2.2.2 第2课时 直线的两点式方程、截距式方程与一般式方程-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册创新导学案全书Word（人教B版2019）

数学　选择性必修 第一册 RJ 第2课时　直线的两点式方程、截距式方程与一般式方程 (教师独具内容) 课程标准：根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的两点式、截距式和一般式． 教学重点：直线方程的两点式、截距式和一般式． 教学难点：直线方程的各种形式之间的相互转化及它们各自的适用范围． 核心素养：1.通过学习直线的两点式方程、截距式方程及一般式方程培养数学抽象素养.2.通过利用直线的两点式方程、截距式方程及一般式方程解决问题培养数学运算素养． 知识点一　直线的两点式方程 经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x2－x1≠0且y2－y1≠0)的直线的方程为＝，这种形式的直线的方程称为直线的两点式方程． [想一想]　方程＝和方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示的直线相同吗？ 提示：不相同．前者为分式形式方程，形式对称，但不能表示垂直于坐标轴的直线．后者为整式形式方程，适用于过任意两点的直线． 知识点二　直线的截距式方程 直线在x，y轴上的截距分别为a，b，且a≠0，b≠0，则直线的方程可写为＋＝1，这种形式的方程称为直线的截距式方程，注意这里要求直线在x轴与在y轴上的截距都存在且不为0． [想一想]　直线的截距式方程可以表示一切直线吗？ 提示：截距式方程的条件是a≠0，b≠0，即直线有两个非零截距，截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示与坐标轴平行的直线． 知识点三　直线的一般式方程 (1)所有的直线的方程都是关于x，y的二元一次方程，关于x，y的二元一次方程都表示一条直线． (2)把方程Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)称为直线的一般式方程． (3)在方程Ax＋By＋C＝0中，如果B≠0，则方程可以化为y＝－x－，它表示的是斜率为－且截距为－的直线；如果B＝0，则由A与B不同时为零可知A≠0，从而方程可以化为x＝－，它表示的是斜率不存在且过点的直线． (4)v＝(A，B)为直线Ax＋By＋C＝0的一个法向量． [拓展]　二元一次方程的系数和常数项对直线的位置的影响 (1)当A＝0，B≠0，C≠0时，方程表示的直线与x轴平行． (2)当A＝0，B≠0，C＝0时，方程表示的直线与x轴重合． (3)当A≠0，B＝0，C≠0时，方程表示的直线与y轴平行． (4)当A≠0，B＝0，C＝0时，方程表示的直线与y轴重合． (5)当C＝0，A，B不同时为0时，方程表示的直线过原点． 1．(直线的两点式方程)过点(1，2)，(5，3)的直线的方程是(　　) A.＝ B.＝ C.＝ D.＝ 答案：B 2．(直线的截距式方程)在x，y轴上的截距分别为－3，4的直线的方程为(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 答案：A 3．(直线的一般式方程)(多选)关于直线l：x－y－1＝0，下列说法正确的是(　　) A．过点(，－2) B．斜率为 C．倾斜角为60° D．在y轴上的截距为1 答案：BC 题型一　直线的两点式方程　 例1　(1)已知直线l的两点式方程为＝，则l的斜率为(　　) A．－ B. C．－ D. [解析]　由两点式方程知直线过点(－5，0)，(3，－3)，故kl＝＝－.故选A. [答案]　A (2)已知△ABC中，A(1，－4)，B(6，6)，C(－2，0)．求： ①BC边上的中线所在直线的方程； ②△ABC中平行于BC边的中位线所在直线的方程． [解]　①由题意知A(1，－4)，B(6，6)，C(－2，0)， 所以BC边的中点为(2，3)， 所以BC边上的中线所在直线的方程为＝，整理得y＝7x－11. ②平行于BC边的中位线就是AB，AC中点的连线， 因为线段AB，AC的中点坐标分别为，， 所以所求直线的方程为＝， 整理得y＝x－. 【感悟提升】直线的两点式方程的适用条件及注意点 (1)适用条件：已知不垂直于两坐标轴的直线上的两点，可以利用直线的两点式求其方程． (2)注意点：对于两点式中的两点，只要是直线上的两个点即可，两点式方程与这两个点的顺序无关，但书写时坐标顺序要一致． 提醒：已知两点坐标，求过这两点的直线的方程时也可以先求斜率，再用点斜式求其方程． 【跟踪训练】 1．已知△ABC的三个顶点分别为A(2，－1)，B(2，2)，C(4，1)，求△ABC三条边所在直线的方程． 解：∵A(2，－1)，B(2，2)，A，B两点横坐标相同， ∴直线AB与x轴垂直，故其方程为x＝2. ∵A(2，－1)，C(4，1)， ∴由直线的两点式方程可得直线AC的方程为＝，即y＝x－3. ∵B(2，2)，C(4，1)， ∴由直线的两点式方程可得直线BC的方程为＝，即y＝－x＋3. 题型二　直线的截距式方程　 例2　(1)直线l：－＝1在x轴、y轴上的截距之和是(　　) A．7 B．－7 C．－1 D．1 [解析]　直线l：－＝1化为截距式得＋＝1，则直线l：－＝1在x轴、y轴上的截距分别为4，－3，所以直线l：－＝1在x轴、y轴上的截距之和是4＋(－3)＝1.故选D. [答案]　D (2)已知直线过点P(2，3)，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，求直线的方程． [解]　设直线与两坐标轴的交点分别为(a，0)，(0，b)． (ⅰ)当ab≠0时，直线的方程为＋＝1. 由点P在此直线上，得＋＝1，① 又由已知得|a|＝|b|，② 联立方程①②可得a＝b＝5或a＝－1，b＝1. 所以直线的方程为y＝－x＋5或y＝x＋1. (ⅱ)当a＝b＝0时，直线过原点和P(2，3)，易知直线的方程为y＝x. 综上所述，直线的方程为y＝－x＋5或y＝x＋1或y＝x. 【感悟提升】用截距式方程解决问题的优点及注意事项 (1)由截距式方程可直接确定直线与x轴和y轴的交点的坐标，因此用截距式画直线比较方便． (2)在解决与截距有关或直线与坐标轴围成的三角形面积、周长等问题时，经常使用截距式． (3)当直线与坐标轴平行时，有一个截距不存在；当直线通过原点且不与坐标轴重合时，两个截距均为零．在这两种情况下都不能用截距式，故解决问题过程中要注意分类讨论． 【跟踪训练】 2．已知直线l：＋＝1. (1)若直线l的斜率是2，求m的值； (2)当直线l与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积最大时，求直线l的方程． 解：(1)直线l过点(m，0)，(0，4－m)， 则＝2， 解得m＝－4. (2)由m>0，4－m>0，得0<m<4， 则直线l与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积S＝＝. 当m＝2时，S有最大值， 此时直线l的方程为y＝－x＋2. 题型三　直线的一般式方程　 例3　直线l与两坐标轴在第一象限所围成的三角形面积为2，两截距之差为3，求直线l的一般式方程． [解]　设直线l在x轴、y轴上的截距分别为a，b，a>0，b>0， 则由已知可得　① 当a≥b时，①可化为 解得或(舍去)， 当a<b时，①可化为 解得或(舍去)． 所以直线l的截距式方程为＋y＝1或x＋＝1，化为一般式方程为x＋4y－4＝0或4x＋y－4＝0. 　若直线l在两坐标轴上的截距之积为4，截距之差为3，求直线l的一般式方程． 解：设直线l在x轴、y轴上的截距分别为a，b，则由已知可得 解方程组可得或或或 故直线l的一般式方程为x＋4y－4＝0或4x＋y＋4＝0或4x＋y－4＝0或x＋4y＋4＝0. 【感悟提升】 1．求直线的一般式方程的策略 当A≠0时，方程可化为x＋y＋＝0，只需求，的值；若B≠0，则方程化为x＋y＋＝0，只需确定，的值．因此，只要给出两个条件，就可以求出直线的方程． 2．不同条件下各种直线的方程的选用 在求直线的方程时，设一般式方程并不简单，常用的还是根据给定条件选用四种特殊形式之一求方程再化为一般式方程，一般选用规律如下： (1)已知直线的斜率和直线上某一点的坐标时，选用点斜式； (2)已知直线的斜率和在y轴上的截距时，选用斜截式； (3)已知直线上两点坐标时，选用两点式； (4)已知直线在x轴、y轴上的截距时，选用截距式． 【跟踪训练】 3．已知点A(8，－6)，B(2，2)． (1)求线段AB的垂直平分线的一般式方程； (2)求过点P(2，－3)且方向向量为的直线的一般式方程． 解：(1)由＝5，＝－2， 得AB的中点坐标为(5，－2)， 又＝(－6，8)， 所以直线AB的一个法向量v＝(8，6)， 即与AB垂直的直线的斜率为＝， 则线段AB的垂直平分线的方程为y＋2＝(x－5)，化为一般式方程为3x－4y－23＝0. (2)解法一：由＝(－6，8)，得所求直线的斜率为＝－， 又所求直线过点P(2，－3)，所以所求直线的方程为y＋3＝－(x－2)，化为一般式方程为4x＋3y＋1＝0. 解法二：设M(x，y)是所求直线上任一点，则＝(x－2，y＋3)， 又∥，＝(－6，8)，所以8(x－2)＝－6(y＋3)，即4x＋3y＋1＝0. 所以所求直线的一般式方程为4x＋3y＋1＝0. 题型四　直线的一般式方程与其他形式的互化　 例4　根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程： (1)斜率为4，在y轴上的截距为－2； (2)经过A(－1，5)，B(2，－1)两点； (3)在x轴、y轴上的截距分别为－3，－1； (4)经过点C(4，2)，且平行于x轴； (5)经过点D(2，1)，且一个法向量为v＝(2，－3)． [解]　(1)由斜截式，得直线的方程为y＝4x－2， 化为一般式方程为4x－y－2＝0. (2)由两点式，得直线的方程为＝， 化为一般式方程为2x＋y－3＝0. (3)由截距式，得直线的方程为＋＝1， 化为一般式方程为x＋3y＋3＝0. (4)y－2＝0. (5)解法一：设P(x，y)为所求直线上任一点，则与v＝(2，－3)垂直，又＝(x－2，y－1)，∴2(x－2)－3(y－1)＝0，整理可得直线的一般式方程为2x－3y－1＝0. 解法二：∵直线的一个法向量为v＝(2，－3)， ∴设直线的一般式方程为2x－3y＋C＝0，代入点(2，1)得4－3＋C＝0，解得C＝－1， ∴直线的一般式方程为2x－3y－1＝0. 【感悟提升】直线的一般式方程与点斜式、斜截式、两点式、截距式方程的关系 注意：由于直线方程的斜截式和截距式是唯一的，而点斜式和两点式不唯一，因此，通常情况下，一般式不化为点斜式和两点式． 【跟踪训练】 4．根据下列各条件写出直线的方程，并化为一般式． (1)斜率是－，且经过点(－4，6)的直线的方程为______________； (2)在x轴和y轴上的截距分别为和－2的直线的方程为____________； (3)经过点P1(－1，3)，P2(1，2)的直线的方程为______________． 答案：(1)4x＋3y－2＝0　(2)3x－y－2＝0 (3)x＋2y－5＝0 解析：(1)由点斜式，得直线的方程为y－6＝－(x＋4)，即4x＋3y－2＝0. (2)由截距式，得直线的方程为＋＝1，即3x－y－2＝0. (3)由两点式，得直线的方程为＝，即x＋2y－5＝0. 1．直线l：sinx＋cosy＋＝0的倾斜角为(　　) A. B. C. D. 答案：B 解析：直线l：sinx＋cosy＋＝0的斜率为－＝－tan＝－，又倾斜角的取值范围为[0，π)，故直线l的倾斜角为.故选B. 2．直线3x＋4y＋5＝0的斜率和它在y轴上的截距分别为(　　) A.， B．－，－ C．－，－ D.， 答案：C 解析：将直线的方程3x＋4y＋5＝0化为斜截式为y＝－x－，所以直线3x＋4y＋5＝0的斜率和它在y轴上的截距分别为－，－.故选C. 3．(多选)下列说法正确的是(　　) A．过点(2，4)，且倾斜角为90°的直线的方程为x－2＝0 B．过点A(－2，－3)且在两坐标轴上截距相等的直线的方程为x＋y＋5＝0 C．经过点P(1，1)，且倾斜角为θ的直线的方程为y－1＝tanθ(x－1) D．过(5，1)，(2，－2)两点的直线的方程为x－y－4＝0 答案：AD 解析：直线的倾斜角为90°，所以该直线与x轴垂直，所以直线的方程为x－2＝0，故A正确；当直线在两坐标轴上截距都为零时，方程设为y＝kx，过点A(－2，－3)，所以有－3＝(－2)·k，得k＝，则y＝x，故B不正确；当直线的倾斜角为90°时，tanθ没有意义，故C不正确；直线过(5，1)，(2，－2)两点，所以有＝，即x－y－4＝0，故D正确．故选AD. 4．已知点A(3，2)，B(－1，4)，则经过点C(2，5)且经过线段AB的中点的直线的方程为________． 答案：2x－y＋1＝0 解析：由已知可得AB的中点坐标为(1，3)．由直线的两点式方程可得所求直线的方程为＝，即2x－y＋1＝0. 5．已知直线l过点P(4，1)，若直线l在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍，则直线l的方程为____________． 答案：2x＋y－9＝0或x－4y＝0 解析：若直线在坐标轴上的截距都是0，则由点P(4，1)在直线l上，得其方程为x－4y＝0；若直线在坐标轴上的截距不为0，可设其方程为＋＝1，将点P(4，1)代入可得a＝，所以直线l的方程是2x＋y－9＝0.故直线l的方程为2x＋y－9＝0或x－4y＝0. 课后课时精练 基础题(占比60%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 难度 ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ 考点 已知截距求直线的方程 已知点和法向量求直线的方程 一般式化为斜截式 已知两点求直线的方程 直线的一般式方程的应用；求直线的方程 直线的一般式方程的应用；斜率与倾斜角的关系 已知点和截距求直线的方程 题号 8 9 10 11 12 13 14 难度 ★ ★ ★★ ★★ ★★ ★★ ★★★ 考点 已知斜率和截距求直线的方程 点斜式、两点式、截距式化为一般式 点斜式化为一般式 已知点和截距求直线的方程 斜截式化为一般式 中点坐标公式；已知两点求直线的方程 已知点和截距求直线的方程 一、选择题 1．在x轴和y轴上的截距分别是－2和3的直线的方程是(　　) A．2x－3y－6＝0 B．3x－2y－6＝0 C．3x－2y＋6＝0 D．2x－3y＋6＝0 答案：C 解析：由直线的截距式方程得＋＝1，即3x－2y＋6＝0.故选C. 2．已知直线l经过点O(0，0)，而且v＝(3，－4)是直线l的一个法向量，则直线l的方程为(　　) A．4x＋3y＝0 B．4x－3y＝0 C．3x－4y＝0 D．3x＋4y＝0 答案：C 解析：因为v＝(3，－4)是直线l的一个法向量，所以可设直线l的方程为3x－4y＋C＝0，代入点O(0，0)，得C＝0，即直线l的方程为3x－4y＝0. 3．如果AC<0，且BC>0，那么直线Ax＋By＋C＝0不经过(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案：B 解析：因为AC<0，且BC>0，所以A，B，C均不为零，由直线的方程Ax＋By＋C＝0，可化为y＝－x＋，因为AC<0，且BC>0，所以直线的斜率k＝－>0，在y轴上的截距－<0，所以直线经过第一、三、四象限，不经过第二象限．故选B. 4．数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知△ABC的顶点分别为A(1，3)，B(2，4)，C(3，2)，则△ABC的欧拉线方程为(　　) A．x＋y－5＝0 B．x＋y＋5＝0 C．x－y＋1＝0 D．2x＋y－7＝0 答案：A 解析：由题意可知，△ABC的重心为G(2，3)，|AC|＝|BC|＝，所以△ABC是等腰三角形，所以欧拉线为直线CG，故△ABC的欧拉线方程为＝，即x＋y－5＝0. 5．(多选)下列四个结论中正确的是(　　) A．直线l：x－y＋2＝0的一个法向量为n＝(1，3) B．直线l：x＋y＋3＝0在x轴上的截距为－3 C．直线l经过P1(1，2)，P2(1，4)两点，则其方程为x＝1 D．过点P(1，2)，且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程仅有x＋y－3＝0 答案：BC 解析：对于A，易知直线l：x－y＋2＝0的一个法向量为(1，－)，故A错误；对于B，令y＝0，则x＝－3，所以直线l：x＋y＋3＝0在x轴上的截距为－3，故B正确；对于C，直线l经过P1(1，2)，P2(1，4)两点，则其方程为x＝1，故C正确；对于D，当直线在坐标轴上的截距都为0时，直线的方程为y＝2x，当直线在坐标轴上的截距都不为0时，可设其方程为＋＝1，则＋＝1，解得a＝3，所以直线的方程为x＋y－3＝0，综上，过点P(1，2)，且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程为y＝2x或x＋y－3＝0，故D错误．故选BC. 二、填空题 6．已知直线l1经过点(1，2)，(2，a)，且直线l1的倾斜角与直线l2：2x－y＋7＝0的倾斜角互补，则a＝________． 答案：0 解析：由题意得直线l2：2x－y＋7＝0的斜率为2，又直线l1的倾斜角与直线l2：2x－y＋7＝0的倾斜角互补，则直线l1的斜率为－2，得＝－2，即a＝0. 7．经过点P(－3，－2)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线的方程为________． 答案：2x－3y＝0或x－y＋1＝0 解析：①当直线过原点时，设直线的方程为y＝kx，有－2＝k×(－3)，k＝，∴直线的方程为y＝x，即2x－3y＝0.②当截距不为0时(不过原点)，设直线的方程为x－y＝a，将点(－3，－2)代入，得a＝－3＋2＝－1，∴直线的方程为x－y＝－1，即x－y＋1＝0.综上，所求直线的方程为2x－3y＝0或x－y＋1＝0. 8．斜率为2的直线与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则此直线的一般式方程为________________． 答案：2x－y＋2＝0或2x－y－2＝0 解析：设直线的方程为y＝2x＋b，当x＝0时，y＝b，当y＝0时，x＝－，则此直线与两坐标轴围成的三角形的面积S＝＝1，得b＝±2，故所求直线的方程为y＝2x＋2或y＝2x－2，即2x－y＋2＝0或2x－y－2＝0. 三、解答题 9．根据下列各条件分别写出直线的方程，并化成一般式． (1)斜率是－，且经过点A(8，－6)； (2)在x轴和y轴上的截距分别是和－3； (3)经过P1(3，－2)，P2(5，－4)两点； (4)经过点(2，－3)，且一个方向向量为a＝(2，4)． 解：(1)由点斜式，得直线的方程为y＋6＝－(x－8)，即x＋2y＋4＝0. (2)由截距式，得直线的方程为＋＝1， 即2x－y－3＝0. (3)由两点式，得直线的方程为＝，即x＋y－1＝0. (4)解法一：∵直线的一个方向向量为a＝(2，4)，∴k＝＝2， 故所求直线的方程为y＋3＝2(x－2)， 即2x－y－7＝0. 解法二：∵直线的一个方向向量为a＝(2，4)， ∴直线的一个法向量为v＝(4，－2)， 故设直线的一般式方程为4x－2y＋C＝0， 代入点(2，－3)有8＋6＋C＝0，解得C＝－14， ∴所求直线的方程为4x－2y－14＝0，即2x－y－7＝0. 10．已知在第一象限的△ABC中，A(1，1)，B(5，1)，∠A＝60°，∠B＝45°. (1)求直线AB的方程； (2)求直线AC与直线BC的一般式方程． 解：(1)因为A(1，1)，B(5，1)， 所以直线AB的方程为y＝1. (2)由题意并结合图象可得kAC＝tan60°＝，kBC＝tan135°＝－1， 所以直线AC的方程为y－1＝(x－1)，即x－y＋1－＝0， 直线BC的方程为y－1＝－(x－5)，即x＋y－6＝0. 11．过点P(1，3)作直线l，若l经过点A(a，0)和B(0，b)，且a，b均为正整数，则这样的直线l可以作出(　　) A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条 答案：B 解析：∵直线l经过点A(a，0)和B(0，b)，且a，b均为正整数，∴可设直线l：＋＝1，将点P(1，3)代入直线的方程，得＋＝1，当b＝3时，＝0，方程无解，故b≠3，∴a＝＝＝1＋，∵a∈N*，≠0，∴∈N*，∴b－3＝1或b－3＝3，∴或即满足题意的直线l有2条．故选B. 12．已知直线l1：x－2y－2＝0的倾斜角为θ，直线l2的倾斜角为2θ，且直线l2在y轴上的截距为－3，则直线l2的一般式方程为________________． 答案：4x－3y－9＝0 解析：由题意可知，直线l1的斜率为，即tanθ＝，则直线l2的斜率k＝tan2θ＝＝＝，所以直线l2的方程为y＝x－3，即4x－3y－9＝0. 13．已知在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的两对角线AC，BD交于点(－1，1)，其中A(－2，0)，B(1，1)．分别求该平行四边形的边AD，DC所在直线的方程． 解：设点C的坐标为(a，b)，点D的坐标为(c，d)． 由已知，得解得 ∴C(0，2)，D(－3，1)， ∴边AD所在直线的方程为＝， 即x＋y＋2＝0， 边DC所在直线的方程为＝， 即x－3y＋6＝0. 14．直线l过点P且与x轴、y轴的正半轴分别交于点A，B，O为坐标原点． (1)当△AOB的周长为12时，求直线l的方程； (2)当△AOB的面积为6时，求直线l的方程． 解：(1)设直线l的方程为＋＝1(a>0，b>0)， 由题意知，a＋b＋＝12，① 因为直线l过点P，所以＋＝1，② ①②联立消去b，得5a2－32a＋48＝0， 解得或 所以直线l的方程为3x＋4y－12＝0或15x＋8y－36＝0. (2)设直线l的方程为＋＝1(a>0，b>0)， 由题意知，ab＝12，＋＝1，消去b， 得a2－6a＋8＝0，解得或 所以直线l的方程为3x＋4y－12＝0或3x＋y－6＝0. 15 学科网（北京）股份有限公司 $$