1.1.2 空间向量的数量积运算-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册作业与测评全书Word（人教A版2019）

数学 选择性必修·第一册[人教A版]作业与测评 1.1.2　空间向量的数量积运算 知识点一　空间向量的数量积运算 1．下列式子中正确的是(　　) A．a·|a|＝a2 B．(a·b)2＝a2b2 C．＝ D．|a·b|≤|a||b| 答案：D 解析：A显然错误；(a·b)2＝(|a||b|cos〈a，b〉)2＝|a|2|b|2cos2〈a，b〉，而a2b2＝|a|2|b|2，不一定与(a·b)2相等，所以B错误；因为＝，不一定与相等，所以C错误；因为|a·b|＝|a||b||cos〈a，b〉|，而|cos〈a，b〉|≤1，所以D正确． 2．在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，则a·(b＋c)的值为(　　) A．2 B．1 C．－1 D．0 答案：D 解析：由题意可知a⊥b，a⊥c，因此a·(b＋c)＝a·b＋a·c＝0. 3.如图，四面体ABCD的每条棱长都等于1，E，F，G分别是棱AB，AD，CD的中点，则·＝(　　) A． B． C． D． 答案：B 解析：∵＝，∴·＝·＝×1×1×cos60°＝.故选B. 知识点二　用数量积求夹角或长度 4．四面体ABCD中，AC＝AD＝2AB＝2，∠BAD＝60°，·＝2，则∠BAC＝(　　) A．60° B．90° C．120° D．150° 答案：C 解析：因为AC＝AD＝2AB＝2，∠BAD＝60°，所以·＝·(－)＝·－·＝||||cos∠BAD－||·||cos∠BAC＝1×2cos60°－1×2cos∠BAC＝2，解得cos∠BAC＝－，所以∠BAC＝120°. 5.如图所示，已知PA⊥平面ABC，∠ABC＝120°，PA＝AB＝BC＝6，则PC＝(　　) A．6 B．6 C．12 D．144 答案：C 解析：∵＝＋＋，∴2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·＝36＋36＋36＋0＋0＋2×6×6cos60°＝144，∴PC＝12.故选C. 6.如图，二面角α－l－β的大小为，点A，B分别在半平面α，β内，AC⊥l于点C，BD⊥l于点D.若AC＝5，BD＝6，AB＝2，则CD＝(　　) A． B．6 C． D． 答案：C 解析：由AC⊥l，BD⊥l，得cos〈，〉＝cos＝，·＝0，·＝0.因为＝＋＋，所以2＝2＋2＋2＋2·，则(2)2＝52＋2＋62＋2×5×6×，解得2＝29，则CD＝.故选C. 知识点三　用数量积证明垂直 7.如图，已知在空间四边形OABC中，OB＝OC，AB＝AC.求证：OA⊥BC. 证明：∵OB＝OC，AB＝AC，OA＝OA， ∴△OAC≌△OAB，∴∠AOC＝∠AOB. ∵·＝·(－)＝·－·＝||||cos∠AOC－||||·cos∠AOB＝0， ∴OA⊥BC. 8．如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，AF⊥PC于点F，FE∥CD，交PD于点E.证明：CF⊥平面ADF. 证明：由题意可知＝＋＋， 故·＝·＋·＋·. 又∥，⊥，故⊥， 所以·＝0，·＝0. 又⊥，所以·＝0， 故·＝0，所以CF⊥DA. 又CF⊥AF，AF∩DA＝A，AF，DA⊂平面ADF， 所以CF⊥平面ADF. 一、单项选择题 1．已知四面体ABCD的所有棱长都是2，则·＝(　　) A．2 B．4 C．2 D．0 答案：D 解析：由题意可得，四面体ABCD为正四面体，如图所示，则〈，〉＝〈，〉＝60°，所以·＝·(－)＝·－·＝2×2cos60°－2×2cos60°＝0.故选D. 2．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，O为B1D的中点，则(　　) A．·＝2 B．·＝ C．·＝1 D．·＝ 答案：B 解析：对于A，·＝·＝1，故A错误；对于B，·＝2＝，故B正确；对于C，AB⊥平面A1ADD1，则·＝0，故C错误；对于D，＝＋，＝(＋＋)，由垂直关系化简得·＝·＋·＝－＋＝0，故D错误． 3.设A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足·＝0，·＝0，·＝0，则△BCD是(　　) A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．不确定 答案：B 解析：＝－，＝－，·＝(－)·(－)＝·－·－·＋||2＝||2>0，∴cos∠CBD＝cos〈，〉＝>0，∴∠CBD为锐角，同理，∠BCD与∠BDC均为锐角，∴△BCD为锐角三角形． 4．在空间四边形OABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝，则cos〈，〉＝(　　) A. B. C．－ D．0 答案：D 解析：·＝·(－)＝·－·＝||||cos〈，〉－||·||cos〈，〉，因为〈，〉＝〈，〉＝，||＝||，所以·＝0，所以cos〈，〉＝＝0.故选D. 5.如图，在三棱锥P－ABC中，PA＝PB＝PC＝2，∠APB＝90°，∠BPC＝∠APC＝60°，M为BC的中点，Q为AM的中点，则线段PQ的长度为(　　) A． B． C． D． 答案：C 解析：由题意，得＝(＋)＝＋＋，所以2＝2＋2＋2＋·＋·＋·＝1＋＋＋0＋×2×2×＋×2×2×＝，所以||＝，即线段PQ的长度为.故选C. 二、多项选择题 6．下列说法正确的是(　　) A．若a·b＝0，则a，b有可能均不为0 B．若a≠0且a·b＝a·c，则b＝c C．(a·b)c＝a(b·c) D．(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2 答案：AD 解析：a·b＝0⇒|a||b|cos〈a，b〉＝0⇒a＝0或b＝0或cos〈a，b〉＝0，故A正确；若a·b＝a·c，则a·(b－c)＝0，尽管有a≠0，也不能得到b＝c，因为有可能a⊥(b－c)，故B不正确；因为(a·b)c表示与c共线的向量，而a(b·c)表示与a共线的向量，而a与c不一定共线，故C不正确；(3a＋2b)·(3a－2b)＝9a·a－6a·b＋6a·b－4b·b＝9a2－4b2＝9|a|2－4|b|2，故D正确．故选AD. 7．已知ABCD－A1B1C1D1为正方体，下列说法中正确的是(　　) A．(＋＋)2＝32 B．·(－)＝0 C．向量与向量的夹角是60° D．正方体ABCD－A1B1C1D1的体积为|··| 答案：AB 解析：由向量的加法得到＋＋＝，∵A1C2＝3A1B，∴2＝32，故A正确；∵－＝，AB1⊥A1C，∴·＝0，故B正确；∵△ACD1是等边三角形，∴∠AD1C＝60°，又A1B∥D1C，∴异面直线AD1与A1B所成的角为60°，但是向量与向量的夹角是120°，故C不正确；∵AB⊥AA1，∴·＝0，∴|··|＝0，故D不正确．故选AB. 三、填空题 8．如图，在棱长为的正方体ABCD－A1B1C1D1中，·＝________． 答案：2 解析：连接AC，CD1(图略)，由A1C1∥AC，且△ACD1为正三角形，有·＝2×2×cos60°＝2. 9．已知向量a与b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝6，则2a－b在a上的投影向量的模为________． 答案：1 解析：因为向量a与b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝6，则a·b＝|a||b|cos60°＝2×6×＝6，则(2a－b)·a＝2|a|2－a·b＝2×22－6＝2，所以2a－b在a上的投影向量的模为＝＝1. 10．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，把△ADC沿对角线AC折起，使与的夹角为60°，则BD＝________． 答案： 解析：由题意，得CD＝AB＝1，∠BAC＝∠ACD＝90°，＝－＋＋，故2＝(－＋＋)2＝2＋2＋2－2·－2·＋2·＝1＋1＋1－0－2||||cos60°＋0＝3－1＝2，故BD＝||＝. 四、解答题 11.如图，一个结晶体的形状为平行六面体ABCD－A1B1C1D1，其中以顶点A为端点的三条棱长均为1，且它们彼此的夹角都是60°.求异面直线BD1与AC所成角的余弦值． 解：∵＝＋－＝＋－，＝＋， ∴||2＝(＋－)2＝2＋2＋2＋2·－2·－2·＝1＋1＋1＋1－1－1＝2， ∴||＝， ||2＝(＋)2＝2＋2＋2·＝1＋1＋1＝3， ∴||＝， ·＝(＋－)·(＋)＝2－2＋·＋·＝1－1＋＋＝1， ∴cos〈，〉＝＝＝， ∴异面直线BD1与AC所成角的余弦值为. 12．已知不共面的三个单位向量，，两两之间的夹角均为60°，＝＋＋，＝＋. (1)求证：OM⊥BC； (2)求cos〈，〉． 解：(1)证明：因为·＝·＝·＝1×1×cos60°＝， 所以·＝(＋＋)·(－)＝·(－)＋(＋)·(－)＝2－2＝1－1＝0， 所以⊥，即OM⊥BC. (2)因为·＝·＝·＝1×1×cos60°＝， 所以·＝(＋＋)·(＋)＝4， 因为||2＝(＋＋)2＝6，||2＝(＋)2＝3， 所以||＝，||＝. 所以cos〈，〉＝＝＝. 13．已知a，b是互相垂直的单位向量，且|c|＝5，c·a＝c·b＝2，则|c－ma－nb|的最小值是________． 答案：3 解析：因为a，b互相垂直，所以a·b＝0，|c－ma－nb|2＝c2＋m2a2＋n2b2－2ma·c－2nb·c＋2mna·b＝25＋m2＋n2－4m－4n＝(m－2)2＋(n－2)2＋9，当且仅当m＝n＝2时，|c－ma－nb|2取得最小值9，则|c－ma－nb|的最小值为3. 14.如图所示，正四面体VABC的高VD的中点为O，VC的中点为M. (1)求证：AO，BO，CO两两垂直； (2)求异面直线DM与AO所成角的大小． 解：(1)证明：设＝a，＝b，＝c， 不妨令正四面体的棱长为1，则有|a|＝|b|＝|c|＝1，a·b＝b·c＝a·c， 则＝(a＋b＋c)，＝－＝－＝×(a＋b＋c)－a＝(b＋c－5a)， 同理可得＝(a＋c－5b)，＝(a＋b－5c)， 所以·＝(b＋c－5a)·(a＋c－5b)＝×(18a·b－9|a|2)＝×＝0. 所以⊥，即AO⊥BO， 同理可得，AO⊥CO，BO⊥CO. 所以AO，BO，CO两两垂直． (2)因为＝＋＝－(a＋b＋c)＋c＝(－2a－2b＋c)， 所以||＝＝， ||＝＝， ·＝(－2a－2b＋c)·(b＋c－5a)＝， 所以cos〈，〉＝＝＝， 所以异面直线DM与AO所成角的大小为. 9 学科网（北京）股份有限公司 $$