2.4.2 圆的一般方程-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册创新导学案课件PPT（人教A版2019）

第二章　直线与圆的方程 2.4　圆的方程 2.4.2　圆的一般方程 课程标准：回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的一般方程． 教学重点：圆的一般方程的探求过程及其特点． 教学难点：根据具体条件，选用圆的一般方程解决有关问题． 核心素养：通过推导圆的一般方程并运用方程解决问题，进一步提升数学抽象及数学运算素养． (教师独具内容) 核心概念掌握 核心素养形成 随堂水平达标 目录 课后课时精练 核心概念掌握 变形 将此方程的左边配方，常数项移到右边，得________________________________ 结论 条件 图形 D2＋E2－4F>0 表示以_____________为圆心，_______________为半径的圆 D2＋E2－4F＝0 表示一个点_____________ D2＋E2－4F<0 不表示任何图形 知识点一　圆的一般方程 (1)定义 方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(________________)叫做圆的一般方程． (2)方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形 D2＋E2－4F>0 核心概念掌握 5 [拓展]　判断二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0是否表示圆要“两看”： 一看方程是否具备圆的一般方程的特征：①A＝C≠0；②B＝0； 二看它能否表示圆．此时判断D2＋E2－4AF是否大于0，或直接配方变形，判断等号右边是否为大于零的常数． 知识点二　待定系数法求圆的方程的步骤 (1)根据题意，选择标准方程或一般方程； (2)根据条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组； (3)解出a，b，r或D，E，F，得到标准方程或一般方程． 核心概念掌握 6 1．(由圆的一般方程求圆心、半径)圆x2＋y2＋4x－6y－3＝0的圆心和半径分别为(　　) A．(4，－6)，16 B．(2，－3)，4 C．(－2，3)，4 D．(2，－3)，16 核心概念掌握 7 2．(二元二次方程表示圆的条件)方程x2＋y2＋4x－2y＋5m＝0表示圆的充要条件是________． 3．(求圆的一般方程中的参数)若方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示以(－1，2)为圆心，3为半径的圆，则D＝________，E＝________，F＝________． 4．(求圆的一般方程)过O(0，0)，A(3，0)，B(0，4)三点的圆的一般方程为_____________________． m＜1 2 －4 －4 x2＋y2－3x－4y＝0 核心概念掌握 8 核心素养形成 题型一　圆的一般方程的定义　 例1　若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求： (1)实数m的取值范围； (2)圆心坐标和半径． 核心素养形成 10 核心素养形成 11 【跟踪训练】　 1．下列方程各表示什么图形？若表示圆，求出其圆心和半径． (1)x2＋y2＋x＋y＋1＝0； (2)x2＋y2＋2ax＋a2＝0(a≠0)； (3)2x2＋2y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)． 解：(1)∵D＝1，E＝1，F＝1， ∴D2＋E2－4F＝－2<0， ∴方程不表示任何图形． 核心素养形成 12 核心素养形成 13 题型二　求圆的一般方程　 例2　已知△ABC的顶点C(2，－8)，直线AB的方程为y＝－2x＋11，AC边上的高BH所在直线的方程为x＋3y＋2＝0. (1)求顶点A和B的坐标； (2)求△ABC外接圆的一般方程． 核心素养形成 14 核心素养形成 15 核心素养形成 16 【感悟提升】　待定系数法求圆的方程 (1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r. (2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出D，E，F. 核心素养形成 17 【跟踪训练】　 2．已知圆C的圆心在直线x－2y＝1上，且经过原点和A(2，1)，求圆C的一般方程． 核心素养形成 18 题型三　求动点的轨迹方程　 例3　已知O为原点，点P在圆C：x2＋y2－8x－6y＋21＝0上运动，求线段OP的中点M的轨迹方程． 核心素养形成 19 核心素养形成 20 【感悟提升】　求轨迹方程的常用方法 (1)直接法：根据题目的条件，建立适当的平面直角坐标系，设出动点坐标，并找出动点坐标所满足的关系式． (2)定义法：当列出的关系式符合圆的定义时，可利用定义写出动点的轨迹方程． (3)代入法：若动点P(x，y)随着圆上的另一动点Q(x1，y1)运动而运动，且x1，y1可用x，y表示，则可将点Q的坐标代入已知圆的方程，即得动点P的轨迹方程． 核心素养形成 21 【跟踪训练】　 3．已知直角三角形ABC的斜边为AB，且A(－1，0)，B(3，0)，求： (1)直角顶点C的轨迹方程； (2)直角边BC的中点M的轨迹方程． 核心素养形成 22 核心素养形成 23 核心素养形成 24 随堂水平达标 随堂水平达标 26 2．过原点，(2，0)，(0，3)三点的圆的方程为(　　) A．x2＋y2－2x－3y＝0 B．x2＋y2＋2x－3y＝0 C．x2＋y2－2x＋3y＝0 D．x2＋y2＋2x＋3y＝0 随堂水平达标 27 随堂水平达标 28 4．已知圆C的圆心坐标为(2，－3)，且点(－1，－1)在圆上，则圆C的一般方程为____________________． x2＋y2－4x＋6y＝0 随堂水平达标 29 5．点P(x0，y0)是圆x2＋y2＝4上的动点，M是OP(O是原点)的中点，则动点M的轨迹方程是____________． x2＋y2＝1 随堂水平达标 30 课后课时精练 基础题(占比60%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比10%) 1 2 3 4 5 6 7 难度 ★ ★ ★ ★ ★ ★★ ★ 考向 圆的一般方程 圆的一般方程 圆的一般方程的综合应用 圆的一般方程的综合应用 求动点的轨迹方程 圆的一般方程的综合应用 圆的一般方程 考点 求圆的一般方程中的参数 圆的一般方程的 定义 圆关于点、直线对称问题 求与已知圆关于直线对称 的圆 直接法 与圆的一般方程有关的最值问题 对圆的一般方程的理解；由圆的一般方程求圆心、半径 题号 8 9 10 11 12 13 14 难度 ★ ★★ ★ ★★★ ★★ ★★ ★★ 考向 圆的一般方程 求动点的轨迹方程 圆的一般方程的综合应用 求动点的轨迹方程 圆的一般方程的综合应用 圆的一般方程的综合应用 圆的方程；求动点的轨迹方程 考点 求圆的一般方程；由点在圆上求参数 直接法 由点在圆上求参数；与圆有关的最值问题 直接法 圆的一般方程的定义；圆关于直线对称 问题 圆的一般方程的定义；与圆有关的最值问题；由点在圆内求参数 求圆的方程； 代入法 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 32 一、选择题 1．若方程x2＋y2－mx＋2y＋1＝0(m∈R)表示半径为1的圆，则m＝(　　) A．1 B．2 C．－1或1 D．－2或2 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 33 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 34 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 35 4．圆C：x2＋y2＋6x－12y＝0关于直线l：x－y＋13＝0对称的圆C′的标准方程为(　　) A．(x＋7)2＋(y－10)2＝45 B．(x＋7)2＋(y＋10)2＝45 C．(x－7)2＋(y－10)2＝45 D．(x－7)2＋(y＋10)2＝45 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 36 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 37 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 38 二、填空题 7．已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是_____________，半径是______． (－2，－4) 5 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 39 8．已知A(0，5)，B(1，－2)，C(－3，－4)，D(2，a)四点共圆，则a＝________． 1 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 40 9．在△ABC中，若顶点B，C的坐标分别是(－2，0)和(2，0)，中线AD的长度是3，则点A的轨迹方程是________________；当△ABC的面积最大时，点A的坐标为___________________． x2＋y2＝9(y≠0) (0，3)或(0，－3) 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 41 三、解答题 10．已知圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0及点Q(－2，3)． (1)若P(m，m＋1)在圆C上，求线段PQ的长及直线PQ的斜率； (2)若P为圆C上任意一点，求|PQ|的最大值和最小值． 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 42 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 43 11．(多选)已知动直线m：λx－y＋λ＝0和n：x＋λy－3－2λ＝0，P是两直线的交点，A，B分别是直线m和n过的定点，下列说法正确的是(　　) A．点B的坐标为(3，－2) B．m⊥n C．|PA|·|PB|的最大值为10 D．点P的轨迹为圆x2＋y2－2x－2y－3＝0 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 44 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 45 3 12．已知圆C：x2＋y2－mx＋3y＋3＝0关于直线l：mx＋y－m＝0对称，则实数m＝________． 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 46 13．已知方程x2＋y2－2(t＋3)x＋2(1－4t2)y＋16t4＋9＝0(t∈R)表示的图形是圆． (1)求t的取值范围； (2)求其中面积最大的圆的方程； (3)若点P(3，4t2)恒在所给圆内，求t的取值范围． 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 47 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 48 14．在平面直角坐标系中，圆C过点A(4，0)，B(2，2)，且圆心C在直线x＋y－2＝0上． (1)求圆C的方程； (2)若点D为所求圆上任意一点，定点E的坐标为(5，0)，求线段DE的中点M的轨迹方程． 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 49 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 50 　　　　　　　　　　　　　 R eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(D,2))) eq \s\up12(2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(E,2))) eq \s\up12(2)＝eq \f(D2＋E2－4F,4) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2))) eq \r(D2＋E2－4F) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2))) 解　(1)由题意知D2＋E2－4F＝(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)>0， 即4m2＋4－4m2－20m>0，解得m<eq \f(1,5)，故实数m的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,5))). (2)将方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0写成圆的标准方程为(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m， 故圆心坐标为(－m，1)，半径r＝eq \r(1－5m). 【感悟提升】　二元二次方程与圆的关系 (1)形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程，判定其是否表示圆有如下两种方法：①由圆的一般方程的定义判断D2＋E2－4F是否为正．若D2＋E2－4F>0，则方程表示圆，否则不表示圆；②将方程配方变形成“标准”形式后，根据圆的标准方程的特征，观察是否可以表示圆． (2)由圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0求圆心坐标和半径的方法：①利用配方法将圆的一般方程化为标准方程，可以非常直观地求出圆心坐标及半径；②利用eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))写出圆心坐标，利用公式r＝eq \f(\r(D2＋E2－4F),2)求出半径． (2)∵D＝2a，E＝0，F＝a2， ∴D2＋E2－4F＝4a2－4a2＝0， ∴方程表示点(－a，0)． (3)两边同除以2，得x2＋y2＋ax－ay＝0，D＝a，E＝－a，F＝0， ∴D2＋E2－4F＝2a2>0， ∴方程表示圆，它的圆心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)，\f(a,2)))， 半径r＝eq \f(1,2) eq \r(D2＋E2－4F)＝eq \f(\r(2),2)|a|. 解　(1)由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝－2x＋11，,x＋3y＋2＝0，))可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝7，,y＝－3，)) 所以顶点B的坐标为(7，－3)， 由x＋3y＋2＝0，可得y＝－eq \f(1,3)x－eq \f(2,3)，所以kBH＝－eq \f(1,3). 由AC⊥BH，可得kAC＝3，因为C(2，－8)， 所以直线AC的方程为y＋8＝3(x－2)，即3x－y－14＝0， 由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝－2x＋11，,3x－y－14＝0，))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝5，,y＝1，)) 所以顶点A的坐标为(5，1)． (2)设△ABC外接圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 将A(5，1)，B(7，－3)和C(2，－8)三点的坐标分别代入圆的方程，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(5D＋E＋F＋26＝0，,7D－3E＋F＋58＝0，,2D－8E＋F＋68＝0，)) 解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(D＝－4，,E＝6，,F＝－12，)) 所以△ABC外接圆的一般方程为x2＋y2－4x＋6y－12＝0. 解：设圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 由题意知eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(F＝0，,2D＋E＋F＋5＝0，,－\f(D,2)＋E＝1，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(D＝－\f(12,5)，,E＝－\f(1,5)，,F＝0.)) 故圆C的一般方程为x2＋y2－eq \f(12,5)x－eq \f(1,5)y＝0. 解　解法一(代入法)：设M(x，y)，P(x0，y0)， 则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(x0,2)，,y＝\f(y0,2)，))∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0＝2x，,y0＝2y.)) ∵点P(x0，y0)在圆C：x2＋y2－8x－6y＋21＝0上， ∴xeq \o\al(2,0)＋yeq \o\al(2,0)－8x0－6y0＋21＝0. ∴(2x)2＋(2y)2－8×(2x)－6×(2y)＋21＝0. 即线段OP的中点M的轨迹方程为x2＋y2－4x－3y＋eq \f(21,4)＝0. 解法二(定义法)：设点M的坐标为(x，y)，连接OC，PC，取线段OC的中点A，连接MA. 圆C的方程可化为(x－4)2＋(y－3)2＝4，圆心C(4，3)，|CP|＝2. 则点A的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(3,2))). 如图，在△OCP中，M，A分别是OP，OC的中点， 则|MA|＝eq \f(1,2)|CP|＝1， 又当O，C，P三点共线时，|MA|＝1， ∴点M的轨迹是以A为圆心，1为半径的圆， ∴线段OP的中点M的轨迹方程为(x－2)2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(3,2))) eq \s\up12(2)＝1. 解：(1)解法一(直接法)：设顶点C(x，y)，易知x≠3且x≠－1. 因为AC⊥BC，kAC＝eq \f(y,x＋1)，kBC＝eq \f(y,x－3)， 所以eq \f(y,x＋1)·eq \f(y,x－3)＝－1， 化简得x2＋y2－2x－3＝0. 因此，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(x≠3且x≠－1)． 解法二(直接法)：设顶点C(x，y)，易知x≠3且x≠－1. 由勾股定理得|AC|2＋|BC|2＝|AB|2， 即(x＋1)2＋y2＋(x－3)2＋y2＝16， 化简得x2＋y2－2x－3＝0. 因此直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(x≠3且x≠－1)． 解法三(定义法)：设AB的中点为D，由中点坐标公式得D(1，0)，由直角三角形的性质知，|CD|＝eq \f(1,2)|AB|＝2，由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1，0)为圆心，2为半径的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点)． 所以直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(x≠3且x≠－1)． (2)(代入法)设M(x，y)，C(x0，y0)， 因为B(3，0)，M是线段BC的中点，由中点坐标公式得x＝eq \f(x0＋3,2)，y＝eq \f(y0,2)， 于是有x0＝2x－3，y0＝2y. 由(1)知，点C在圆(x－1)2＋y2＝4(x≠3且x≠－1)上运动，将x0，y0代入该方程得(x0－1)2＋yeq \o\al(2,0)＝4(x0≠3且x0≠－1)， 即(2x－4)2＋(2y)2＝4(x≠3且x≠1)， 即(x－2)2＋y2＝1(x≠3且x≠1)． 因此动点M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1(x≠3且x≠1)． 1．若方程x2＋y2＋kx－eq \r(7)y＋2k＝0表示圆，则k的取值范围是(　　) A．(1，7) B．[1，7] C．(－∞，1)∪(7，＋∞) D．(－∞，1]∪[7，＋∞) 解析：由题意，得k2＋(－eq \r(7))2－4×2k＝k2－8k＋7>0，解得k>7或k<1.故选C. 解析：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，∵圆过(0，0)，(2，0)和(0，3)三点，∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(F＝0，,22＋2D＋F＝0，,32＋3E＋F＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(F＝0，,D＝－2，,E＝－3，))∴所求圆的方程为x2＋y2－2x－3y＝0.故选A. 3．(多选)已知圆M的方程为x2＋y2－4x＋2y＝0，则下列说法正确的是(　　) A．圆M的圆心为(2，－1) B．圆M的半径为eq \r(5) C．点P(3，2)在圆M内 D．直线x＋3y＋1＝0将圆M平分 解析：将圆M的一般方程化为标准方程，得(x－2)2＋(y＋1)2＝5，故圆M的圆心为(2，－1)，半径为eq \r(5)，故A，B正确；因为(3－2)2＋(2＋1)2＝10>5，所以点P(3，2)在圆M外，故C错误；因为直线x＋3y＋1＝0经过圆M的圆心(2，－1)，所以直线x＋3y＋1＝0将圆M平分，故D正确．故选ABD. 解析：易知圆C的半径为eq \r(13)，所以圆C的标准方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝13，展开得一般方程为x2＋y2－4x＋6y＝0. 解析：设M(x，y)，则x＝eq \f(x0,2)，y＝eq \f(y0,2)，∴x0＝2x，y0＝2y，即P(2x，2y)．又点P是圆x2＋y2＝4上的动点，∴(2x)2＋(2y)2＝4，即动点M的轨迹方程为x2＋y2＝1. 解析：由方程x2＋y2－mx＋2y＋1＝0(m∈R)表示半径为1的圆，可得eq \f(1,2) eq \r(（－m）2＋22－4×1)＝1，解得m＝±2. 2．若点P(1，1)在圆C：x2＋y2－x－2y－k＝0的外部，则实数k的取值范围是(　　) A．(－∞，－1) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,4)，－1)) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(5,4))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(4,5))) 解析：由题意，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1＋1－1－2－k>0，,1＋4＋4k>0，))解得－eq \f(5,4)<k<－1.故选B. 3．(多选)已知圆x2＋y2－ax－1＝0，则下列说法正确的是(　　) A．圆关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，0))对称 B．圆关于直线y＝0对称 C．圆关于直线x＋3y－eq \f(a,2)＝0对称 D．圆关于直线x－y＋eq \f(a,2)＝0对称 解析：因为圆x2＋y2－ax－1＝0，即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(a,2))) eq \s\up12(2)＋y2＝eq \f(a2,4)＋1，圆心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，0))，所以圆关于经过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，0))的直线对称．故选ABC. 解析：圆C：x2＋y2＋6x－12y＝0的标准方程为(x＋3)2＋(y－6)2＝45，所以圆心为C(－3，6)，半径r＝eq \r(45)＝3eq \r(5).设圆C′的圆心为C′(a，b)，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(a－3,2)－\f(b＋6,2)＋13＝0，,\f(b－6,a＋3)×1＝－1，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－7，,b＝10，))又圆C′的半径为3eq \r(5)，所以圆C′的标准方程为(x＋7)2＋(y－10)2＝45.故选A. 5．在△ABC中，点B(－2，0)，C(2，0)，点A满足eq \f(|AB|,|AC|)＝eq \r(2)，则△ABC面积的最大值为(　　) A．4eq \r(2) B．8eq \r(2) C．4eq \r(6) D．8eq \r(6) 解析：设A(x，y)，则|AB|＝eq \r(（x＋2）2＋y2)，|AC|＝eq \r(（x－2）2＋y2)，由eq \f(|AB|,|AC|)＝eq \r(2)，得eq \r(（x＋2）2＋y2)＝eq \r(2) eq \r(（x－2）2＋y2)，化简，得(x－6)2＋y2＝32，故点A的轨迹是以(6，0)为圆心，4eq \r(2)为半径的圆(除去与x轴的两个交点)，故点A到直线BC的距离的最大值为4eq \r(2)，故△ABC面积的最大值为eq \f(1,2)|BC|×4eq \r(2)＝eq \f(1,2)×4×4eq \r(2)＝8eq \r(2).故选B. 6．一束光线从点P(－1，2)出发，经x轴反射到圆C：x2＋y2－8x－6y＋23＝0上的最短距离为(　　) A．4eq \r(2) B．5eq \r(2) C．5eq \r(2)－2 D．5eq \r(2)＋2 解析：由题意，知圆C的标准方程为(x－4)2＋(y－3)2＝2，所以圆心为C(4，3)，半径r＝eq \r(2)，又点P(－1，2)关于x轴的对称点为Q(－1，－2)，所以|CQ|＝eq \r(（4＋1）2＋（3＋2）2)＝5eq \r(2)，所以所求最短距离为5eq \r(2)－eq \r(2)＝4eq \r(2).故选A. 解析：方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则a2＝a＋2，故a＝－1或2.当a＝2时，方程为4x2＋4y2＋4x＋8y＋10＝0，即x2＋y2＋x＋2y＋eq \f(5,2)＝0，亦即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2))) eq \s\up12(2)＋(y＋1)2＝－eq \f(5,4)，不成立，故舍去；当a＝－1时，方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，即(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，故圆心坐标是(－2，－4)，半径是5. 解析：设过点A，B，C的圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(25＋5E＋F＝0，,5＋D－2E＋F＝0，,25－3D－4E＋F＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(D＝6，,E＝－2，,F＝－15，))所以过点A，B，C的圆的方程为x2＋y2＋6x－2y－15＝0，又点D在此圆上，所以4＋a2＋12－2a－15＝0，即a2－2a＋1＝0，所以a＝1. 解析：线段BC的中点D(0，0)为原点，设A(x，y)(y≠0)，则由距离公式得eq \r(x2＋y2)＝3(y≠0)，即x2＋y2＝9(y≠0)．因为点B(－2，0)，C(2，0)，所以点B，C所在直线的方程为y＝0，|BC|＝4，所以S△ABC＝eq \f(1,2)|BC|·|y|＝2|y|，又因为x2＋y2＝9(y≠0)，所以当△ABC的面积最大时，x＝0，y＝±3，故此时点A的坐标为(0，3)或(0，－3)． 解：(1)由点P在圆C上，得m2＋(m＋1)2－4m－14(m＋1)＋45＝0，解得m＝4. ∴点P的坐标为(4，5)． 故|PQ|＝eq \r(（4＋2）2＋（5－3）2)＝2eq \r(10)，kPQ＝eq \f(5－3,4＋2)＝eq \f(1,3). ∴线段PQ的长为2eq \r(10)，直线PQ的斜率为eq \f(1,3). (2)由题意知|PQ|取得最大值或最小值时，点P为过点Q与圆心C的直线与圆C的两个交点． 又圆心C(2，7)，半径R＝2eq \r(2)，|QC|＝4eq \r(2)， ∴|PQ|的最大值为|QC|＋R＝6eq \r(2)，最小值为|QC|－R＝2eq \r(2). 解析：直线m的方程λx－y＋λ＝0可化为y＝λ(x＋1)，所以直线m过定点(－1，0)，直线n的方程x＋λy－3－2λ＝0可化为x－3＋λ(y－2)＝0，所以直线n过定点(3，2)，所以点A的坐标为(－1，0)，点B的坐标为(3，2)，故A错误；因为λ×1＋(－1)×λ＝0，所以直线m与直线n垂直，即m⊥n，故B正确；因为PA⊥PB，所以|PA|2＋|PB|2＝|AB|2，故|PA|2＋|PB|2＝(3＋1)2＋(2－0)2＝20，所以|PA|·|PB|≤eq \f(|PA|2＋|PB|2,2)＝10，当且仅当|PA|＝|PB|＝eq \r(10)时，等号成立，故C正确；因为PA⊥PB，故|PA|2＋|PB|2＝|AB|2，设点P的坐标为(x，y)，则(x＋1)2＋y2＋(x－3)2＋(y－2)2＝20，化简可得x2＋y2－2x－2y－3＝0，又点(－1，2)不是直线m，n的交点，点(－1，2)在圆上，故点P的轨迹为圆x2＋y2－2x－2y－3＝0除去点(－1，2)，故D错误．故选BC. 解析：因为x2＋y2－mx＋3y＋3＝0是圆C的方程，所以m2＋9－12>0，解得m<－eq \r(3)或m>eq \r(3)，又圆C：x2＋y2－mx＋3y＋3＝0的圆心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m,2)，－\f(3,2)))，且圆C关于直线l：mx＋y－m＝0对称，所以eq \f(m2,2)－eq \f(3,2)－m＝0，即m2－2m－3＝0，解得m＝－1(舍去)或m＝3. 解：(1)已知方程可化为(x－t－3)2＋(y＋1－4t2)2＝(t＋3)2＋(1－4t2)2－16t4－9， 即(x－t－3)2＋(y＋1－4t2)2＝－7t2＋6t＋1， ∴－7t2＋6t＋1>0，解得－eq \f(1,7)<t<1. ∴t的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,7)，1)). (2)由(1)知半径r＝eq \r(－7t2＋6t＋1)＝eq \r(－7\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(3,7)))\s\up12(2)＋\f(16,7))， ∴当t＝eq \f(3,7)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,7)，1))时，rmax＝eq \f(4\r(7),7)， 此时圆的面积最大，所对应的圆的方程是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(24,7))) eq \s\up12(2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(13,49))) eq \s\up12(2)＝eq \f(16,7). (3)当且仅当32＋(4t2)2－2(t＋3)×3＋2(1－4t2)×4t2＋16t4＋9<0时，点P恒在圆内， ∴8t2－6t<0， 解得0<t<eq \f(3,4)，满足－eq \f(1,7)<t<1. ∴t的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,4))). 解：(1)由已知可设圆心C(a，2－a)， 又由已知得|CA|＝|CB|， 从而有eq \r(（a－4）2＋（2－a－0）2)＝eq \r(（a－2）2＋（2－a－2）2)， 解得a＝2. 于是圆C的圆心C(2，0)，半径r＝eq \r(（2－4）2＋（0－0）2)＝2. 所以圆C的方程为(x－2)2＋y2＝4. (2)设M(x，y)，D(x1，y1)，则由M为线段DE的中点，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(x1＋5,2)，,y＝\f(y1＋0,2)，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＝2x－5，,y1＝2y，)) 又点D在圆C：(x－2)2＋y2＝4上， 所以(2x－5－2)2＋(2y)2＝4， 化简，得x2＋y2－7x＋eq \f(45,4)＝0. 故线段DE的中点M的轨迹方程为x2＋y2－7x＋eq \f(45,4)＝0. $$