培优点04 切（割）线放缩（2重难点题型）-2026年高考数学大一轮复习核心题型讲与练+培优点专项突破（新高考通用）

培优点04 切（割）线放缩 题型梳理 题型方法 题型一 单切线放缩 题型二 双切线放缩 知识清单 导数方法证明不等式中，最常见的是ex和ln x与其他代数式结合的问题，对于这类问题，可以考虑先对ex和ln x进行放缩，使问题简化，简化后再构建函数进行证明．常见的放缩公式如下：(1)ex≥1＋x，当且仅当x＝0时取等号；(2)ln x≤x－1，当且仅当x＝1时取等号． 题型方法 【题型一】单切线放缩 【例1】（2025·湖南邵阳·模拟预测）已知函数. (1)当时，证明：恒成立； (2)若对任意的，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用不等式对原函数放缩可证结化成立； （2）令，，. 分，，三种情况讨论，求得实数的取值范围. 【详解】（1）当时，，. 令，，则. 当时，，单调递减；当时，，单调递增. . . 当时，在上恒成立. （2）令，， 则. 若对任意，恒成立，则. 令，， . ①当时，. 由（1）知.在上恒成立，且不恒为0. 在上单调递增. ， 当时，，单调递减；当时，，单调递增. ，符合题意. ②当时，.当时，，， ；当时，，，； 在上单调递增. ， .∴存在，使得. 当时，，则在上单调递减；，则在上单调递减； ，则在上单调递减； 故当时，，不合题意. ③当时，. 若，由②知在上单调递增. 则存在，使得，且当时，，在上单调递增； 若，由②知在上单调递增. 当时，，单调递增. 当时，函数在上单调递增. 当时，，在上单调递减， ，在上单调递增. 故时，，不合题意. 综上所述，存在，使得任意，都有恒成立. 实数的取值范围为. 解题技巧 该方法适用于凹函数与凸函数且它们的凹凸性相反的问题(拆成两个函数)，两函数有斜率相同的切线，这是切线放缩的基础，引入一个中间量，分别证明两个不等式成立，然后利用不等式的传递性即可，难点在合理拆分函数，寻找它们斜率相等的切线隔板． 【举一反三】【变式1】（2025·四川资阳·模拟预测）已知正项数列满足，，记…， (1)证明是等差数列； (2)求数列的通项公式； (3)证明 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）将条件式化简后结合等差中项公式即可证明； （2）设等差数列的公差为d，可得，由裂项相消法结合求得d，从而即可求得； （3）借助放缩后求和即可证明． 【详解】（1）证明：因为， 所以，即，即， 所以数列为等差数列； （2）设等差数列的公差为d， 因为，所以，则， 所以， 所以， 则，解得，所以； （3）证明：设， 则当时，单调递减，当时，单调递增， 故，故当且仅当时取等号， 因此， 所以， 又因为, 故 【变式2】（2025·河北邯郸·二模）已知函数，. (1)讨论函数的单调性； (2)证明：. 【答案】(1)当时，函数在上单调递减；当时，函数在上单调递减，在上单调递增 (2)证明见解析 【分析】（1）由函数的解析式可知函数的定义域为及导函数，对分和两类讨论即可求解； （2）由（1）知当时，，即，进而可得.令，对函数求导可知在上单调递增，可得，故，原不等式得证. 【详解】（1）由题知：，其定义域为，. 当时，则，在上单调递减； 当时，令，解得；令，解得， ∴函数在上单调递减，在上单调递增. 综上所述，当时，函数在上单调递减； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. （2）要证，即证. 由（1）知：当时，在上单调递减，在上单调递增， ∴，即， ，. 令，， ∴在上单调递增， ∴当时，，即， ∴，即， ∴原不等式成立. 【点睛】本题考查利用导数讨论含参函数的单调性，证明函数不等式恒成立问题，属于难题. 研究含参函数的单调性常用分类讨论的数学思想； 对于函数不等式的证明，常采用放缩法，如本题中，证明不等式恒成立的问题关键在于不等式的等价转化. 【变式3】（2025·河北·模拟预测）设，，，若各项均为正数的数列满足，则称数列具有性质“”． (1)已知数列的前n项和为，且，试判断数列是否具有性质“”，并说明理由； (2)若数列满足，且． （i）证明：数列具有性质“”； （ii）记数列的前n项和为，证明：． 【答案】(1)具有，理由见解析； (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析. 【分析】（1）根据给定条件，利用数列前n项和与第n项的关系求出通项公式，再利用否具有性质“”的定义推理判断. （2）（i）根据给定条件，构造函数，利用导数确定单调性再证明不等式； （ii）由（i）的结论，利用放缩法，结合等比数列前n项和公式推理得证. 【详解】（1）数列中，，当时，，则， 而，解得，因此数列是首项和公比都为的等比数列， 则，，， 正项数列满足，所以数列具有性质“”. （2）（i）函数，令函数，求导得， 函数在上单调递减，则，即，， 任意，，而，，则，， 于是， 令，求导得， 函数在上单调递增，， 当时，，，而， 则，因此； 依题意，， 令， 令函数，求导得， 令函数，求导得，函数在上单调递增， 当时，，，函数在上单调递增， 当时，，即当时，，， 因此当时，，又，则， 于是，，则， 所以数列具有性质“”. （ii）由（i）知，，则， 当，时，， 当时，， 当时，， 所以. 【题型二】双切线放缩 【例2】已知函数． (1)求函数在处的切线方程； (2)若不等式有且只有两个整数解，求实数的取值范围； (3)若方程有两个实数根，且，求证：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）导数几何意义即可求得曲线在处的切线方程； （2）问题转化为在上有且只有两个整数解，令，利用导数研究函数单调性，求实数的取值范围； （3）不等式左边是割线放缩，这两条割线为函数的最低点与及的连线，即与，设两割线与直线交点的横坐标分别为，可证明，，有，根据单调性，可得，有；不等式右侧是切线放缩，这两条切线分别是和时的两条切线，同理可证. 【详解】（1）函数，时，， ，， 曲线在处的切线斜率为-2，切点坐标为， 所以切线方程为，即. （2）函数，定义域为， 若不等式有且只有两个整数解，即在上有且只有两个整数解， 令，则， 时，，单调递减；时，，单调递增， ，，，， 在上有且只有的两个整数解为和， 则有，所以实数的取值范围为. （3）函数，定义域为， ，解得，解得. 函数在上递减，在上递增，， 所要证的不等式左边是割线放缩，这两条割线为函数的最低点与及的连线，即与. 设两割线与直线交点的横坐标分别为. 解方程可得，， 当时，，； 当时，， 令，， 解得，解得， 在上单调递减，在上单调递增， 而，所以，． ，根据单调性，可得， 所以，，不等式左侧证明完毕. 不等式右侧是切线放缩，这两条切线分别是和时的两条切线， 由（1）可知，曲线在处的切线方程为， 时，， 曲线在处的切线斜率为1，切点坐标为，切线方程为， 切线和与的交点分别为． 同理可得， 综上可知，． 【点睛】方法点睛： 导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效. 解题技巧 含有两个零点的f(x)的解析式(可能含有参数x1，x2)，告知方程f(x)＝b有两个实根，要证明两个实根之差小于(或大于)某个表达式．求解策略是画出f(x)的图象，并求出f(x)在两个零点处(有时候不一定是零点处)的切线方程(有时候不是找切线，而是找过曲线上某两点的直线)，然后严格证明曲线f(x)在切线(或所找直线)的上方或下方，进而对x1，x2作出放大或者缩小，从而实现证明 【举一反三】【变式1】（23-24高三上·黑龙江哈尔滨）已知函数 (1)求函数的单调区间； (2)若，证明:在上恒成立； (3)若方程有两个实数根，且， 求证:. 【答案】(1)的递减区间为，递增区间为. (2)证明见解析. (3)证明见解析. 【分析】（1）对求导即可求出结果； （2）即证，构造，即可证明； （3）分别利用切线放缩进行证明. 【详解】（1）由，则时，，单调递减， 时，，单调递增， 所以的递减区间为，递增区间为. （2）因为，，令 所以， 下证， 令， 则， 当时,，当， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以在上恒成立； （3）证明：先证右半部分不等式： ； 因为，， 所以； 可求曲线在和处的切线分别为和； 设直线与直线，函数的图象和直线交点的横坐标分别为 则 则； 因此. 再证左半部分不等式：. 设取曲线上两点， 用割线，来限制， 设直线与直线的交点的横坐标分别为， 则，且， 所以. 综上可得成立. 【点睛】方法点睛：导数证明不等式的方法常有： （1）最值法：移项构造函数，通过求解最值来证明； （2）放缩法：通过构造切线或割线，利用切线放缩或者割线放缩来证明. 【变式2】（2021·广东茂名·二模）已知函数，. （1）当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围； （2）若存在两个不相等的正数，，使得，证明：. 【答案】（1）；（2）证明过程见详解. 【分析】（1）化简不等式，构造新函数，问题转化为在时恒成立，利用导数分类讨论进行求解即可； （2）对已知等式进行化简，得到，构造函数，求导，得到不等式，进而利用放缩法，结合换元法、构造新函数，利用导数进行证明即可. 【详解】（1），设， 因此原问题转化为当时，不等式恒成立，， 当时，，函数在时，单调递减， 所以当时，，所以不等式恒成立； 当时，，设，，当时，，所以函数此时是单调递增函数，且 因此函数与函数有唯一交点，设，显然， 因此当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，因此，显然不等式不恒成立，不符合题意， 综上所述：实数的取值范围是； （2）， 即， 设，，所以函数是增函数， 因为，是两个不相等的正数，所以不妨设， 因此有，即， 因此， 即， ，要想证明成立，只需证明， 因为，所以令，因此只需证明在时成立，即在时成立，设函数，，，所以当时，函数单调递减，因此当时，，即，因此成立，所以. 【点睛】关键点睛：本题的关键在于由，联想构造函数，进而可以运用放缩法、换元法，通过导数的性质进行证明. 【变式3】（2022·浙江绍兴·模拟预测）已知函数，， (1)当，时，求函数在处的切线方程； (2)若且恒成立，求的取值范围： (3)当时，记，（其中）为在上的两个零点，证明：. 【答案】(1)； (2)； (3)详见解析. 【分析】（1）利用导数的几何意义即求； （2）利用参变分离法可得当时，，当时，，通过导函数研究函数的性质可得函数的大致图象，即得； （3）利用放缩法可得，即证，再通过分析问题转化为证在上恒成立，然后利用导数即证. 【详解】（1）当，时，，， ∴，， ∴函数在处的切线方程为； （2）由题意可知，当时，不等式显然成立，故； 当时，，当时，， 记，则， ∴函数的减区间为，函数的增区间为， ∴当时，，当时， ∴可得； 综上，的取值范围为； （3）由上可知，，， 对于函数， ∴函数在上单调递减，在上单调递增， 故，即， ∴， 又， ∴，即， 由，可得， 要证，即证，， 也即， 设，即证在上恒成立， ∵， ∴在上单调递增， ∴，成立 ∴， 综上，. 【点睛】方法点睛：恒（能）成立问题的解法： 若在区间D上有最值，则 （1）恒成立：；； （2）能成立：；. 若能分离常数，即将问题转化为：（或），则 （1）恒成立：；； （2）能成立：；. 好题必刷 一、解答题 1．（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）设函数，其中． (1)当时，求函数的最小正周期及单调递增区间； (2)记函数在上的最大值为． （i）求关于的表达式； （ⅱ）证明：当时，在上恒成立． 【答案】(1)， (2)（i）；（ⅱ）证明见解析 【分析】（1）代入，辅助角公式化简，根据三角函数的性质判断单调区间和最小正周期.（2）（i）令，可得可得到关于的二次函数，讨论的取值，求出函数的最大值表达式；（ⅱ）由求，利用放缩法即可得出结论. 【详解】（1）当时， 可得： 的单调递增区间为 （2）（i）令，则可得． 令 当时，，故． 当时，，对称轴 ①当时， ②当时，，故在上单调递减 ③当时，，故在上单调递减 ④当时，，故在上单调递减，在上单调递增． 综上， （ⅱ） 当时， 而 ． 2．（2024·贵州六盘水·三模）若函数在上有定义，且对于任意不同的，都有，则称为上的“k类函数” (1)若，判断是否为上的“4类函数”； (2)若为上的“2类函数”，求实数a的取值范围； (3)若为上的“2类函数”且，证明：，，. 【答案】(1)是 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）由新定义可知，利用作差及不等式的性质证明即可； （2）由已知条件转化为对于任意，都有，对函数求导后进行分离参数，利用导函数研究函数的单调性和最值即可； （3）分和两种情况进行证明，，用放缩法进行证明即可. 【详解】（1）函数是上的“4类函数”，理由如下： 不妨设，所以， ， 所以是上的“4类函数”； （2），， 由题意知，对于任意不同的都有， 不妨设，则， 故且， 所以为上的增函数，为上的减函数， 所以对任意的，即， 由，令，则，， 令得在上单调递增，， 由，令， 只需，， 令得在单调递增， 所以， 综上所述，实数a的取值范围为； （3）证明：因为为上的“2类函数”，所以， 不妨设，当时，； 当时，因为， 所以 ， 综上所述，，，. 【点睛】方法点睛：不等式恒成立问题常见方法：①分离参数恒成立或恒成立；②数形结合（的图象在上方即可）；③讨论最值或恒成立；④讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围. 3．（2024·四川·模拟预测）已知函数，且恒成立． (1)求实数的取值集合； (2)证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由题可知只需证明，利用导数研究函数的最小值即可； （2）先利用（1）进行放缩，再构造函数证明即可. 【详解】（1）． ①当时，在上单调递减， 当时，，这与矛盾，不合题意. ②当时， 由得；由得， 则在上单调递减，在上单调递增， 时，函数取得唯一极小值即最小值． 又且 ，解得，故实数的取值集合是． （2）由（1）可知：时，，即对任意恒成立． 要证明：， 则只需要证明， 即． 令,， 令， 令，解得． 当时，，单调递减， 当时，，单调递增． 即函数在内单调递减，在上单调递增． 而 所以存在，使得， 当时，单调递增； 当时，单调递减． 当时，单调递增． 又， 对恒成立，即． 综上可得 4．（2025·甘肃平凉·模拟预测）定义函数. (1)求曲线在处的切线斜率； (2)若对任意的恒成立，求的取值范围； (3)讨论函数的零点个数，并判断是否有最小值.若有最小值，证明：；若没有最小值，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)有，证明见解析 【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可； （2）通过参变分离以及求解函数的最值得出结果； （3）分成为奇数，为偶数两种情况，并借助导数和不等式放缩，分别讨论函数的零点个数及最值. 【详解】（1）由， 可得， 所以曲线在处的切线斜率为. （2）由题意知，易得在上单调递增， 当，即时，，所以在上单调递增， 所以，符合题意； 当，即时，令，解得，所以当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以当0时，，不符合题意. 综上，的取值范围是. （3）证明：由，所以， 当时，， 因此当时，， 此时所以，所以单调递减. 此时显然有唯一零点，无最小值. 当时， ， 且当时， ， 由此可知此时不存在最小值. 从而当时，有唯一零点，无最小值； 当时，即当为偶数时，， 此时由，解得；由，解得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 故的最小值为， 即，所以当时，没有零点. 由（2）知当时，对任意的恒成立，当且仅当时等号成立，所以，令，可得， 当时， ， 即. 从而当为偶数时，没有零点，存在最小值，且. 综上所述，当时，有唯一零点，无最小值； 当时，没有零点，存在最小值，且. 5．（2025·浙江·模拟预测）已知函数. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围； (3)若存在，使得.证明：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】(1)根据导函数几何意义，利用函数导数求切线方程. (2)根据任意恒成立的解题思路，求构造函数最值，根据最值范围求参数范围. (3)根据题干条件，列出两个函数之间的等式方程，化简求得两个参数之间的关系，列出不等式，对不等式进行放缩，证明题目问题. 【详解】（1）当时，，所以. 又因为，所以切线方程为. （2）设，只需在时恒成立即可， 又，且，所以，即. 下面证明的充分性： ①当时，由， 令，所以， 记，则， 所以在上单调递增，则， 所以在上单调递增，则，所以恒成立. 综上所述，实数的取值范围是. （3）由函数.可得， 设，由，可得，则， 由（2）知，当时，，则时，， 所以，则，所以， 代入可得：， 则，所以. 6．（2023·河南·模拟预测）已知函数． (1)若恒成立，求a的取值范围； (2)有两个零点，，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）分别讨论与，运用导数研究的最小值与0比较即可. （2）运用导数研究函数的单调性进而可得函数的零点的范围，再结合（1）结论比较与大小即可. 【详解】（1）①当时，， 设，则， 设，则， 故在上为增函数，则， 即，则在上为增函数， 故，故，符合题意； ②当时，， 设，则， 因为，且当趋近于时，趋近于， 所以，使， 则当时，，则为减函数， 所以，即， 所以为减函数，则，不合题意． 综上所述，． （2）易知的定义域为，， 易知在上为增函数，且， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 且当趋近于时，趋近于，当趋近于时，趋近于， 由题意可得：，且，解得， 由（1）知，当时，， 又因为， 所以当时，， 所以， 又因为的一个根为， 所以， 又因为，，在单调递增，所以， 又因为，则， 所以． 【点睛】方法点睛：运用导数证明不等式策略 （1）将不等式转化为函数的最值问题； （2）将不等式转化为两个函数的最值进行比较； （3）适当放缩证明不等式. 7．（2023·山东·二模）已知函数在点处的切线方程为． (1)求，； (2)若函数有两个零点，，且，证明：． 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）求出函数的导函数，依题意，即可得到方程组，解得即可； （2）设曲线在处的切线方程为，构造函数，利用导数说明恒成立，则，设的根为，则，即可得到，同理可求出在处切线，得出相同结论，求出的范围，从而可求的范围. 【详解】（1）因为，所以， 依题意，所以，解得，. （2）由（1）可知，令，有或， ，，， 设曲线在处的切线方程为， 则， 令， 则，令，则， 所以当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 当时，又， 所以当时，单调递减，当时，单调递增， 所以，所以恒成立，则， 设的根为，则，又单调递减， 且，所以， 已知曲线在处的切线为， 令，则， 由前面说明的单调性可知，在上单调递减，在上单调递增， 当时，且， 所以在上单调递减，在上单调递增，所以， 所以恒成立，所以， 设的根为，则，又函数单调递增，所以，所以， 所以， 要证，即证， 即证，即证， 由于，所以，证毕. 【点睛】关键点睛：本题关键是利用切线进行放缩，通过求出的值，通过得到的范围，同理通过求出处的切线，求出的值，通过得到的范围，从而求得的范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 培优点04 切（割）线放缩 题型梳理 题型方法 题型一 单切线放缩 题型二 双切线放缩 知识清单 导数方法证明不等式中，最常见的是ex和ln x与其他代数式结合的问题，对于这类问题，可以考虑先对ex和ln x进行放缩，使问题简化，简化后再构建函数进行证明．常见的放缩公式如下：(1)ex≥1＋x，当且仅当x＝0时取等号；(2)ln x≤x－1，当且仅当x＝1时取等号． 题型方法 【题型一】单切线放缩 【例1】（2025·湖南邵阳·模拟预测）已知函数. (1)当时，证明：恒成立； (2)若对任意的，恒成立，求实数的取值范围. 解题技巧 该方法适用于凹函数与凸函数且它们的凹凸性相反的问题(拆成两个函数)，两函数有斜率相同的切线，这是切线放缩的基础，引入一个中间量，分别证明两个不等式成立，然后利用不等式的传递性即可，难点在合理拆分函数，寻找它们斜率相等的切线隔板． 【举一反三】【变式1】（2025·四川资阳·模拟预测）已知正项数列满足，，记…， (1)证明是等差数列； (2)求数列的通项公式； (3)证明 【变式2】（2025·河北邯郸·二模）已知函数，. (1)讨论函数的单调性； (2)证明：. 【变式3】（2025·河北·模拟预测）设，，，若各项均为正数的数列满足，则称数列具有性质“”． (1)已知数列的前n项和为，且，试判断数列是否具有性质“”，并说明理由； (2)若数列满足，且． （i）证明：数列具有性质“”； （ii）记数列的前n项和为，证明：． 【题型二】双切线放缩 【例2】已知函数． (1)求函数在处的切线方程； (2)若不等式有且只有两个整数解，求实数的取值范围； (3)若方程有两个实数根，且，求证：． 解题技巧 含有两个零点的f(x)的解析式(可能含有参数x1，x2)，告知方程f(x)＝b有两个实根，要证明两个实根之差小于(或大于)某个表达式．求解策略是画出f(x)的图象，并求出f(x)在两个零点处(有时候不一定是零点处)的切线方程(有时候不是找切线，而是找过曲线上某两点的直线)，然后严格证明曲线f(x)在切线(或所找直线)的上方或下方，进而对x1，x2作出放大或者缩小，从而实现证明 【举一反三】【变式1】（23-24高三上·黑龙江哈尔滨）已知函数 (1)求函数的单调区间； (2)若，证明:在上恒成立； (3)若方程有两个实数根，且， 求证:. 【变式2】（2021·广东茂名·二模）已知函数，. （1）当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围； （2）若存在两个不相等的正数，，使得，证明：. 【变式3】（2022·浙江绍兴·模拟预测）已知函数，， (1)当，时，求函数在处的切线方程； (2)若且恒成立，求的取值范围： (3)当时，记，（其中）为在上的两个零点，证明：. 好题必刷 一、解答题 1．（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）设函数，其中． (1)当时，求函数的最小正周期及单调递增区间； (2)记函数在上的最大值为． （i）求关于的表达式； （ⅱ）证明：当时，在上恒成立． 2．（2024·贵州六盘水·三模）若函数在上有定义，且对于任意不同的，都有，则称为上的“k类函数” (1)若，判断是否为上的“4类函数”； (2)若为上的“2类函数”，求实数a的取值范围； (3)若为上的“2类函数”且，证明：，，. 3．（2024·四川·模拟预测）已知函数，且恒成立． (1)求实数的取值集合； (2)证明：． 4．（2025·甘肃平凉·模拟预测）定义函数. (1)求曲线在处的切线斜率； (2)若对任意的恒成立，求的取值范围； (3)讨论函数的零点个数，并判断是否有最小值.若有最小值，证明：；若没有最小值，请说明理由. 5．（2025·浙江·模拟预测）已知函数. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围； (3)若存在，使得.证明：. 6．（2023·河南·模拟预测）已知函数． (1)若恒成立，求a的取值范围； (2)有两个零点，，证明：． 7．（2023·山东·二模）已知函数在点处的切线方程为． (1)求，； (2)若函数有两个零点，，且，证明：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$