2.2.4 点到直线的距离专项训练-2025-2026学年高二上学期数学人教B版选择性必修第一册

2.2.4 点到直线的距离 题型一 求平行线间的距离 1．直线与直线之间的距离为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】利用两平行直线间距离公式进行求解. 【详解】直线，即直线， 直线与直线之间的距离为. 故选：C 2．（多选）已知直线，则下列表述正确的是（   ） A．当时，直线的倾斜角为 B．当实数变化时，直线恒过点 C．当直线与直线平行时，则两条直线的距离为1 D．原点到直线的距离最大值为 【答案】ABD 【分析】对于A选项，可求出直线斜率，即可判断选项正误；对于B选项，将直线方程整理为，由此可得直线所过定点；对于C选项，由题可得，后由平行直线距离公式可判断选项；对于D选项，根据直线恒过点，结合两点间的距离公式判断即可 【详解】对于A选项，当时，直线方程为，可得直线斜率为，则倾斜角为，故A正确； 对于B选项，由题可得，则直线过定点，故B正确； 对于C选项，因直线与直线平行，则，解得：，则直线方程为：，即 则直线与直线之间的距离为，故C错误； 因为直线恒过点，故原点到直线的距离，当且仅当时取等号，故D正确. 故选：ABD 3．两平行线，之间的距离为 . 【答案】 【分析】将直线方程化为，再根据两平行线间的距离公式计算即可. 【详解】直线方程可化为， 所以两平行线，之间的距离为. 故答案为：. 4．已知为实数，设直线. (1)若，求的值； (2)若，求与的距离. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由两直线垂直关系求解即可. （2）由两直线平行关系求出，结合两平行线间距离公式即可求解. 【详解】（1），解得. （2）因为，所以，解得， 此时，即， 所以与的距离 题型二 由距离求已知直线的平行线 5．已知直线与直线间的距离为1，则m的值为（    ） A．3 B．6 C．-7或3 D．-14或6 【答案】D 【分析】根据平行线间的距离公式即可求解. 【详解】解：直线可化为， 因为直线与直线间的距离为1， 所以，解得或. 故选：D 6．（多选）下列直线与直线：平行，且与它的距离为2的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】设与直线平行的直线方程为，，然后由平行直线间的距离公式可得答案. 【详解】由题意，设与直线平行的直线方程为，， 由两平行直线间的距离公式可得，解得或， 故所求直线方程为或． 故选：AC 7．若直线与直线间的距离为1，则 . 【答案】6或 【分析】由平行线间距离公式即可求解. 【详解】直线化为， 根据平行线间的距离公式：， 解得：或. 故答案为：6或-14 8．已知直线，在上任取一点，在上任取一点，过线段的靠近点的三等分点作的平行线． (1)求直线与之间的距离； (2)求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由平行线间距离公式求距离； （2）设的方程为），再根据平行线间距离公式求解． 【详解】（1）易知与平行，所以两平行直线与间的距离． （2）由与平行，可设的方程为）． 由题意知与之间的距离为，所以有，解得或（舍去）， 所以的方程为． 题型三 求直线关于点的对称直线 9．已知直线与直线关于点对称，则实数（　　） A．2 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得到直线与直线平行，从而得到，再根据直线上取一点，得到关于点的对称点，代入直线即可得到答案. 【详解】因为不在直线上， 且直线与直线关于点对称， 所以直线与直线平行， 即，解得. 在直线上取一点， 关于点的对称点为, 将代入直线，解得. 故选：C 10．（多选）已知直线，则下列说法正确的是（    ） A．直线与相交于点 B．直线和轴围成的三角形的面积为 C．直线关于原点O对称的直线方程为 D．直线关于直线对称的直线方程为 【答案】AC 【分析】通过联立方程组求得交点坐标，结合三角形的面积、对称性等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】由解得，所以交点坐标为，A选项正确. 直线与轴的交点为，与轴的交点为， 直线过原点，由图可知，直线和轴围成的三角形的面积为， 所以B选项错误. 由上述分析可知，直线关于原点O对称的直线过点， 所以直线关于原点O对称的直线方程为， 所以C选项正确. 点关于直线的对称点是； 点关于直线的对称点是， 所以直线关于直线对称的直线方程为， 即，所以D选项错误. 故选：AC 11．直线关于点对称的直线方程为 . 【答案】 【分析】设直线关于点对称的直线任一点为，根据点对称代入即可求解. 【详解】设直线上任一点关于点对称的直线任一点为， 可得，解之可得， 所以在直线上，代入即可得， 化简的，即. 故答案为： 12．已知直线，试求： (1)直线关于直线对称的直线方程； (2)直线关于对称的直线方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求直线与的交点，再求直线上关于的对称点，进而求出所求直线的斜率，利用点斜式方程求解直线即可； （2）分别求出直线上点关于点的对称点，进而求出所求直线的斜率，利用点斜式方程求解直线即可. 【详解】（1）由可得， 直线与直线的交点为， 再在直线上取一点， 设点关于直线的对称点为， 则由解得，即．     由题意可得、两点是所求直线上的两个点，则直线斜率为， 则直线方程为，化简为． （2）在直线上任意取出两个点， 求出这两个点关于点对称点分别为 由题意可得，是所求直线上的两个点， 则直线斜率为，则所求直线方程为，即． 题型四 将军饮马问题求最值 13．已知两定点，，动点在直线上，则的最小值为（ ） A． B． C． D．5 【答案】A 【分析】求出对称点坐标，根据将军饮马模型即可求出最小值. 【详解】设点关于直线的对称点， 则，解得，即. 连接与直线相交于点，则的最小值为. 故选：A. 14．（多选）已知直线和两点.在直线l上有一点P，则的最小值和的最值为（   ） A．的最小值为12 B．的最小值为6 C．的最小值为 D．的最大值为2 【答案】AC 【分析】应用点关于直线对称，结合饮马模型求的最小值，利用三角形的三边关系及点线位置关系求的最值，即可得答案. 【详解】令是关于的对称点，则， 所以，即，为与的交点， 如下图，则， 当且仅当共线且在线段上时取等号，即的最小值为12； 由图知（直线与直线的交点离点更近），即， 当且仅当共线且在射线上时取最小值，但无最大值，即最小值是，为. 故选：AC 15．已知实数、满足，则的最小值为 . 【答案】 【分析】设点，记点、，可得出，结合将军饮马问题可得出所求代数式的最小值. 【详解】设点，记点、， 则，如下图所示： 点关于直线的对称点为，由对称性可知， 所以， 当且仅当为线段与直线的交点时，等号成立， 故的最小值为. 故答案为：. 16．已知两直线. (1)求过两直线的交点且与直线平行的直线方程. (2)已知两点，动点在直线运动，求的最小值. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）联立直线方程求得交点坐标，根据平行关系，可得答案； （2）由题意求点关于直线的对称点，由图可得答案. 【详解】（1）联立，所以两直线的交点为 设与直线平行的直线方程为， 将代入得， 所以所求的直线方程为 （2）设点关于直线对称的点为， ，解得 则， 故的最小值为. 题型五 直线关于直线对称问题 17．直线关于直线对称的直线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在直线上任取一点，设其关于直线的对称点为，然后根据对称关系列方程可表示出，再代入中化简可得答案. 【详解】在直线上任取一点，设点关于直线的对称点为， 则，解得，即， 因为点在直线上， 所以，即， 所以所求直线方程为， 故选：C. 18．（多选）下列说法正确的是（   ） A．若直线经过第一、二、四象限，则点在第二象限. B．斜率为，在轴截距为3的直线方程为. C．直线关于对称的直线方程是. D．对任意的，直线与直线有公共点. 【答案】AD 【分析】对于A，结合一次函数的特征可得，进而判断即可；对于B，根据斜截式方程求解判断即可；对于C，先求出直线与的交点，再求出直线上一点的对称点，进而求解判断即可；对于D，由题设可得直线恒过定点，而在直线上，进而判断即可. 【详解】对于A，由直线经过第一、二、四象限， 则，所以点在第二象限，故A正确； 对于B，斜率为，在轴截距为3的直线方程为，故B错误； 对于C，联立，解得， 则直线与的交点为， 取直线上一点，设其关于直线对称点为， 则，解得，即对称点为， 则所求直线的斜率为， 则所求直线的方程为，即，故C错误； 对于D，直线，即， 令，解得，则直线恒过定点， 而在直线上， 所以对任意的，直线与直线有公共点，故D正确. 故选：AD 19．求直线关于直线对称的直线方程为 . 【答案】 【分析】求出两直线的交点坐标，再求出直线上另外一点关于直线的对称点坐标，然后可得对称直线方程. 【详解】解方程组得，即直线和直线的交点坐标为， 又是直线上一点，设它关于直线的对称点坐标为， 则，解得， 所以所求直线方程为，即. 故答案为：. 20．已知直线，直线相交于点. (1)若直线经过点，且在轴上的截距为2，求直线的方程； (2)若直线，关于直线对称，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）联立两直线，求得交点，根据在轴上的截距为2，分析即可得答案. （2）方法1：直线上任取一点，由题意可得，该点到两直线距离相等，代入距离公式，即可得答案；方法2：设出直线方程，在直线上取一点，则其关于直线的对称点必在直线上，求出B点坐标，代入方程，即可得答案. 【详解】（1）联立，可得交点， 因为直线过点，且在轴上的截距为2， 所以直线的方程为； （2）方法1：在直线上任取一点，因为直线，关于直线对称， 所以，即， 所以直线的方程为：或. 方法2：因为直线，关于直线对称，所以直线必过点，易知直线的斜率存在， 设直线的方程为，即， 在直线上取一点，则其关于直线的对称点必在直线上， 所以，解得， 代入直线，得，解得或， 所以直线的方程为：或. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2.4 点到直线的距离 题型一 求平行线间的距离 1．直线与直线之间的距离为（   ） A．1 B． C． D． 2．（多选）已知直线，则下列表述正确的是（   ） A．当时，直线的倾斜角为 B．当实数变化时，直线恒过点 C．当直线与直线平行时，则两条直线的距离为1 D．原点到直线的距离最大值为 3．两平行线，之间的距离为 . 4．已知为实数，设直线. (1)若，求的值； (2)若，求与的距离. 题型二 由距离求已知直线的平行线 5．已知直线与直线间的距离为1，则m的值为（    ） A．3 B．6 C．-7或3 D．-14或6 6．（多选）下列直线与直线：平行，且与它的距离为2的是（   ） A． B． C． D． 7．若直线与直线间的距离为1，则 . 8．已知直线，在上任取一点，在上任取一点，过线段的靠近点的三等分点作的平行线． (1)求直线与之间的距离； (2)求直线的方程． 题型三 求直线关于点的对称直线 9．已知直线与直线关于点对称，则实数（　　） A．2 B．1 C． D． 10．（多选）已知直线，则下列说法正确的是（    ） A．直线与相交于点 B．直线和轴围成的三角形的面积为 C．直线关于原点O对称的直线方程为 D．直线关于直线对称的直线方程为 11．直线关于点对称的直线方程为 . 12．已知直线，试求： (1)直线关于直线对称的直线方程； (2)直线关于对称的直线方程． 题型四 将军饮马问题求最值 13．已知两定点，，动点在直线上，则的最小值为（ ） A． B． C． D．5 14．（多选）已知直线和两点.在直线l上有一点P，则的最小值和的最值为（   ） A．的最小值为12 B．的最小值为6 C．的最小值为 D．的最大值为2 15．已知实数、满足，则的最小值为 . 16．已知两直线. (1)求过两直线的交点且与直线平行的直线方程. (2)已知两点，动点在直线运动，求的最小值. 题型五 直线关于直线对称问题 17．直线关于直线对称的直线方程是（   ） A． B． C． D． 18．（多选）下列说法正确的是（   ） A．若直线经过第一、二、四象限，则点在第二象限. B．斜率为，在轴截距为3的直线方程为. C．直线关于对称的直线方程是. D．对任意的，直线与直线有公共点. 19．求直线关于直线对称的直线方程为 . 20．已知直线，直线相交于点. (1)若直线经过点，且在轴上的截距为2，求直线的方程； (2)若直线，关于直线对称，求直线的方程. 1 学科网（北京）股份有限公司 $