1.3.1 空间直角坐标系 1.3.2 空间向量运算的坐标表示.-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册作业与测评全书Word（人教A版2019）

数学 选择性必修·第一册[人教A版]作业与测评 1.3.1　空间直角坐标系 1.3.2　空间向量运算的坐标表示 知识点一　空间直角坐标系及空间向量的坐标 1．已知O为原点，＝2a＋b＋3c，其中a＝4i＋2j，b＝2j＋3k，c＝3k－j，则向量在基底{i，j，k}下的坐标为(　　) A．(7，3，12) B．(3，7，12) C．(2，4，6) D．(8，3，12) 答案：D 解析：＝2a＋b＋3c＝8i＋4j＋2j＋3k＋9k－3j＝8i＋3j＋12k，∴向量在基底{i，j，k}下的坐标为(8，3，12)． 2．[多选]在空间直角坐标系中，已知A(2，1，1)，B(1，3，2)，C(3，2，2)，则(　　) A．点A关于Oxz平面对称的点是A′(2，－1，1) B．点B关于x轴对称的点是B′(1，－3，2) C．＝(－1，2，1) D．＝(2，－1，0) 答案：ACD 解析：点A(2，1，1)关于Oxz平面对称的点是A′(2，－1，1)，故A正确；点B(1，3，2)关于x轴对称的点是B′(1，－3，－2)，故B不正确；＝(－1，2，1)，＝(2，－1，0)，故C，D正确．故选ACD. 知识点二　空间向量的坐标运算 3．已知a＝(1，0，1)，b＝(－2，－1，1)，c＝(3，1，0)，则a－b＋2c＝(　　) A．(－9，－3，0) B．(0，2，－1) C．(9，3，0) D．(9，0，0) 答案：C 解析：a－b＋2c＝(1，0，1)－(－2，－1，1)＋(6，2，0)＝(3，1，0)＋(6，2，0)＝(9，3，0)．故选C. 4．若向量a＝(1，1，2)，b＝(1，2，1)，c＝(1，1，1)，则(c－a)·(2b)＝______． 答案：－2 解析：根据题意，有c－a＝(0，0，－1)，2b＝(2，4，2)，故(c－a)·(2b)＝(－1)×2＝－2. 知识点三　平行与垂直问题 5．已知空间向量a＝(1，2，3)，b＝(m，－1，n)，若a∥b，则m＋n＝________． 答案：－2 解析：由题意可知b＝λa，所以有解得所以m＋n＝－2. 6．已知向量a＝(2，0，2)，b＝(1，2，0)，c＝(2，2，x)．若(a＋3b)⊥c，则x＝________． 答案：－11 解析：因为a＝(2，0，2)，b＝(1，2，0)，c＝(2，2，x)，所以a＋3b＝(5，6，2)，又(a＋3b)⊥c，所以5×2＋6×2＋2x＝0，解得x＝－11. 知识点四　夹角与距离问题 7．正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AB的中点，则向量与夹角的余弦值为(　　) A． B．－ C． D．－ 答案：B 解析：如图，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则A1(2，0，2)，E(2，1，0)，D(0，0，0)，C1(0，2，2)，可得＝(0，1，－2)，＝(0，2，2)，则cos〈，〉＝＝＝－，所以向量与夹角的余弦值为－.故选B. 8．已知A(3，5，－7)，B(－2，4，3)，设点A，B在Oyz平面上的射影分别为A1，B1，则A1B1＝________． 答案： 解析：因为点A(3，5，－7)，B(－2，4，3)在Oyz平面上的射影分别为A1，B1，所以A1(0，5，－7)，B1(0，4，3)，则＝(0，－1，10)，所以A1B1＝||＝. 一、单项选择题 1．下列说法中不正确的是(　　) A．只要空间的三个向量的模为1，那么它们就能构成空间的一个单位正交基底 B．竖坐标为0的非零向量平行于x轴与y轴所确定的平面 C．纵坐标为0的向量都共面 D．横坐标为0的向量都与x轴上的基向量垂直 答案：A 解析：单位正交基底除要求模为1外，还要求三个向量两两垂直．故选A. 2．已知a＝(1，－2，m)，b＝(n，4，6)，a与b共线，则m－2n＝(　　) A．1 B．－1 C．2 D．3 答案：A 解析：∵a与b共线，∴a＝λb，∴∴∴m－2n＝－3－2×(－2)＝1.故选A. 3．设点B是A(2，3，5)关于坐标平面Oxy的对称点，则||＝(　　) A．10 B． C．38 D． 答案：A 解析：因为点B是A(2，3，5)关于坐标平面Oxy的对称点，所以B(2，3，－5)，所以||＝＝10. 4．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝5，AD＝4，AA1＝3，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则下列说法错误的是(　　) A．点B1的坐标为(4，5，3) B．点C1关于点B对称的点为(5，8，－3) C．点A关于直线BD1对称的点为(0，5，3) D．点C关于平面ABB1A1对称的点为(8，5，0) 答案：B 解析：由题图及已知可得，点B1的坐标为(4，5，3)，点C1(0，5，3)关于点B(4，5，0)对称的点为(8，5，－3)，点A关于直线BD1对称的点为C1(0，5，3)，点C(0，5，0)关于平面ABB1A1对称的点为(8，5，0)，因此A，C，D正确．故选B. 5．若△ABC的顶点分别为A(1，－1，2)，B(5，－6，2)，C(1，3，－1)，则AC边上的高BD的长为(　　) A．5 B． C．4 D．2 答案：A 解析：设＝λ，又＝(0，4，－3)，则＝(0，4λ，－3λ)．又＝(－4，5，0)，∴＝＋＝(－4，4λ＋5，－3λ)．由·＝0，得4(4λ＋5)＋9λ＝0，解得λ＝－，∴＝，∴||＝5.故选A. 二、多项选择题 6．已知空间向量a＝(－2，－1，1)，b＝(3，4，5)，则下列结论正确的是(　　) A．(2a＋b)∥a B．5|a|＝|b| C．a⊥(5a＋6b) D．a与b夹角的余弦值为－ 答案：BCD 解析：对于A，因为2a＋b＝(－1，2，7)，≠≠，故A不正确；对于B，因为|a|＝＝，|b|＝＝5，所以5|a|＝|b|＝5，故B正确；对于C，因为a·(5a＋6b)＝5a2＋6a·b＝30＋6×(－6－4＋5)＝0，所以a⊥(5a＋6b)，故C正确；对于D，因为a·b＝－6－4＋5＝－5，所以cos〈a，b〉＝＝＝－，故D正确．故选BCD. 7．已知向量a＝(m－1，2m，2)，b＝(2，m，1)，则下列结论正确的是(　　) A．若a∥b，则m＝3 B．若m＝－1，则a⊥b C．|a|的最小值为 D．|a|无最大值 答案：BCD 解析：若a∥b，则＝＝，解得m＝5，故A错误；若m＝－1，则a＝(－2，－2，2)，b＝(2，－1，1)，所以a·b＝－4＋2＋2＝0，则a⊥b，故B正确；|a|＝＝＝≥，所以|a|的最小值为，无最大值，故C，D正确．故选BCD. 三、填空题 8．对于任一基底{a，b，c}，若p＝xa＋yb＋zc，则把(x，y，z)叫做向量p在基底{a，b，c}下的坐标．若p在基底{a，b，c}下的坐标为(2，1，－1)，则p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为________． 答案： 解析：由条件，知p＝2a＋b－c.设p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为(x，y，z)，则p＝x(a＋b)＋y(a－b)＋zc＝(x＋y)a＋(x－y)b＋zc，∵a，b，c不共面，∴解得即p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为. 9．已知空间中的点A(－1，2，1)，B(3，－1，6)，若|c|＝5，c∥，则c＝________． 答案：(4，－3，5)或(－4，3，－5) 解析：∵＝(4，－3，5)，且c∥，∴设c＝λ＝(4λ，－3λ，5λ)( λ∈R)，∴|c|＝＝5| λ|＝5，解得λ＝±1，∴c＝(4，－3，5)或c＝(－4，3，－5)． 10．已知向量a＝(2，－1，3)与b＝(－4，2，t)的夹角为钝角，则实数t的取值范围为________． 答案：(－∞，－6)∪ 解析：由a·b＝－10＋3t<0，得t<，当a∥b时，t＝－6，此时a，b反向共线，所以实数t的取值范围为(－∞，－6)∪. 四、解答题 11．如图，在空间直角坐标系Oxyz中有一长方体OABC－O′A′B′C′，且OA＝6，OC＝8，OO′＝5. (1)写出点B′的坐标，并将用单位正交基底{i，j，k}表示； (2)求的坐标． 解：(1)因为OA＝6，OC＝8，OO′＝5， 所以点B′的坐标为(6，8，5)， 从而＝(6，8，5)＝6i＋8j＋5k. (2)因为OA＝6，OC＝8，OO′＝5， 易得点C′的坐标为(0，8，5)， 所以＝(0，8，5)． 12．已知空间内三点A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4)，设a＝，b＝. (1)若|c|＝3，c∥，求c； (2)求a与b夹角的余弦值； (3)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k. 解：(1)因为B(－1，1，2)，C(－3，0，4)， 所以＝(－2，－1，2)， 又因为c∥，所以设c＝(－2λ，－λ，2λ)， 又因为|c|＝3， 所以＝3⇒λ＝±1， 因此c＝(－2，－1，2)或c＝(2，1，－2)． (2)因为a＝＝(1，1，0)，b＝＝(－1，0，2)， 所以a与b夹角的余弦值为 ＝＝－. (3)因为ka＋b与ka－2b互相垂直，所以(ka＋b)·(ka－2b)＝k2a2－ka·b－2b2＝0， 又a2＝|a|2＝2，b2＝|b|2＝5，a·b＝－1， 所以2k2＋k－10＝0，解得k＝－或k＝2. 13．若两个单位向量＝(m，n，0)，＝(n，0，p)与向量＝(1，1，1)的夹角都为45°，则cos∠AOB＝________． 答案： 解析：∵两个单位向量＝(m，n，0)，＝(n，0，p)与向量＝(1，1，1)的夹角都为45°，∴∠AOC＝∠BOC＝45°，||＝，||＝||＝1，∴·＝||||cos45°＝×1×＝，||2＝m2＋n2＝1，又·＝m＋n，则m＋n＝，∴2mn＝(m＋n)2－(m2＋n2)＝－12＝，即mn＝，∵·＝mn，∴cos∠AOB＝＝mn＝. 14．如图，该几何体由半圆柱体与直三棱柱构成，半圆柱体底面直径BC＝4，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为半圆弧的中点．若异面直线BD与AC所成角的大小为，求： (1)该几何体的体积； (2)直线BD与AB所成角的大小． 解：(1)连接A1D，由题意得点A1，D关于平面B1BCC1对称，建立如图所示的空间直角坐标系， 设AA1＝h(h>0)，则A(0，0，0)，B(0，2，0)，C(2，0，0)，D(2，2，h)， 所以＝(2，0，h)，＝(2，0，0)， 因为异面直线BD与AC所成角的大小为， 所以＝＝， 解得h＝2， 该几何体的体积 V＝AB×AC×h＋×π××h ＝×2×2×2＋×π×22×2 ＝8＋4 π. (2)＝(2，0，2)，＝(0，2，0)， 因为·＝0， 所以直线BD与AB所成角的大小为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$