2.2.4 点到直线的距离-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册创新导学案全书Word（人教B版2019）

数学　选择性必修 第一册 RJ 2.2.4　点到直线的距离 (教师独具内容) 课程标准：1.探索并掌握平面上点到直线的距离公式.2.会求两条平行直线间的距离． 教学重点：点到直线的距离公式，两条平行直线之间的距离． 教学难点：点到直线的距离公式的推导过程． 核心素养：1.通过学习点到直线的距离公式的推导过程培养逻辑推理素养、直观想象素养和数学运算素养.2.通过利用点到直线的距离公式、两条平行直线间的距离公式解决问题进一步提升数学运算素养． 知识点一　点到直线的距离 点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝． [提醒]　(1)直线的方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式． (2)点P在直线l上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用． (3)点到直线的距离公式对于直线的方程中A＝0或B＝0时的情况仍然适用．①A＝0时，d＝；②B＝0时，d＝. 知识点二　两条平行直线之间的距离 (1)两条平行线之间的距离 两条平行线之间的距离，等于其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离． (2)两条平行线之间的距离公式 ①P(x1，y1)为l1：Ax＋By＋C1＝0上一点，l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)，则l1与l2之间的距离d＝． ②两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)之间的距离d＝． [点拨]　(1)求两条平行线之间的距离可以转化为求点到直线的距离，也可以利用公式． (2)利用公式求平行线之间的距离时，两条直线的方程必须是一般式，且x，y的系数对应相等． (3)当两条直线都与x轴(或y轴)垂直时，可利用数形结合来解决． ①两条直线都与x轴垂直时，若l1：x＝x1，l2：x＝x2，则d＝|x2－x1|； ②两条直线都与y轴垂直时，若l1：y＝y1，l2：y＝y2，则d＝|y2－y1|. 1．(点到直线的距离)点P(1，2)到直线2x＋y－4＝0的距离为(　　) A．0 B．2 C. D．4 答案：A 2．(已知点到直线的距离求参数)已知点A(3，4)，B(6，m)到直线3x＋4y－7＝0的距离相等，则实数m＝(　　) A. B．－ C．1 D.或－ 答案：D 3．(两条平行直线之间的距离)两平行线4x＋6y＝16与2x＋3y＋18＝0间的距离为________． 答案：2 4．(已知两条平行直线之间的距离求参数)若直线x－2y－1＝0与直线x－2y－C＝0的距离为2，则实数C的值为________． 答案：－9或11 题型一　点到直线的距离　 例1　(1)点P(1，－2)到直线l：4x－3y＝0的距离为(　　) A. B．2 C．1 D．3 [解析]　由题意，点P(1，－2)到直线l：4x－3y＝0的距离为＝2.故选B. [答案]　B (2)已知P1(2，3)，P2(－4，5)与点A(－1，2)，求过点A且与P1，P2距离相等的直线l的方程． [解]　解法一：当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－1，即x＋1＝0，符合题意； 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0， 因为P1，P2到直线l的距离相等， 所以＝， 化简得|3k－1|＝|3k＋3|，解得k＝－， 故直线l的方程为x＋3y－5＝0. 综上可知，直线l的方程为x＋1＝0或x＋3y－5＝0. 解法二：因为直线l过点A且与P1，P2距离相等，所以直线l有两种情况(如图所示)． ①当P1，P2在直线l的同侧时，有l∥P1P2，此时可求得直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，即x＋3y－5＝0. ②当P1，P2在直线l的异侧时，直线l必过P1P2的中点(－1，4)，此时直线l的方程为x＝－1，即x＋1＝0. 所以所求直线l的方程为x＋3y－5＝0或x＋1＝0. 【感悟提升】点到直线的距离的求解方法 (1)把直线的方程化为一般式方程，直接应用点到直线的距离公式求解即可． (2)对于与坐标轴平行(或重合)的直线x＝a或y＝b，求点P(x0，y0)到它们的距离时，既可以用点到直线的距离公式，也可以直接写成d＝|x0－a|或d＝|y0－b|. (3)若已知点到直线的距离求参数时，只需根据点到直线的距离公式列方程求解参数即可． 【跟踪训练】 1．(1)求点P0(－1，2)到下列直线的距离： ①2x＋y－10＝0；②x＋y＝2；③y－1＝0. 解：①根据点到直线的距离公式得 d＝＝2. ②直线的方程可化为x＋y－2＝0， 所以d＝＝. ③因为直线y－1＝0平行于x轴， 所以d＝|2－1|＝1. (2)已知坐标平面内两点A(3，2)和B(－1，4)到直线mx＋y＋3＝0的距离相等，求实数m的值． 解：由＝， 得|3m＋5|＝|m－7|，解得m＝－6或m＝. 故实数m的值为－6或. 题型二　两条平行直线之间的距离　 例2　(1)平行直线x＋3y－4＝0与2x＋6y－9＝0之间的距离为________． [解析]　解法一：在直线x＋3y－4＝0上取点P(4，0)，则点P(4，0)到直线2x＋6y－9＝0的距离d就是两条平行直线之间的距离，因此，两条平行直线之间的距离为d＝＝＝. 解法二：直线2x＋6y－9＝0化为x＋3y－＝0，根据平行线间的距离公式d＝，得d＝＝＝. [答案]　 (2)直线l1：2x＋y－4＝0，l2：2x＋y＋2＝0，则与直线l1，l2距离相等的直线的方程为______________． [解析]　令所求直线的方程为2x＋y＋C＝0，则＝，即|C＋4|＝|C－2|，解得C＝－1，故所求直线的方程为2x＋y－1＝0. [答案]　2x＋y－1＝0 【感悟提升】求两条平行直线之间距离的两种思路 (1)利用“化归”法将求两条平行线之间的距离转化为求一条直线上任意一点到另一条直线的距离． (2)直接利用两条平行直线之间的距离公式，当直线l1：y＝kx＋b1，l2：y＝kx＋b2且b1≠b2时，d＝；当直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0且C1≠C2时，d＝，必须注意两直线的方程中x，y的系数对应相等． 【跟踪训练】 2．(1)已知直线l1：3x＋4y－10＝0与直线l2：6x－ay－＝0平行，则l1与l2之间的距离为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案：C 解析：由直线l1：3x＋4y－10＝0与直线l2：3x－y－＝0平行，得a＝－8，－＝5，所以l1与l2之间的距离为d＝＝3.故选C. (2)与直线2x－y－1＝0平行，且与直线2x－y－1＝0之间的距离为2的直线的方程为____________． 答案：2x－y＋2－1＝0或2x－y－2－1＝0 解析：解法一：由已知，可设所求直线的方程为2x－y＋C＝0(C≠－1)，则它与直线2x－y－1＝0之间的距离d＝＝＝2，∴|C＋1|＝2，即C＝2－1或C＝－2－1.∴所求直线的方程为2x－y＋2－1＝0或2x－y－2－1＝0. 解法二：设所求直线的方程为2x－y＋C＝0(C≠－1)，在直线2x－y－1＝0上任取一点A(0，－1)，点A(0，－1)到直线2x－y＋C＝0的距离为＝，由题意得＝2，解得C＝2－1或C＝－2－1.故所求直线的方程为2x－y＋2－1＝0或2x－y－2－1＝0. 解法三：设P(x，y)为所求直线上任意一点，则P到2x－y－1＝0的距离为d＝＝＝2，∴2x－y－1＝±2，∴所求直线的方程为2x－y＋2－1＝0或2x－y－2－1＝0. 题型三　距离公式的应用　 例3　(1)已知点P(m，n)是直线3x＋4y－12＝0上的一点，求(m－1)2＋(n－2)2的最小值． [解]　解法一：因为点(1，2)到直线3x＋4y－12＝0的距离d＝＝， 所以(m－1)2＋(n－2)2的最小值为＝. 解法二：因为P(m，n)是直线3x＋4y－12＝0上的一点， 所以3m＋4n－12＝0，即n＝， 所以(m－1)2＋(n－2)2＝(m－1)2＋＝m2－m＋2. 所以当m＝＝时，(m－1)2＋(n－2)2有最小值. (2)已知直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点． ①若点A(5，0)到l的距离为3，求直线l的方程； ②求点A(5，0)到l的距离的最大值． [解]　①解法一：联立 解得 ∴交点P(2，1)． 当直线斜率存在时，设l的方程为y－1＝k(x－2)，即kx－y＋1－2k＝0， ∴＝3，解得k＝. ∴l的方程为y－1＝(x－2)，即4x－3y－5＝0. 而直线斜率不存在时，直线x＝2也符合题意， 故所求直线l的方程为4x－3y－5＝0或x＝2. 解法二：设经过两条已知直线交点的直线系方程为(2x＋y－5)＋λ(x－2y)＝0， 即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0， ∴＝3， 即2λ2－5λ＋2＝0，解得λ＝2或. ∴直线l的方程为4x－3y－5＝0或x＝2. ②由解得 ∴交点P(2，1)． 过P任意作直线l，设d为点A到l的距离， 则d≤|PA|(当l⊥PA时等号成立)， ∴dmax＝|PA|＝. 【感悟提升】距离公式应用的三种常见类型 (1)最值问题 ①利用对称转化为两点之间的距离问题． ②利用所求式子的几何意义转化为点到直线的距离． ③利用距离公式将问题转化为二次函数的最值问题，通过配方求最值． (2)求参数问题 利用距离公式建立关于参数的方程或方程组，通过解方程或方程组求值． (3)求方程的问题 立足确定直线的几何要素——点和方向，利用直线方程的各种形式，结合直线的位置关系(平行直线系、垂直直线系及过交点的直线系)，巧设直线的方程，在此基础上借助三种距离公式求解． 【跟踪训练】 3．已知两条直线l1与l2，直线l1经过点(0，3)，直线l2经过点(4，0)，且l1∥l2. (1)若l1与l2之间的距离为4，求两条直线的方程； (2)若l1与l2之间的距离最大，求最大距离，并求此时两条直线的方程． 解：(1)①若l1，l2的斜率都存在，设其斜率为k， 由斜截式得l1的方程为y＝kx＋3，即kx－y＋3＝0， 由点斜式得l2的方程为y＝k(x－4)， 即kx－y－4k＝0， 在直线l1上取点A(0，3)， 则点A到直线l2的距离为d＝＝4， 解得k＝， ∴l1：7x－24y＋72＝0，l2：7x－24y－28＝0. ②若l1，l2的斜率都不存在， 则l1的方程为x＝0，l2的方程为x＝4，它们之间的距离为4，满足条件． 综上所述，两条直线的方程为l1：7x－24y＋72＝0，l2：7x－24y－28＝0或l1：x＝0，l2：x＝4. (2)当直线l1，l2均与两点的连线垂直时，l1与l2之间的距离最大，两点连线的斜率为＝－， ∴直线l1与l2的斜率均为， 此时最大距离为＝5， l1：4x－3y＋9＝0，l2：4x－3y－16＝0. 1．点P(0，1)到直线x－y－1＝0的距离为(　　) A. B．1 C. D．2 答案：C 解析：点P(0，1)到直线x－y－1＝0的距离为＝.故选C. 2．平行直线x＋2y－4＝0与2x＋4y＋7＝0之间的距离为(　　) A. B. C. D. 答案：C 解析：将直线x＋2y－4＝0化为2x＋4y－8＝0，所以这两条平行直线之间的距离d＝＝.故选C. 3．若点A(4，3)，B(3，5)到直线l：2x＋ay＋1＝0的距离相等，则a＝(　　) A．1 B．－1 C．1或－2 D．－1或2 答案：C 解析：若A，B在直线l的同侧，则＝－，解得a＝1；若A，B分别在直线l的两侧，则直线l经过AB的中点，则7＋4a＋1＝0，解得a＝－2.故选C. 4．已知在△ABC中，A(3，2)，B(－1，5)，点C在直线3x－y＋3＝0上，若△ABC的面积S为10，则点C的坐标为____________． 答案：(－1，0)或 解析：设点C到直线AB的距离为d，由题意知|AB|＝＝5，直线AB的方程为＝，即3x＋4y－17＝0.因为S＝|AB|·d＝×5×d＝10，所以d＝4.因为点C在直线3x－y＋3＝0上，设C(x0，3x0＋3)，所以d＝＝＝|3x0－1|＝4，解得x0＝－1或x0＝，故点C的坐标为(－1，0)或. 5．若动点A，B分别在直线l1：x＋y－7＝0和直线l2：x＋y－5＝0上移动，则线段AB的中点M到原点的距离的最小值为________． 答案：3 解析：由题意得，线段AB的中点M的集合为与直线l1：x＋y－7＝0和直线l2：x＋y－5＝0距离相等的直线，记为l，则M到原点的距离的最小值为原点到直线l的距离，设直线l：x＋y＋m＝0，则＝，解得m＝－6，所以直线l：x＋y－6＝0，根据点到直线的距离公式可得，M到原点的距离的最小值为＝3. 课后课时精练 基础题(占比60%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 难度 ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ 考点 求点到直线的距离 已知两条平行直线之间的距离求参数 求点到直线的距离的最值 利用点到直线的距离公式解决最值问题 已知两条平行直线之间的距离求参数；求点到直线的距离的最值 已知点到直线的距离求参数的取值范围 求两条平行直线之间的距离 题号 8 9 10 11 12 13 14 难度 ★★ ★ ★★ ★★ ★★ ★★ ★★★ 考点 利用点到直线的距离公式解决最值问题 点到直线的距离公式在平面几何中的应用；求直线的方程 点到直线的距离公式、两条平行直线之间的距离公式在平面几何中的应用；求直线的方程 利用点到直线的距离公式解决最值问题 线关于线对称；求两条平行直线之间的距离 点到直线的距离公式在平面几何中的应用 利用点到直线的距离公式、两点间距离公式解决最值问题 一、选择题 1．已知直线l：y＝－x＋5，则原点到直线l的距离是(　　) A．2 B. C. D. 答案：D 解析：直线l：y＝－x＋5化为一般式为5x＋12y－60＝0，所以原点到直线l的距离是＝.故选D. 2．若两平行直线x＋2y＋m＝0(m>0)与x－ny－3＝0之间的距离是，则m＋n＝(　　) A．0 B．1 C．－1 D．－2 答案：A 解析：由直线x＋2y＋m＝0(m>0)与x－ny－3＝0平行可得－n＝2，即n＝－2，则直线x＋2y＋m＝0(m>0)与x＋2y－3＝0的距离为，所以＝，解得m＝2或m＝－8(舍去)，所以m＋n＝2＋(－2)＝0.故选A. 3．点(5，2)到直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5的距离的最大值为(　　) A. B．2 C. D．2 答案：B 解析：直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5可化为(x＋2y－1)m－x－y＋5＝0，由解得所以直线过定点(9，－4)，点(5，2)到直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5的距离的最大值为d＝＝2.故选B. 4．∀x，y∈R，函数f(x，y)＝＋|3x＋4y－5|的最小值为(　　) A．2 B. C. D. 答案：C 解析：表示的几何意义为平面内的点P(x，y)到定点A(1，4)的距离，表示的几何意义为平面内的点P(x，y)到定直线3x＋4y－5＝0的距离，所以f(x，y)表示的几何意义是动点P(x，y)到定点A(1，4)和到定直线3x＋4y－5＝0的距离的和，如图，过点A作直线3x＋4y－5＝0的垂线，垂足为B，当点P在线段AB上时，f(x，y)最小，最小值为|AB|＝＝.故选C. 5．(多选)已知直线l1：y－2＝m(x＋1)(m∈R)，直线l2：x－2y＋λ＝0(λ∈R)，则下列说法正确的是(　　) A．直线l1过定点(－1，2) B．若l1⊥l2，则m＝－2 C．若两条平行直线l1与l2间的距离为2，则λ＝－5 D．点P(2，6)到直线l1的距离的最大值为5 答案：ABD 解析：对于A，由l1：y－2＝m(x＋1)(m∈R)，令解得所以直线l1过定点(－1，2)，故A正确；对于B，因为l1⊥l2，所以kl1kl2＝m＝－1⇒m＝－2，故B正确；对于C，因为l1∥l2，则kl1＝kl2，即m＝，此时l1：y－2＝(x＋1)，即x－2y＋5＝0，l2：x－2y＋λ＝0(λ∈R)，因为直线l1与l2之间的距离为2，所以＝2⇒λ＝－5或λ＝15，故C错误；对于D，由A项分析知，直线l1过定点Q(－1，2)，要使点P(2，6)到直线l1的距离最大，则PQ⊥l1，则点P(2，6)到直线l1的距离的最大值为|PQ|＝＝5，故D正确．故选ABD. 二、填空题 6．点P(2，)到直线x＋y＋t＝0的距离不超过2，则实数t的取值范围是________． 答案：[－9，－1] 解析：因为点P(2，)到直线x＋y＋t＝0的距离不超过2，所以d＝≤2，解得－9≤t≤－1，即实数t的取值范围是[－9，－1]． 7．已知直线l1：x－2y＋1＝0与直线l2：x－2y＋4＝0，在l1上任取一点A，在l2上任取一点B，连接AB，取AB上靠近点A的三等分点C，过C作l1的平行线l3，则l1与l3间的距离为________． 答案： 解析：过点A作AD⊥l2于点D，交l3于点E，如图所示，因为l1∥l2∥l3，所以Rt△ABD∽Rt△ACE，且＝＝，又直线l1与l2间的距离|AD|＝＝，所以l1与l3间的距离为|AE|＝|AD|＝. 8．已知M(x，y)是直线x＋y＋1＝0上的任意一点，则式子S＝的最小值为________，此时点M的坐标为________． 答案：　 解析：∵x2＋y2－2x－2y＋2＝(x－1)2＋(y－1)2，∴上式可看成是一个动点M(x，y)到一个定点N(1，1)距离的平方，即为点N与直线l：x＋y＋1＝0上任意一点M(x，y)距离的平方．∴S＝|MN|的最小值应为点N到直线l的距离d，即Smin＝d＝＝.由得x＝y＝－，即此时点M的坐标为. 三、解答题 9．在△ABC中，已知点A(3，3)，B(2，－2)，C(－7，1)，求∠A的平分线AD所在直线的方程． 解：设点M(x，y)为∠A的平分线上的任意一点，由两点式易得AC所在直线的方程为x－5y＋12＝0，AB所在直线的方程为5x－y－12＝0. 由角平分线的性质可知，直线AD上任意一点到直线AC，AB的距离相等， 即＝， ∴x－5y＋12＝5x－y－12或x－5y＋12＝y－5x＋12，整理，得y＝－x＋6或y＝x. 结合图形，可知kAC<kAD<kAB，即<kAD<5， 则y＝－x＋6不符合题意，舍去． 故∠A的平分线AD所在直线的方程为y＝x. 10．已知正方形的中心为点M(－1，0)，一条边所在直线的方程是x＋3y－5＝0，求正方形其他三边所在直线的方程． 解：点M到直线x＋3y－5＝0的距离为d＝＝， 设与直线x＋3y－5＝0平行的直线为x＋3y＋C＝0(C≠－5)， ∴＝， 解得C＝7(C＝－5舍去)， ∴直线的方程为x＋3y＋7＝0. 设另两条边所在直线的方程为3x－y＋m＝0， 则＝， 解得m＝－3或m＝9， 故另两条边所在直线的方程为3x－y－3＝0，3x－y＋9＝0. 综上，正方形其他三边所在直线的方程为x＋3y＋7＝0，3x－y－3＝0，3x－y＋9＝0. 11．已知x，y∈R，则(x－y)2＋的最小值为(　　) A. B. C. D．2－ 答案：C 解析：(x－y)2＋可看成点(x，x－1)到点的距离的平方，点(x，x－1)在直线x－y－1＝0上，点在函数y＝－的图象上，问题转化为在函数y＝－的图象上找一点，使得它到直线x－y－1＝0的距离的平方最小．设P在函数y＝－的图象上，则点P到直线x－y－1＝0的距离d＝＝，易知x＋∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)，所以x＋－1∈(－∞，－3]∪[1，＋∞)，所以∈[1，＋∞)，所以dmin＝，所以(x－y)2＋的最小值为＝.故选C. 12．已知入射光线在直线l1：2x－y＝3上，经过x轴反射到直线l2上，再经过y轴反射到直线l3上．若点P是直线l1上某一点，则点P到直线l3的距离为________． 答案： 解析：如图所示，结合图形可知，直线l1∥l3，则直线l1上一点P到直线l3的距离即为l1与l3之间的距离．由题意知l1与l2关于x轴对称，故l2的方程为y＝－2x＋3，l2与l3关于y轴对称，故l3的方程为y＝2x＋3.由两平行线间的距离公式，得l1与l3间的距离d＝＝，即点P到直线l3的距离为. 13．已知平面内三点A，B，C.若这三点构成三角形，且BC＝BA，建立适当的坐标系，用解析法证明：底边AC上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高． 证明：建立如图所示的平面直角坐标系，若kBC＝k且A(a，0)，a，k>0，则kAB＝－k，C(－a，0)， 所以直线BC的方程为y＝k(x＋a)，直线AB的方程为y＝－k(x－a)，边AC上任意一点D(m，0)且－a≤m≤a，到直线BC的距离d1＝＝， 到直线AB的距离d2＝＝， 而C(－a，0)到直线AB的距离为d＝＝，所以d＝d1＋d2，得证． 14．已知直线l：x－2y＋4＝0，点A(0，4)，B(－2，－4)，点P(m，n)在直线l上移动． (1)求m2＋n2－2m＋2n的最小值； (2)求||PB|－|PA||的最大值，以及取最大值时点P的坐标． 解：(1)因为m2＋n2－2m＋2n＝(m－1)2＋(n＋1)2－2， 令d＝，则原式为d2－2， 点(1，－1)到直线x－2y＋4＝0的距离是d的最小值，即dmin＝＝， 所以原式的最小值为－2＝. (2)设A(0，4)关于直线l：x－2y＋4＝0的对称点为A′(a，b)， 则－2×＋4＝0，×＝－1， 解得a＝，b＝， 因为P为直线l上的点，所以||PB|－|PA||＝||PB|－|PA′||≤|A′B|，当且仅当P，A′，B三点共线时，||PB|－|PA||取得最大值， 为|A′B|＝＝6， 直线A′B的方程为y＋4＝(x＋2)， 即y＝x－， 联立得 所以||PB|－|PA||的最大值为6，此时P(4，4)． 16 学科网（北京）股份有限公司 $$