专题 1.1 认识三角形（知识梳理 + 题型精析 +同步练习） 基础知识专项突破讲练2025-2026学年八年级数学上册（浙教版 2024）

专题 1.1 认识三角形 目录 一．知识梳理与题型分类精析 1 知识点（一）三角形定义 1 【题型1】三角形及相关概念识别 2 知识点（二） 三角形三边关系 4 【题型2】构成三角形的条件 4 【题型3】确定三角形第三边取值范围 6 【题型4】三角形三边关系的应用 7 知识点（三）三角形的内角和定理 9 【题型5】三角内角和定理的证明 10 【题型6】利用三角形内角和定理求值 13 知识点（四）三角形的外角 15 【题型7】利用三角形外角性质求值 15 【题型8】利用三角形外角性质证明 17 知识点（五）三角形的分类 20 【题型9】利用三角形分类进行判断 20 知识点（六）三角形的三条重要线段 21 【题型10】由三角形中线求线段 22 【题型11】由三角形中线求面积 24 【题型12】重心 26 【题型13】由三角形角平分线定义求角度 28 【题型14】尺规作图——画（识别）三角形的高 31 【题型15】利用三角形的高求值 33 知识点（七）三角形的稳定性 35 【题型16】三角形的稳定性和四边形的不稳定性 36 知识点（八）三角形内角和外角性质综合 37 【题型17】三角形内角和与平行线综合 37 【题型18】三角形内角和与折叠问题 39 【题型19】三角形内角平分线与外角平分线综合 41 二.同步练习 45 1. 基础巩固（选择题6题，填空题6题，解答题4题.） 45 2. 能力提升（选择题6题，填空题6题，综合解答题4题） 57 3. 直击中考（8题） 69 一．知识梳理与题型分类精析 知识点（一）三角形定义 1.定义：在平面内，由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。 三角形的基本元素包括边、角和顶点，如图1，三角形三边是、、，也可以用一个小写字母表示，记作：、、，三个内角为、、，其中的对边为，的对边为，的对边为. 图1 2.表示方法：三角形用符号“”表示，顶点为 A、B、C 的三角形记作“△ABC”,读作“三角形” 【题型1】三角形及相关概念识别 【例题1】（23-24八年级上·新疆阿克苏·阶段练习）图中有几个三角形？用符号表示这些三角形． 【答案】有5个三角形，分别是 【分析】此题主要考查了三角形的定义及其表示．根据三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形进行分析即可． 解：图中共有5个三角形，分别是． 【变式1】（24-25八年级上·四川德阳·阶段练习）如图，在中，是边上一点，是边上一点．在中，的对边是 ．    【答案】/ 【分析】此题主要考查了三角形，关键是掌握三角形边角间的关系．利用三角形边、角间的关系可得答案． 解：在中，的对边是． 故答案为：． 【变式2】（24-25八年级上·天津宁河·阶段练习）图中以为边的三角形的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】此题主要考查了三角形．关键是掌握三角形的定义，由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形． 由D、E、C三点分别与端点相连，可构成3个三角形， 解：图中以为边的三角形有：，，．共有3个． 故选：B． 【变式3】（24-25八年级上·全国·随堂练习）观察下图，回答下列问题： （1）是的 ． （2）图中以线段为边的三角形有 ． （3）图中共有 个三角形，它们分别是 ． 【答案】 内角 ，， 6 ，，，，， 【分析】本题主要考查三角形的有关概念，熟练掌握三角形的基本概念是解题的关键． （1）根据三角形角的定义结合图形解答即可； （2）观察图形可找到以线段为公共边的三角形； （3）根据三角形的概念解答即可； 解：（1）是的内角． 故答案为：内角； （2）图中以线段为边的三角形有，，． 故答案为：，，； （3）图中共有6个三角形，它们分别是，，，，，． 故答案为：6；，，，，，． 知识点（二） 三角形三边关系 图示 文字语言 符号语言 理论依据 三角形两边之和大于第在边 ；； 两点之间，线段最短. 三角形两边之差小于第三边 ；； 【题型2】构成三角形的条件 【例题 2】（24-25八年级上·广西防城港·阶段练习）判断下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么？ （1），，； （2）三条线段之比为． 【答案】（1）能，理由见分析；（2）不能，理由见分析 【分析】本题考查了三角形三条边的关系，熟练掌握三角形三条边的关系是解答本题的关键．三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． （1）利用两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，分析即可； （2）设三条线段的长度分别为，，，再利用三边关系进行判断即可． 解：（1）能， 因为，，， 所以能组成三角形； （2）不能， 设三条线段的长度分别为，，， 因为不满足三角形的三边关系， 故不能． 【变式1】（24-25八年级上·浙江温州·期中）四根木棒的长度分别为，，，．从中取三根，使它们首尾顺次相接组成一个三角形．则下列取法中不能组成一个三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的三边关系的应用，熟练掌握三角形的三边关系是解题关键．根据三角形的三边关系定理逐项判断即可得． 解：A、因为，所以长度为，，的三根木棒能组成一个三角形，则此项不符合题意； B、因为，所以长度为，，的三根木棒能组成一个三角形，则此项不符合题意； C、因为，所以长度为，，的三根木棒不能组成一个三角形，则此项符合题意； D、因为，所以长度为，，的三根木棒能组成一个三角形，则此项不符合题意； 故选：C． 【变式2】（23-24七年级下·江苏宿迁·期末）若a、b、c是三角形的三边，则 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形的三边关系、绝对值化简，根据三角形的三边关系可得，，再根据绝对值的性质进行求解即可． 解：∵a、b、c是三角形的三边， ∴，， ∴ ， 故答案为：． 【题型3】确定三角形第三边取值范围 【例题3】（2025九年级上·全国·专题练习）已知a，b，c是的三边长且互不相等，c是的最短边，且a，b满足．求c的取值范围． 【答案】 【分析】本题主要考查利用完全平方公式、非负数的性质，三角形三边的关系等知识点，掌握完全平方公式的特点是解题的关键． 先将化成，再利用完全平方式的特点以及非负数的性质求出a，b的值，然后根据三角形的三边关系以及已知条件列不等式组求解即可． 解：， ， ， ，解得∶． 又是的三边长且互不相等，c是的最短边， ，解得． 【变式1】（24-25八年级上·山东济宁·期末）一个三角形的三边长分别是，，，且满足，则此三角形的边的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查非负数的性质，二元一次方程组的应用以及三角形三边关系定理，根据非负数的性质得，求解后再根据三角形三边关系定理即可得出结论．解题的关键是掌握：三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边． 解：∵，，， ∴， 解得：， ∵一个三角形的三边长分别是，，， ∴，即， ∴此三角形的边的取值范围是． 故选：B． 【变式2】（24-25八年级上·江西上饶·阶段练习）已知三角形三边的长均为整数，且，如果，则符合条件的三角形共有 个． 【答案】21 【分析】本题考查三角形三边关系，要注意根据“三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”进行分析计算．根据题意，可取的值为1、2、3、…7，由三角形的三边关系，有，对分情况讨论，分析可得可取的情况，即可得这种情况下符合条件的三角形的个数即可得答案． 解：根据题意，可取的值为1、2、3、…7， 根据三角形的三边关系，有， 当时，有，则值不存在， 当时，有，则，有1种情况， 当时，有，则，有2种情况， 当时，有，则，有3种情况， … 当时，有，则，有6种情况， 则符合条件的三角形共有． 故答案为：21． 【题型4】三角形三边关系的应用 【例题 4】（2025·新疆阿克苏·一模）（1）解方程组： （2）李大爷准备用一段长的篱笆围成一个三角形场地用于饲养鸡，已知该场地第一条边长为，由于条作限制，第二条边长只能比第一条边长的2倍少． ①第二条边长为_____________m，第三条边长为_____________m．（用含的式子表示） ②第一条边长能否为？为什么？ 【答案】（1）（2）第一条边长不能为，详见分析 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，三角形的三边关系，熟练掌握解二元一次方程组，三角形的三边关系是解决此题的关键． （1）利用代入消元法解方程组即可得解； （2）①由题意表示出第二条边长，第三条边长即可，②当时，三边长分别为，根据三角形三边关系即可作出判断． 解：（1）， 由①得，， 将③代入②得，，解方程得，， ， 方程组的解为； （2）①第二条边长只能比第一条边长的2倍少． 第二条边长为， 第三条边长为， 故答案为：，； ②当时，三边长分别为， ， 不能构成三角形，即第一条边长不能为． 【变式1】（24-25八年级上·四川德阳·期中）如图是折叠凳及其侧面示意图．若，则折叠凳的宽可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解答本题的关键． 根据三角形的三边关系即可求解． 解：， ， ， 折叠凳的宽可能是， 故选：A． 【变式2】（24-25八年级上·内蒙古乌兰察布·期末）为方便劳动技术小组实践教学，需用篱笆围成一块三角形空地，现已连接好三段篱笆、、，这三段篱笆的长度如图所示，其中篱笆、可分别绕轴和转动．若要围成一个三角形的空地，则在篱笆上接上新的篱笆的长度可以为 （写一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查三角形三边关系，能够利用三角形三边关系确定第三边的取值范围是解答本题的关键． 设在篱笆上接上新的篱笆长度为，由，求出的取值范围，即可解答． 解：设在篱笆上接上新的篱笆长度为， 根据题意得：，，， ， 即， ， 在篱笆上接上新的篱笆的长度可以为， 故答案为：（答案不唯一）． 知识点（三）三角形的内角和定理 1.三角形的内角和三角形内角和定理：三角形的三个内角之和恒等于180°. 2.数学语言表述：如图1，在ABC中，. 图1 3.三角形内角和定理的证明 已知：△ABC的三个内角分别为∠A，∠B，∠C； 求证：∠A+∠B+∠C过点A作直线MN，使之与BC边平行（或相交于BC的延长线）。线MN，使MNBC． 图2 ∵MNBC, ∴∠B=∠MAB,∠C=∠NAC, ∵∠MAB+∠NAC+∠BAC=180°, ∴∠B+∠C+∠BAC=180°, 即∠BAC+∠B+∠C=180°． 【特别说明】 （1）证明三角形内角和的方法很多，在后面的例题、练习题中还会出现其他方法 （2）三角形三个内角中最多三个锐角，至少有两个锐角，最多有一个钝角，且三角形中最大的内角不三角形外角的定义是：由三角形的一边与另一边的反向延长线所夹的角，称为三角形的外角。 【题型5】三角内角和定理的证明 【例题 5】（24-25八年级上·湖北宜昌·阶段练习）小明想探究三角形内角和的度数，下面是他的探究过程，请你帮他把探究过程补充完整． 在边上任取一点E，作交于点D，作交于点F． ， _______，_______． ， _______． ， _______， _______． ， _______． 【答案】；；；；； 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理的证明，平行线的性质，根据平行线的性质和已给推理过程进行证明即可． 解：， ，． ， ． ， ， ． ， ． 【变式1】“生活中处处有数学”，请看图，折叠一张三角形纸片，把三角形的三个角拼在一起，我们就可以得到一个著名的常用的几何结论，这一结论是 . 【答案】三角形的内角和是180° 【分析】根据折叠前后的两个角相等，把三角形的三个角转化为一个平角，可以得到三角形内角和定理． 解：根据折叠的性质，∠A=∠3，∠B=∠1，∠C=∠2， ∵∠1+∠2+∠3=180°， ∴∠B+∠C+∠A=180°， ∴定理为：三角形的内角和是180°． 故答案为：三角形的内角和是180°． 【点拨】本题主要考查了三角形的内角和定理的证明，熟练掌握翻折变换的性质是解题的关键． 【变式2】（2024八年级上·黑龙江·专题练习）在探究证明三角形的内角和定理时，综合实践小组的同学们作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形的内角和是”的是（   ） A．图①过点C作 B．图②作于点D C．图③过上一点D作 D．图④延长到点F，过点C作 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形内角和定理的证明，根据平行线的性质，平角的定义即可得解，熟练掌握三角形内角和定理的证明方法，是解决本题的关键． 作出相应的平行线，把三角形的内角进行转化，再根据平角的定义解决此题． 解：A、由， 得，． 由， 得． 故A不符合题意； B、由于D， 得， 无法证得三角形内角和是． 故B符合题意； C、由， 得，，． 由， 得，， 那么． 由， 得． 故C不符合题意， D、由， 得，． 由， 得． 故D不符合题意； 故选：B． 【题型6】利用三角形内角和定理求值 【例题6】（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，已知点、、在同一直线上，，，若，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，三角形的内角和，解题的关键是掌握平行线的判定与性质．由可得，推出，再根据三角形的内角和，即可求解． 解：， ， ， ， ， ． 【变式1】（24-25七年级下·四川眉山·期末）如果一个三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“差余三角形”．已知是“差余三角形”，，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了三角形的内角和，正确的理解题意是解题的关键． 根据“差余三角形”的定义构建方程即可解决问题． 解：是“差余三角形”， ， 或， 或， 当时，， 的度数为或， 故选：或. 【变式2】（24-25七年级下·吉林长春·期中）在一个三角形中，如果一个内角是另一个内角的3倍，这样的三角形我们称之为“三倍角三角形”．例如，三个内角分别为的三角形是“三倍角三角形”．若是“三倍角三角形”，且，则中最小内角的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了三角形内角和定理，准确理解题意是解题的关键．由题意得，设最小的内角为，进而分类讨论求解即可． 解：∵， ∴， 设最小的内角为， 当时，； 当时，，不合题意； 当时，，另一个内角为，符合题意； ∴中最小内角的度数为或， 故答案为：或． 知识点（四）三角形的外角 1.定义;三角形的一边与另一边的延长线组成的角 如图4所示，在ABC中，是的一个外角，它的相邻内角是，不相邻两内角分别为、. 图4 2.三角形外角性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和； 3.三角形外角性质的证明 已知：如图5，是的一个外角。 求证：． 证明：方法一：中，， ∵， ∴； 方法二：过点C作，如图3，    图5 ∵ ∴，， ∴． 【题型7】利用三角形外角性质求值 【例题7】（22-23七年级上·云南昆明·开学考试）如图，把三角形的三边延长． （1）（    ），这是一个（    ）角． （2）在○里填上“”“”或“”． ○ （3）在图中，你还能找出像第（2）题这样关系的角吗？试着写出一组． 【答案】（1）180，平角；（2）；（3） 【分析】本题考查了邻补角的定义，平角的定义，角的大小比较． （1）根据邻补角的定义及平角的定义即可解答； （2）由（1）知，再根据，求出，即可解答； （3）结合（1）（2）即可解答． 解：（1）解：是邻补角， ，这个角是一个平角； （2）解：， ， 三角形三个角之和是， ，即， ； （3）解：结合（1）（2）得：． 【变式1】（2025七年级下·全国·专题练习）如图，直线，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质、三角形外角的定义及性质，由平行线的性质可得，再由三角形外角的定义及性质可得，，计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 解：∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 故选：A． 【变式2】（24-25八年级上·广东汕头·期末）将一副直角三角板按如图方式叠放在一起，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，对顶角、邻补角，熟练掌握这些定理是解题的关键． 先根据三角形内角和定理求出的度数，再根据三角形外角的性质求出的度数，最后根据邻补角互补的性质即可求出的度数． 解：如图， 由题意得，， ， ， ， 故答案为：． 【题型8】利用三角形外角性质证明 【例题8】（24-25八年级上·安徽池州·期末）如图，平分的外角，且交的延长线于点E． （1）若，，求的度数； （2）试猜想、、三个角之间存在的等量关系，并证明你的猜想． 【答案】（1）；（2），证明见分析 【分析】本题考查的是角平分线的定义，三角形的外角的性质； （1）先求解，可得，再利用三角形的外角的性质可得结论； （2）证明，结合，，可得结论． 解：（1）解：，， ， 平分， ， ； （2）解：，理由如下： 平分， ， 又∵， ， 即． 【变式1】（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）如图，已知，，，试猜想与的位置关系，并证明你的结论． 【答案】，证明见分析 【分析】由两直线平行内错角相等可得，，进而可得，，由三角形外角的性质可得，由三角形的内角和定理可得，于是可得，根据垂线的定义即可得出结论． 解：，理由如下： ， ，， ，， ，， ， 又， ， ． 【点拨】本题主要考查了两直线平行内错角相等，三角形外角的性质，三角形的内角和定理，垂线的定义等知识点，利用各项已知条件推出是解题的关键． 【变式2】（24-25八年级上·广西·阶段练习）在中，，点D、E分别在、上． （1）如图1，，证明：是直角三角形； （2）如图2，连接，平分，求的度数． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义，三角形的分类，掌握三角形的性质是解题关键． （1）由三角形内角和定理，得到，进而得出，即可证明结论； （2）由三角形内角和定理，得到，再由角平分线的定义，得到，然后根据三角形外角的性质求解即可． 解：（1）证明：在中，， ， ， ， ， 是直角三角形； （2）解：在中，，， 平分， ． 知识点（五）三角形的分类 【题型9】利用三角形分类进行判断 【例题9】（23-24八年级上·重庆永川·期中）如果一个三角形的三个内角度数之比为，则该三角形是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【答案】A 【分析】本题考查了三角形内角和定理． 根据三角形内角和定理，将角度比转化为具体度数，判断最大角的类型即可确定三角形的类别． 解：设三个内角的度数分别为、、， 根据三角形内角和为，可得： 解得： 因此，三个内角分别为：，， 最大角为，小于， 故三个角均为锐角， 因此，该三角形是锐角三角形， 故选A． 【变式1】（24-25七年级下·上海嘉定·期末）在中，如果，那么是 三角形．（填“锐角”、“直角”或“钝角”） 【答案】钝角 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形的分类，根据三角形内角和定理求出的度数即可得到答案． 解：∵在中，，， ∴， ∴是钝角三角形， 故答案为：钝角． 【变式2】（24-25七年级下·吉林长春·期末）在中，，请通过计算判断的形状． 【答案】是等腰直角三角形 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，把、都换为，得到关于的方程是解题的关键．根据三角形的内角和等于列出方程，然后把、都换为，计算即可得解，再根据三角形的内角的度数判断三角形的形状，即可求解． 解： （已知）， 又（三角形内角和定理）， （等量代换）， ， ， 是等腰直角三角形． 知识点（六）三角形的三条重要线段 1. 三角形的中线： （1）定义：在三角形中，连接一个顶点和它所对边的中点的线段，叫做这个三角形的中线； 图1 图2 （2）几何语言表述：如图1，在中，是边的中点，因此线段是的中线； （3）重心：如图2，三角形三条中线交于一点，这个交点叫三角形的重心； （4）中线模型：中线分得的三角形面积相等；如图1，是的中线，得出; 【题型10】由三角形中线求线段 【例题 10】（22-23八年级上·广西河池·期中）如图，是的中线，的周长为，求的长． 【答案】2 【分析】本题主要考查三角形中线的计算，掌握中线的定义是关键． 根据三角形的周长得到，由中点的定义得到，由此即可求解． 解：∵的周长为，， ∴， 又∵是的中线， ∴点是的中点， ∴， ∴． 【变式1】（24-25八年级上·云南昭通·阶段练习）如图，在中，若，，是的两条中线，则的周长是（　　） A．22 B．26 C．35 D．45 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的中线的性质．先求得，得到，利用三角形中线的性质求得，，据此求解即可． 解：∵， ∴， ∵， ∵是的两条中线， ∴，， ∴的周长是， 故选：B． 【变式2】（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，已知是的中线，，，且的周长为，则的周长是 ． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是三角形中线定义，解题关键是由三角形中线定义得出． 先根据三角形的中线定义得，再根据三角形的周长公式即可得解． 解：是的中线， ， 的周长为， 即， ， 的周长． 故答案为：． 【题型11】由三角形中线求面积 【例题11】（2024七年级上·四川成都·专题练习）如图所示，已知三角形的面积为20，，，求阴影部分的面积． 【答案】 【分析】本题考查了三角形中线有关的面积，由边之间的关系得，，阴影部分的面积转化成的面积，即可求解． 解：如图，连接， 设， ，， ，，， ， ， ， 解得：， 故阴影部分的面积为． 【变式1】（24-25七年级下·四川巴中·期末）如图，是边BC上一点，，过点作的垂线，交于点E，若的面积是，，则长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形面积，先求出，再结合三角形公式计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 解：∵是边BC上一点，，的面积是， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【变式2】（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，于点，延长至点，使，连接，若，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的中线的性质，三角形的面积计算，熟练掌握三角形中线的性质是解题的关键．根据题意得出，根据可得的面积为，即可求解． 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【题型12】重心 【例题 12】（23-24七年级下·河北保定·期末）画出三角形的重心O，并说明、、的面积存在什么数量关系？ 【答案】图见分析， 【分析】本题主要考查了画三角形的重心，重心的性质，掌握三角形的重心定义以及性质是解题的关键． 根据三角形重心的定义画图即可，由O是的重心，可得出、、是的中线，由中线可得出，进可可得出，又由，可得出，同理可得出，即可证明． 解：如下图O是的重心． 理由如下： ∵O是的重心， ∴、、是的中线， ∴， ∴， 又∵，， ∴， 同理可得， ∴． 【变式1】（23-24八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）如图，小明用铅笔可以支起一张质地均匀的三角形卡片，则他支起的这个点应是三角形的（    ） A．三角形的中点 B．三条角平分线的交点 C．三边高的交点 D．三边中线的交点 【答案】D 【分析】根据题意得：支撑点应是三角形的重心．根据三角形的重心是三角形三边中线的交点． 解：支撑点应是三角形的重心， 三角形的重心是三角形三边中线的交点， 故选：D． 【点拨】本题考查了三角形的重心的概念和性质．注意数学知识在实际生活中的运用． 【变式2】（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，，，分别为，，的中点，点为的重心．已知的面积为1，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查三角形重心的定义，三角形中线的性质，熟练掌握三角形中线是解题关键．根据三角形中线的性质求解即可． 解：∵的面积为1，D，E，F分别为的中点， ∴，，， ∴， ∴， 同理 ∴的面积为， 故答案为：． 2. 三角形的角平分线： （1）定义：三角形一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段，叫做这个三角形的角平分线. 图3 图4 （2） 表示方法：如图3，在中，线段平分交对边于点，因此线段是的角平分线； （3）内心：如图4，三角形三条角平分线于一点，这个交点叫三角形的内心； 【题型13】由三角形角平分线定义求角度 【例题 13】（24-25七年级上·福建泉州·期末）如图，与相交于点E， ，． (1)若，求的度数； (2)取线段的中点F，连结．若，．求证：平分． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）由，得，根据两直线平行内错角相等，即可求解； （2）由得，由，得，进而得，根据，，可得平分． 本题考查平行线的性质和判定，角平分线的定义，掌握平行线的性质和判定是解题的关键． （1）解：∵，， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 即平分． 【变式1】（24-25七年级下·河北张家口·期中）如图，，则是的（   ） A．高线 B．角平分线 C．中线 D．以上都不是 【答案】B 【分析】该题考查了三角形的角平分线，根据题意得出，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴是的角平分线． 故选：B． 【变式2】（23-24九年级下·河北邯郸·期中）如图，在中，已知，．依据尺规作图痕迹，解决下列问题．    （1）与是否垂直？ （填“是”或“否”）； （2） ． 【答案】 是 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，基本作图，解题的关键是掌握等腰三角形的性质和角平分线的作图方法． （1）根据作图可得平分，由，结合等腰三角形的三线合一可得； （2）由，可得，进而求出，根据作图可得平分，即可求解． 解：（1）根据作图可得平分， 由， ， 故答案为：是； （2）， ， ， 平分， ， 故答案为：． 3. 三角形的高： 图5 图6 （1） 定义：从三角形的一个顶点向它所对的边所在直线画垂线，顶点和垂足之间的线段，叫做这个三角形的高线（简称高）. （3） 表示方法：如5，在中，线段于点，垂直为，因此线段是的高； （4） 垂心：如图6，三角形三条高线于一点，这个交点叫三角形的垂心； 【题型14】尺规作图——画（识别）三角形的高 【例题 14】（24-25七年级下·甘肃陇南·期中）如图，在三角形中，点是的中点． （1）作于点、于点（作出图形，不写作法）； （2）和有怎样的位置和数量关系？为什么？ 【答案】（1）见分析；（2），，见分析 【分析】本题考查了作垂线，平行线的判定，三角形中线等分面积等知识点，熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键． （1）根据作垂线的方法即可作图； （2）根据同位角相等，两直线平行即可得到，再由中线等分面积得到，再由三角形面积公式即可求解． 解：（1）如图，垂线即为所求： （2）解：，，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴． 【变式1】（24-25七年级下·山西太原·阶段练习）如图，借助直角三角板作的边上的高，下列直角三角板的位置摆放正确（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的高，熟知三角形高线的定义是解答此题的关键． 根据高线的定义即可得出答案． 解：从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高， 借助直角三角板作的边上的高，直角三角板的位置摆放正确的是 ， 故选：A． 【变式2】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在中，，垂足分别为，，，则的边上的高为线段 ，边上的高为线段 ； 【答案】 【分析】本题考查了三角形的高线的定义；根据三角形高的定义以及三角形的面积公式，即可求解． 解：因为， 所以的边上的高为线段， 因为， 所以边上的高为线段， 故答案为：，． 【题型15】利用三角形的高求值 【例题 15】（24-25七年级下·全国·假期作业）如图，． （1）在中，边上的高是 ； （2）在中，边上的高是 ； （3）在中，边上的高是 ； （4）若，则的面积为 ． 【答案】 【分析】此题考查了三角形的高线定义，求三角形的面积， 根据三角形高线的定义解答（1）（2）（3）；利用三角形面积公式直接求（4）面积即可． 解：（1）∵在中，， ∴边上的高是， 故答案为：； （2）∵，即， ∴在中，边上的高是， 故答案为； （3）∵，即， ∴在中，边上的高是， 故答案为； （4）∵， ∴的面积为， 故答案为． 【变式1】（24-25七年级上·山东烟台·期末）如图，已知的面积为，分别延长至点，使，延长至点，使，延长至点，使，依次连接，，，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的面积，掌握同高的两个三角形，其面积比等于底边长之比是解题的关键； 根据“同高的两个三角形，其面积比等于底边长之比”计算即可 解：如图，连接、、； ， ， ， ， ， 同理可得，， ， ； 故选：B 【变式2】（24-25七年级下·湖南株洲·期中）如图，在直角三角形中，，，，，，． （1）点到的距离是______；点到的距离是________． （2）求点到的距离． 【答案】（1）；；（2）点到的距离为． 【分析】本题主要考查了点到直线的距离的定义，三角形面积公式，点到直线的距离：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离． （1）根据定义即可解答． （1）在中，利用等积法求解即可解答． 解：（1）点到的距离是；点到的距离是． 故答案为：；； （2）设点到的距离为， ∵，，，， ∴，即， ∴， ∴点到的距离为． 知识点（七）三角形的稳定性 三角形的稳定性：三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性。在生产和生活中，房屋的人字梁、大桥钢架等都利用了三角形的稳定性。特别说明：四边形不具有稳定性。 【题型16】三角形的稳定性和四边形的不稳定性 【例题 16】（24-25八年级上·全国·假期作业）如图所示，木工师傅在做完门框后，为防止变形常常像图中那样钉上两条斜拉的木板条（即），这样做的数学道理是什么？ 【答案】三角形的稳定性 【分析】本题考查三角形的稳定性在生活中的具体应用，根据三角形的稳定性进行解答即可． 解：木工师傅在做完门框后，为防止变形常常像图中那样钉上两条斜拉的木板条（即），这样做的数学道理是三角形的稳定性． 【变式1】（24-25七年级下·重庆·期末）利用到三角形的稳定性的生活实例是（    ） A．车库大门口的起落杆 B．四条腿的方桌 C．用枪的准星瞄准目标 D．脚踏车的三角车架 【答案】D 【分析】本题考查三角形稳定性的实际应用，三角形具有稳定性，即三边确定后形状固定不变形，而四边形等不具备该特性，需逐一分析选项，判断是否利用三角形结构来增强稳定性． 解： A：车库起落杆通常为平行四边形结构，利用四边形的不稳定性实现升降功能，而非三角形稳定性； B：四条腿的方桌仅由四边形支撑，未添加三角形加固结构，易摇晃，属于四边形不稳定的实例； C：枪的准星瞄准目标时，三点一线原理属于几何应用，与结构稳定性无关； D：脚踏车三角车架通过三角形结构连接各部件，利用三角形的稳定性使车架坚固不易变形； 故选：D． 【变式2】（2024八年级下·浙江·专题练习）生活中处处有数学，如自行车的三角架是三角形的稳定性的应用，而能够自由开关的活动窗户（如图）的支撑装置（四边形设计成对边互相平行的四边形，其中应用的数学原理是 ． 【答案】平行四边形具有不稳定性 【分析】本题主要考查四边形的不稳定性求解可得． 解：因为四边形具有不稳定性， 所以可以灵活的开关窗户， 故窗户的支撑装置（四边形被设计成平行四边形． 故答案为：四边形具有不稳定性． 知识点（八）三角形内角和外角性质综合 在计算和证明过程中，通三角形内角和外与角性质是常见而不可或缺的途径之一，为以后角的关系转化为边的关系夯实基础作好准备。 【题型17】三角形内角和与平行线综合 【例题 17】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）如图，中，分别是上的点，满足． （1），是否平行？说明理由． （2）若平分，，求度数． 【答案】（1）平行；（2） 【分析】本题考查了三角形的内角和，平行线的判定等知识点． （1）由三角形内角和为，结合已知可得，由同位角相等两直线平行即可得出结论； （2）根据角平分线定义可得，结合可得． 解：（1）结论：平行， ∵， ， ∴， ∴． （2）∵平分， ∴， ∵， ∴． 【变式1】（2025·安徽滁州·三模）两个直角三角板如图摆放，其中，，，若是上一点且，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，三角板的有关计算，由，，，则，，又，则，然后通过角度和差即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键 解：∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． 【变式2】（21-22七年级下·陕西榆林·期末）如图，在中，，，点D为边上一点，过点D作//，交于点E，且，连接，则的度数是 ． 【答案】/110度 【分析】根据三角形内角和定理求出，根据平行线的性质得出，由外角的性质得出即可． 解：在中，，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点拨】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，三角形的外角定理，解题的关键是掌握：两直线平行，内错角相等． 【题型18】三角形内角和与折叠问题 【例题 18】（23-24八年级上·福建莆田·阶段练习）如图，在中，，，为边上一点，将沿直线翻折后，点落到点处．若，求的度数．    【答案】 【分析】根据三角形的内角和得到，由折叠的性质得到，，，根据平行线的性质得到，则，根据三角形内角和定理即可得到结论． 解：∵， ∴， 由折叠的性质得，， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴． 【点拨】本题考查了三角形的内角和，折叠的性质，平行线的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 【变式1】（24-25七年级下·广东深圳·期中）如图，在中，，点，分别是、边上的点，将沿所在直线对折，得到．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了对折的性质，三角形的外角的定义，三角形的内角和定理，熟练掌握对折的性质是解题的关键． 先由题意易得，由对折的性质可得，，再由三角形的外角的定义可得，最后由三角形的内角和定理即可得解． 解：∵， ∴， ∵，沿所在直线对折得到， ∴，， ∴， ∴， 故选：B． 【变式2】（2025·山东青岛·二模）如图，在中，，，，分别在，上，将沿折叠得到，且，则的度数为 ． 【答案】/74度 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，平行线的性质，根据三角形内角和可以求出的度数，由折叠性质得出，，再根据平行线性质得到，然后通过平角定义可得，最后由平行线的性质得出，掌握知识点的应用是解题的关键． 解：∵，， ∴， 由折叠性质可知，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【题型19】三角形内角平分线与外角平分线综合 【例题 19】（24-25七年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，已知中，分别是的角平分线交于点O，如果，那么的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和问题，根据角平分线的定义和三角形的内角和定理得到，再根据三角形的外角得到，即可． 解：∵， ∴， ∵分别是的角平分线交于点O， ∴， ∴， ∵是的一个外角， ∴； 故选C． 【变式1】（24-25七年级下·江苏南京·期末）如图，在中，，点E、F分别在边上，，，的角平分线与的角平分线交于点P，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义等，熟练掌握这些知识是解题的关键． 根据题意可知，设，表示出，根据角平分线的定义，可得的度数，根据列方程，即可求出的度数． 解：∵，平分， ∴， 设， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式2】（24-25七年级下·河南南阳·期末）认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹的角的探究片段，完成所提出的问题． 探究1：如图1，在中，O是与的平分线和的交点，通过分析发现，理由如下： ∵和分别是和的角平分线 ∴， ∴； 又∵， ∴ ① ； ∴ ② ． 请完成探究1的填空， _______， _________； 探究2：如图2中，O是与外角的平分线和的交点，试分析与有怎样的关系？请说明理由． 探究3：如图3中，O是外角与外角的平分线和的交点，则与有怎样的关系（只写结论，不需证明）？ 结论：___________________． 【答案】探究1：①；②；探究2结论：，理由见分析；探究3：，理由见分析 【分析】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和问题，三角形的外角，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： 探究1：根据步骤，三角形的内角和定理，进行作答即可； 探究2：根据角平分线的定义，三角形的外角的性质，进行推导即可； 探究3：根据角平分线的定义，三角形的内角和定理进行推导即可． 解： 探究1：∵和分别是和的角平分线 ∴， ∴； 又∵， ∴； ∴． 探究2结论： ，        理由如下： ∵和分别是和的角平分线， ∴， 又∵是的一外角， ∴， ∴， ∵是的一外角， ∴； 探究3：． ∵，，O是外角与外角的平分线和的交点， ∴， ∴， ， ． 二．同步练习​ 1. 基础巩固（选择题6题，填空题6题，解答题4题.） 一、单选题 1．（24-25七年级下·山西临汾·期末）若一个三角形的两边长分别为2和4，则该三角形的第三条边长可能是（　　） A．6 B．5 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了三角形三边关系． 根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，求出第三边取值范围，再判断即可． 解：设第三边为x， ∵一个三角形的两边长分别为2和4， ∴， 即， 故选：B． 2．（24-25七年级下·上海·阶段练习）如图，四个图形中，线段是的高的图是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】本题考查画三角形的高，根据高的定义，进行判断即可． 解：线段是的高，则过点作的垂线，垂足为；故满足题意的只有选项D； 故选D． 3．（21-22八年级上·浙江杭州·阶段练习）在探究证明“三角形的内角和是180”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是180°”的是（   ） A．过作∥ B．延长到，过作 C．作于点 D．过上一点作， 【答案】C 【分析】运用转化的思想作出相应的平行线，把三角形的内角进行转化，再根据平角的定义解决此题． 解：由，则，． 由，得．故A不符合题意； 由，则，． 由，得．故B不符合题意； 由于，则， 无法证得三角形内角和是．故C符合题意， 由，得，．由，得，，那么． 由，得．故D不符合题意； 故选：C． 【点拨】本题主要考查三角形内角和的定理的证明，平行线的性质，熟练掌握转化的思想以及平角的定义是解决本题的关键． 4．（24-25七年级下·四川遂宁·期末）如图，和分别是的角平分线和高，过点作，垂足为若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的内角和，三角形的角平分线，高线，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．根据，，得出，根据角平分线的定义可得，根据三角形内角和定理得出，进而根据是的高，进而即可求解． 解：∵，， ∴ ∵是的角平分线 ∴ ∴ ∵是的高， ∴ ∴ 故选：B． 5．（23-24八年级上·重庆永川·期中）如图，（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形内角和定理． 连接，由三角形内角和定理可知：，进而计算即可. 解：如图，连接， ∵，， ∴， ∴ ， 故选D． 6．（辽宁省大连市金普园区2024-2025学年七年级下学期期末考试数学试卷）如图，中，，，是边上的高，是的平分线，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和以及外角性质、角平分线的定义．先求出，结合高的定义，得，因为角平分线的定义得，运用三角形的外角性质，即可作答． 解：∵， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴． 故选：C． 二、填空题 7．（24-25七年级下·四川乐山·期末）如图，乐山致江路大桥于2024年12月25日顺利通车，许多市民前往游观，桥上斜拉索的作用在物理方面可以平衡大桥主梁的重量和荷载，那么在数学上体现的知识是 ． 【答案】三角形的稳定性 【分析】根据三角形的稳定性解释即可． 本题考查了三角形的稳定性，熟练掌握性质是解题的关键． 解：根据题意，得三角形的稳定性是解释依据， 故答案为：三角形的稳定性． 8．（24-25七年级下·广东揭阳·阶段练习）已知a、b、c为的三边，则化简 【答案】 【分析】本题考查三角形的三边关系，化简绝对值．熟练掌握三角形的三边关系，是解题的关键．根据三角形的三边关系，以及绝对值的意义，进行化简即可． 解：∵为的三边，， ∴，，即， ∴． 故答案为：． 9．（2025·河南平顶山·模拟预测）如图，在中，于点，点是边的中点，，，则的长为 ． 【答案】6 【分析】本题考查三角形的面积、中线，根据三角形面积公式列关于的方程并求解，再由中点的定义计算的长即可．掌握三角形面积计算公式和中点的定义是解题的关键． 解：∵，， ∴， ∵是中线， ∴ 故答案为：6． 10．（24-25八年级上·北京海淀·期中）已知如图，，，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了与平行线有关的三角形内角和问题，熟练掌握三角形内角和定理和平行线的性质是解题的关键．根据三角形内角和定理求出，再利用平行线的性质即可求解． 解：，， ， ， ． 故答案为：． 11．（24-25七年级下·福建福州·期末）如图，直角三角形卡纸，将纸片沿折叠，若，则的度数为 【答案】/38度 【分析】本题考查了三角形折叠问题和三角形内角和，解题关键是根据折叠得出角相等，利用三角形内角和求解．由题意得，由折叠得，那么，故，进而推断出，从而求得． 解：由题意得：， 由折叠得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 12．（24-25七年级下·吉林长春·期末）如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，给出以下结论： ①；②；③；④． 上述结论中，正确结论的序号有 ． 【答案】②③④ 【分析】本题考查的是三角形的角平分线、中线和高，掌握它们的定义是解题的关键．根据三角形的中线的性质判断②；根据直角三角形的两锐角互余以及对顶角相等判断④；根据角平分线的定义判断③，根据题意判断①． 解：是的中线， ， 故②正确，符合题意； 是角平分线， ， ， ， ， ， ， ， ∴， 故④正确，符合题意； ，， ∴ ， 故③正确，符合题意； 过点F作于点P， ∵，是角平分线， ∴， 在中，， ∴， 故①错误，不符合题意； 故答案为：②③④ 三、解答题 13．（24-25七年级下·江西吉安·阶段练习）如图，在中，，于，平分 （1）若，求的度数． （2）若，求的长． 【答案】（1）；（2）4.8 【分析】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和问题，与三角形的高有关的计算. （1）根据三角形的内角和定理，求出的度数，角平分线求出的度数，再根据角的和差关系进行求解即可； （2）等积法求出的长即可． 解：（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，平分 ∴， ∴； （2）∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 14．（24-25七年级下·湖南衡阳·期末）如图，是边上的一点，，． （1）求的度数：请在解答过程的空白处填上适当的内容．（理由或数学式） 解：（1）∵是的外角，（已知）， ∴______（______）． 又∵（已知）， ∴______°．（等量代换） （2）若平分，求的度数．（请写出完整的解答过程） 【答案】（1）答案见分析；（2） 【分析】本题考查三角形的外角性质、角平分线的定义、三角形内角和定理等知识．熟记三角形的外角性质、角平分线的定义、三角形内角和定理等知识，并灵活运用是解决问题的关键． （1）由是的外角，利用“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”，可求出的度数； （2）利用角平分线的定义和“三角形的内角和等于”，可求出的度数． 解：（1）解：∵是的外角，（已知）， ∴（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）． 又∵（已知）， ∴．（等量代换）； （2）解：∵平分，（已知）， ∴（角平分线的定义）． ∵在中，，（已证）， ∴（三角形的内角和定理）． 15．（24-25七年级下·山东威海·期末）已知：，平分，交于点C，E是射线上一动点，连接． （1）如图Ⅰ，，，求证：； （2）如图Ⅱ，点E在直线上方，的度数为m，，求的度数．（用含m的式子表示） 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，垂线定义理解，三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质． （1）根据平行线的性质求出，根据角平分线定义求出，根据平行线的性质，求出，即可得出答案； （2）根据的度数为m，，求出，，根据平行线的性质求出，根据角平分线定义求出，根据平行线的性质求出，最后根据三角形外角的性质求出结果即可． 解：（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵的度数为m，， ∴，， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴ ． 16．（24-25七年级下·陕西安康·期中）如图，已知，，是射线上一动点（与点不重合），平分交射线于点． （1）的度数是_________． （2）当点运动时，与之间的度数之比是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的度数之比，并说明理由；若变化，请写出变化规律． 【答案】（1）；（2）不变，． 【分析】本题考查的知识点是平行线的性质、角平分线的定义、外角的性质，解题关键是熟练掌握平行线的性质． （1）根据平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补即可得解； （2）结合平行线性质和角平分线定义可推得，再由外角性质即可得． 解：（1）解：∵，， ， ． 故答案为：． （2）解：不变化，，理由如下： ， ， 平分交射线于点， ， ， 是的外角， ． 2. 能力提升（选择题6题，填空题6题，综合解答题4题） 一、单选题 1．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）在中，，那么是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 【答案】A 【分析】本题考查的是三角形内角和定理，根据在中，，可求出各角的度数，进而得出结论． 解：∵在中，，， ∴， 解得， ∴， ∴是锐角三角形． 故选：A． 2．（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图，小深在池塘一侧选取了点，测得，，那么池塘两岸，间的距离可能是（    ）． A．9 B．8 C．5 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题根据三角形的三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边的知识，进行作答，即可求解； 解：根据三角形的三边关系可得：， 即， 逐一核对选项，只有选项C符合， 故选：C 3．（24-25七年级上·山东烟台·期中）如图，用三角板作的边上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了作图基本作图，根据三角形高的定义即可得出结论，熟知三角形高的定义是解题的关键． 解：边的高垂直于，且过点B 由图形可得，选项不是，选项是， 故选：． 4．（24-25七年级下·山东济南·期中）如图，在中，已知点D、E、F分别为、、的中点，若阴影部分的面积为3，则的面积为（    ） A．12 B．16 C．18 D．20 【答案】A 【分析】本题考查了求有关三角形中线的面积问题，由三角形的面积得，，，即可求解；掌握三角形中线将三角形面积平分是解题的关键． 解：点D、E、F分别为、、的中点， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 5．（24-25七年级下·河北秦皇岛·阶段练习）如图在中，是的高．若为内角的平分线．当，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形内角和定理，角平分线的定义，垂直的定义，掌握三角形内角和定理，角平分线的定义，角度的和差计算方法是解题的关键． 先利用三角形的内角和、角平分线的性质求出，，再利用三角形的内角和求出，最后利用角的和差关系求出． 解：∵，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵是的高， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 6．（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图，三角板（其中，）和三角板（其中，）按照如图所示的位置摆放，点在边上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查平行线的性质，延长交于点P，由平行线的性质得出，由三角形内角和定理得，从而可求出的度数 解：∵， ∴ 延长交于点P，如图， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴， ∴ 故选：D 二、填空题 7．（24-25八年级上·山东滨州·期末）如果一个三角形的一边长为，另一边长为，若第三边长为．且x为奇数，则此三角形的周长为 ． 【答案】12 【分析】本题主要考查三角形三边关系，三角形两边之和大于第三边，三角形两边之差小于第三边，确定x的范围，再根据x为奇数，据此可求得答案． 解：根据三角形两边的和大于第三边，则．即． 根据三角形两边的差小于第三边，则，即， ， 为奇数， 的长为， ∴三角形的周长， 故答案为：12． 8．（24-25七年级下·福建福州·期末）如图，在中，是的高线，是的角平分线，，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的高线，角平分线以及直角三角形两锐角互余定理的应用，熟练掌握相关定理是解题的关键．先根据是的角平分线，得到，再由是的高线，得到，再由角的和差即可解答． 解：， ， 是的角平分线， ， 是的高线， ， ， ． 故答案为： 9．（24-25八年级上·河北秦皇岛·期中）如图，中，线段，点A到射线的距离是2，在射线上取一点E，连接，设的长为d． ①当时，能作出 个； ②若只能作出唯一的一个，d的长取值范围是 ． 【答案】 2/两 或 【分析】此题考查了点到直线的距离、三角形的定义等知识．根据垂线段最短进行解答即可． 解：①∵点A到射线的距离是2，设的长为d． ∴当时，， ∴能作出2个； 故答案为：2 ②若只能作出唯一的一个，d的长取值范围是或， 故答案为：或 10．（24-25七年级下·河南郑州·期中）如图，将一块直角三角板放置在锐角上，使得该三角板的两条直角边，恰好分别经过点，．若时，点在内，则的值是 ． 【答案】/度 【分析】本题考查三角形外角的性质，解题的关键是正确作出辅助线． 根据三角形外角的性质，结合角的和差运算，即可得的值． 解：如图，连接并延长，交于点，则，， ∵， ∴， ∵， ∴ 故答案为： ． 11．（24-25七年级下·广东深圳·期中）如图，在中，延长至点，使得，延长至点，使得，延长至点，使得，连接、、，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形的面积，等高模型的性质等知识，解题的关键是学会利用参数，构建方程解决问题．如图，连接，设，利用等高模型的性质，用m表示出各个三角形的面积，可得的面积为，构建方程，可得结论． 解：如图，连接，设，. ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 12．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图所示，中，，分别是的平分线，则的度数为 ． 【答案】/100度 【分析】先根据外角的性质求出，再利用三角形内角和定理求出，进一步求出后，即可求解． 解：∵分别是的平分线， ∴ ∴ ∴， ∴， ∴， 故答案为： ． 【点拨】本题考查了三角形的内角和定理，三角形外角的性质和角平分线定义，解题关键是正确进行角的和差转化． 三、解答题 13．（24-25七年级下·河南郑州·期中）如图，是的高，是的角平分线，是的中线． （1）若，，求的度数； （2）若，，与的周长差为，求的长． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查的是三角形的角平分线、中线和高，三角形的外角性质，熟练掌握三角形的角平分线、中线和高定义和性质是解题的关键； （1）根据三角形的高的概念得到，根据直角三角形的性质求出，根据角平分线的定义求出，根据三角形的外角性质计算即可； （2）根据三角形的中线的概念得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 解：（1）解：是的高， ， 是的角平分线，， ， ； （2）是中点， ， 与的周长差为，； ， ， ． 14．（24-25七年级下·河南南阳·阶段练习）已知，如图，在中，是高，的平分线交于点． （1）求证：． （2）若，则的度数为_____． （3）若，，，则的长度为_____． 【答案】（1）见分析；（2）；（3） 【分析】此题考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质、三角形的角平分线和高等知识，熟练掌握三角形内角和定理、三角形外角的性质是关键． （1）根据角平分线的定义和三角形外角的性质即可证明结论； （2）根据三角形内角和定理和角平分线求出，再根据三角形外角的性质即可得到答案； （3）利用等积法即可求出答案． 解：（1）证明：∵的平分线交于点． ∴， ∵是高， ∴ ∵， ∴； （2）∵， ∴， ∵的平分线交于点． ∴， ∴ （3）∵，，，是高， ∴ ∴ 故答案为： 15．（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）如图，，，P是射线上的一个动点（不包括端点B），将沿折叠，使顶点B落在点Q处． （1）当点Q在平行线，之间，时，求的度数． （2）当点Q在下方，时，求的度数． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和，折叠问题，解题的关键是： （1）由平行线的性质得到，利用三角形内角和求出，再由折叠的性质可得结果； （2）画出图形，设，表示出相应角度，利用平行线的性质得到，据此得出方程，解之即可． 解：（1）解：，， ． ． ， 由折叠可得． （2）根据题意，点Q在下方，如图所示． 设，则， ， 由折叠可知， ． ， ， ， 解得， ． 16．（23-24七年级下·山西晋城·期中）综合与实践 学习完三角形后，同学们在刘老师的带领下对三角形进一步探讨研究． 问题：已知如图1，． （1）问题解决：若，则 ； （2）拓展延伸：刘老师继续添加条件，如图2，E是上一点，过E作交于点F，作的平分线，交于点D，若，求的度数； （3）深入探讨：在（2）的条件下，刘老师继续添加条件，如图3，连接，且，，试猜想与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3），理由见分析 【分析】（1）设，则，，根据三角形内角和定理列方程求解即可； （2）由平行线的性质和角平分线的定义可得，，从而可得，利用三角形内角和定理求解即可； （3）由（2）可得，，，由三角形内角和定理可得，由，可得，，利用三角形内角和定理求得，再根据平行线的性质可得，即可求解． 解：（1）解：， 设，则，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：由（2）可得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点拨】本题考查角平分线的定义、三角形内角和定理、解一元一次方程、平行线的性质，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键． 3. 直击中考（8题） 一、单选题 1．（2025·辽宁·中考真题）如图，点在的边上，，垂足为，，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角，根据平行线的性质，得到，再根据三角形的外角的性质，求出的度数即可． 解：∵，，， ∴， ∴； 故选C． 2．（2025·福建·中考真题）某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中点A，E，C，F在同一条直线上，．当时，的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角的性质，根据平行线的性质得到，再根据三角形的外角的性质，进行求解即可．熟练掌握相关性质，是解题的关键． 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 故选：B． 3．（2024·山东德州·中考真题）如图，在中，是高，是中线，，，则的长为（   ） A． B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的高线和中线的意义，根据和求出，根据是中线即可求解． 解：∵，， ∴ ∵是中线， ∴ 故选：B 4．（2024·山西·中考真题）一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质和三角形外角性质，根据题意结合图形可知是重力与斜面形成的三角形的外角，从而可求得的度数． 解：重力的方向竖直向下， 重力与水平方向夹角为， 摩擦力的方向与斜面平行，， ， 故选：C． 二、填空题 5．（2023·四川遂宁·中考真题）一个三角形的三个内角的度数的比试，这个三角形是 三角形 【答案】直角 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形类别，解答此题应明确三角形的内角度数的和是，求出最大的角的度数，然后根据三角形的分类判定类型． 解：， 这个三角形是直角三角形， 故答案为：直角． 6．（2024·青海西宁·中考真题）若长度分别为3，6，的三条线段能组成一个三角形，则整数的值可以是 ．（写出一个即可） 【答案】4（答案不唯一） 【分析】本题主要考查三角形的三边关系，能根据三角形的三边关系求出第三边a的取值范围是解答的关键． 根据三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边进行求解即可． 解：由题意知：，即， 所以整数a可取4、5、6、7、8中的一个． 故答案为：4（答案不唯一）． 7．（2024·四川凉山·中考真题）如图，中，是边上的高，是的平分线，则的度数是 ． 【答案】/100度 【分析】本题考查了三角形内角和以及外角性质、角平分线的定义．先求出，结合高的定义，得，因为角平分线的定义得，运用三角形的外角性质，即可作答． 解：∵， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴． 故答案为：． 8．（2024·四川达州·中考真题）如图，在中，，分别是内角、外角的三等分线，且，，在中，，分别是内角，外角的三等分线．且，，…，以此规律作下去．若．则 度． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的外角定理，等式性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 先分别对运用三角形的外角定理，设，则，，则，得到，，同理可求：，所以可得． 解：如图： ∵，， ∴设，，则，， 由三角形的外角的性质得：，， ∴， 如图： 同理可求：， ∴， ……， ∴， 即， 故答案为：． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题 1.1 认识三角形 目录 一．知识梳理与题型分类精析 1 知识点（一）三角形定义 2 【题型1】三角形及相关概念识别 2 知识点（二） 三角形三边关系 3 【题型2】构成三角形的条件 3 【题型3】确定三角形第三边取值范围 4 【题型4】三角形三边关系的应用 4 知识点（三）三角形的内角和定理 5 【题型5】三角内角和定理的证明 6 【题型6】利用三角形内角和定理求值 7 知识点（四）三角形的外角 7 【题型7】利用三角形外角性质求值 8 【题型8】利用三角形外角性质证明 9 知识点（五）三角形的分类 10 【题型9】利用三角形分类进行判断 10 知识点（六）三角形的三条重要线段 11 【题型10】由三角形中线求线段 11 【题型11】由三角形中线求面积 12 【题型12】重心 12 【题型13】由三角形角平分线定义求角度 14 【题型14】尺规作图——画（识别）三角形的高 15 【题型15】利用三角形的高求值 15 知识点（七）三角形的稳定性 16 【题型16】三角形的稳定性和四边形的不稳定性 16 知识点（八）三角形内角和外角性质综合 17 【题型17】三角形内角和与折叠问题 17 【题型18】三角形内角和与平行线综合 18 【题型19】三角形内角平分线与外角平分线综合 19 二．同步练习 20 1. 基础巩固（选择题6题，填空题6题，解答题4题.） 20 2. 能力提升（选择题6题，填空题6题，综合解答题4题） 24 3. 直击中考（8题） 28 一．知识梳理与题型分类精析 知识点（一）三角形定义 1.定义：在平面内，由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。 三角形的基本元素包括边、角和顶点，如图1，三角形三边是、、，也可以用一个小写字母表示，记作：、、，三个内角为、、，其中的对边为，的对边为，的对边为. 图1 2.表示方法：三角形用符号“”表示，顶点为 A、B、C 的三角形记作“△ABC”,读作“三角形” 【题型1】三角形及相关概念识别 【例题1】（23-24八年级上·新疆阿克苏·阶段练习）图中有几个三角形？用符号表示这些三角形． 【变式1】（24-25八年级上·四川德阳·阶段练习）如图，在中，是边上一点，是边上一点．在中，的对边是 ．    【变式2】（24-25八年级上·天津宁河·阶段练习）图中以为边的三角形的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式3】（24-25八年级上·全国·随堂练习）观察下图，回答下列问题： （1）是的 ． （2）图中以线段为边的三角形有 ． （3）图中共有 个三角形，它们分别是 ． 知识点（二） 三角形三边关系 图示 文字语言 符号语言 理论依据 三角形两边之和大于第在边 ；； 两点之间，线段最短. 三角形两边之差小于第三边 ；； 【题型2】构成三角形的条件 【例题 2】（24-25八年级上·广西防城港·阶段练习）判断下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么？ （1），，； （2）三条线段之比为． 【变式1】（24-25八年级上·浙江温州·期中）四根木棒的长度分别为，，，．从中取三根，使它们首尾顺次相接组成一个三角形．则下列取法中不能组成一个三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式2】（23-24七年级下·江苏宿迁·期末）若a、b、c是三角形的三边，则 ． 【题型3】确定三角形第三边取值范围 【例题3】（2025九年级上·全国·专题练习）已知a，b，c是的三边长且互不相等，c是的最短边，且a，b满足．求c的取值范围． 【变式1】（24-25八年级上·山东济宁·期末）一个三角形的三边长分别是，，，且满足，则此三角形的边的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·江西上饶·阶段练习）已知三角形三边的长均为整数，且，如果，则符合条件的三角形共有 个． 【题型4】三角形三边关系的应用 【例题 4】（2025·新疆阿克苏·一模）（1）解方程组： （2）李大爷准备用一段长的篱笆围成一个三角形场地用于饲养鸡，已知该场地第一条边长为，由于条作限制，第二条边长只能比第一条边长的2倍少． ①第二条边长为_____________m，第三条边长为_____________m．（用含的式子表示） ②第一条边长能否为？为什么？ 【变式1】（24-25八年级上·四川德阳·期中）如图是折叠凳及其侧面示意图．若，则折叠凳的宽可能是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·内蒙古乌兰察布·期末）为方便劳动技术小组实践教学，需用篱笆围成一块三角形空地，现已连接好三段篱笆、、，这三段篱笆的长度如图所示，其中篱笆、可分别绕轴和转动．若要围成一个三角形的空地，则在篱笆上接上新的篱笆的长度可以为 （写一个即可）． 知识点（三）三角形的内角和定理 1.三角形的内角和三角形内角和定理：三角形的三个内角之和恒等于180°. 2.数学语言表述：如图1，在ABC中，. 图1 3.三角形内角和定理的证明 已知：△ABC的三个内角分别为∠A，∠B，∠C； 求证：∠A+∠B+∠C过点A作直线MN，使之与BC边平行（或相交于BC的延长线）。线MN，使MNBC． 图2 ∵MNBC, ∴∠B=∠MAB,∠C=∠NAC, ∵∠MAB+∠NAC+∠BAC=180°, ∴∠B+∠C+∠BAC=180°, 即∠BAC+∠B+∠C=180°． 【特别说明】 （1）证明三角形内角和的方法很多，在后面的例题、练习题中还会出现其他方法 （2）三角形三个内角中最多三个锐角，至少有两个锐角，最多有一个钝角，且三角形中最大的内角不三角形外角的定义是：由三角形的一边与另一边的反向延长线所夹的角，称为三角形的外角。 【题型5】三角内角和定理的证明 【例题 5】（24-25八年级上·湖北宜昌·阶段练习）小明想探究三角形内角和的度数，下面是他的探究过程，请你帮他把探究过程补充完整． 在边上任取一点E，作交于点D，作交于点F． ， _______，_______． ， _______． ， _______， _______． ， _______． 【变式1】“生活中处处有数学”，请看图，折叠一张三角形纸片，把三角形的三个角拼在一起，我们就可以得到一个著名的常用的几何结论，这一结论是 . 【变式2】（2024八年级上·黑龙江·专题练习）在探究证明三角形的内角和定理时，综合实践小组的同学们作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形的内角和是”的是（   ） A．图①过点C作 B．图②作于点D C．图③过上一点D作 D．图④延长到点F，过点C作 【题型6】利用三角形内角和定理求值 【例题6】（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，已知点、、在同一直线上，，，若，，求的度数． 【变式1】（24-25七年级下·四川眉山·期末）如果一个三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“差余三角形”．已知是“差余三角形”，，则的度数为 ． 【变式2】（24-25七年级下·吉林长春·期中）在一个三角形中，如果一个内角是另一个内角的3倍，这样的三角形我们称之为“三倍角三角形”．例如，三个内角分别为的三角形是“三倍角三角形”．若是“三倍角三角形”，且，则中最小内角的度数为 ． 知识点（四）三角形的外角 1.定义;三角形的一边与另一边的延长线组成的角 如图4所示，在ABC中，是的一个外角，它的相邻内角是，不相邻两内角分别为、. 图4 2.三角形外角性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和； 3.三角形外角性质的证明 已知：如图5，是的一个外角。 求证：． 证明：方法一：中，， ∵， ∴； 方法二：过点C作，如图3，    图5 ∵ ∴，， ∴． 【题型7】利用三角形外角性质求值 【例题7】（22-23七年级上·云南昆明·开学考试）如图，把三角形的三边延长． （1）（    ），这是一个（    ）角． （2）在○里填上“”“”或“”． ○ （3）在图中，你还能找出像第（2）题这样关系的角吗？试着写出一组． 【变式1】（2025七年级下·全国·专题练习）如图，直线，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·广东汕头·期末）将一副直角三角板按如图方式叠放在一起，则的度数是 ． 【题型8】利用三角形外角性质证明 【例题8】（24-25八年级上·安徽池州·期末）如图，平分的外角，且交的延长线于点E． （1）若，，求的度数； （2）试猜想、、三个角之间存在的等量关系，并证明你的猜想． 【变式1】（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）如图，已知，，，试猜想与的位置关系，并证明你的结论． 【变式2】（24-25八年级上·广西·阶段练习）在中，，点D、E分别在、上． （1）如图1，，证明：是直角三角形； （2）如图2，连接，平分，求的度数． 知识点（五）三角形的分类 【题型9】利用三角形分类进行判断 【例题9】（23-24八年级上·重庆永川·期中）如果一个三角形的三个内角度数之比为，则该三角形是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【变式1】（24-25七年级下·上海嘉定·期末）在中，如果，那么是 三角形．（填“锐角”、“直角”或“钝角”） 【变式2】（24-25七年级下·吉林长春·期末）在中，，请通过计算判断的形状． 知识点（六）三角形的三条重要线段 1. 三角形的中线： （1）定义：在三角形中，连接一个顶点和它所对边的中点的线段，叫做这个三角形的中线； 图1 图2 （2）几何语言表述：如图1，在中，是边的中点，因此线段是的中线； （3）重心：如图2，三角形三条中线交于一点，这个交点叫三角形的重心； （4）中线模型：中线分得的三角形面积相等；如图1，是的中线，得出; 【题型10】由三角形中线求线段 【例题 10】（22-23八年级上·广西河池·期中）如图，是的中线，的周长为，求的长． 【变式1】（24-25八年级上·云南昭通·阶段练习）如图，在中，若，，是的两条中线，则的周长是（　　） A．22 B．26 C．35 D．45 【变式2】（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，已知是的中线，，，且的周长为，则的周长是 ． 【题型11】由三角形中线求面积 【例题11】（2024七年级上·四川成都·专题练习）如图所示，已知三角形的面积为20，，，求阴影部分的面积． 【变式1】（24-25七年级下·四川巴中·期末）如图，是边BC上一点，，过点作的垂线，交于点E，若的面积是，，则长为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，于点，延长至点，使，连接，若，则的面积为 ． 【题型12】重心 【例题 12】（23-24七年级下·河北保定·期末）画出三角形的重心O，并说明、、的面积存在什么数量关系？ 【变式1】（23-24八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）如图，小明用铅笔可以支起一张质地均匀的三角形卡片，则他支起的这个点应是三角形的（    ） A．三角形的中点 B．三条角平分线的交点 C．三边高的交点 D．三边中线的交点 【变式2】（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，，，分别为，，的中点，点为的重心．已知的面积为1，则的面积为 ． 2. 三角形的角平分线： （1）定义：三角形一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段，叫做这个三角形的角平分线. 图3 图4 （2） 表示方法：如图3，在中，线段平分交对边于点，因此线段是的角平分线； （3）内心：如图4，三角形三条角平分线于一点，这个交点叫三角形的内心； 【题型13】由三角形角平分线定义求角度 【例题 13】（24-25七年级上·福建泉州·期末）如图，与相交于点E， ，． (1)若，求的度数； (2)取线段的中点F，连结．若，．求证：平分． 【变式1】（24-25七年级下·河北张家口·期中）如图，，则是的（   ） A．高线 B．角平分线 C．中线 D．以上都不是 【变式2】（23-24九年级下·河北邯郸·期中）如图，在中，已知，．依据尺规作图痕迹，解决下列问题．    （1）与是否垂直？ （填“是”或“否”）； （2） ． 3. 三角形的高： 图5 图6 （1） 定义：从三角形的一个顶点向它所对的边所在直线画垂线，顶点和垂足之间的线段，叫做这个三角形的高线（简称高）. （3） 表示方法：如5，在中，线段于点，垂直为，因此线段是的高； （4） 垂心：如图6，三角形三条高线于一点，这个交点叫三角形的垂心； 【题型14】尺规作图——画（识别）三角形的高 【例题 14】（24-25七年级下·甘肃陇南·期中）如图，在三角形中，点是的中点． （1）作于点、于点（作出图形，不写作法）； （2）和有怎样的位置和数量关系？为什么？ 【变式1】（24-25七年级下·山西太原·阶段练习）如图，借助直角三角板作的边上的高，下列直角三角板的位置摆放正确（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在中，，垂足分别为，，，则的边上的高为线段 ，边上的高为线段 ； 【题型15】利用三角形的高求值 【例题 15】（24-25七年级下·全国·假期作业）如图，． （1）在中，边上的高是 ； （2）在中，边上的高是 ； （3）在中，边上的高是 ； （4）若，则的面积为 ． 【变式1】（24-25七年级上·山东烟台·期末）如图，已知的面积为，分别延长至点，使，延长至点，使，延长至点，使，依次连接，，，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·湖南株洲·期中）如图，在直角三角形中，，，，，，． （1）点到的距离是______；点到的距离是________． （2）求点到的距离． 知识点（七）三角形的稳定性 三角形的稳定性：三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性。在生产和生活中，房屋的人字梁、大桥钢架等都利用了三角形的稳定性。特别说明：四边形不具有稳定性。 【题型16】三角形的稳定性和四边形的不稳定性 【例题 16】（24-25八年级上·全国·假期作业）如图所示，木工师傅在做完门框后，为防止变形常常像图中那样钉上两条斜拉的木板条（即），这样做的数学道理是什么？ 【变式1】（24-25七年级下·重庆·期末）利用到三角形的稳定性的生活实例是（    ） A．车库大门口的起落杆 B．四条腿的方桌 C．用枪的准星瞄准目标 D．脚踏车的三角车架 【变式2】（2024八年级下·浙江·专题练习）生活中处处有数学，如自行车的三角架是三角形的稳定性的应用，而能够自由开关的活动窗户（如图）的支撑装置（四边形设计成对边互相平行的四边形，其中应用的数学原理是 ． 知识点（八）三角形内角和外角性质综合 在计算和证明过程中，通三角形内角和外与角性质是常见而不可或缺的途径之一，为以后角的关系转化为边的关系夯实基础作好准备。 【题型17】三角形内角和与折叠问题 【例题 17】（23-24八年级上·福建莆田·阶段练习）如图，在中，，，为边上一点，将沿直线翻折后，点落到点处．若，求的度数．    【变式1】（24-25七年级下·广东深圳·期中）如图，在中，，点，分别是、边上的点，将沿所在直线对折，得到．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·山东青岛·二模）如图，在中，，，，分别在，上，将沿折叠得到，且，则的度数为 ． 【题型18】三角形内角和与平行线综合 【例题 18】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）如图，中，分别是上的点，满足． （1），是否平行？说明理由． （2）若平分，，求度数． 【变式1】（2025·安徽滁州·三模）两个直角三角板如图摆放，其中，，，若是上一点且，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（21-22七年级下·陕西榆林·期末）如图，在中，，，点D为边上一点，过点D作//，交于点E，且，连接，则的度数是 ． 【题型19】三角形内角平分线与外角平分线综合 【例题 19】（24-25七年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，已知中，分别是的角平分线交于点O，如果，那么的度数是（　　） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·江苏南京·期末）如图，在中，，点E、F分别在边上，，，的角平分线与的角平分线交于点P，则的度数为 ． 【变式2】（24-25七年级下·河南南阳·期末）认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹的角的探究片段，完成所提出的问题． 探究1：如图1，在中，O是与的平分线和的交点，通过分析发现，理由如下： ∵和分别是和的角平分线 ∴， ∴； 又∵， ∴ ① ； ∴ ② ． 请完成探究1的填空， _______， _________； 探究2：如图2中，O是与外角的平分线和的交点，试分析与有怎样的关系？请说明理由． 探究3：如图3中，O是外角与外角的平分线和的交点，则与有怎样的关系（只写结论，不需证明）？ 结论：___________________． 二．同步练习​ 1. 基础巩固（选择题6题，填空题6题，解答题4题.） 一、单选题 1．（24-25七年级下·山西临汾·期末）若一个三角形的两边长分别为2和4，则该三角形的第三条边长可能是（　　） A．6 B．5 C．2 D．1 2．（24-25七年级下·上海·阶段练习）如图，四个图形中，线段是的高的图是（   ） A．   B．   C．   D．   3．（21-22八年级上·浙江杭州·阶段练习）在探究证明“三角形的内角和是180”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是180°”的是（   ） A．过作∥ B．延长到，过作 C．作于点 D．过上一点作， 4．（24-25七年级下·四川遂宁·期末）如图，和分别是的角平分线和高，过点作，垂足为若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级上·重庆永川·期中）如图，（   ） A． B． C． D． 6．（辽宁省大连市金普园区2024-2025学年七年级下学期期末考试数学试卷）如图，中，，，是边上的高，是的平分线，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 二、填空题 7．（24-25七年级下·四川乐山·期末）如图，乐山致江路大桥于2024年12月25日顺利通车，许多市民前往游观，桥上斜拉索的作用在物理方面可以平衡大桥主梁的重量和荷载，那么在数学上体现的知识是 ． 8．（24-25七年级下·广东揭阳·阶段练习）已知a、b、c为的三边，则化简 9．（2025·河南平顶山·模拟预测）如图，在中，于点，点是边的中点，，，则的长为 ． 10．（24-25八年级上·北京海淀·期中）已知如图，，，，则的度数为 ． 11．（24-25七年级下·福建福州·期末）如图，直角三角形卡纸，将纸片沿折叠，若，则的度数为 12．（24-25七年级下·吉林长春·期末）如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，给出以下结论： ①；②；③；④． 上述结论中，正确结论的序号有 ． 三、解答题 13．（24-25七年级下·江西吉安·阶段练习）如图，在中，，于，平分 （1）若，求的度数． （2）若，求的长． 14．（24-25七年级下·湖南衡阳·期末）如图，是边上的一点，，． （1）求的度数：请在解答过程的空白处填上适当的内容．（理由或数学式） 解：（1）∵是的外角，（已知）， ∴______（______）． 又∵（已知）， ∴______°．（等量代换） （2）若平分，求的度数．（请写出完整的解答过程） 15．（24-25七年级下·山东威海·期末）已知：，平分，交于点C，E是射线上一动点，连接． （1）如图Ⅰ，，，求证：； （2）如图Ⅱ，点E在直线上方，的度数为m，，求的度数．（用含m的式子表示） 16．（24-25七年级下·陕西安康·期中）如图，已知，，是射线上一动点（与点不重合），平分交射线于点． （1）的度数是_________． （2）当点运动时，与之间的度数之比是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的度数之比，并说明理由；若变化，请写出变化规律． 2. 能力提升（选择题6题，填空题6题，综合解答题4题） 一、单选题 1．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）在中，，那么是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 2．（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图，小深在池塘一侧选取了点，测得，，那么池塘两岸，间的距离可能是（    ）． A．9 B．8 C．5 D．2 3．（24-25七年级上·山东烟台·期中）如图，用三角板作的边上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·山东济南·期中）如图，在中，已知点D、E、F分别为、、的中点，若阴影部分的面积为3，则的面积为（    ） A．12 B．16 C．18 D．20 5．（24-25七年级下·河北秦皇岛·阶段练习）如图在中，是的高．若为内角的平分线．当，，则（   ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图，三角板（其中，）和三角板（其中，）按照如图所示的位置摆放，点在边上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（24-25八年级上·山东滨州·期末）如果一个三角形的一边长为，另一边长为，若第三边长为．且x为奇数，则此三角形的周长为 ． 8．（24-25七年级下·福建福州·期末）如图，在中，是的高线，是的角平分线，，，则的度数为 ． 9．（24-25八年级上·河北秦皇岛·期中）如图，中，线段，点A到射线的距离是2，在射线上取一点E，连接，设的长为d． ①当时，能作出 个； ②若只能作出唯一的一个，d的长取值范围是 ． 10．（24-25七年级下·河南郑州·期中）如图，将一块直角三角板放置在锐角上，使得该三角板的两条直角边，恰好分别经过点，．若时，点在内，则的值是 ． 11．（24-25七年级下·广东深圳·期中）如图，在中，延长至点，使得，延长至点，使得，延长至点，使得，连接、、，若，则 ． 12．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图所示，中，，分别是的平分线，则的度数为 ． 三、解答题 13．（24-25七年级下·河南郑州·期中）如图，是的高，是的角平分线，是的中线． （1）若，，求的度数； （2）若，，与的周长差为，求的长． 14．（24-25七年级下·河南南阳·阶段练习）已知，如图，在中，是高，的平分线交于点． （1）求证：． （2）若，则的度数为_____． （3）若，，，则的长度为_____． 15．（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）如图，，，P是射线上的一个动点（不包括端点B），将沿折叠，使顶点B落在点Q处． （1）当点Q在平行线，之间，时，求的度数． （2）当点Q在下方，时，求的度数． 16．（23-24七年级下·山西晋城·期中）综合与实践 学习完三角形后，同学们在刘老师的带领下对三角形进一步探讨研究． 问题：已知如图1，． （1）问题解决：若，则 ； （2）拓展延伸：刘老师继续添加条件，如图2，E是上一点，过E作交于点F，作的平分线，交于点D，若，求的度数； （3）深入探讨：在（2）的条件下，刘老师继续添加条件，如图3，连接，且，，试猜想与之间的数量关系，并说明理由． 3. 直击中考（8题） 一、单选题 1．（2025·辽宁·中考真题）如图，点在的边上，，垂足为，，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 2．（2025·福建·中考真题）某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中点A，E，C，F在同一条直线上，．当时，的大小为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·山东德州·中考真题）如图，在中，是高，是中线，，，则的长为（   ） A． B．3 C．4 D．6 4．（2024·山西·中考真题）一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角的度数为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（2023·四川遂宁·中考真题）一个三角形的三个内角的度数的比试，这个三角形是 三角形 6．（2024·青海西宁·中考真题）若长度分别为3，6，的三条线段能组成一个三角形，则整数的值可以是 ．（写出一个即可） 7．（2024·四川凉山·中考真题）如图，中，是边上的高，是的平分线，则的度数是 ． 8．（2024·四川达州·中考真题）如图，在中，，分别是内角、外角的三等分线，且，，在中，，分别是内角，外角的三等分线．且，，…，以此规律作下去．若．则 度． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$