，0)，＝(－1，0，－1)，＝(－1，0，－1)，＝(0，－1，－1)， 设＝λ，＝μ，＝v( λ，μ，v∈R，且均不为0)． 设n1＝(x1，y1，z1)，n2＝(x2，y2，z2)分别是平面A1EF与平面B1MC的法向量， 由可得 即 可取n1＝(1，1，－1)． 由可得 即 可取n2＝(1，1，－1)， 因为n1∥n2，所以平面A1EF∥平面B1MC. 一、单项选择题 1．向量a＝(2，1，3)，b＝(3，2x，3y)分别是直线l1，l2的方向向量，若l1∥l2，则(　　) A．x＝6，y＝ B．x＝3，y＝ C．x＝2，y＝3 D．x＝，y＝ 答案：D 解析：因为l1∥l2，所以＝＝，解得x＝，y＝.故选D. 2．已知直线l的方向向量为m，平面α的法向量为n，则“m·n＝0”是“l∥α”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：B 解析：若m·n＝0，则l∥α或l⊂α，故充分性不成立，若l∥α，则m·n＝0，必要性成立，故“m·n＝0”是“l∥α”的必要不充分条件．故选B. 3．已知平面α的一个法向量为m＝(t，1，t＋1)．若∀t∈R，直线l∥平面α，则直线l的一个方向向量可以是(　　) A．(1，－1，1) B．(－1，1，－1) C．(－1，1，1) D．(1，1，－1) 答案：D 解析：直线l∥平面α，设直线l的方向向量为n＝(x，y，z)，则m⊥n，即m·n＝0.对于A，m·n＝t－1＋t＋1＝2t，故A不满足题意；对于B，m·n＝－t＋1－t－1＝－2t，故B不满足题意；对于C，m·n＝－t＋1＋t＋1＝2，故C不满足题意；对于D，m·n＝t＋1－t－1＝0，故D满足题意．故选D. 4．在空间直角坐标系Oxyz中，点A(1，3，0)，B(0，3，－1)，则(　　) A．直线AB∥坐标平面Oxy B．直线AB∥坐标平面Oyz C．直线AB∥坐标平面Ozx D．以上均不正确 答案：C 解析：＝(－1，0，－1)，坐标平面Oxy的一个法向量是a＝(0，0，1)，坐标平面Ozx的一个法向量是b＝(0，1，0)，坐标平面Oyz的一个法向量是c＝(1，0，0)，·a＝－1，·b＝0，·c＝－1，点A，B均不在坐标平面Ozx上，因此直线AB∥坐标平面Ozx.故选C. 5．在空间直角坐标系中，A(1，2，3)，B(－2，－1，6)，C(3，2，1)，D(4，3，0)，则直线AB与CD的位置关系是(　　) A．垂直 B．平行 C．异面 D．相交但不垂直 答案：B 解析：由题意得，＝(－3，－3，3)，＝(1，1，－1)，∵＝－3，∴与共线，又＝(5，3，－5)，与不共线，∴AB∥CD. 二、多项选择题 6．设α，β是不重合的两个平面，m，n分别为平面α，β的法向量，a为直线l的方向向量，则下列结论错误的是(　　) A．a∥m⇒l∥α B．a⊥m⇒l∥α C．m∥n⇒α∥β D．m⊥n⇒α∥β 答案：ABD 解析：对于A，若一条直线的方向向量与一个平面的法向量平行，则该直线垂直于该平面，所以若a∥m，则l⊥α，A错误；对于B，若一条直线的方向向量与一个平面的法向量垂直，则该直线平行于该平面或在该平面内，所以若a⊥m，则l∥α或l⊂α，B错误；对于C，若两个不同的平面的法向量互相平行，则这两个平面互相平行，所以若m∥n，则α∥β，C正确；对于D，若两个平面的法向量互相垂直，则这两个平面垂直，所以若m⊥n，则α⊥β，D错误．故选ABD. 7．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥AC，AB＝AC＝AA1，D，E，F，H分别为AA1，AB，BC1，BC的中点，G为△A1B1C1的重心，则(　　) A．DF∥平面ABC B．FG∥平面A1EC C．FG与A1E为异面直线 D．AF与GH为异面直线 答案：ABC 解析：设AB＝AC＝AA1＝2.以A为原点，AB，AC，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，A1(0，0，2)，B1(2，0，2)，C1(0，2，2)，D(0，0，1)，E(1，0，0)，F(1，1，1)，H(1，1，0)，G.对于A，＝(1，1，0)，取平面ABC的一个法向量n1＝(0，0，1)，因为·n1＝0，所以⊥n1，又DF⊄平面ABC，所以DF∥平面ABC，故A正确；对于B，＝，＝(1，0，－2)，＝(0，2，－2)，设n2＝(x，y，z)是平面A1EC的法向量，由令z＝1，则平面A1EC的一个法向量为n2＝(2，1，1)，因为·n2＝0，所以⊥n2，又FG⊄平面A1EC，所以FG∥平面A1EC，故B正确；对于C，＝，＝(1，0，－2)，＝(0，1，1)，若四点共面，则＝m＋n⇒此方程组无解，所以FG与A1E不共面，即为异面直线，故C正确；对于D，＝(1，1，1)，＝，＝(1，1，0)，因为＝－2＋，所以AF与GH为共面直线，故D错误．故选ABC. 三、填空题 8．已知A(－1，0，3)，B(2，t，1)，平面α的一个法向量为n＝(1，2，0)，且直线AB与平面α平行，则实数t＝________． 答案：－ 解析：由A(－1，0，3)，B(2，t，1)，可得直线AB的一个方向向量为＝(3，t，－2)，∵直线AB与平面α平行，∴·n＝0，即3＋2t＝0，解得t＝－. 9．若平面α的一个法向量为u1＝(－3，y，2)，平面β的一个法向量为u2＝(6，－2，z)，且α∥β，则y＋z＝________． 答案：－3 解析：∵α∥β，∴u1∥u2，∴＝＝，解得y＝1，z＝－4，∴y＋z＝－3. 10．如图，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，E，F分别为PD，PB的中点，点G在线段AP上，AC与BD交于点O，PA＝AB＝2，若OG∥平面EFC，则AG＝________． 答案： 解析：如图所示，以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，由题意可得P(0，0，2)，B(2，0，0)，D(0，2，0)，C(2，2，0)，O(1，1，0)，则F(1，0，1)，E(0，1，1)，所以＝(1，2，－1)，＝(－1，1，0)，设n＝(x，y，z)是平面EFC的法向量，则即令x＝1，则n＝(1，1，3)．设G(0，0，a)，则＝(－1，－1，a)，因为OG∥平面EFC，所以n·＝0，即－1－1＋3a＝0，解得a＝，所以G，即AG＝. 四、解答题 11.如图，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长均为2，D是AC的中点，建立空间直角坐标系，用向量法证明：AB1∥平面DBC1. 证明：如图，以A为原点，AC，AA1所在直线分别为y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(，1，0)，B1(，1，2)，C1(0，2，2)，D(0，1，0)， ∴＝(，1，2)，＝(－，0，0)，＝(0，1，2)． 设n＝(x，y，z)是平面DBC1的法向量， 则∴ 不妨令y＝2，则n＝(0，2，－1)． ∵·n＝1×2－2×1＝0，∴⊥n. 又AB1⊄平面DBC1，∴AB1∥平面DBC1. 12.如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝3，CC1＝2.建立空间直角坐标系，用向量法证明：平面A1C1B∥平面ACD1. 证明：以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， 由题意知A(3，0，0)，B(3，4，0)，C(0，4，0)，A1(3，0，2)，B1(3，4，2)，C1(0，4，2)，D1(0，0，2)， 则＝(－3，4，0)，＝(0，4，－2)，＝(－3，4，0)，＝(－3，0，2)． 设n＝(x，y，z)是平面A1C1B的法向量， 则 令x＝4，得n＝(4，3，6)， 设m＝(a，b，c)是平面ACD1的法向量， 则 令a＝4，得m＝(4，3，6)， 因为n∥m，所以平面A1C1B∥平面ACD1. 13.如图，在菱形ABCD中，AC＝1，BD＝2，将△ACD沿AC折起，使点D翻折到D′位置，连接BD′，直线BD′与平面ABC所成的角为22.5°，若E为AB的中点，过C作平面ABC的垂线l，在直线上取一点F，使EF∥平面AD′C，则CF的长为________． 答案： 解析：在菱形ABCD中，令AC∩BD＝O，如图，因为AC⊥OB，AC⊥OD′，OB∩OD′＝O，OB，OD′⊂平面BOD′，所以AC⊥平面BOD′，又AC⊂平面ABC，所以平面BOD′⊥平面ABC，在平面BOD′内过O作Oz⊥OB，而平面BOD′∩平面ABC＝OB，于是得Oz⊥平面ABC，以O为原点，OA，OB，Oz所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，过D′作D′M∥Oz交OB于M，则D′M⊥平面ABC，直线BD′与平面ABC所成的角为∠OBD′，即∠OBD′＝22.5°，而OD′＝OB＝1，则∠MOD′＝45°，所以A，B(0，1，0)，D′，E，C，＝(1，0，0)，＝，设平面AD′C的法向量为n＝(x，y，z)，则令y＝1，得n＝(0，1，1)，因为直线l过C且垂直于平面ABC，点F在直线l上，设F，于是得＝，又EF∥平面AD′C，则·n＝×0＋×1＋h×1＝0，解得h＝.所以CF的长为. 14.如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形．若AC∩BD＝O，则在棱PD上是否存在一点E，使PB∥平面ACE？若存在，确定点E的位置，并写出证明过程；若不存在，请说明理由． 解：存在一点E，且当E为PD的中点时，PB∥平面ACE. 证明如下： 由题意，易知AB，AD，AP两两垂直，建立空间直角坐标系，如图所示， 设PA＝z0，AB＝AD＝BC＝CD＝2t，＝λ， ∴A(0，0，0)，B(2t，0，0)，C(2t，2t，0)，D(0，2t，0)，P(0，0，z0)，＝(0，2t，－z0)，＝(0，2λt，－λz0)， ∴E(0，2λt，(1－λ)z0)， ∴＝(2t，0，－z0)，＝(0，2λt，(1－λ)z0)，＝(2t，2t，0)， 设n＝(x，y，z)是平面ACE的法向量， ∴即 令x＝1，得y＝－1，z＝， 即n＝， 若PB∥平面ACE，则⊥n， ∴·n＝(2t，0，－z0)·＝2t－＝0， 解得λ＝， ∴当E为线段PD的中点时，PB∥平面ACE. 11 学科网（北京）股份有限公司 $$