1.1.1 空间向量及其线性运算-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册创新导学案课件PPT（人教A版2019）

第一章　空间向量与 立体几何 1.1　空间向量及其运算 1.1.1　空间向量及其线性运算 课程标准：1.经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念. 2.经历由平面向量的运算及法则推广到空间向量的过程，掌握空间向量的线性运算． 教学重点：空间向量的加减、数乘运算在空间几何体中的应用． 教学难点：空间几何体中向量的运算． 核心素养：在空间向量概念的形成和线性运算的过程中，经历由具体到抽象、由图形语言到符号语言的表达过程，发展直观想象、数学抽象及数学运算素养． (教师独具内容) 核心概念掌握 核心素养形成 随堂水平达标 目录 课后课时精练 核心概念掌握 知识点一　空间向量 (1)定义 在空间，我们把_______________________叫做空间向量． (2)长度 __________________叫做空间向量的长度或_________． (3)表示方法 具有大小和方向的量 空间向量的大小 模 核心概念掌握 5 长度为0的向量 0 0 模为1的向量 与向量a长度相等而方向相反的向量 －a 方向相同且模相等的向量 同一向量 相等向量 核心概念掌握 6 [提醒]　(1)单位向量有无数个，它们的方向并不确定，它们不一定相等． (2)零向量也有无数个，它们的方向是任意的，但规定所有的零向量都相等． (3)向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小． 核心概念掌握 7 a＋b a－b b＋a a＋(b＋c) 核心概念掌握 8 λ的范围 方向关系 几何表示 λ>0 方向_________ λ<0 方向__________ λ＝0 λa＝0，其方向是任意的 知识点三　空间向量的数乘运算 (1)向量a与λa的关系 相同 相反 核心概念掌握 9 (2)空间向量的数乘运算律 设λ，μ是实数，则有： ①结合律：λ(μa)＝_________． ②分配律：(λ＋μ)a＝___________，λ(a＋b)＝__________. [提醒]　(1)当λ＝0或a＝0时，λa＝0. (2)λ的正负影响着向量λa的方向，λ的绝对值的大小影响着λa的长度． (λμ)a λa＋μa λa＋λb 核心概念掌握 10 知识点四　共线向量与共面向量 (1)共线(平行)向量 表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合 存在实数λ，使a＝λb 与向量a平行的非零向量 核心概念掌握 11 [提醒]　(1)向量a，b共线时，表示向量a，b的有向线段不一定在同一条直线上． (2)共线向量不具有传递性，即若a∥b，b∥c，则a∥c不一定成立．因为当b＝0时，a∥0，0∥c，但a与c不一定共线． 核心概念掌握 12 定义 ________________________________，叫做共面向量 充要 条件 如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是______________________________________________ (2)共面向量 平行于同一个平面的向量 存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb 核心概念掌握 13 核心概念掌握 14 ①③ 核心概念掌握 15 2．(空间向量的数乘运算)已知a，b是空间两个向量，且b＝－5a，|a|＝2，则向量b的长度为________，向量b的方向与向量a的方向________． 10 相反 核心概念掌握 16 核心概念掌握 17 4．(共线向量)非零向量e1，e2不共线，使ke1＋e2与e1＋ke2共线的k的值是________． 5．(共面向量)对于空间的任意三个向量a，b，2a－b，它们一定是________向量(填“共线”“共面”“不共线”或“不共面”)． ±1 共面 核心概念掌握 18 核心素养形成 题型一　空间向量的概念 核心素养形成 20 核心素养形成 21 【感悟提升】　处理空间向量概念问题要关注的两个要素和两个关系 (1)两个要素 判断与空间向量概念有关的命题时，要抓住空间向量的两个要素，即大小与方向，两者缺一不可． (2)两个关系 ①模相等与空间向量相等的关系：两个空间向量的模相等，则它们的长度相等，但方向不确定，即两个空间向量(非零向量)的模相等是两个空间向量相等的必要不充分条件； ②向量的模与空间向量大小的关系：由于方向不能比较大小，因此“大于”“小于”对空间向量来说是没有意义的．但空间向量的模是可以比较大小的． 核心素养形成 22 解析：若非零向量a，b平行，则a，b所在直线平行或重合，故A错误；若|a|＝|b|，则a，b的长度相等而方向不存在确定关系，故B错误；向量不能比较大小，故C错误；相等向量其方向必相同，故D正确．故选D. 核心素养形成 23 题型二　空间向量的加减运算 核心素养形成 24 核心素养形成 25 核心素养形成 26 【感悟提升】　 1．空间向量加法、减法运算的两个技巧 (1)巧用相反向量：向量加减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法运算的关键，灵活应用相反向量可使向量间首尾相接． (2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加减法运算时，务必要注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得更准确的结果． 核心素养形成 27 2．化简空间向量的常用思路 (1)分组：合理分组，以便灵活利用三角形法则、平行四边形法则进行化简． (2)多边形法则：在空间向量的加法运算中，若是多个向量求和，还可利用多边形法则．若干个向量的和可以将其转化为首尾相接的向量求和． (3)走边路：灵活运用空间向量的加法、减法法则，尽量走边路(即沿几何体的边选择途径)． 核心素养形成 28 0 核心素养形成 29 (2)如图，已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，E，F，G分别是BC，CD，DB的中点，请化简以下式子，并在图中标出化简结果． 核心素养形成 30 题型三　空间向量的数乘运算 －1 核心素养形成 31 【感悟提升】　利用数乘运算进行向量表示的技巧 (1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量． (2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质． 核心素养形成 32 核心素养形成 33 核心素养形成 34 题型四　共线向量 核心素养形成 35 核心素养形成 36 核心素养形成 37 1 核心素养形成 38 －8 核心素养形成 39 题型五　共面向量 核心素养形成 40 核心素养形成 41 核心素养形成 42 核心素养形成 43 核心素养形成 44 核心素养形成 45 随堂水平达标 1．关于空间向量，下列四个结论正确的是(　　) A．方向相反的两个向量是相反向量 B．任意两个空间向量总是共面的 C．零向量没有方向 D．不相等的两个空间向量的模必不相等 解析：对于A，方向相反、长度相等的向量是相反向量，故A错误；对于B，空间中，任意两个向量是共面的，故B正确；对于C，零向量的方向是任意的，故C错误；对于D，两个不相等的向量模可以相等，此时只要方向不相同，即为不相等的向量，故D错误．故选B. 随堂水平达标 47 随堂水平达标 48 随堂水平达标 49 随堂水平达标 50 随堂水平达标 51 随堂水平达标 52 随堂水平达标 53 课后课时精练 基础题(占比60%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 难度 ★ ★ ★ ★ ★★ ★★ ★ 考向 空间向量的线性运算 共面向量 共面向量 空间向量的线性运算 空间向量的线性运算 共线向量 空间向量的线性运算 考点 相等向量；加法运算 判断向量是否共面 向量共面的应用——求参数 加减、数乘运算 利用线性运算求参数 判断向量关系与图形形状 加减、数乘运算 题号 8 9 10 11 12 13 14 难度 ★ ★ ★ ★★ ★★★ ★★ ★★★ 考向 空间向量的概念 空间向量的线性运算 空间向量 的概念 共面向量 共面向量 共线向量 共面向量 考点 空间向量的模 加法、数乘运算 单位向量；相等向量；相反向量 向量共面的应用——求参数 向量共面的应用——求参数 共线的证 明问题 向量共面的应用——求参数 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 55 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 56 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 57 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 58 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 59 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 60 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 61 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 62 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 63 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 64 8．已知空间向量a，b，c互相平行，其中a，c同向，a，b反向，|a|＝3，|b|＝2，|c|＝1，则|a＋b＋c|＝________． 解析：由a，c同向，a，b反向及|a|＝3，|b|＝2，|c|＝1，画图可知，|a＋b＋c|＝|a|＋|c|－|b|＝3＋1－2＝2. 2 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 65 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 66 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 67 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 68 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 69 1 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 70 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 71 13. 如图，已知OE是平行六面体OADB－CFEG的体对角线，M是△ABC的重心，求证：点M在直线OE上． 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 72 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 73 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 74 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 75 　　　　　　　　　　　　　 R 空间向量用字母a，b，c…表示，也用有向线段表示．如图，此向量的起点是A，终点是B，可记作a，也可记作eq \o(AB,\s\up17(→))，其模记为|a|或|eq \o(AB,\s\up17(→))|. (4)几类特殊的空间向量 ①零向量：_____________________叫做零向量，记为________．当有向线段的起点A与终点B重合时，eq \o(AB,\s\up17(→))＝________． ②单位向量：__________________叫做单位向量． ③相反向量：____________________________________，叫做a的相反向量，记为________． ④相等向量：________________________________叫做相等向量．在空间，同向且等长的有向线段表示________________或________________． 知识点二　空间向量的加减法 (1)定义类似平面向量，定义空间向量的加法、减法运算(如图)： _________＝eq \o(OA,\s\up17(→))＋eq \o(AB,\s\up17(→))＝eq \o(OB,\s\up17(→))； _________＝eq \o(OA,\s\up17(→))－eq \o(OC,\s\up17(→))＝eq \o(CA,\s\up17(→)). (2)加法运算律 ①交换律：a＋b＝___________； ②结合律：(a＋b)＋c＝___________． [说明]　空间向量加减运算的运算法则所满足的运算律与平面向量完全相同． 定义 如果_______________________________________________________，那么这些向量叫做共线向量或平行向量 规定：零向量与任意向量平行，即对于任意向量a，都有0∥a 充要条件 对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是___________________________ 直线的方向向量 如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直 线l上任意一点P，由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可 知，存在实数λ，使得eq \o(OP,\s\up17(→))＝λa.我们把________________________ 称为直线l的方向向量 [拓展]　共面向量充要条件的理解 如图，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使eq \o(AP,\s\up17(→))＝xeq \o(AB,\s\up17(→))＋yeq \o(AC,\s\up17(→)).或者等价于：对空间任意一点O，空间一点P位于平面ABC内(P，A，B，C四点共面)的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使eq \o(OP,\s\up17(→))＝eq \o(OA,\s\up17(→))＋xeq \o(AB,\s\up17(→))＋yeq \o(AC,\s\up17(→))，该式称为空间平面ABC的向量表示式，由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定． 1．(空间向量的概念)给出下列命题： ①向量eq \o(AB,\s\up17(→))与eq \o(BA,\s\up17(→))的长度相等； ②将空间中所有单位向量的起点移到同一点，则它们的终点构成一个圆； ③方向相同且模相等的两个向量是相等向量． 其中是真命题的为________(写出所有真命题的序号)． eq \f(1,2) eq \o(AC1,\s\up17(→)) 3．(空间向量的加减运算)如图所示，已知长方体ABCD－A1B1C1D1，化简下列向量的表达式： (1)eq \o(AA1,\s\up17(→))－eq \o(CB,\s\up17(→))＝________； (2)eq \o(AB1,\s\up17(→))＋eq \o(B1C1,\s\up17(→))＋eq \o(C1D1,\s\up17(→))＝________； (3)eq \f(1,2) eq \o(AD,\s\up17(→))＋eq \f(1,2) eq \o(AB,\s\up17(→))－eq \f(1,2) eq \o(A1A,\s\up17(→))＝________． eq \o(AD1,\s\up17(→)) eq \o(AD1,\s\up17(→)) 例1　给出下列命题： ①空间向量就是空间中的一条有向线段； ②在正方体ABCD－A1B1C1D1中，必有eq \o(AC,\s\up17(→))＝eq \o(A1C1,\s\up17(→))； ③对于空间非零向量a，b，|a|＝|b|是a＝b的必要不充分条件； ④若空间向量m，n，p满足m∥n，n∥p，则m∥p. 其中正确命题的个数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．0 解析　有向线段起点和终点是固定的，而空间向量是可以平移的，故①错误；eq \o(AC,\s\up17(→))和eq \o(A1C1,\s\up17(→))大小一样、方向相同，则eq \o(AC,\s\up17(→))＝eq \o(A1C1,\s\up17(→))，故②正确；若|a|＝|b|，则a和b的模相等，方向不一定相同，若a＝b，则a和b的模相等，方向也相同，所以|a|＝|b|是a＝b的必要不充分条件，故③正确；向量的平行不具有传递性，比如当n为零向量时，零向量与任何向量都平行，则m，p不一定平行，故④错误．故选B. 【跟踪训练】　 1．下列关于空间向量的说法中正确的是(　　) A．若非零向量a，b平行，则a，b所在直线平行 B．若|a|＝|b|，则a，b的长度相等而方向相同或相反 C．若向量eq \o(AB,\s\up17(→))，eq \o(CD,\s\up17(→))满足|eq \o(AB,\s\up17(→))|>|eq \o(CD,\s\up17(→))|，则eq \o(AB,\s\up17(→))>eq \o(CD,\s\up17(→)) D．相等向量其方向必相同 例2　如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各式中运算结果为向量eq \o(BD1,\s\up17(→))的是(　　) ①(eq \o(A1D1,\s\up17(→))－eq \o(A1A,\s\up17(→)))－eq \o(AB,\s\up17(→))；②(eq \o(BC,\s\up17(→))＋eq \o(BB1,\s\up17(→)))－eq \o(D1C1,\s\up17(→))；③(eq \o(AD,\s\up17(→))－eq \o(AB,\s\up17(→)))－eq \o(DD1,\s\up17(→))；④(eq \o(B1D1,\s\up17(→))－eq \o(A1A,\s\up17(→)))＋eq \o(DD1,\s\up17(→)). A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 解析　①(eq \o(A1D1,\s\up17(→))－eq \o(A1A,\s\up17(→)))－eq \o(AB,\s\up17(→))＝eq \o(AD1,\s\up17(→))－eq \o(AB,\s\up17(→))＝eq \o(BD1,\s\up17(→))；②(eq \o(BC,\s\up17(→))＋eq \o(BB1,\s\up17(→)))－eq \o(D1C1,\s\up17(→))＝eq \o(BC,\s\up17(→))＋eq \o(BB1,\s\up17(→))＋eq \o(C1D1,\s\up17(→))＝eq \o(BC1,\s\up17(→))＋eq \o(C1D1,\s\up17(→))＝eq \o(BD1,\s\up17(→))；③(eq \o(AD,\s\up17(→))－eq \o(AB,\s\up17(→)))－eq \o(DD1,\s\up17(→))＝eq \o(BD,\s\up17(→))－eq \o(DD1,\s\up17(→))＝eq \o(BD,\s\up17(→))－eq \o(BB1,\s\up17(→))＝eq \o(B1D,\s\up17(→))≠eq \o(BD1,\s\up17(→))；④(eq \o(B1D1,\s\up17(→))－eq \o(A1A,\s\up17(→)))＋eq \o(DD1,\s\up17(→))＝eq \o(B1D1,\s\up17(→))＋eq \o(AA1,\s\up17(→))＋eq \o(DD1,\s\up17(→))＝eq \o(B1D1,\s\up17(→))＋eq \o(BB1,\s\up17(→))＋eq \o(DD1,\s\up17(→))＝eq \o(BD1,\s\up17(→))＋eq \o(DD1,\s\up17(→))≠eq \o(BD1,\s\up17(→)).因此，①②两式的运算结果为向量eq \o(BD1,\s\up17(→))，而③④两式的运算结果不为向量eq \o(BD1,\s\up17(→)).故选A. [结论探究]　在本例条件下，判断下列各式中运算结果为向量eq \o(AC1,\s\up17(→))的有哪些？ ①(eq \o(AB,\s\up17(→))＋eq \o(B1C1,\s\up17(→)))＋eq \o(CC1,\s\up17(→))；②(eq \o(AA1,\s\up17(→))＋eq \o(A1D1,\s\up17(→)))＋eq \o(D1C1,\s\up17(→))；③(eq \o(AB,\s\up17(→))＋eq \o(BB1,\s\up17(→)))－eq \o(C1B1,\s\up17(→))；④(eq \o(AA1,\s\up17(→))－eq \o(B1A1,\s\up17(→)))＋eq \o(B1C1,\s\up17(→)). 解：①(eq \o(AB,\s\up17(→))＋eq \o(B1C1,\s\up17(→)))＋eq \o(CC1,\s\up17(→))＝eq \o(AB,\s\up17(→))＋eq \o(BC,\s\up17(→))＋eq \o(CC1,\s\up17(→))＝eq \o(AC1,\s\up17(→))； ②(eq \o(AA1,\s\up17(→))＋eq \o(A1D1,\s\up17(→)))＋eq \o(D1C1,\s\up17(→))＝eq \o(AD1,\s\up17(→))＋eq \o(D1C1,\s\up17(→))＝eq \o(AC1,\s\up17(→))； ③(eq \o(AB,\s\up17(→))＋eq \o(BB1,\s\up17(→)))－eq \o(C1B1,\s\up17(→))＝eq \o(AB1,\s\up17(→))＋eq \o(B1C1,\s\up17(→))＝eq \o(AC1,\s\up17(→))； ④(eq \o(AA1,\s\up17(→))－eq \o(B1A1,\s\up17(→)))＋eq \o(B1C1,\s\up17(→))＝(eq \o(AA1,\s\up17(→))＋eq \o(A1B1,\s\up17(→)))＋eq \o(B1C1,\s\up17(→))＝eq \o(AB1,\s\up17(→))＋eq \o(B1C1,\s\up17(→))＝eq \o(AC1,\s\up17(→)). 故①②③④式运算结果都是向量eq \o(AC1,\s\up17(→)). 【跟踪训练】　 2．(1)化简(eq \o(AB,\s\up17(→))－eq \o(CD,\s\up17(→)))－(eq \o(AC,\s\up17(→))－eq \o(BD,\s\up17(→)))＝________． 解析：解法一(转化为加法运算)：(eq \o(AB,\s\up17(→))－eq \o(CD,\s\up17(→)))－(eq \o(AC,\s\up17(→))－eq \o(BD,\s\up17(→)))＝eq \o(AB,\s\up17(→))－eq \o(CD,\s\up17(→))－eq \o(AC,\s\up17(→))＋eq \o(BD,\s\up17(→))＝eq \o(AB,\s\up17(→))＋eq \o(DC,\s\up17(→))＋eq \o(CA,\s\up17(→))＋eq \o(BD,\s\up17(→))＝eq \o(AB,\s\up17(→))＋eq \o(BD,\s\up17(→))＋eq \o(DC,\s\up17(→))＋eq \o(CA,\s\up17(→))＝0. 解法二(转化为减法运算)：(eq \o(AB,\s\up17(→))－eq \o(CD,\s\up17(→)))－(eq \o(AC,\s\up17(→))－eq \o(BD,\s\up17(→)))＝(eq \o(AB,\s\up17(→))－eq \o(AC,\s\up17(→)))＋(eq \o(BD,\s\up17(→))－eq \o(CD,\s\up17(→)))＝eq \o(CB,\s\up17(→))＋eq \o(BC,\s\up17(→))＝0. ①eq \o(AB,\s\up17(→))＋eq \o(BC,\s\up17(→))－eq \o(DC,\s\up17(→))； ②eq \o(AB,\s\up17(→))－eq \o(DG,\s\up17(→))－eq \o(CE,\s\up17(→)). 解：①eq \o(AB,\s\up17(→))＋eq \o(BC,\s\up17(→))－eq \o(DC,\s\up17(→))＝eq \o(AB,\s\up17(→))＋eq \o(BC,\s\up17(→))＋eq \o(CD,\s\up17(→))＝eq \o(AC,\s\up17(→))＋eq \o(CD,\s\up17(→))＝eq \o(AD,\s\up17(→))，如图中向量eq \o(AD,\s\up17(→)). ②eq \o(AB,\s\up17(→))－eq \o(DG,\s\up17(→))－eq \o(CE,\s\up17(→))＝eq \o(AB,\s\up17(→))＋eq \o(BG,\s\up17(→))＋eq \o(EC,\s\up17(→))＝eq \o(AG,\s\up17(→))＋eq \o(GF,\s\up17(→))＝eq \o(AF,\s\up17(→))，如图中向量eq \o(AF,\s\up17(→)). 例3　已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，点F是侧面CD1的中心，且eq \o(AF,\s\up17(→))＝eq \o(AD,\s\up17(→))＋meq \o(AB,\s\up17(→))－neq \o(AA1,\s\up17(→))，则eq \f(m,n)＝________． 解析　由于eq \o(AF,\s\up17(→))＝eq \o(AD,\s\up17(→))＋eq \o(DF,\s\up17(→))＝eq \o(AD,\s\up17(→))＋eq \f(1,2)(eq \o(DC,\s\up17(→))＋eq \o(DD1,\s\up17(→)))＝eq \o(AD,\s\up17(→))＋eq \f(1,2) eq \o(AB,\s\up17(→))＋eq \f(1,2) eq \o(AA1,\s\up17(→))，所以m＝eq \f(1,2)，n＝－eq \f(1,2).故eq \f(m,n)＝－1. 【跟踪训练】　 3．在四面体OABC中，eq \o(OA,\s\up17(→))＝a，eq \o(OB,\s\up17(→))＝b，eq \o(OC,\s\up17(→))＝c，G为△ABC的重心，点M在线段OC上，且OM＝2MC，则eq \o(MG,\s\up17(→))＝(　　) A.eq \f(1,3)a＋eq \f(1,3)b－eq \f(1,3)c B.eq \f(1,3)a＋eq \f(1,3)b＋eq \f(1,3)c C.－eq \f(1,3)a＋eq \f(2,3)b＋eq \f(1,3)c D.eq \f(1,3)a－eq \f(1,3)b＋eq \f(1,3)c 解析：画出图形，D为BC的中点，如图所示，由三角形重心的性质，可知G为AD上靠近D的三等分点，所以eq \o(DG,\s\up17(→))＝－eq \f(1,3) eq \o(AD,\s\up17(→))，所以eq \o(MG,\s\up17(→))＝eq \o(MC,\s\up17(→))＋eq \o(CD,\s\up17(→))＋eq \o(DG,\s\up17(→))＝eq \f(1,3)c＋eq \f(1,2)(b－c)－eq \f(1,3) eq \o(AD,\s\up17(→))＝eq \f(1,3)c＋eq \f(1,2)(b－c)－eq \f(1,6)(eq \o(AB,\s\up17(→))＋eq \o(AC,\s\up17(→)))＝eq \f(1,3)c＋eq \f(1,2)(b－c)－eq \f(1,6)(b－a＋c－a)＝eq \f(1,3)a＋eq \f(1,3)b－eq \f(1,3)c.故选A. 例4　如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E在A1D1上，且eq \o(A1E,\s\up17(→))＝2eq \o(ED1,\s\up17(→))，F在对角线A1C上，且eq \o(A1F,\s\up17(→))＝eq \f(2,3) eq \o(FC,\s\up17(→)). 求证：E，F，B三点共线． 证明　连接EF，EB(图略)， 设eq \o(AB,\s\up17(→))＝a，eq \o(AD,\s\up17(→))＝b，eq \o(AA1,\s\up17(→))＝c. ∵eq \o(A1E,\s\up17(→))＝2eq \o(ED1,\s\up17(→))，eq \o(A1F,\s\up17(→))＝eq \f(2,3) eq \o(FC,\s\up17(→))，∴eq \o(A1E,\s\up17(→))＝eq \f(2,3) eq \o(A1D1,\s\up17(→))，eq \o(A1F,\s\up17(→))＝eq \f(2,5) eq \o(A1C,\s\up17(→))， ∴eq \o(A1E,\s\up17(→))＝eq \f(2,3) eq \o(AD,\s\up17(→))＝eq \f(2,3)b， eq \o(A1F,\s\up17(→))＝eq \f(2,5)(eq \o(AC,\s\up17(→))－eq \o(AA1,\s\up17(→)))＝eq \f(2,5)(eq \o(AB,\s\up17(→))＋eq \o(AD,\s\up17(→))－eq \o(AA1,\s\up17(→)))＝eq \f(2,5)a＋eq \f(2,5)b－eq \f(2,5)c. ∴eq \o(EF,\s\up17(→))＝eq \o(A1F,\s\up17(→))－eq \o(A1E,\s\up17(→))＝eq \f(2,5)a－eq \f(4,15)b－eq \f(2,5)c＝eq \f(2,5) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(2,3)b－c)). 又eq \o(EB,\s\up17(→))＝eq \o(EA1,\s\up17(→))＋eq \o(A1A,\s\up17(→))＋eq \o(AB,\s\up17(→))＝－eq \f(2,3)b－c＋a＝a－eq \f(2,3)b－c， ∴eq \o(EF,\s\up17(→))＝eq \f(2,5) eq \o(EB,\s\up17(→))，∴E，F，B三点共线． 【感悟提升】　 1．判断空间向量共线的策略 (1)熟记空间向量共线的充要条件：①a∥b，b≠0，则存在唯一实数λ，使a＝λb；②若存在唯一实数λ，使a＝λb，b≠0，则a∥b. (2)判断空间向量共线的关键：找到实数λ. 2．证明空间三点共线的三种思路 对于空间三点P，A，B可通过证明下列结论来证明三点共线． (1)存在实数λ，使eq \o(PA,\s\up17(→))＝λeq \o(PB,\s\up17(→))成立． (2)对空间任一点O，有eq \o(OP,\s\up17(→))＝eq \o(OA,\s\up17(→))＋teq \o(AB,\s\up17(→))(t∈R)． (3)对空间任一点O，有eq \o(OP,\s\up17(→))＝xeq \o(OA,\s\up17(→))＋yeq \o(OB,\s\up17(→))(x＋y＝1)． 【跟踪训练】　 4．(1)已知A，B，C三点共线，O为直线外空间任意一点，若eq \o(OC,\s\up17(→))＝meq \o(OA,\s\up17(→))＋neq \o(OB,\s\up17(→))，则m＋n＝________． 解析：由于A，B，C三点共线，所以存在实数λ，使得eq \o(AC,\s\up17(→))＝λeq \o(AB,\s\up17(→))，即eq \o(OC,\s\up17(→))－eq \o(OA,\s\up17(→))＝λ(eq \o(OB,\s\up17(→))－eq \o(OA,\s\up17(→)))，所以eq \o(OC,\s\up17(→))＝(1－λ)eq \o(OA,\s\up17(→))＋λeq \o(OB,\s\up17(→))，所以m＝1－λ，n＝λ，所以m＋n＝1. (2)设e1，e2是空间中两个不共线的向量，已知eq \o(AB,\s\up17(→))＝2e1＋ke2，eq \o(CB,\s\up17(→))＝e1＋3e2，eq \o(CD,\s\up17(→))＝2e1－e2，且A，B，D三点共线，则实数k的值为________． 解析：∵eq \o(CB,\s\up17(→))＝e1＋3e2，eq \o(CD,\s\up17(→))＝2e1－e2，∴eq \o(BD,\s\up17(→))＝eq \o(CD,\s\up17(→))－eq \o(CB,\s\up17(→))＝(2e1－e2)－(e1＋3e2)＝e1－4e2.∵A，B，D三点共线，∴可设eq \o(AB,\s\up17(→))＝λeq \o(BD,\s\up17(→))，λ∈R，∴2e1＋ke2＝λ(e1－4e2)＝λe1－4λe2.∵e1，e2是空间中两个不共线的向量，∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2＝λ，,k＝－4λ，))∴k＝－8. 例5　如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且BM＝eq \f(1,3)BD，AN＝eq \f(1,3)AE. 求证：向量eq \o(MN,\s\up17(→))，eq \o(CD,\s\up17(→))，eq \o(DE,\s\up17(→))共面． 证明　因为M在BD上，且BM＝eq \f(1,3)BD， 所以eq \o(MB,\s\up17(→))＝eq \f(1,3) eq \o(DB,\s\up17(→))＝eq \f(1,3) eq \o(DA,\s\up17(→))＋eq \f(1,3) eq \o(AB,\s\up17(→)). 同理eq \o(AN,\s\up17(→))＝eq \f(1,3) eq \o(AD,\s\up17(→))＋eq \f(1,3) eq \o(DE,\s\up17(→)). 所以eq \o(MN,\s\up17(→))＝eq \o(MB,\s\up17(→))＋eq \o(BA,\s\up17(→))＋eq \o(AN,\s\up17(→)) ＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)\o(DA,\s\up17(→))＋\f(1,3)\o(AB,\s\up17(→))))＋eq \o(BA,\s\up17(→))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)\o(AD,\s\up17(→))＋\f(1,3)\o(DE,\s\up17(→)))) ＝eq \f(2,3) eq \o(BA,\s\up17(→))＋eq \f(1,3) eq \o(DE,\s\up17(→))＝eq \f(2,3) eq \o(CD,\s\up17(→))＋eq \f(1,3) eq \o(DE,\s\up17(→)). 又eq \o(CD,\s\up17(→))与eq \o(DE,\s\up17(→))不共线，根据向量共面的充要条件，可知eq \o(MN,\s\up17(→))，eq \o(CD,\s\up17(→))，eq \o(DE,\s\up17(→))共面． 【感悟提升】　证明空间向量共面、点共面的常用方法 (1)证明空间三个向量共面常用的方法 ①证明其中一个空间向量可以表示成另两个空间向量的线性组合，即若a＝xb＋yc，则空间向量a，b，c共面； ②寻找平面α，证明这些空间向量与平面α平行． (2)对空间四点P，M，A，B可通过证明下列结论成立来证明四点共面 ①eq \o(MP,\s\up17(→))＝xeq \o(MA,\s\up17(→))＋yeq \o(MB,\s\up17(→))； ②对空间任一点O，eq \o(OP,\s\up17(→))＝eq \o(OM,\s\up17(→))＋xeq \o(MA,\s\up17(→))＋yeq \o(MB,\s\up17(→))； ③对空间任一点O，eq \o(OP,\s\up17(→))＝xeq \o(OA,\s\up17(→))＋yeq \o(OB,\s\up17(→))＋zeq \o(OM,\s\up17(→))(x＋y＋z＝1)； ④eq \o(PM,\s\up17(→))∥eq \o(AB,\s\up17(→))(或eq \o(PA,\s\up17(→))∥eq \o(MB,\s\up17(→))或eq \o(PB,\s\up17(→))∥eq \o(AM,\s\up17(→)))． 【跟踪训练】　 5．(1)已知O为空间任意一点，A，B，C，P满足任意三点不共线，但四点共面，且eq \o(OP,\s\up16(→))＝meq \o(OA,\s\up16(→))＋2eq \o(OB,\s\up16(→))＋eq \o(OC,\s\up16(→))，则m的值为(　　) A．－1 B．－2 C．－3 D．1 解析：O为空间任意一点，A，B，C，P满足任意三点不共线，但四点共面，且eq \o(OP,\s\up16(→))＝meq \o(OA,\s\up16(→))＋2eq \o(OB,\s\up16(→))＋eq \o(OC,\s\up16(→))，则m＋2＋1＝1，解得m＝－2.故选B. (2)如图，从▱ABCD所在平面外一点O作向量eq \a\vs4\al(OA′)＝keq \o(OA,\s\up17(→))，eq \a\vs4\al(OB′)＝keq \o(OB,\s\up17(→))，eq \a\vs4\al(OC′)＝keq \o(OC,\s\up17(→))，eq \a\vs4\al(OD′)＝keq \o(OD,\s\up17(→)).求证：A′，B′，C′，D′四点共面． 证明：因为四边形ABCD为平行四边形， 所以eq \o(AC,\s\up17(→))＝eq \o(AB,\s\up17(→))＋eq \o(AD,\s\up17(→))， 因为从▱ABCD所在平面外一点O作向量 eq \o(OA′,\s\up17(→))＝keq \o(OA,\s\up17(→))，eq \o(OB′,\s\up17(→))＝keq \o(OB,\s\up17(→))，eq \o(OC′,\s\up17(→))＝keq \o(OC,\s\up17(→))，eq \o(OD′,\s\up17(→))＝keq \o(OD,\s\up17(→))， 所以eq \o(A′C′,\s\up17(→))＝eq \o(OC′,\s\up17(→))－eq \o(OA′,\s\up17(→))＝k(eq \o(OC,\s\up17(→))－eq \o(OA,\s\up17(→)))＝keq \o(AC,\s\up17(→))＝k(eq \o(AB,\s\up17(→))＋eq \o(AD,\s\up17(→)))＝k(eq \o(OB,\s\up17(→))－eq \o(OA,\s\up17(→))＋eq \o(OD,\s\up17(→))－eq \o(OA,\s\up17(→)))＝keq \o(OB,\s\up17(→))－keq \o(OA,\s\up17(→))＋keq \o(OD,\s\up17(→))－keq \o(OA,\s\up17(→))＝eq \o(OB′,\s\up17(→))－eq \o(OA′,\s\up17(→))＋eq \o(OD′,\s\up17(→))－eq \o(OA′,\s\up17(→))＝eq \o(A′B′,\s\up17(→))＋eq \o(A′D′,\s\up17(→))， 所以eq \o(A′C′,\s\up17(→))，eq \o(A′B′,\s\up17(→))，eq \o(A′D′,\s\up17(→))共面， 因为eq \o(A′C′,\s\up17(→))，eq \o(A′B′,\s\up17(→))，eq \o(A′D′,\s\up17(→))有公共端点A′，所以A′，B′，C′，D′四点共面． 2．已知eq \o(MA,\s\up17(→))，eq \o(MB,\s\up17(→))是空间两个不共线的向量，eq \o(MC,\s\up17(→))＝5eq \o(MA,\s\up17(→))－3eq \o(MB,\s\up17(→))，那么必有(　　) A.eq \o(MA,\s\up17(→))，eq \o(MC,\s\up17(→))共线 B.eq \o(MB,\s\up17(→))，eq \o(MC,\s\up17(→))共线 C.eq \o(MA,\s\up17(→))，eq \o(MB,\s\up17(→))，eq \o(MC,\s\up17(→))共面 D.eq \o(MA,\s\up17(→))，eq \o(MB,\s\up17(→))，eq \o(MC,\s\up17(→))不共面 解析：若eq \o(MA,\s\up17(→))，eq \o(MC,\s\up17(→))共线，则eq \o(MC,\s\up17(→))＝λeq \o(MA,\s\up17(→))(λ∈R)，又eq \o(MC,\s\up17(→))＝5eq \o(MA,\s\up17(→))－3eq \o(MB,\s\up17(→))，所以λeq \o(MA,\s\up17(→))＝5eq \o(MA,\s\up17(→))－3eq \o(MB,\s\up17(→))，eq \o(MB,\s\up17(→))＝eq \f(5－λ,3) eq \o(MA,\s\up17(→))，则eq \o(MA,\s\up17(→))，eq \o(MB,\s\up17(→))共线，与条件矛盾，故A错误；若eq \o(MB,\s\up17(→))，eq \o(MC,\s\up17(→))共线，则eq \o(MC,\s\up17(→))＝μeq \o(MB,\s\up17(→))(μ∈R)，又eq \o(MC,\s\up17(→))＝5eq \o(MA,\s\up17(→))－3eq \o(MB,\s\up17(→))，所以μeq \o(MB,\s\up17(→))＝5eq \o(MA,\s\up17(→))－3eq \o(MB,\s\up17(→))，eq \o(MA,\s\up17(→))＝eq \f(μ＋3,5) eq \o(MB,\s\up17(→))，则eq \o(MA,\s\up17(→))，eq \o(MB,\s\up17(→))共线，与条件矛盾，故B错误；根据空间向量的共面定理，可知eq \o(MA,\s\up17(→))，eq \o(MB,\s\up17(→))，eq \o(MC,\s\up17(→))共面，故C正确，D错误．故选C. 3．如图，在空间四边形ABCD中，设E，F分别是BC，CD的中点，则eq \o(AB,\s\up17(→))＋eq \f(1,2)(eq \o(BC,\s\up17(→))＋eq \o(BD,\s\up17(→)))＝(　　) A.eq \o(AD,\s\up17(→)) B.eq \o(EF,\s\up17(→)) C.eq \o(AE,\s\up17(→)) D.eq \o(AF,\s\up17(→)) 解析：E，F分别是BC，CD的中点，则eq \o(AB,\s\up17(→))＋eq \f(1,2)(eq \o(BC,\s\up17(→))＋eq \o(BD,\s\up17(→)))＝eq \o(AB,\s\up17(→))＋eq \o(BF,\s\up17(→))＝eq \o(AF,\s\up17(→)).故选D. 4．已知P为△ABC所在平面内一点，O为平面ABC外一点，若eq \o(OP,\s\up17(→))＝meq \o(OA,\s\up17(→))＋neq \o(OB,\s\up17(→))＋2eq \o(OC,\s\up17(→))，则m＋n的值为(　　) A．1 B．－1 C．2 D．－2 解析：因为eq \o(OP,\s\up17(→))＝meq \o(OA,\s\up17(→))＋neq \o(OB,\s\up17(→))＋2eq \o(OC,\s\up17(→))，且A，B，C，P四点共面，所以m＋n＋2＝1，所以m＋n＝－1.故选B. 5．(多选)在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若eq \o(A1B1,\s\up17(→))＝a，eq \o(A1D1,\s\up17(→))＝b，eq \o(A1A,\s\up17(→))＝c，则下列向量运算正确的是(　　) A.eq \o(B1M,\s\up17(→))＝－eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b＋c B.eq \o(B1D,\s\up17(→))＝－a＋b＋c C.eq \o(A1C,\s\up17(→))＝a＋b＋c D.eq \o(A1M,\s\up17(→))＝－eq \f(1,2)a－eq \f(1,2)b＋c 解析：eq \o(B1M,\s\up17(→))＝eq \o(B1B,\s\up17(→))＋eq \o(BM,\s\up17(→))＝eq \o(A1A,\s\up17(→))＋eq \f(1,2)(eq \o(BA,\s\up17(→))＋eq \o(BC,\s\up17(→)))＝c＋eq \f(1,2)(－a＋b)＝－eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b＋c，A正确；eq \o(B1D,\s\up17(→))＝eq \o(B1D1,\s\up17(→))＋eq \o(D1D,\s\up17(→))＝(b－a)＋c＝－a＋b＋c，B正确；eq \o(A1C,\s\up17(→))＝eq \o(A1C1,\s\up17(→))＋eq \o(C1C,\s\up17(→))＝eq \o(A1B1,\s\up17(→))＋eq \o(A1D1,\s\up17(→))＋eq \o(C1C,\s\up17(→))＝a＋b＋c，C正确；eq \o(A1M,\s\up17(→))＝eq \o(A1A,\s\up17(→))＋eq \o(AM,\s\up17(→))＝c＋eq \f(1,2)(a＋b)＝eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b＋c，D错误．故选ABC. 一、选择题 1．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，eq \o(AB,\s\up17(→))＋eq \o(A1D1,\s\up17(→))＋eq \o(CC1,\s\up17(→))＝(　　) A.eq \o(AC1,\s\up17(→)) B.eq \o(C1A,\s\up17(→)) C.eq \o(AD1,\s\up17(→)) D.eq \o(D1A,\s\up17(→)) 解析：在长方体ABCD－A1B1C1D1中，eq \o(A1D1,\s\up17(→))＝eq \o(BC,\s\up17(→))，故eq \o(AB,\s\up17(→))＋eq \o(A1D1,\s\up17(→))＋eq \o(CC1,\s\up17(→))＝eq \o(AB,\s\up17(→))＋eq \o(BC,\s\up17(→))＋eq \o(CC1,\s\up17(→))＝eq \o(AC1,\s\up17(→)).故选A. 2．在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，向量eq \o(D1A,\s\up17(→))，eq \o(D1C,\s\up17(→))，eq \o(A1C1,\s\up17(→))是(　　) A．有相同起点的向量 B．等长向量 C．共面向量 D．不共面向量 解析：如图所示，因为eq \o(D1C,\s\up17(→))－eq \o(D1A,\s\up17(→))＝eq \o(AC,\s\up17(→))，而eq \o(AC,\s\up17(→))＝eq \o(A1C1,\s\up17(→))，所以eq \o(D1C,\s\up17(→))－eq \o(D1A,\s\up17(→))＝eq \o(A1C1,\s\up17(→))，即eq \o(D1C,\s\up17(→))＝eq \o(D1A,\s\up17(→))＋eq \o(A1C1,\s\up17(→)).而eq \o(D1A,\s\up17(→))与eq \o(A1C1,\s\up17(→))不共线，所以eq \o(D1C,\s\up17(→))，eq \o(D1A,\s\up17(→))，eq \o(A1C1,\s\up17(→))三向量共面． 3．已知四面体OABC，空间的一点M满足eq \o(OM,\s\up17(→))＝eq \f(1,4) eq \o(OA,\s\up17(→))＋eq \f(1,6) eq \o(OB,\s\up17(→))＋λeq \o(OC,\s\up17(→))，若M，A，B，C四点共面，则λ＝(　　) A.eq \f(7,12) B.eq \f(1,3) C.eq \f(5,12) D.eq \f(1,2) 解析：在四面体OABC中，空间的一点M满足eq \o(OM,\s\up17(→))＝eq \f(1,4) eq \o(OA,\s\up17(→))＋eq \f(1,6) eq \o(OB,\s\up17(→))＋λeq \o(OC,\s\up17(→))，因为M，A，B，C四点共面，所以eq \f(1,4)＋eq \f(1,6)＋λ＝1，解得λ＝eq \f(7,12).故选A. 4．若A，B，C，D为空间不同的四个点，则下列各式结果不一定为零向量的是(　　) A.eq \o(AB,\s\up17(→))＋2eq \o(BC,\s\up17(→))＋2eq \o(CD,\s\up17(→))＋eq \o(DC,\s\up17(→)) B．2eq \o(AB,\s\up17(→))＋2eq \o(BC,\s\up17(→))＋3eq \o(CD,\s\up17(→))＋3eq \o(DA,\s\up17(→))＋eq \o(AC,\s\up17(→)) C.eq \o(AB,\s\up17(→))＋eq \o(DA,\s\up17(→))＋eq \o(BD,\s\up17(→)) D.eq \o(AB,\s\up17(→))－eq \o(CB,\s\up17(→))＋eq \o(CD,\s\up17(→))－eq \o(AD,\s\up17(→)) 解析：对于A，eq \o(AB,\s\up17(→))＋2eq \o(BC,\s\up17(→))＋2eq \o(CD,\s\up17(→))＋eq \o(DC,\s\up17(→))＝eq \o(AB,\s\up17(→))＋eq \o(BC,\s\up17(→))＋eq \o(CD,\s\up17(→))＋eq \o(DC,\s\up17(→))＋eq \o(BC,\s\up17(→))＋eq \o(CD,\s\up17(→))＝eq \o(AC,\s\up17(→))＋eq \o(BD,\s\up17(→))，故A符合题意；对于B，2eq \o(AB,\s\up17(→))＋2eq \o(BC,\s\up17(→))＋3eq \o(CD,\s\up17(→))＋3eq \o(DA,\s\up17(→))＋eq \o(AC,\s\up17(→))＝2(eq \o(AB,\s\up17(→))＋eq \o(BC,\s\up17(→))＋eq \o(CD,\s\up17(→))＋eq \o(DA,\s\up17(→)))＋(eq \o(CD,\s\up17(→))＋eq \o(DA,\s\up17(→))＋eq \o(AC,\s\up17(→)))＝0，故B不符合题意；对于C，eq \o(AB,\s\up17(→))＋eq \o(DA,\s\up17(→))＋eq \o(BD,\s\up17(→))＝eq \o(AB,\s\up17(→))＋eq \o(BD,\s\up17(→))＋eq \o(DA,\s\up17(→))＝0，故C不符合题意；对于D，eq \o(AB,\s\up17(→))－eq \o(CB,\s\up17(→))＋eq \o(CD,\s\up17(→))－eq \o(AD,\s\up17(→))＝eq \o(AB,\s\up17(→))＋eq \o(BC,\s\up17(→))＋eq \o(CD,\s\up17(→))＋eq \o(DA,\s\up17(→))＝0，故D不符合题意．故选A. 5．在三棱锥O－ABC中，M为OA的中点，点N在线段BC上，若eq \o(MN,\s\up17(→))＝－eq \f(1,2) eq \o(OA,\s\up17(→))＋aeq \o(OB,\s\up17(→))＋eq \f(1,3) eq \o(OC,\s\up17(→))，则a＝(　　) A.eq \f(1,2) B．1 C.eq \f(1,3) D.eq \f(2,3) 解析：在三棱锥O－ABC中，M为OA的中点，点N在线段BC上，所以eq \o(BN,\s\up17(→))＝λeq \o(BC,\s\up17(→))，整理得eq \o(ON,\s\up17(→))－eq \o(OB,\s\up17(→))＝λeq \o(OC,\s\up17(→))－λeq \o(OB,\s\up17(→))，故eq \o(ON,\s\up17(→))＝λeq \o(OC,\s\up17(→))＋(1－λ)eq \o(OB,\s\up17(→))，如图所示，所以eq \o(MN,\s\up17(→))＝eq \o(ON,\s\up17(→))－eq \o(OM,\s\up17(→))＝eq \o(ON,\s\up17(→))－eq \f(1,2) eq \o(OA,\s\up17(→))＝λeq \o(OC,\s\up17(→))＋(1－λ)eq \o(OB,\s\up17(→))－eq \f(1,2) eq \o(OA,\s\up17(→))，由于eq \o(MN,\s\up17(→))＝－eq \f(1,2) eq \o(OA,\s\up17(→))＋aeq \o(OB,\s\up17(→))＋eq \f(1,3) eq \o(OC,\s\up17(→))，故λ＝eq \f(1,3)，a＝1－λ＝eq \f(2,3).故选D. 6．(多选)如图，四边形ABCD是空间四边形，E，H分别是AB，AD的中点，F，G分别是CB，CD上的点，且eq \o(CF,\s\up17(→))＝eq \f(2,3) eq \o(CB,\s\up17(→))，eq \o(CG,\s\up17(→))＝eq \f(2,3) eq \o(CD,\s\up17(→))，则(　　) A.eq \o(FG,\s\up17(→))＝eq \f(2,3) eq \o(BD,\s\up17(→)) B.eq \o(EH,\s\up17(→))＝eq \f(3,4) eq \o(FG,\s\up17(→)) C.eq \o(EF,\s\up17(→))＝eq \o(HG,\s\up17(→)) D．四边形EFGH是梯形 解析：∵E，H分别是AB，AD的中点，∴EH是△ABD的中位线，则eq \o(EH,\s\up17(→))＝eq \f(1,2) eq \o(BD,\s\up17(→))，又eq \o(FG,\s\up17(→))＝eq \o(CG,\s\up17(→))－eq \o(CF,\s\up17(→))＝eq \f(2,3) eq \o(CD,\s\up17(→))－eq \f(2,3) eq \o(CB,\s\up17(→))＝eq \f(2,3)(eq \o(CD,\s\up17(→))－eq \o(CB,\s\up17(→)))＝eq \f(2,3) eq \o(BD,\s\up17(→))，故A正确；eq \o(EH,\s\up17(→))＝eq \f(1,2) eq \o(BD,\s\up17(→))＝eq \f(1,2)×eq \f(3,2) eq \o(FG,\s\up17(→))＝eq \f(3,4) eq \o(FG,\s\up17(→))，故B正确；显然直线EF和直线HG相交，故C不正确，D正确． 二、填空题 7．已知空间向量a，b，c，化简eq \f(1,2)(a＋2b－3c)＋5eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)a－\f(1,2)b＋\f(2,3)c))－3(a－2b＋c)＝_______________． 解析：原式＝eq \f(1,2)a＋b－eq \f(3,2)c＋eq \f(10,3)a－eq \f(5,2)b＋eq \f(10,3)c－3a＋6b－3c＝eq \f(5,6)a＋eq \f(9,2)b－eq \f(7,6)c. eq \f(5,6)a＋eq \f(9,2)b－eq \f(7,6)c 9．已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，设G是CD的中点，则eq \o(AB,\s\up17(→))＋eq \f(1,2)(eq \o(BD,\s\up17(→))＋eq \o(BC,\s\up17(→)))＝________． 解析：如图所示，∵G是CD的中点，∴eq \f(1,2)(eq \o(BD,\s\up17(→))＋eq \o(BC,\s\up17(→)))＝eq \o(BG,\s\up17(→))，∴eq \o(AB,\s\up17(→))＋eq \f(1,2)(eq \o(BD,\s\up17(→))＋eq \o(BC,\s\up17(→)))＝eq \o(AG,\s\up17(→)). eq \o(AG,\s\up17(→)) 三、解答题 10. 如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，AD＝2，AA1＝1，以长方体的八个顶点中的两点为起点和终点的向量中： (1)单位向量共有多少个？ (2)试写出与eq \o(AB,\s\up17(→))相等的所有向量； (3)试写出eq \o(AA1,\s\up17(→))的相反向量． 解：(1)由题意，单位向量有eq \o(AA1,\s\up17(→))，eq \o(A1A,\s\up17(→))，eq \o(BB1,\s\up17(→))，eq \o(B1B,\s\up17(→))，eq \o(CC1,\s\up17(→))，eq \o(C1C,\s\up17(→))，eq \o(DD1,\s\up17(→))，eq \o(D1D,\s\up17(→))，共8个． (2)由题意，与eq \o(AB,\s\up17(→))相等的向量有eq \o(A1B1,\s\up17(→))，eq \o(DC,\s\up17(→))，eq \o(D1C1,\s\up17(→)). (3)由题意，eq \o(AA1,\s\up17(→))的相反向量为eq \o(A1A,\s\up17(→))，eq \o(B1B,\s\up17(→))，eq \o(C1C,\s\up17(→))，eq \o(D1D,\s\up17(→)). 11. 如图，在正四棱台ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2A1B1，eq \o(AE,\s\up17(→))＝eq \f(1,2) eq \o(AB,\s\up17(→))，eq \o(DF,\s\up17(→))＝eq \f(2,3) eq \o(DA,\s\up17(→))，eq \o(A1G,\s\up17(→))＝eq \f(1,4) eq \o(A1A,\s\up17(→)).直线AC1与平面EFG交于点M，则eq \f(AM,AC1)＝(　　) A.eq \f(6,23) B.eq \f(3,16) C.eq \f(3,19) D.eq \f(12,17) 解析：依题意，得eq \o(AF,\s\up17(→))＝eq \f(1,3) eq \o(AD,\s\up17(→))，eq \o(AG,\s\up17(→))＝eq \f(3,4) eq \o(AA1,\s\up17(→))，在四棱台中，eq \o(AC1,\s\up17(→))＝eq \o(AA1,\s\up17(→))＋eq \o(A1C1,\s\up17(→))＝eq \o(AA1,\s\up17(→))＋eq \o(A1B1,\s\up17(→))＋eq \o(A1D1,\s\up17(→))＝eq \o(AA1,\s\up17(→))＋eq \f(1,2) eq \o(AB,\s\up17(→))＋eq \f(1,2) eq \o(AD,\s\up17(→))＝eq \f(4,3) eq \o(AG,\s\up17(→))＋eq \o(AE,\s\up17(→))＋eq \f(3,2) eq \o(AF,\s\up17(→))，设eq \o(AM,\s\up17(→))＝λeq \o(AC1,\s\up17(→))，则eq \o(AM,\s\up17(→))＝eq \f(4,3)λeq \o(AG,\s\up17(→))＋λeq \o(AE,\s\up17(→))＋eq \f(3,2)λeq \o(AF,\s\up17(→))，∵M，G，E，F四点共面，∴eq \f(4,3)λ＋λ＋eq \f(3,2)λ＝1，∴λ＝eq \f(6,23).故选A. 12. 在三棱锥P－ABC中，G为△ABC的重心，eq \o(PD,\s\up17(→))＝λeq \o(PA,\s\up17(→))，eq \o(PE,\s\up17(→))＝μeq \o(PB,\s\up17(→))，eq \o(PF,\s\up17(→))＝eq \f(1,2) eq \o(PC,\s\up17(→))，λ，μ∈(0，1)，若PG交平面DEF于点M，且eq \o(PM,\s\up17(→))＝eq \f(1,2) eq \o(PG,\s\up17(→))，则λ＋μ的最小值为______． 解析：∵eq \o(PG,\s\up17(→))＝eq \o(PA,\s\up17(→))＋eq \o(AG,\s\up17(→))＝eq \o(PA,\s\up17(→))＋eq \f(2,3)×eq \f(1,2)(eq \o(AB,\s\up17(→))＋eq \o(AC,\s\up17(→)))＝eq \o(PA,\s\up17(→))＋eq \f(1,3)(eq \o(AP,\s\up17(→))＋eq \o(PB,\s\up17(→))＋eq \o(AP,\s\up17(→))＋eq \o(PC,\s\up17(→)))＝eq \f(1,3) eq \o(PA,\s\up17(→))＋eq \f(1,3) eq \o(PB,\s\up17(→))＋eq \f(1,3) eq \o(PC,\s\up17(→))，∴eq \o(PM,\s\up17(→))＝eq \f(1,2) eq \o(PG,\s\up17(→))＝eq \f(1,6)(eq \o(PA,\s\up17(→))＋eq \o(PB,\s\up17(→))＋eq \o(PC,\s\up17(→)))．∵eq \o(PD,\s\up17(→))＝λeq \o(PA,\s\up17(→))，eq \o(PE,\s\up17(→))＝μeq \o(PB,\s\up17(→))，eq \o(PF,\s\up17(→))＝eq \f(1,2) eq \o(PC,\s\up17(→))，∴eq \o(PM,\s\up17(→))＝eq \f(1,6λ) eq \o(PD,\s\up17(→))＋eq \f(1,6μ) eq \o(PE,\s\up17(→))＋eq \f(1,3) eq \o(PF,\s\up17(→)).∵M，D，E，F四点共面，∴eq \f(1,6λ)＋eq \f(1,6μ)＋eq \f(1,3)＝1，即eq \f(1,λ)＋eq \f(1,μ)＝4.∵λ＋μ＝eq \f(1,4)(λ＋μ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,λ)＋\f(1,μ)))＝eq \f(1,4) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(μ,λ)＋\f(λ,μ)))≥eq \f(1,4) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋2\r(\f(μ,λ)·\f(λ,μ))))＝1，当且仅当λ＝μ＝eq \f(1,2)时，等号成立，∴λ＋μ的最小值为1. 证明：如图，连接AM并延长交BC于点H，因为M是△ABC的重心，所以H为BC的中点， 所以eq \o(AH,\s\up17(→))＝eq \f(1,2)(eq \o(AB,\s\up17(→))＋eq \o(AC,\s\up17(→)))， 所以eq \o(AM,\s\up17(→))＝eq \f(2,3) eq \o(AH,\s\up17(→))＝eq \f(1,3)(eq \o(AB,\s\up17(→))＋eq \o(AC,\s\up17(→))) ＝eq \f(1,3)[(eq \o(OB,\s\up17(→))－eq \o(OA,\s\up17(→)))＋(eq \o(OC,\s\up17(→))－eq \o(OA,\s\up17(→)))] ＝eq \f(1,3) eq \o(OB,\s\up17(→))＋eq \f(1,3) eq \o(OC,\s\up17(→))－eq \f(2,3) eq \o(OA,\s\up17(→))， 所以eq \o(OM,\s\up17(→))＝eq \o(OA,\s\up17(→))＋eq \o(AM,\s\up17(→))＝eq \f(1,3)(eq \o(OA,\s\up17(→))＋eq \o(OB,\s\up17(→))＋eq \o(OC,\s\up17(→)))． 又因为eq \o(OE,\s\up17(→))＝eq \o(OA,\s\up17(→))＋eq \o(AD,\s\up17(→))＋eq \o(DE,\s\up17(→))＝eq \o(OA,\s\up17(→))＋eq \o(OB,\s\up17(→))＋eq \o(OC,\s\up17(→))， 所以eq \o(OM,\s\up17(→))＝eq \f(1,3) eq \o(OE,\s\up17(→))，所以点M在直线OE上． 14. 如图所示，若P为平行四边形ABCD所在平面外一点，H为PC上的点，且eq \f(PH,HC)＝eq \f(1,2)，点G在AH上，且eq \f(AG,AH)＝m，若G，B，P，D四点共面，求m的值． 解：连接BG. 因为eq \o(AB,\s\up17(→))＝eq \o(PB,\s\up17(→))－eq \o(PA,\s\up17(→))，eq \o(AB,\s\up17(→))＝eq \o(DC,\s\up17(→))， 所以eq \o(DC,\s\up17(→))＝eq \o(PB,\s\up17(→))－eq \o(PA,\s\up17(→)). 因为eq \o(PC,\s\up17(→))＝eq \o(PD,\s\up17(→))＋eq \o(DC,\s\up17(→))， 所以eq \o(PC,\s\up17(→))＝eq \o(PD,\s\up17(→))＋eq \o(PB,\s\up17(→))－eq \o(PA,\s\up17(→))＝－eq \o(PA,\s\up17(→))＋eq \o(PB,\s\up17(→))＋eq \o(PD,\s\up17(→)). 因为eq \f(PH,HC)＝eq \f(1,2)，所以eq \o(PH,\s\up17(→))＝eq \f(1,3) eq \o(PC,\s\up17(→))， 所以eq \o(PH,\s\up17(→))＝eq \f(1,3)(－eq \o(PA,\s\up17(→))＋eq \o(PB,\s\up17(→))＋eq \o(PD,\s\up17(→)))＝－eq \f(1,3) eq \o(PA,\s\up17(→))＋eq \f(1,3) eq \o(PB,\s\up17(→))＋eq \f(1,3) eq \o(PD,\s\up17(→)). 又因为eq \o(AH,\s\up17(→))＝eq \o(PH,\s\up17(→))－eq \o(PA,\s\up17(→))，所以eq \o(AH,\s\up17(→))＝－eq \f(4,3) eq \o(PA,\s\up17(→))＋eq \f(1,3) eq \o(PB,\s\up17(→))＋eq \f(1,3) eq \o(PD,\s\up17(→)). 因为eq \f(AG,AH)＝m，所以eq \o(AG,\s\up17(→))＝meq \o(AH,\s\up17(→))＝－eq \f(4m,3) eq \o(PA,\s\up17(→))＋eq \f(m,3) eq \o(PB,\s\up17(→))＋eq \f(m,3) eq \o(PD,\s\up17(→)). 因为eq \o(BG,\s\up17(→))＝－eq \o(AB,\s\up17(→))＋eq \o(AG,\s\up17(→))＝eq \o(PA,\s\up17(→))－eq \o(PB,\s\up17(→))＋eq \o(AG,\s\up17(→))， 所以eq \o(BG,\s\up17(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(4m,3))) eq \o(PA,\s\up17(→))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m,3)－1)) eq \o(PB,\s\up17(→))＋eq \f(m,3) eq \o(PD,\s\up17(→)). 又因为G，B，P，D四点共面，所以1－eq \f(4m,3)＝0，解得m＝eq \f(3,4). $$