2.3.2 圆的一般方程-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册创新导学案课件PPT（人教B版2019）

第二章　平面解析几何 2.3　圆及其方程 2.3.2　圆的一般方程 课程标准：回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的一般方程． 教学重点：圆的一般方程的探求过程及其特点． 教学难点：根据具体条件，选用圆的一般方程解决有关问题． 核心素养：通过根据给定条件求圆的一般方程，并利用圆的一般方程解决问题提升数学抽象素养和数学运算素养． (教师独具内容) 核心概念掌握 核心素养形成 随堂水平达标 目录 课后课时精练 核心概念掌握 知识点一　圆的一般方程 (1)当_________________时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0称为圆的一般方程， 其圆心为_____________，半径为_______________． (2)当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示点_____________． (3)当_______________时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0不表示任何图形． D2＋E2－4F>0 D2＋E2－4F<0 核心概念掌握 5 [点拨]　(1)二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆要满足以下条件：①A＝C≠0；②B＝0；③D2＋E2－4AF＞0. (2)圆的标准方程和一般方程的相互转化 核心概念掌握 6 知识点二　点与圆的位置关系 已知点M(x0，y0)和圆的方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，则其位置关系如下表： 外 上 内 核心概念掌握 7 1．(圆的一般方程的定义)若方程x2＋y2＋2x－m＝0表示一个圆，则m的取值范围是(　　) A．(－1，＋∞) B．(－∞，－1) C．[－1，＋∞) D．(－∞，－1] 核心概念掌握 8 2．(点与圆的位置关系)已知点E(1，0)在圆x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0的外部，则k的取值范围是_____________． 3．(过三点的圆的一般方程)已知A(0，0)，B(2，2)，C(4，2)，则△ABC外接圆的一般方程为___________________． x2＋y2－6x＋2y＝0 核心概念掌握 9 核心素养形成 题型一　圆的一般方程的定义　 例1　判断方程x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0能否表示圆．若能，求出圆心和半径． 核心素养形成 11 核心素养形成 12 【跟踪训练】 1．下列方程各表示什么图形？若表示圆，求出其圆心和半径． (1)x2＋y2＋x＋1＝0； (2)x2＋y2＋2ax＋a2＝0(a≠0)； (3)2x2＋2y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)． 解：(1)∵D＝1，E＝0，F＝1， ∴D2＋E2－4F＝1－4＝－3<0， ∴方程不表示任何图形． 核心素养形成 13 核心素养形成 14 题型二　求圆的一般方程　 例2　已知Rt△ABC的顶点A(8，5)，直角顶点为B(3，8)，顶点C在y轴上，求： (1)顶点C的坐标； (2)Rt△ABC外接圆的一般方程． 核心素养形成 15 核心素养形成 16 【感悟提升】待定系数法求圆的一般方程的步骤 核心素养形成 17 【跟踪训练】 2．(1)已知A(－1，5)，B(－2，－2)，C(5，5)，求△ABC外接圆的一般方程． 核心素养形成 18 (2)已知圆C的圆心在直线x－2y＝1上，且经过原点和A(2，1)，求圆C的一般方程． 核心素养形成 19 随堂水平达标 随堂水平达标 21 随堂水平达标 22 3．若方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示以(－2，3)为圆心，4为半径的圆，则D，E，F的值分别为(　　) A．4，－6，3 B．－4，6，3 C．－4，6，－3 D．4，－6，－3 解析：以(－2，3)为圆心，4为半径的圆的标准方程为(x＋2)2＋(y－3)2＝16，即x2＋y2＋4x－6y－3＝0，所以D＝4，E＝－6，F＝－3.故选D. 随堂水平达标 23 4．圆x2＋y2＋2y＝1的圆心坐标为__________，半径为________． (0，－1) 随堂水平达标 24 5．已知点P(－2，3)在圆C：x2＋y2－2x＋2y＋m＝0上，则实数m＝________，圆的半径r＝________． －23 5 随堂水平达标 25 课后课时精练 基础题(占比60%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 难度 ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ 考点 已知直径两端点求圆的一般方程 已知含参数的一般方程求半径 圆外一点与圆上一点距离的最值 已知圆上两点及圆心的位置求圆的一般方程 已知圆的一般方程求圆心和半径；判断点与圆的位置关系 已知方程表示圆求参数及圆心 已知点与圆的位置关系求参数的取值范围 题号 8 9 10 11 12 13 14 难度 ★ ★ ★★ ★★ ★★ ★★ ★★★ 考点 已知圆心位置和半径求圆的一般方程 判断方程是否表示圆；求圆心和半径 两点间距离公式；圆外一点与圆上一点距离的最值 已知圆心和半径求圆的一般方程 已知圆上两点及圆内接四边形的面积求圆的一般方程 已知圆上三点求圆的一般方程；判断点与圆的位置关系 已知方程表示圆求参数的取值范围；已知点与圆的位置关系求参数的取值范围 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 27 一、选择题 1．已知M(－2，0)，N(0，2)两点，则以线段MN为直径的圆的一般方程为(　　) A．x2＋y2－2x＋2y＝0 B．x2＋y2＋2x－2y－6＝0 C．x2＋y2＋4x－4y＝0 D．x2＋y2＋2x－2y＝0 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 28 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 29 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 30 4．已知圆C经过A(0，2)，B(4，6)两点，且圆心C在直线l：2x－y－3＝0上，则圆C的方程为(　　) A．x2＋y2－6x－6y－16＝0 B．x2＋y2－2x＋2y－8＝0 C．x2＋y2－6x－6y＋8＝0 D．x2＋y2－2x＋2y－56＝0 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 31 5．(多选)已知圆M的一般方程为x2＋y2－8x＋6y＝0，则下列说法中正确的是(　　) A．圆M的圆心坐标为(4，－3) B．圆M的半径为25 C．点(2，－3)在圆M的内部 D．圆M与x轴正半轴的交点坐标为(8，0) 解析：圆M的一般方程为x2＋y2－8x＋6y＝0，则(x－4)2＋(y＋3)2＝25，故圆M的圆心坐标为(4，－3)，半径为5，A正确，B错误；22＋(－3)2－8×2＋6×(－3)＝－21<0，故点(2，－3)在圆M的内部，C正确；令y＝0，得x2－8x＝0，解得x＝0或x＝8，则圆M与x轴正半轴的交点坐标为(8，0)，D正确．故选ACD. 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 32 二、填空题 6．已知某曲线的方程为x2＋y2－2x＋2y＋F＝0，若方程表示的曲线是一个圆，则F＝________________(写出符合条件的一个值)，圆心坐标为___________． 解析：x2＋y2－2x＋2y＋F＝0，即(x－1)2＋(y＋1)2＝2－F，故2－F>0，即F<2，取F＝0满足条件，圆心坐标为(1，－1)． 0(答案不唯一) (1，－1) 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 33 7．若P(2，2)是圆C：x2＋y2－2y＋3－m＝0外的一点，则m的取值范围是________． (2，7) 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 34 8．已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0的圆心在直线x＋y－1＝0上，且圆心在第二象限，半径为，则圆C的一般方程为__________________________． x2＋y2＋2x－4y＋3＝0 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 35 三、解答题 9．下列二元二次方程中，哪些表示圆？如果是圆，求出它的圆心和半径： (1)2x2＋y2＋2x－y＝0； (2)x2＋y2＋2x＋4y＝0； (3)x2＋2x－y＋1＝0； (4)2x2＋2y2＋2x－4y＋1＝0； (5)x2＋y2－2x＋y＋2＝0. 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 36 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 37 10．已知圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0及点Q(－2，3)． (1)若点P(m，m＋1)在圆C上，求线段PQ的长及直线PQ的斜率； (2)若P为圆C上任意一点，求|PQ|的最大值和最小值． 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 38 11．(多选)如图，在平面直角坐标系xOy中，坐标轴将边长为4的正方形ABCD分割成四个小正方形．若大圆为正方形ABCD的外接圆，四个小圆分别为四个小正方形的内切圆，则下列方程是图中某个圆的方程的是(　　) A．x2＋y2－2x－2y＋1＝0 B．x2＋y2＋2x－2y＋1＝0 C．x2＋y2＋2x＋2y＋1＝0 D．x2＋y2－2x＋2y－1＝0 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 39 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 40 x2＋y2－x＋y－6＝0 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 41 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 42 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 43 14．已知方程x2＋y2－2(t＋3)x＋2(1－4t2)y＋16t4＋9＝0(t∈R)表示的图形是圆． (1)求t的取值范围； (2)求其中面积最大的圆的方程； (3)若点P(3，4t2)恒在所给圆内，求t的取值范围． 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 44 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 45 　　　　　　　　　　　　　 R eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2))) eq \f(1,2) eq \r(D2＋E2－4F) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2))) 位置关系 代数关系 点M在圆______ xeq \o\al(2,0)＋yeq \o\al(2,0)＋Dx0＋Ey0＋F>0 点M在圆______ xeq \o\al(2,0)＋yeq \o\al(2,0)＋Dx0＋Ey0＋F＝0 点M在圆______ xeq \o\al(2,0)＋yeq \o\al(2,0)＋Dx0＋Ey0＋F<0 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，1)) 解　解法一：由方程x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0，可知D＝－4m，E＝2m，F＝20m－20，则D2＋E2－4F＝16m2＋4m2－80m＋80＝20(m－2)2. 因此，当m＝2时，它表示一个点； 当m≠2时，原方程表示圆，此时，圆的圆心为(2m，－m)，半径为r＝eq \f(1,2) eq \r(D2＋E2－4F)＝eq \r(5)|m－2|. 解法二：原方程可化为(x－2m)2＋(y＋m)2＝5(m－2)2， 因此，当m＝2时，它表示一个点； 当m≠2时，原方程表示圆，此时，圆的圆心为(2m，－m)，半径为r＝eq \r(5)|m－2|. 【感悟提升】二元二次方程与圆的关系 (1)形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程，判定其是否表示圆时有如下两种方法：①由圆的一般方程的定义判断D2＋E2－4F是否为正．若D2＋E2－4F>0，则方程表示圆，否则不表示圆；②将方程配方变形成“标准”形式后，根据圆的标准方程的特征，观察是否可以表示圆． (2)由圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0求圆心和半径的方法：①利用配方法将圆的一般方程化为标准方程，可以非常直观地求出圆心及半径；②运用二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0判断是否为圆，如果是，也可以利用公式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))写出圆心，利用公式r＝eq \f(1,2) eq \r(D2＋E2－4F)求出半径． (2)∵D＝2a，E＝0，F＝a2， ∴D2＋E2－4F＝4a2－4a2＝0， ∴方程表示点(－a，0)． (3)两边同除以2，得x2＋y2＋ax－ay＝0，D＝a，E＝－a，F＝0， ∴D2＋E2－4F＝2a2>0， ∴方程表示圆，它的圆心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)，\f(a,2)))， 半径r＝eq \f(1,2) eq \r(D2＋E2－4F)＝eq \f(\r(2),2)|a|. 解　(1)设顶点C(0，m)，由题意得 kABkBC＝－1，且kAB＝eq \f(8－5,3－8)＝－eq \f(3,5)， 所以kBC＝eq \f(m－8,0－3)＝eq \f(5,3)， 解得m＝3，所以顶点C(0，3)． (2)解法一：设△ABC外接圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 由题意知eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(89＋8D＋5E＋F＝0，,73＋3D＋8E＋F＝0，,9＋3E＋F＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(D＝－8，,E＝－8，,F＝15.)) 所以Rt△ABC外接圆的一般方程为x2＋y2－8x－8y＋15＝0. 解法二：因为Rt△ABC的斜边AC的中点为圆心，边AC为直径，所以圆心坐标为(4，4)， 半径为r＝eq \r(（4－0）2＋（4－3）2)＝eq \r(17)， 所以所求圆的方程为(x－4)2＋(y－4)2＝17， 即x2＋y2－8x－8y＋15＝0. 解：设△ABC外接圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 由题意知eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－D＋5E＋F＋26＝0，,－2D－2E＋F＋8＝0，,5D＋5E＋F＋50＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(D＝－4，,E＝－2，,F＝－20.)) ∴△ABC外接圆的一般方程为x2＋y2－4x－2y－20＝0. 解：设圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 由题意知eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(F＝0，,2D＋E＋F＋5＝0，,－\f(D,2)＋E＝1，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(D＝－\f(12,5)，,E＝－\f(1,5)，,F＝0.)) ∴圆C的一般方程为x2＋y2－eq \f(12,5)x－eq \f(1,5)y＝0. 1．若方程x2＋y2－x＋y＋k＝0表示一个圆，则实数k的取值范围为(　　) A.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2))) B.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) C.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2))) 解析：若方程x2＋y2－x＋y＋k＝0表示一个圆，则1＋1－4k>0，解得k<eq \f(1,2).故选D. 2．若点A(－1，1)在圆x2＋y2－2x－y－a＝0外，则实数a的取值范围为(　　) A．(－∞，3) B．(－∞，－3) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)，3)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,4)，3)) 解析：由题意，得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（－2）2＋（－1）2－4×（－a）>0，,（－1）2＋12－2×（－1）－1－a>0，))解得－eq \f(5,4)<a<3.故选D. 解析：由题意，知圆x2＋y2＋2y＝1即圆x2＋(y＋1)2＝2，故该圆的圆心为(0，－1)，半径为eq \r(2). eq \r(2) 解析：因为点P(－2，3)在圆C：x2＋y2－2x＋2y＋m＝0上，所以(－2)2＋32－2×(－2)＋2×3＋m＝0，解得m＝－23，所以圆C的方程为x2＋y2－2x＋2y－23＝0，所以r＝eq \f(\r(（－2）2＋22－4×（－23）),2)＝5. 解析：因为M(－2，0)，N(0，2)的中点为(－1，1)，|MN|＝eq \r(22＋22)＝2eq \r(2)，即eq \f(|MN|,2)＝eq \r(2)，所以以线段MN为直径的圆的方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝2，化简得x2＋y2＋2x－2y＝0.故选D. 2．方程x2＋y2＋ax＋(2b－1)y－1－eq \f(1,2)b2＝0表示圆心在y轴上的圆，当半径最小时，方程为(　　) A．x2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(1,2))) eq \s\up12(2)＝1 B．x2＋(y－1)2＝2 C．x2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(1,3))) eq \s\up12(2)＝eq \f(2,3) D．x2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(1,6))) eq \s\up12(2)＝eq \f(13,12) 解析：由题意，得a＝0，则x2＋y2＋(2b－1)y－1－eq \f(1,2)b2＝0，得x2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(2b－1,2))) eq \s\up12(2)＝1＋eq \f(1,2)b2＋eq \f(（2b－1）2,4)，则r2＝1＋eq \f(1,2)b2＋eq \f(（2b－1）2,4)＝eq \f(3,2)b2－b＋eq \f(5,4)，当b＝eq \f(1,3)时，r2取得最小值，为eq \f(13,12)，此时圆的方程为x2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(1,6))) eq \s\up12(2)＝eq \f(13,12).故选D. 3．已知圆C的方程为x2＋y2－2x＋6y＋1＝0，点P在圆C上，O是坐标原点，则|OP|的最小值为(　　) A．3 B.eq \r(10)－3 C．3－eq \r(3) D．2eq \r(2)－2 解析：圆C的标准方程为(x－1)2＋(y＋3)2＝9，故圆心是C(1，－3)，半径r＝3，因为原点到圆心的距离|OC|＝eq \r(10)，故|OP|min＝|OC|－r＝eq \r(10)－3.故选B. 解析：线段AB的中点坐标为(2，4)，直线AB的斜率kAB＝eq \f(6－2,4－0)＝1，则线段AB的垂直平分线的方程为y－4＝－(x－2)，即x＋y－6＝0.由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y－6＝0，,2x－y－3＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝3，))所以圆C的圆心坐标为(3，3)，半径r＝eq \r(（3－0）2＋（3－2）2)＝eq \r(10)，所以圆C的方程为(x－3)2＋(y－3)2＝10，即x2＋y2－6x－6y＋8＝0.故选C. 解析：解法一：由题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（－2）2－4（3－m）>0，,22＋22－2×2＋3－m>0，))解得2<m<7，即m的取值范围是(2，7)． 解法二：圆C：x2＋y2－2y＋3－m＝0的标准方程为x2＋(y－1)2＝m－2，又P(2，2)是圆C：x2＋y2－2y＋3－m＝0外的一点，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m－2>0，,22＋（2－1）2>m－2，))解得2<m<7，即m的取值范围是(2，7)． 解析：由圆的方程可得圆心坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))，圆的半径为eq \f(\r(D2＋E2－4×3),2)，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)－\f(E,2)－1＝0，,\f(\r(D2＋E2－4×3),2)＝\r(2)，,－\f(D,2)<0，－\f(E,2)>0，))解得D＝2，E＝－4，则圆C的一般方程为x2＋y2＋2x－4y＋3＝0. 解：(1)因为2x2＋y2＋2x－y＝0中x2，y2的系数不相等，所以方程不表示圆． (2)x2＋y2＋2x＋4y＝0可化为(x＋1)2＋(y＋2)2＝5， 所以方程表示圆心为(－1，－2)，半径为eq \r(5)的圆． (3)因为x2＋2x－y＋1＝0中没有y2项，所以方程不表示圆． (4)2x2＋2y2＋2x－4y＋1＝0可化为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2))) eq \s\up12(2)＋(y－1)2＝eq \f(3,4)，所以方程表示圆心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1))，半径为eq \f(\r(3),2)的圆． (5)x2＋y2－2x＋y＋2＝0可化为(x－1)2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(1,2))) eq \s\up12(2)＝－eq \f(3,4)，所以方程不表示圆． 解：(1)由点P在圆C上，得m2＋(m＋1)2－4m－14(m＋1)＋45＝0，解得m＝4. ∴点P的坐标为(4，5)．故|PQ|＝eq \r(（4＋2）2＋（5－3）2)＝2eq \r(10)，kPQ＝eq \f(5－3,4＋2)＝eq \f(1,3). ∴线段PQ的长为2eq \r(10)，直线PQ的斜率为eq \f(1,3). (2)由题意知|PQ|取得最大值和最小值时，点P为过Q与圆心C的直线与圆C的两个交点． 又圆心C(2，7)，半径R＝2eq \r(2)，|QC|＝4eq \r(2)， ∴|PQ|的最大值为|QC|＋R＝6eq \r(2)，最小值为|QC|－R＝2eq \r(2). 解析：由题意知，小正方形的边长为2，则内切圆的半径为1，可得第一象限中小圆的圆心为(1，1)，方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1，即x2＋y2－2x－2y＋1＝0，故A正确；第二象限中小圆的圆心为(－1，1)，方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝1，即x2＋y2＋2x－2y＋1＝0，故B正确；第三象限中小圆的圆心为(－1，－1)，方程为(x＋1)2＋(y＋1)2＝1，即x2＋y2＋2x＋2y＋1＝0，故C正确；第四象限中小圆的圆心为(1，－1)，方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝1，即x2＋y2－2x＋2y＋1＝0，没有选项符合；正方形ABCD的外接圆圆心为(0，0)，半径为2eq \r(2)，方程为x2＋y2＝8，即x2＋y2－8＝0，没有选项符合．故选ABC. 12．在平面直角坐标系中，圆E与两坐标轴交于A，B，C，D四点，其中A(－2，0)，B(0，－3)，点C在x轴的正半轴上，点D在y轴的正半轴上，圆E的内接四边形ABCD的面积为eq \f(25,2)，则圆E的一般方程为______________________． 解析：设C(c，0)，D(0，d)(c>0，d>0)，则S四边形ABCD＝eq \f(1,2)(c＋2)(d＋3)＝eq \f(25,2).由|OA|·|OC|＝2c＝|OB|·|OD|＝3d，解得c＝3，d＝2(负值舍去)，因此圆心Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(1,2)))，r2＝eq \f(13,2)，故圆E的方程为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2))) eq \s\up12(2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(1,2))) eq \s\up12(2)＝eq \f(13,2)，即x2＋y2－x＋y－6＝0. 13．某圆拱桥的圆拱跨度为16 m，拱高为4 m，在该圆拱桥的示意图中建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求这座圆拱桥的拱圆的方程； (2)若该景区游船宽10 m，水面以上高3 m，试判断该景区游船能否从桥下通过，并说明理由．(eq \r(3)≈1.732) 解：(1)设这座圆拱桥的拱圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 因为该拱圆过A(－8，0)，B(8，0)，C(0，4)三点， 所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(64－8D＋F＝0，,64＋8D＋F＝0，,16＋4E＋F＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(D＝0，,E＝12，,F＝－64.)) 所以拱圆的一般方程为x2＋y2＋12y－64＝0，即x2＋(y＋6)2＝100. (2)当x＝5时，52＋(y＋6)2＝100， 得y＝5eq \r(3)－6≈2.66 m<3 m， 所以该景区游船不能从桥下通过． 解：(1)设该圆的半径为r.已知方程可化为(x－t－3)2＋(y＋1－4t2)2＝(t＋3)2＋(1－4t2)2－16t4－9＝－7t2＋6t＋1， ∴r2＝－7t2＋6t＋1>0，解得－eq \f(1,7)<t<1. (2)由(1)知r＝eq \r(－7t2＋6t＋1)＝eq \r(－7\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(3,7)))\s\up12(2)＋\f(16,7))， ∴当t＝eq \f(3,7)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,7)，1))时，rmax＝eq \f(4\r(7),7)，此时圆的面积最大，所对应的圆的方程是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(24,7))) eq \s\up12(2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(13,49))) eq \s\up12(2)＝eq \f(16,7). (3)当且仅当eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－7t2＋6t＋1>0，,（3－t－3）2＋（4t2＋1－4t2）2<－7t2＋6t＋1))时，点P恒在圆内，解得0<t<eq \f(3,4). ∴t的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,4))). $$