1.2 空间向量基本定理-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册作业与测评全书Word（人教A版2019）

数学 选择性必修·第一册[人教A版]作业与测评 知识点一　基底的概念 1.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，BC1与B1C相交于点O，则下列向量能组成基底的是(　　) A.，， B.，， C.，， D.，， 答案：A 解析：，，不共面，，，共面，，，共面，，，共面．故选A. 2．[多选]O，A，B，C为空间的四个点，又{，，}为空间的一个基底，则下列说法正确的是(　　) A．O，A，B，C四点不共线 B．O，A，B，C四点共面，但不共线 C．O，A，B，C四点中任意三点不共线 D．O，A，B，C四点不共面 答案：ACD 解析：由于{，，}为空间的一个基底，所以，，不共面，因此O，A，B，C四点一定不共面，则A，C，D正确，B错误．故选ACD. 知识点二　用基底表示向量 3．已知平行六面体OABC－O′A′B′C′，＝a，＝c，＝b，D是四边形OABC的对角线的交点，则(　　) A.＝－a＋b＋c B.＝－b－a－c C.＝a－b－c D.＝a－b＋c 答案：D 解析：＝＋＝－＋(＋)＝－＋＝a－b＋c. 4.如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC的中点．设＝a，＝b，＝c. (1)用a，b，c表示； (2)设E是棱DD1上的点，且＝，用a，b，c表示. 解：(1)因为O为AC的中点，＝a，＝b，＝c， 所以＝＝(＋)＝(a＋b)， 所以＝＋＝－c＋a＋b＝a＋b－c. (2)因为＝， 所以＝＋＋＝－－＋(a＋b)＝－c－b＋(a＋b)＝a－b－c. 知识点三　用空间向量基本定理证明垂直 5．如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝4，AA1＝5，∠DAB＝∠DAA1＝∠BAA1＝60°.求证：AC1⊥BD. 证明：·＝(＋)·＝(＋＋)·(＋)＝·＋·＋·＋·＋·＋·＝－16＋8－8＋16－10＋10＝0， 故AC1⊥BD. 6．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P是DD1的中点，O是底面ABCD的中心．求证：OB1⊥平面PAC. 证明：如图，连接BD，则BD过点O， 令＝a，＝b，＝c， 设|a|＝|b|＝|c|＝1， 则{a，b，c}构成空间的一个单位正交基底． ∵＝＋＝a＋b， ＝＋＝＋＝(－)＋＝a－b＋c， ∴·＝(a＋b)·＝|a|2＋a·b－a·b－|b|2＋a·c＋b·c＝－＝0. ∴⊥，即AC⊥OB1. 又＝＋＝b＋c， ∴·＝·＝a·b－|b|2＋b·c＋a·c－b·c＋|c|2＝－＋＝0， ∴⊥，即OB1⊥AP. 又AC∩AP＝A，AC，AP⊂平面PAC. ∴OB1⊥平面PAC. 知识点四　用空间向量基本定理证明平行 7.如图，在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，E，F，G分别是A′D′，DD′，D′C′的中点，请选择恰当的基底向量证明： (1)EG∥AC； (2)平面EFG∥平面AB′C. 证明：取基底{，，}， (1)因为＝＋＝＋， ＝＋＝2，所以∥， 又EG，AC无公共点，所以EG∥AC. (2)因为＝＋＝＋， ＝＋＝2， 所以∥， 又FG，AB′无公共点，所以FG∥AB′. 又FG⊄平面AB′C，AB′⊂平面AB′C， 所以FG∥平面AB′C. 又由(1)知EG∥AC，可得EG∥平面AB′C， 又FG∩EG＝G，FG，EG⊂平面EFG， 所以平面EFG∥平面AB′C. 知识点五　用空间向量基本定理求夹角 8.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求BC1与AC所成角的余弦值． 解：设正方体的棱长为1，＝i，＝j，＝k， 则{i，j，k}构成空间的一个单位正交基底， 因为＝＋＝－i＋k，＝＋＝j－i. 所以cos〈，〉＝ ＝＝， 所以BC1与AC所成角的余弦值为. 一、单项选择题 1．下列可使非零向量a，b，c构成空间的一个基底的条件是(　　) A．a，b，c两两垂直 B．b＝λc C．a＝mb＋nc D．a＋b＋c＝0 答案：A 解析：由基底的定义可知，只有非零向量a，b，c不共面时才能构成空间的一个基底．对于A，因为非零向量a，b，c两两垂直，所以非零向量a，b，c不共面，可构成空间的一个基底，故A符合题意；对于B，由b＝λc，则b，c共线，由向量的特性可知，空间中任意两个向量是共面的，所以a与b，c共面，故B不符合题意；对于C，由平面向量基本定理可知，非零向量a，b，c共面，故C不符合题意；对于D，a＋b＋c＝0，即a＝－b－c，故由平面向量基本定理可知，非零向量a，b，c共面，故D不符合题意．故选A. 2．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，若＝3i，＝2j，＝5k，则向量用基底{i，j，k}表示为(　　) A．＝i＋j＋k B．＝i＋j＋k C．＝3i＋2j＋5k D．＝3i＋2j－5k 答案：C 解析：＝＋＋＝3i＋2j＋5k. 3．如图是一个平行六面体ABCD－A1B1C1D1，E为BC延长线上一点，＝2，则＝(　　) A．＋＋ B．＋－ C．＋－ D．＋－ 答案：B 解析：＝＋＋＝－＋＋.故选B. 4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是上底面A1B1C1D1的中心，则AC1与CE的位置关系是(　　) A．重合 B．垂直 C．平行 D．无法确定 答案：B 解析：连接C1E(图略)，则＝＋＋，＝＋＝－(＋)．设正方体的棱长为1，于是·＝(＋＋)·＝0－－0＋0－0－＋1－0－0＝0，故⊥，即AC1⊥CE. 5．已知正方体ABCD－A′B′C′D′，O1，O2，O3分别是AC，AB′，AD′的中点，以{，，}为基底，＝x＋y＋z，则x，y，z的值是(　　) A．x＝y＝z＝1 B．x＝y＝z＝ C．x＝y＝z＝ D．x＝y＝z＝2 答案：A 解析：＝＋＋＝(＋)＋(＋)＋(＋)＝＋＋＝＋＋，由＝x＋y＋z，知x＝y＝z＝1. 二、多项选择题 6．已知{a，b，c}是空间的一个基底，则下列向量不共面的是(　　) A．a＋2c，a＋b＋3c，a＋3c B．a＋b＋c，－a，2b＋2c C．a＋2c，a＋b＋2c，－2a－4c D．a＋b，a，c 答案：AD 解析：对于A，不存在实数λ，μ使a＋2c＝λ(a＋b＋3c)＋μ(a＋3c)，故不共面；对于B，a＋b＋c＝－(－a)＋(2b＋2c)，故共面；对于C，a＋2c＝0(a＋b＋2c)－(－2a－4c)，故共面；对于D，不存在实数λ，μ使a＋b＝λa＋μc，故不共面．故选AD. 7.如图，平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为CD1的中点，Q为CA1上靠近点A1的五等分点，则(　　) A.＝＋＋ B．2＝＋2＋ C.＝＋＋ D．5＝＋＋4 答案：BD 解析：＝＋＋＝＋＋(＋)＝＋－＋＝＋＋，即2＝＋2＋，故A错误，B正确；＝＋＝＋＝＋(＋＋)＝＋(＋－)＝＋＋，即5＝＋＋4，故C错误，D正确．故选BD. 三、填空题 8．设{a，b，c}是空间的一个单位正交基底，且向量p＝3a＋b＋c，若m＝a＋b，n＝a－c，则用基底{m，n，c}表示向量p＝________． 答案：m＋2n＋3c 解析：设p＝xm＋yn＋zc，则x(a＋b)＋y(a－c)＋zc＝(x＋y)a＋xb＋(z－y)c＝3a＋b＋c，故解得故p＝m＋2n＋3c. 9.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为3的菱形，PC＝4，∠BCP＝∠DCP＝120°，则PA与BD所成角的余弦值为________． 答案：0 解析：设＝a，＝b，＝c，则{a，b，c}构成空间的一个基底，＝－＝b－a，＝＋＋＝a＋b＋c，所以·＝(b－a)·(a＋b＋c)＝b2－a2＋b·c－a·c＝32－32＋3×4cos60°－3×4cos60°＝0，所以PA⊥BD，所以PA与BD所成角的余弦值为0. 10.《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱．如图，在堑堵ABC－A1B1C1中，M，N分别是A1C1，BB1的中点，G是MN的中点，若＝x＋y＋z，则x＋y＋z＝________． 答案： 解析：连接AM，AN，如图，因为G是MN的中点，所以＝(＋)＝＝＋＋，根据题意知＝x＋y＋z，所以x＋y＋z＝. 四、解答题 11.如图，在斜三棱柱OAB－O1A1B1中，向量＝a，＝b，＝c，三个向量之间的夹角均为，点M，N分别在O1A1，BA1上，且＝，＝，||＝2，||＝2，||＝4. (1)将向量用向量a，c表示，并求||； (2)将向量用a，b，c表示． 解：(1)＝＋＋＝－＋＋＝－a＋c， 因为a·c＝|a||c|cos＝2×4×＝4， 所以2＝＝a2－a·c＋c2＝×22－×4＋42＝， 所以||＝. (2)因为＝，所以N为A1B的中点， 所以＝(＋)＝(＋＋)＝(a＋b＋c)． 12.如图，四面体ABCD的各棱长均为2，E，F分别为棱DA，BC的中点，设＝a，＝b，＝c. (1)用向量a，b，c表示向量，； (2)求向量与夹角的余弦值． 解：(1)＝－＝a－b， ＝(＋)＝b＋c. (2)由四面体ABCD的各棱长均为2，可知四面体ABCD为正四面体，所以a，b，c两两夹角为60°，|a|＝|b|＝|c|＝2，因此a·b＝a·c＝b·c＝2×2×＝2， 因为·＝·＝a·b＋a·c－b2－b·c＝－b2＝－2， ||＝＝＝， ||＝＝＝， 所以cos〈，〉＝＝＝－. 13.如图，平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝AA1＝1，∠BAD＝∠BAA1＝120°，∠DAA1＝60°，则线段AC1的长度是________． 答案： 解析：由空间向量数量积的定义可得，·＝||||cos120°＝－，同理可得·＝－，·＝，由空间向量的加法可得，＝＋＋，则2＝(＋＋)2＝2＋2＋2＋2(·＋·＋·)＝1＋1＋1＋2×＝2，所以||＝. 14.如图，正三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱长为4，底面边长为2，D为AC1的中点． (1)以{，，}为空间的一个基底表示向量，； (2)线段CB1上是否存在一点E，使得BD⊥AE？若存在，求||；若不存在，请说明理由． 解：(1)＝－＝＋－， ＝－＝－－. (2)连接AB1，假设线段CB1上存在一点E，使得BD⊥AE，且＝λ，λ∈[0，1]， 则＝＋＝＋＋λ＝λ＋(1－λ)＋(1－λ)， 因为BD⊥AE， 所以·＝·[λ＋(1－λ)＋(1－λ)]＝0， 因为·＝0，·＝0， 所以·＝ λ2＋(1－λ)·＋(1－λ)2－λ·－(1－λ)2， 因为·＝2，2＝||2＝16，2＝2＝||2＝4， 所以·＝2λ＋1－λ＋8(1－λ)－2λ－4(1－λ)＝5－5λ＝0，所以λ＝1， 此时点E与点C重合，||＝||＝2， 所以存在点E，使得BD⊥AE，此时||＝2. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$