1.1.1 空间向量及其线性运算-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册作业与测评全书Word（人教A版2019）

数学 选择性必修·第一册[人教A版]作业与测评 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1.1.1　空间向量及其线性运算 知识点一　空间向量的有关概念 1．下列说法中错误的是(　　) A．向量与的长度相等 B．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同 C．只有零向量的模等于0 D．共线的单位向量都相等 答案：D 解析：共线的单位向量是相等向量或相反向量． 2．下列关于单位向量与零向量的叙述正确的是(　　) A．零向量是没有方向的向量，两个单位向量的模相等 B．零向量的方向是任意的，所有单位向量都相等 C．零向量的长度为0，单位向量不一定是相等向量 D．零向量只有一个方向，单位向量的方向不一定相同 答案：C 解析：零向量的方向是任意的，且长度为0，两个单位向量的模相等，但方向不一定相同．故选C. 3．如图所示，已知ABCD－A1B1C1D1为平行六面体，若以此平行六面体的顶点为向量的起点、终点，求： (1)与相等的向量； (2)与相反的向量； (3)与平行的向量． 解：(1)与相等的向量为，，. (2)与相反的向量为，. (3)与平行的向量为，，. 知识点二　空间向量的线性运算 4．如图所示空间四边形ABCD，连接AC，BD，设M，G分别是BC，CD的中点，则－＋＝(　　) A． B．3 C．3 D．2 答案：B 解析：－＋＝－(－)＝－＝＋＝＋2＝3.故选B. 5．已知平行六面体ABCD－A′B′C′D′，化简下列向量表达式，并在图中标出化简得到的向量． (1)＋＋； (2)－＋； (3)＋＋(－)． 解：(1)＋＋＝＋＋＝，向量如图所示． (2)－＋＝－(－)＝－＝，向量如图所示． (3)＋＋(－)＝＋(＋)＝＋，设M是线段CB′的中点，则＋＋(－)＝＋＝.向量如图所示． 知识点三　向量共线 6．下列条件中，能说明空间中不重合的A，B，C三点共线的是(　　) A．＋＝ B．－＝ C．＝－2 D．||＝|| 答案：C 解析：对于A，对于空间中的任意向量，都有＋＝，不能说明A，B，C三点共线，故A不符合题意；对于B，若－＝，则＋＝，而＋＝，据此可知＝，即B，C两点重合，故B不符合题意；对于C，＝－2，则A，B，C三点共线，故C符合题意；对于D，||＝||，则线段AB的长度与线段BC的长度相等，不一定有A，B，C三点共线，故D不符合题意．故选C. 7．如图，在四面体ABCD中，M，N分别为△BCD，△ACD的重心，G为AM上一点，且GM∶GA＝1∶3.求证：B，G，N三点共线． 证明：设＝a，＝b，＝c， 则＝＋＝＋ ＝－＋(＋) ＝－＋×(＋) ＝－＋(－＋－) ＝－＋＋ ＝－a＋b＋c， ＝＋＝＋(＋) ＝－a＋b＋c＝， ∴∥. 又BN∩BG＝B，∴B，G，N三点共线． 知识点四　向量共面 8．已知A，B，C三点不共线，平面ABC外一点O满足＝＋＋. (1)判断，，三个向量是否共面； (2)判断M是否在平面ABC内． 解：(1)由题意得＋＋＝3， ∴－＝(－)＋(－)＝＋. ∴＝＋＝－－. ∴向量，，共面． (2)由(1)知向量，，共面，而它们有共同的起点M，且A，B，C三点不共线， ∴M，A，B，C四点共面，即M在平面ABC内． 一、单项选择题 1．以下说法正确的是(　　) A．方向相反的两个向量是相反向量 B．若a，b满足|a|＞|b|且a，b同向，则a＞b C．不相等的两个空间向量的模必不相等 D．对于任意向量a，b，必有|a＋b|≤|a|＋|b| 答案：D 解析：长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，故A错误；向量是不能比较大小的，故B错误；不相等的两个空间向量的模也可以相等，故C错误；由向量加法的几何意义可知D正确．故选D. 2．对于空间的任意三个向量a，b，2a－b，它们一定是(　　) A．共面向量 B．共线向量 C．不共面向量 D．既不共线也不共面的向量 答案：A 解析：记c＝2a－b，由共面向量的判定方法易知，a，b，c三个向量是共面向量．故选A. 3.如图，已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1，在下列选项中，与相等的向量是(　　) A． B． C． D． 答案：C 解析：由于ABCD－A1B1C1D1是平行六面体，所以||＝||，且与方向相同，故＝.故选C. 4.在三棱柱ABC－A1B1C1中，D是CC1的中点，F是A1B的中点，且＝α＋β，则(　　) A．α＝，β＝－1 B．α＝－，β＝1 C．α＝1，β＝－ D．α＝－1，β＝ 答案：A 解析：根据向量加法的多边形法则以及已知可得，＝＋＋＝＋＋＝＋－＋＋＝－，∴α＝，β＝－1.故选A. 5．在下列条件中，使M与A，B，C一定共面的是(　　) A.＝－－ B.＝＋＋ C.＋＋＝0 D.＋＋＋＝0 答案：C 解析：对于A，由于＝－－不满足右边式子的系数和为1，所以四点不一定共面，故A不符合题意；对于B，由于＝＋＋不满足右边式子的系数和为1，所以四点不一定共面，故B不符合题意；对于C，由＋＋＝0，可得＝－－，根据向量共面定理并结合三个向量有公共点，可知四点一定共面，故C符合题意；对于D，由＋＋＋＝0，可得＝－－－，由于不满足右边式子的系数和为1，所以四点不一定共面，故D不符合题意．故选C. 二、多项选择题 6．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各式中运算结果为的是(　　) A．＋＋ B．＋＋ C．＋＋ D．＋＋ 答案：BD 解析：对于A，＋＋＝＋＋＝＋＝；对于B，＋＋＝＋＝；对于C，＋＋＝＋＝＋＝；对于D，＋＋＝＋＝. 7．下列说法中错误的是(　　) A．若a，b共线，则a，b所在的直线平行 B．若a，b所在的直线是异面直线，则a，b一定不共面 C．若向量a，b，c两两共面，则向量a，b，c一定也共面 D．若，，不共面，且＝＋＋，则A，B，C，D四点共面 答案：ABC 解析：对于A，若a，b共线，则a，b有可能在同一条直线上，故A错误；对于B，即使a，b所在的直线是异面直线，也可以通过平移的方式使得向量a，b共面，故B错误；对于C，如图所示，在四面体PABC中，向量，，两两共面，但三个向量并不共面，故C错误；对于D，由，，不共面，且＝＋＋，得－＝(－)＋(－)，即＝＋，则向量，，共面，又它们有公共点A，因此A，B，C，D四点共面，故D正确．故选ABC. 三、填空题 8．在四边形ABCD中，若＝＋，则四边形ABCD的形状一定是________． 答案：平行四边形 解析：因为＝＋，所以四边形ABCD是以AB与AD为邻边，AC为对角线的平行四边形． 9．如图，在四面体OABC中，M是棱OA上靠近点A的三等分点，N，P分别是BC，MN的中点．设＝a，＝b，＝c，用a，b，c表示＝________． 答案：a＋b＋c 解析：＝(＋)＝＝＋＋＝a＋b＋c. 10．在三棱锥A－BCD中，若△BCD是正三角形，E为其中心，则化简＋－－的结果为________． 答案：0 解析：如图，延长DE交边BC于点F，连接AF，则＋＝，＋＝＋＝，故＋－－＝－＝－＝0. 四、解答题 11．如图，在正六棱柱ABCDEF－A1B1C1D1E1F1中： (1)化简－－＋＋＋，并在图中标出化简结果； (2)化简＋＋＋＋，并在图中标出化简结果． 解：(1)－－＋＋＋ ＝＋＋＋＋＋ ＝＋＋0 ＝＋＝. 在图中所示如下： (2)＋＋＋＋＝＋＋＋＋＝0＋＝. 在图中所示如下： 12.如图，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且BM＝BD，AN＝AE.求证：向量，，共面． 证明：因为M在BD上，且BM＝BD， 所以＝＝＋. 同理＝＋. 所以＝＋＋ ＝＋＋ ＝＋＝＋. 又与不共线， 根据向量共面的充要条件可知，向量，，共面． 13．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E在对角线D1B上，且D1E＝EB，点F在棱D1C1上，且D1F＝λFC1，若A，E，F三点共线，则λ＝________． 答案： 解析：因为＝＋＝＋，又D1F＝λFC1，D1E＝EB，所以4＝＋，即＝＋，因为A，E，F三点共线，所以＋＝1，解得λ＝. 14．如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别在棱AA1，CC1上，且A1M＝AA1，CN＝CC1.求证：D，M，B1，N四点共面． 证明：在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，连接MD，DN，NB1，B1M， 因为A1M＝AA1，CN＝CC1， 所以＝＋＝＋＝＋， ＝＋＝＋＝＋， 所以＝，即DN＝MB1且DN∥MB1， 所以D，M，B1，N四点共面． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$