2.3.2 圆的一般方程-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册创新导学案全书Word（人教B版2019）

数学　选择性必修 第一册 RJ 2.3.2　圆的一般方程 (教师独具内容) 课程标准：回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的一般方程． 教学重点：圆的一般方程的探求过程及其特点． 教学难点：根据具体条件，选用圆的一般方程解决有关问题． 核心素养：通过根据给定条件求圆的一般方程，并利用圆的一般方程解决问题提升数学抽象素养和数学运算素养． 知识点一　圆的一般方程 (1)当D2＋E2－4F>0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0称为圆的一般方程，其圆心为，半径为． (2)当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示点． (3)当D2＋E2－4F<0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0不表示任何图形． [点拨]　(1)二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆要满足以下条件：①A＝C≠0；②B＝0；③D2＋E2－4AF＞0. (2)圆的标准方程和一般方程的相互转化 知识点二　点与圆的位置关系 已知点M(x0，y0)和圆的方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，则其位置关系如下表： 位置关系 代数关系 点M在圆外 x＋y＋Dx0＋Ey0＋F>0 点M在圆上 x＋y＋Dx0＋Ey0＋F＝0 点M在圆内 x＋y＋Dx0＋Ey0＋F<0 1．(圆的一般方程的定义)若方程x2＋y2＋2x－m＝0表示一个圆，则m的取值范围是(　　) A．(－1，＋∞) B．(－∞，－1) C．[－1，＋∞) D．(－∞，－1] 答案：A 2．(点与圆的位置关系)已知点E(1，0)在圆x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0的外部，则k的取值范围是________． 答案： 3．(过三点的圆的一般方程)已知A(0，0)，B(2，2)，C(4，2)，则△ABC外接圆的一般方程为______________． 答案：x2＋y2－6x＋2y＝0 题型一　圆的一般方程的定义　 例1　判断方程x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0能否表示圆．若能，求出圆心和半径． [解]　解法一：由方程x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0，可知D＝－4m，E＝2m，F＝20m－20，则D2＋E2－4F＝16m2＋4m2－80m＋80＝20(m－2)2. 因此，当m＝2时，它表示一个点； 当m≠2时，原方程表示圆，此时，圆的圆心为(2m，－m)，半径为r＝＝|m－2|. 解法二：原方程可化为(x－2m)2＋(y＋m)2＝5(m－2)2， 因此，当m＝2时，它表示一个点； 当m≠2时，原方程表示圆，此时，圆的圆心为(2m，－m)，半径为r＝|m－2|. 【感悟提升】二元二次方程与圆的关系 (1)形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程，判定其是否表示圆时有如下两种方法：①由圆的一般方程的定义判断D2＋E2－4F是否为正．若D2＋E2－4F>0，则方程表示圆，否则不表示圆；②将方程配方变形成“标准”形式后，根据圆的标准方程的特征，观察是否可以表示圆． (2)由圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0求圆心和半径的方法：①利用配方法将圆的一般方程化为标准方程，可以非常直观地求出圆心及半径；②运用二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0判断是否为圆，如果是，也可以利用公式写出圆心，利用公式r＝求出半径． 【跟踪训练】 1．下列方程各表示什么图形？若表示圆，求出其圆心和半径． (1)x2＋y2＋x＋1＝0； (2)x2＋y2＋2ax＋a2＝0(a≠0)； (3)2x2＋2y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)． 解：(1)∵D＝1，E＝0，F＝1， ∴D2＋E2－4F＝1－4＝－3<0， ∴方程不表示任何图形． (2)∵D＝2a，E＝0，F＝a2， ∴D2＋E2－4F＝4a2－4a2＝0， ∴方程表示点(－a，0)． (3)两边同除以2，得x2＋y2＋ax－ay＝0，D＝a，E＝－a，F＝0， ∴D2＋E2－4F＝2a2>0， ∴方程表示圆，它的圆心为， 半径r＝＝|a|. 题型二　求圆的一般方程　 例2　已知Rt△ABC的顶点A(8，5)，直角顶点为B(3，8)，顶点C在y轴上，求： (1)顶点C的坐标； (2)Rt△ABC外接圆的一般方程． [解]　(1)设顶点C(0，m)，由题意得 kABkBC＝－1，且kAB＝＝－， 所以kBC＝＝， 解得m＝3，所以顶点C(0，3)． (2)解法一：设△ABC外接圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 由题意知解得 所以Rt△ABC外接圆的一般方程为x2＋y2－8x－8y＋15＝0. 解法二：因为Rt△ABC的斜边AC的中点为圆心，边AC为直径，所以圆心坐标为(4，4)， 半径为r＝＝， 所以所求圆的方程为(x－4)2＋(y－4)2＝17， 即x2＋y2－8x－8y＋15＝0. 【感悟提升】待定系数法求圆的一般方程的步骤 【跟踪训练】 2．(1)已知A(－1，5)，B(－2，－2)，C(5，5)，求△ABC外接圆的一般方程． 解：设△ABC外接圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 由题意知解得 ∴△ABC外接圆的一般方程为x2＋y2－4x－2y－20＝0. (2)已知圆C的圆心在直线x－2y＝1上，且经过原点和A(2，1)，求圆C的一般方程． 解：设圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 由题意知解得 ∴圆C的一般方程为x2＋y2－x－y＝0. 1．若方程x2＋y2－x＋y＋k＝0表示一个圆，则实数k的取值范围为(　　) A. B. C. D. 答案：D 解析：若方程x2＋y2－x＋y＋k＝0表示一个圆，则1＋1－4k>0，解得k<.故选D. 2．若点A(－1，1)在圆x2＋y2－2x－y－a＝0外，则实数a的取值范围为(　　) A．(－∞，3) B．(－∞，－3) C. D. 答案：D 解析：由题意，得 解得－<a<3.故选D. 3．若方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示以(－2，3)为圆心，4为半径的圆，则D，E，F的值分别为(　　) A．4，－6，3 B．－4，6，3 C．－4，6，－3 D．4，－6，－3 答案：D 解析：以(－2，3)为圆心，4为半径的圆的标准方程为(x＋2)2＋(y－3)2＝16，即x2＋y2＋4x－6y－3＝0，所以D＝4，E＝－6，F＝－3.故选D. 4．圆x2＋y2＋2y＝1的圆心坐标为________，半径为________． 答案：(0，－1)　 解析：由题意，知圆x2＋y2＋2y＝1即圆x2＋(y＋1)2＝2，故该圆的圆心为(0，－1)，半径为. 5．已知点P(－2，3)在圆C：x2＋y2－2x＋2y＋m＝0上，则实数m＝________，圆的半径r＝________． 答案：－23　5 解析：因为点P(－2，3)在圆C：x2＋y2－2x＋2y＋m＝0上，所以(－2)2＋32－2×(－2)＋2×3＋m＝0，解得m＝－23，所以圆C的方程为x2＋y2－2x＋2y－23＝0，所以r＝＝5. 课后课时精练 基础题(占比60%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 难度 ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ 考点 已知直径两端点求圆的一般方程 已知含参数的一般方程求半径 圆外一点与圆上一点距离的最值 已知圆上两点及圆心的位置求圆的一般方程 已知圆的一般方程求圆心和半径；判断点与圆的位置关系 已知方程表示圆求参数及圆心 已知点与圆的位置关系求参数的取值范围 题号 8 9 10 11 12 13 14 难度 ★ ★ ★★ ★★ ★★ ★★ ★★★ 考点 已知圆心位置和半径求圆的一般方程 判断方程是否表示圆；求圆心和半径 两点间距离公式；圆外一点与圆上一点距离的最值 已知圆心和半径求圆的一般方程 已知圆上两点及圆内接四边形的面积求圆的一般方程 已知圆上三点求圆的一般方程；判断点与圆的位置关系 已知方程表示圆求参数的取值范围；已知点与圆的位置关系求参数的取值范围 一、选择题 1．已知M(－2，0)，N(0，2)两点，则以线段MN为直径的圆的一般方程为(　　) A．x2＋y2－2x＋2y＝0 B．x2＋y2＋2x－2y－6＝0 C．x2＋y2＋4x－4y＝0 D．x2＋y2＋2x－2y＝0 答案：D 解析：因为M(－2，0)，N(0，2)的中点为(－1，1)，|MN|＝＝2，即＝，所以以线段MN为直径的圆的方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝2，化简得x2＋y2＋2x－2y＝0.故选D. 2．方程x2＋y2＋ax＋(2b－1)y－1－b2＝0表示圆心在y轴上的圆，当半径最小时，方程为(　　) A．x2＋＝1 B．x2＋(y－1)2＝2 C．x2＋＝ D．x2＋＝ 答案：D 解析：由题意，得a＝0，则x2＋y2＋(2b－1)y－1－b2＝0，得x2＋＝1＋b2＋，则r2＝1＋b2＋＝b2－b＋，当b＝时，r2取得最小值，为，此时圆的方程为x2＋＝.故选D. 3．已知圆C的方程为x2＋y2－2x＋6y＋1＝0，点P在圆C上，O是坐标原点，则|OP|的最小值为(　　) A．3 B.－3 C．3－ D．2－2 答案：B 解析：圆C的标准方程为(x－1)2＋(y＋3)2＝9，故圆心是C(1，－3)，半径r＝3，因为原点到圆心的距离|OC|＝，故|OP|min＝|OC|－r＝－3.故选B. 4．已知圆C经过A(0，2)，B(4，6)两点，且圆心C在直线l：2x－y－3＝0上，则圆C的方程为(　　) A．x2＋y2－6x－6y－16＝0 B．x2＋y2－2x＋2y－8＝0 C．x2＋y2－6x－6y＋8＝0 D．x2＋y2－2x＋2y－56＝0 答案：C 解析：线段AB的中点坐标为(2，4)，直线AB的斜率kAB＝＝1，则线段AB的垂直平分线的方程为y－4＝－(x－2)，即x＋y－6＝0.由解得所以圆C的圆心坐标为(3，3)，半径r＝＝，所以圆C的方程为(x－3)2＋(y－3)2＝10，即x2＋y2－6x－6y＋8＝0.故选C. 5．(多选)已知圆M的一般方程为x2＋y2－8x＋6y＝0，则下列说法中正确的是(　　) A．圆M的圆心坐标为(4，－3) B．圆M的半径为25 C．点(2，－3)在圆M的内部 D．圆M与x轴正半轴的交点坐标为(8，0) 答案：ACD 解析：圆M的一般方程为x2＋y2－8x＋6y＝0，则(x－4)2＋(y＋3)2＝25，故圆M的圆心坐标为(4，－3)，半径为5，A正确，B错误；22＋(－3)2－8×2＋6×(－3)＝－21<0，故点(2，－3)在圆M的内部，C正确；令y＝0，得x2－8x＝0，解得x＝0或x＝8，则圆M与x轴正半轴的交点坐标为(8，0)，D正确．故选ACD. 二、填空题 6．已知某曲线的方程为x2＋y2－2x＋2y＋F＝0，若方程表示的曲线是一个圆，则F＝________(写出符合条件的一个值)，圆心坐标为________． 答案：0(答案不唯一)　(1，－1) 解析：x2＋y2－2x＋2y＋F＝0，即(x－1)2＋(y＋1)2＝2－F，故2－F>0，即F<2，取F＝0满足条件，圆心坐标为(1，－1)． 7．若P(2，2)是圆C：x2＋y2－2y＋3－m＝0外的一点，则m的取值范围是________． 答案：(2，7) 解析：解法一：由题意得解得2<m<7，即m的取值范围是(2，7)． 解法二：圆C：x2＋y2－2y＋3－m＝0的标准方程为x2＋(y－1)2＝m－2，又P(2，2)是圆C：x2＋y2－2y＋3－m＝0外的一点，所以解得2<m<7，即m的取值范围是(2，7)． 8．已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0的圆心在直线x＋y－1＝0上，且圆心在第二象限，半径为，则圆C的一般方程为__________________________． 答案：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0 解析：由圆的方程可得圆心坐标为，圆的半径为，则 解得D＝2，E＝－4，则圆C的一般方程为x2＋y2＋2x－4y＋3＝0. 三、解答题 9．下列二元二次方程中，哪些表示圆？如果是圆，求出它的圆心和半径： (1)2x2＋y2＋2x－y＝0； (2)x2＋y2＋2x＋4y＝0； (3)x2＋2x－y＋1＝0； (4)2x2＋2y2＋2x－4y＋1＝0； (5)x2＋y2－2x＋y＋2＝0. 解：(1)因为2x2＋y2＋2x－y＝0中x2，y2的系数不相等，所以方程不表示圆． (2)x2＋y2＋2x＋4y＝0可化为(x＋1)2＋(y＋2)2＝5， 所以方程表示圆心为(－1，－2)，半径为的圆． (3)因为x2＋2x－y＋1＝0中没有y2项，所以方程不表示圆． (4)2x2＋2y2＋2x－4y＋1＝0可化为＋(y－1)2＝，所以方程表示圆心为，半径为的圆． (5)x2＋y2－2x＋y＋2＝0可化为(x－1)2＋＝－，所以方程不表示圆． 10．已知圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0及点Q(－2，3)． (1)若点P(m，m＋1)在圆C上，求线段PQ的长及直线PQ的斜率； (2)若P为圆C上任意一点，求|PQ|的最大值和最小值． 解：(1)由点P在圆C上，得m2＋(m＋1)2－4m－14(m＋1)＋45＝0，解得m＝4. ∴点P的坐标为(4，5)． 故|PQ|＝＝2，kPQ＝＝. ∴线段PQ的长为2，直线PQ的斜率为. (2)由题意知|PQ|取得最大值和最小值时，点P为过Q与圆心C的直线与圆C的两个交点． 又圆心C(2，7)，半径R＝2，|QC|＝4， ∴|PQ|的最大值为|QC|＋R＝6，最小值为|QC|－R＝2. 11．(多选)如图，在平面直角坐标系xOy中，坐标轴将边长为4的正方形ABCD分割成四个小正方形．若大圆为正方形ABCD的外接圆，四个小圆分别为四个小正方形的内切圆，则下列方程是图中某个圆的方程的是(　　) A．x2＋y2－2x－2y＋1＝0 B．x2＋y2＋2x－2y＋1＝0 C．x2＋y2＋2x＋2y＋1＝0 D．x2＋y2－2x＋2y－1＝0 答案：ABC 解析：由题意知，小正方形的边长为2，则内切圆的半径为1，可得第一象限中小圆的圆心为(1，1)，方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1，即x2＋y2－2x－2y＋1＝0，故A正确；第二象限中小圆的圆心为(－1，1)，方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝1，即x2＋y2＋2x－2y＋1＝0，故B正确；第三象限中小圆的圆心为(－1，－1)，方程为(x＋1)2＋(y＋1)2＝1，即x2＋y2＋2x＋2y＋1＝0，故C正确；第四象限中小圆的圆心为(1，－1)，方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝1，即x2＋y2－2x＋2y＋1＝0，没有选项符合；正方形ABCD的外接圆圆心为(0，0)，半径为2，方程为x2＋y2＝8，即x2＋y2－8＝0，没有选项符合．故选ABC. 12．在平面直角坐标系中，圆E与两坐标轴交于A，B，C，D四点，其中A(－2，0)，B(0，－3)，点C在x轴的正半轴上，点D在y轴的正半轴上，圆E的内接四边形ABCD的面积为，则圆E的一般方程为________________． 答案：x2＋y2－x＋y－6＝0 解析：设C(c，0)，D(0，d)(c>0，d>0)，则S四边形ABCD＝(c＋2)(d＋3)＝.由|OA|·|OC|＝2c＝|OB|·|OD|＝3d，解得c＝3，d＝2(负值舍去)，因此圆心E，r2＝，故圆E的方程为＋＝，即x2＋y2－x＋y－6＝0. 13．某圆拱桥的圆拱跨度为16 m，拱高为4 m，在该圆拱桥的示意图中建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求这座圆拱桥的拱圆的方程； (2)若该景区游船宽10 m，水面以上高3 m，试判断该景区游船能否从桥下通过，并说明理由．(≈1.732) 解：(1)设这座圆拱桥的拱圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 因为该拱圆过A(－8，0)，B(8，0)，C(0，4)三点， 所以解得 所以拱圆的一般方程为x2＋y2＋12y－64＝0，即x2＋(y＋6)2＝100. (2)当x＝5时，52＋(y＋6)2＝100， 得y＝5－6≈2.66 m<3 m， 所以该景区游船不能从桥下通过． 14．已知方程x2＋y2－2(t＋3)x＋2(1－4t2)y＋16t4＋9＝0(t∈R)表示的图形是圆． (1)求t的取值范围； (2)求其中面积最大的圆的方程； (3)若点P(3，4t2)恒在所给圆内，求t的取值范围． 解：(1)设该圆的半径为r.已知方程可化为(x－t－3)2＋(y＋1－4t2)2＝(t＋3)2＋(1－4t2)2－16t4－9＝－7t2＋6t＋1， ∴r2＝－7t2＋6t＋1>0，解得－<t<1. (2)由(1)知 r＝＝， ∴当t＝∈时，rmax＝，此时圆的面积最大，所对应的圆的方程是＋＝. (3)当且仅当 时，点P恒在圆内，解得0<t<. ∴t的取值范围是. 12 学科网（北京）股份有限公司 $$