3.1.2 第1课时 椭圆的简单几何性质 -【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册创新导学案全书Word（人教A版2019）

数学　选择性必修 第一册 RJ 3.1.2　椭圆的简单几何性质 第1课时　椭圆的简单几何性质 (教师独具内容) 课程标准：掌握椭圆的简单几何性质． 教学重点：1.了解椭圆的标准方程中a，b，c的几何意义.2.利用椭圆的几何性质解决问题． 教学难点：理解椭圆离心率与椭圆形状的关系，会求椭圆的离心率． 核心素养：通过研究椭圆的几何性质，提升数学抽象及数学运算素养． 知识点　　椭圆的简单几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 范围 －a≤x≤a且－b≤y≤b －b≤x≤b且－a≤y≤a 对称性 对称轴：x轴、y轴，对称中心：(0，0) 顶点 (±a，0)，(0，±b) (0，±a)，(±b，0) 轴长 长轴长＝2a，短轴长＝2b；长半轴长＝a，短半轴长＝b 焦点 (±c，0) (0，±c) 焦距 |F1F2|＝2c 离心率 e＝(0<e<1)，e越接近1，椭圆越扁平，e越接近0，椭圆越接近于圆 [拓展]　对椭圆几何性质的挖掘 (1)椭圆上到中心距离最小的点是短轴的两个端点(即椭圆上的点到椭圆中心的距离的最小值为短半轴长b)，到中心距离最大的点是长轴的两个端点(即椭圆上的点到椭圆中心的距离的最大值是长半轴长a)． (2)椭圆上到焦点距离最大的点(称为“远日点”)和最小的点(称为“近日点”)是长轴的两个端点，最大距离为a＋c，最小距离为a－c. (3)如图所示，设椭圆的中心为O，其中一个焦点为F1，B1是短轴的一个端点，则|B1F1|＝a，e＝cos∠OF1B1. 1．(范围)椭圆9x2＋25y2＝225上的点P(x，y)的横、纵坐标的范围分别为(　　) A．|x|≤3，|y|≤5 B．|x|≤，|y|≤ C．|x|≤5，|y|≤3 D．|x|≤，|y|≤ 答案：C 2．(长轴、短轴)椭圆9x2＋16y2＝144的长轴长为________，短轴长为________． 答案：8　6 3．(顶点)已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，其中两顶点的坐标分别是(4，0)，(0，2)，则此椭圆的方程是________________． 答案：＋＝1 4．(离心率)比较椭圆①x2＋9y2＝36与②＋＝1的形状，则________更扁(填序号)． 答案：① 题型一　椭圆的简单几何性质　 例1　已知椭圆x2＋(m＋3)y2＝m(m>0)的离心率e＝，求m的值及椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标． [解]　椭圆方程可化为＋＝1. ∵m－＝>0， ∴m>， ∴椭圆焦点在x轴上，即 a2＝m，b2＝，c＝＝. 由e＝，得＝， ∴m＝1. ∴椭圆的标准方程为x2＋＝1. ∴a＝1，b＝，c＝. ∴椭圆的长轴长为2；短轴长为1；两个焦点坐标分别为，；四个顶点坐标分别为(－1，0)，(1，0)，，. 【感悟提升】　用标准方程研究几何性质的步骤 (1)将椭圆方程化为标准形式； (2)确定焦点位置； (3)求出a，b，c； (4)写出椭圆的几何性质． 【跟踪训练】　 1．求椭圆4m2x2＋m2y2＝1(m>0)的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率． 解：由已知，得＋＝1(m>0)， 因为0<m2<4m2，所以>，所以椭圆的焦点在y轴上，并且长半轴长a＝，短半轴长b＝，半焦距c＝，所以椭圆的长轴长2a＝，短轴长2b＝，焦点坐标为，，顶点坐标为，，，，离心率e＝＝＝. 题型二　由椭圆的几何性质求标准方程　 例2　求符合下列条件的椭圆的标准方程． (1)长轴长是短轴长的5倍，且过点A(5，0)； (2)离心率e＝，焦距为12. [解]　(1)若椭圆的焦点在x轴上，设其标准方程为＋＝1(a>b>0)， 由题意，得解得 故所求椭圆的标准方程为＋y2＝1； 若椭圆的焦点在y轴上，设其标准方程为＋＝1(a>b>0)， 由题意，得解得 故所求椭圆的标准方程为＋＝1. 综上所述，所求椭圆的标准方程为＋y2＝1或＋＝1. (2)由题意，得e＝＝，2c＝12， 解得a＝10，c＝6， 所以b2＝a2－c2＝64. 当焦点在x轴上时，所求椭圆的标准方程为＋＝1； 当焦点在y轴上时，所求椭圆的标准方程为＋＝1. 综上所述，所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1. 【感悟提升】　由椭圆的几何性质求标准方程 此类问题通常采用待定系数法，其步骤是“先定型，后计算”，即首先确定焦点位置，其次根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求得参数． 【跟踪训练】　 2．(1)(多选)已知椭圆C：＋＝1(m>0，n>0)的一个焦点和一个顶点在直线y＝2x－4上，则该椭圆的标准方程为(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 答案：AD 解析：设椭圆的半焦距为c.由直线y＝2x－4可知，其在x轴上的截距为2，在y轴上的截距为－4，当椭圆的焦点在x轴上时，c＝2，n＝4，则m2＝n2＋c2＝20，此时椭圆的标准方程为＋＝1；当椭圆的焦点在y轴上时，m＝2，c＝4，则n2＝m2＋c2＝20，此时椭圆的标准方程为＋＝1.故选AD. (2)已知椭圆C1：＋y2＝1过点，椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率，求椭圆C2的方程． 解：由椭圆C1：＋y2＝1过点，得a2＝4. 所以椭圆C1：＋y2＝1，长轴长为4，离心率e＝. 设椭圆C2的方程为＋＝1(a1>b1>0)，半焦距为c1. 由题意可得2b1＝4，所以b1＝2， 又＝，得c＝a. 由a＝b＋c＝4＋a， 解得a＝16， 所以椭圆C2的方程为＋＝1. 题型三　椭圆的离心率问题　 例3　(1)已知A是椭圆＋＝1(a>b>0)的上顶点，若过A的直线l与圆x2＋y2＝c2相切，且直线l的倾斜角为120°，则椭圆的离心率是(　　) A. B. C. D. [解析]　 由题意可得A(0，b)，直线l的斜率kl＝tan120°＝－，所以直线l的方程为y＝－x＋b.由圆心(0，0)到l的距离等于半径，得＝c，即b＝2c，所以a＝＝c.故椭圆的离心率e＝＝＝.故选A. [答案]　A (2)已知点F为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点，过原点O的直线l交椭圆于P，Q两点，若|PF|＝4|QF|，∠PFQ＝60°，则椭圆C的离心率e＝(　　) A. B. C. D. [解析]　设椭圆的右焦点为F′，焦距为2c，连接PF′，QF′.根据椭圆的对称性可知四边形PFQF′为平行四边形，则|QF|＝|PF′|，且由∠PFQ＝60°，可得∠FPF′＝120°，所以|PF|＋|PF′|＝5|PF′|＝2a，则|PF′|＝a，|PF|＝a.由余弦定理可得(2c)2＝|PF|2＋|PF′|2－2|PF|·|PF′|cos120°＝a2＋a2－2×a×a×＝a2，所以c2＝a2，所以椭圆C的离心率e＝＝＝. [答案]　A (3)已知P为椭圆＋＝1(a>b>0)上一点，F1，F2是椭圆的左、右焦点，若使△PF1F2为直角三角形的点P有且只有4个，则椭圆离心率的取值范围是(　　) A. B. C. D. [解析]　当PF1⊥x轴时，有两个点P满足△PF1F2为直角三角形；同理当PF2⊥x轴时，有两个点P满足△PF1F2为直角三角形． 解法一：∵使△PF1F2为直角三角形的点P有且只有4个，∴以原点为圆心，c为半径的圆与椭圆无交点，∴c<b，∴c2<b2＝a2－c2，∴e2<，又e>0，解得0<e<.故选A. 解法二：由题意使△PF1F2为直角三角形的点P有且只有4个，根据椭圆的几何性质可知，当点P落在椭圆的短轴端点时，∠F1PF2取得最大值，可得此时∠F1PF2<90°，又e>0，故e＝sin∈.故选A. [答案]　A 【感悟提升】　求椭圆离心率及范围的两种方法 (1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝求解；若已知a，b或b，c可借助于a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝求解． (2)方程(不等式)法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或范围． 【跟踪训练】　 3．(1)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左顶点为A，上顶点为B，右焦点为F，若∠ABF＝90°，则椭圆C的离心率为(　　) A. B. C. D. 答案：A 解析：由题意知，A(－a，0)，B(0，b)，F(c，0)， ∵∠ABF＝90°，∴kABkBF＝－1，∴＝1，即b2＝ac，∴c2－a2＋ac＝0，即e2＋e－1＝0，∴e＝－(舍去)或e＝.故选A. (2)已知F1(－c，0)，F2(c，0)为椭圆＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆上一点且·＝c2，则此椭圆离心率的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案：C 解析：设P(m，n)，·＝c2＝(－c－m，－n)·(c－m，－n)＝m2－c2＋n2，则2c2－m2＝n2　①，把P(m，n)代入椭圆＋＝1，得b2m2＋a2n2＝a2b2　②，把①代入②，得m2＝≥0，∴a2b2≤2a2c2，∴b2≤2c2，∴a2≤3c2，∴e＝≥.又m2＝≤a2，∴a2≥2c2，∴e＝≤.综上，此椭圆离心率的取值范围是.故选C. (3) 已知F1为椭圆的左焦点，A，B分别为椭圆的右顶点和上顶点，P为椭圆上的点，当PF1⊥F1A，PO∥AB(O为椭圆中心)时，椭圆的离心率为________． 答案： 解析：解法一：由已知可设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，c2＝a2－b2，F1(－c，0)，∵PF1⊥F1A，∴P，即P，∵AB∥PO，∴kAB＝kOP，即－＝－，∴b＝c，∴a2＝2c2，∴e＝＝. 解法二：由解法一知P，又△PF1O∽△BOA，∴＝，∴＝，即b＝c，∴a2＝2c2，∴e＝＝. 1．椭圆＋＝1和椭圆＋＝1的(　　) A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．焦距相等 D．顶点相同 答案：C 解析：因为椭圆＋＝1中a＝4，b＝2，c＝＝2，椭圆＋＝1中a′＝6，b′＝2，c′＝＝2，因此这两个椭圆的长轴长和短轴长均不相等，焦距相等，顶点不相同．故选C. 2．设椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为B，若|BF2|＝|F1F2|＝2，则该椭圆的方程为(　　) A.＋＝1 B.＋y2＝1 C.＋y2＝1 D.＋y2＝1 答案：A 解析：由|BF2|＝|F1F2|＝2，得a＝2，2c＝2，即c＝1，所以b2＝a2－c2＝4－1＝3，所以该椭圆的方程为＋＝1.故选A. 3．(多选)设椭圆C：＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的动点，则下列结论正确的是(　　) A．|PF1|＋|PF2|＝2 B．椭圆C的离心率e＝ C．△PF1F2面积的最大值为 D．以线段F1F2为直径的圆与直线x＋y－＝0相切 答案：AD 解析：由椭圆C：＋y2＝1可知，a＝，b＝1，c＝1，|PF1|＋|PF2|＝2a＝2，A正确；椭圆C的离心率e＝＝，B错误；当P为椭圆C短轴的一个端点时，△PF1F2的面积最大，最大值为×2c×b＝1，C错误；原点(0，0)到直线x＋y－＝0的距离d＝＝1＝c，故以线段F1F2为直径的圆与直线x＋y－＝0相切，D正确．故选AD. 4．若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为________． 答案： 解析：不妨设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，B为椭圆的上顶点． 依题意可知，△BF1F2是正三角形． ∵在Rt△OBF2中，|OF2|＝c，|BF2|＝a，∠OF2B＝60°，∴cos60°＝＝，即椭圆的离心率e＝. 5．已知椭圆C1：＋＝1，设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C2的焦点在y轴上，写出椭圆C2的方程，并研究其性质． 解：椭圆C2：＋＝1.性质如下： ①范围：－8≤x≤8，－10≤y≤10；②对称性：关于x轴、y轴、原点对称；③顶点：长轴端点(0，10)，(0，－10)，短轴端点(－8，0)，(8，0)；④焦点：(0，6)，(0，－6)；⑤离心率：e＝. 课后课时精练 基础题(占比60%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 难度 ★ ★ ★ ★ ★ ★★ ★ 考向 椭圆的简单几何性质 椭圆的简单几何性质 由椭圆的几何性质求标准方程 椭圆的简单几何性质 椭圆的离心率问题 椭圆的简单几何性质 椭圆的简单几何性质 考点 根据顶点坐标求焦点坐标 离心率e＝的应用 根据两个椭圆间的关系求椭圆的方程 椭圆几何性质的综合应用 求离心率的取值范围 椭圆几何性质的综合应用 根据离心率、短半轴长求长半轴长 题号 8 9 10 11 12 13 14 难度 ★ ★★ ★ ★★★ ★★ ★★ ★★ 考向 椭圆的简单几何性质 椭圆的离心率问题 由椭圆的几何性质求标准方程 椭圆的简单几何性质 椭圆的离心率问题 椭圆的离心率问题 椭圆的简单几何性质 考点 椭圆的几何性质与航天问题的综合 利用几何知识求离心率 根据离心率、长轴长求椭圆方程；椭圆中a，b，c所构成的直角三角形的应用 椭圆几何性质的综合应用 求离心率的取值范围 根据焦点三角形的外接圆、内切圆求离心率 椭圆的几何性质与新定义、向量的综合 一、选择题 1．椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0，13)，另一个顶点是(－10，0)，则焦点坐标为(　　) A．(±13，0) B．(0，±10) C．(0，±13) D．(0，±) 答案：D 解析：由题意知椭圆的焦点在y轴上，且a＝13，b＝10，则c＝＝，故焦点坐标为(0，±)． 2．(新课标Ⅰ卷)设椭圆C1：＋y2＝1(a>1)，C2：＋y2＝1的离心率分别为e1，e2.若e2＝e1，则a＝(　　) A. B. C. D. 答案：A 解析：由e2＝e1，得e＝3e，因此＝3×，而a>1，所以a＝.故选A. 3．与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为(　　) A.＋＝1 B.＋x2＝1 C.＋y2＝1 D.＋＝1 答案：B 解析：椭圆9x2＋4y2＝36可化为标准方程＋＝1，可知焦点在y轴上，焦点坐标为(0，±)，故可设所求椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，则c＝.又2b＝2，即b＝1，所以a2＝b2＋c2＝6，故所求椭圆的标准方程为＋x2＝1. 4．(多选)天文学上可以大致认为部分行星的运行轨道为椭圆，如图所示，记A，B两个行星的运行轨道分别为椭圆C1，C2，则下列说法正确的是(　　) A．椭圆C1的长轴长比椭圆C2的长轴长的两倍短 B．椭圆C1的短轴长比椭圆C2的短轴长的两倍短 C．椭圆C1的离心率大于椭圆C2的离心率 D．椭圆C1的短轴长与长轴长之比大于椭圆C2的短轴长与长轴长之比 答案：AD 解析：由题图可知，椭圆C1的长轴长比椭圆C2的长轴长的两倍短，椭圆C1的短轴长比椭圆C2的短轴长的两倍长，椭圆C1更接近圆，故椭圆C1的离心率小于椭圆C2的离心率，则椭圆C1的短轴长与长轴长之比大于椭圆C2的短轴长与长轴长之比．故选AD. 5．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，P是椭圆上一点，若|PF1|＝2|PF2|，则椭圆的离心率的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案：D 解析：由椭圆的定义，可得|PF1|＋|PF2|＝2a.又|PF1|＝2|PF2|，所以|PF1|＝a，|PF2|＝a.①当点P与F1，F2不共线时，在△PF1F2中，|PF1|－|PF2|<|F1F2|，即a<2c，所以e＝>.②当点P与F1，F2共线时，分析知|PF1|＝a＋c，|PF2|＝a－c，所以a＋c＝2(a－c)，即a＝3c，所以e＝＝.综上，椭圆的离心率的取值范围是.故选D. 6．(多选)已知点A，B是椭圆C：＋＝1上关于原点对称且不与C的顶点重合的两点，F1，F2分别是C的左、右焦点，O为原点，则(　　) A．C的离心率为 B．|AF2|＋|BF2|＝8 C．|AB|的值可以为3 D．若△AF1F2的面积为，则|AF1|·|AF2|＝ 答案：AD 解析：在椭圆C：＋＝1中，a＝2，b＝，c＝＝1.对于A， 离心率e＝＝，故A正确；对于B，如图所示，由对称性知，|BF2|＝|AF1|， |AF2|＋|BF2|＝|AF2|＋|AF1|＝2a＝2×2＝4，故B错误；对于C，由几何知识得，2b≤|AB|≤2a，即2≤|AB|≤4，因为3<2，所以|AB|的值不可以为3，故C错误；对于D，设A(x0，y0)，则△AF1F2的面积S＝|F1F2|·|y0|＝×2|y0|＝|y0|，当△AF1F2的面积为时，|y0|＝，又＋＝1，所以x＝1，所以x0＝±1.当x0＝1时，AF2⊥F1F2，所以|AF2|＝|y0|＝，|AF1|＝2a－|AF2|＝2×2－＝，所以|AF1|·|AF2|＝×＝；当x0＝－1时，同理，可得|AF1|·|AF2|＝，故D正确．故选AD. 二、填空题 7．若椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，短半轴长为2，则该椭圆的长半轴长为________． 答案：4 解析：由题意，知解得a2＝16，所以a＝4，即该椭圆的长半轴长为4. 8．航天器的轨道有很多种，其中的“地球同步转移轨道”是一个椭圆轨道，而且地球的中心正好是椭圆的一个焦点，若地球同步转移轨道的远地点(即椭圆上离地球表面最远的点)与地球表面的距离为m，近地点与地球表面的距离为n，设地球的半径为r，用m，n，r表示出地球同步转移轨道的短轴长为________． 答案：2 解析：设椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，半焦距为c，则由题意可知a＋c＝m＋r，a－c＝n＋r，故短半轴长为b＝＝，所以短轴长为2. 9．如图，一个装有某种液体的圆柱形容器固定在墙面和地面的角落内，容器与地面所成的角为30°，液面呈椭圆形状，则该椭圆的离心率为________． 答案： 解析：设圆柱的底面半径为r，因为一个装有某种液体的圆柱形容器固定在墙面和地面的角落内，容器与地面所成的角为30°，液面呈椭圆形状，则2b＝2r，＝sin30°＝，即＝，因此该椭圆的离心率为e＝＝＝＝＝＝. 三、解答题 10．分别求符合下列条件的椭圆的标准方程： (1)离心率是，长轴长是6； (2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6. 解：(1)由已知，得2a＝6，e＝＝， ∴a＝3，c＝2. ∴b2＝a2－c2＝9－4＝5. ∴椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1. (2)设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)． 如图所示，△A1FA2为等腰直角三角形，OF为斜边A1A2上的中线(高)， 且|OF|＝c，|A1A2|＝2b， ∴c＝b＝3， ∴a2＝b2＋c2＝18. 故椭圆的标准方程为＋＝1. 11．(多选)已知椭圆C：＋＝1，F1，F2分别为C的左、右焦点，P是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的是(　　) A．椭圆的离心率为 B．|PF1|＋|PF2|＝10 C．若∠F1PF2＝90°，则△F1PF2的面积为9 D.＋的最大值为 答案：BCD 解析：由椭圆的方程可知，a＝5，b＝3，c＝＝4，所以椭圆的离心率e＝＝，故A错误；由椭圆的定义知，|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，故B正确；因为|F1F2|＝2c＝8，∠F1PF2＝90°，所以|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝64，(|PF1|＋|PF2|)2＝|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1||PF2|＝64＋2|PF1||PF2|＝100，解得|PF1||PF2|＝18，所以△F1PF2的面积为|PF1||PF2|＝9，故C正确；＋＝(|PF1|＋|PF2|)＝，因为≤≤，即≤≤9，设＝t∈，由对勾函数的性质可得，函数f(t)＝t＋在上单调递减，在[1，9]上单调递增，且f＝f(9)＝，所以＝，所以＝×＝，故D正确．故选BCD. 12．设椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，其焦距为2c，点Q在椭圆的外部，点P是椭圆C上的动点，且|PF1|＋|PQ|<|F1F2|恒成立，则椭圆离心率的取值范围是________． 答案： 解析：∵点Q在椭圆的外部，∴>，∴>，即e>.由椭圆的定义得|PF1|＋|PQ|＝2a－|PF2|＋|PQ|，∵－|PF2|＋|PQ|＝|PQ|－|PF2|≤|QF2|＝，|PF1|＋|PQ|<|F1F2|恒成立，∴2a＋<×2c，解得>，即e>.又e<1，∴椭圆离心率的取值范围是. 13．设椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是椭圆上一点，且∠F1PF2＝，若△F1PF2的外接圆和内切圆的半径分别为R，r，当R＝4r时，椭圆的离心率为__________． 答案： 解析：由题意可得，椭圆的焦点为F1(－c，0)，F2(c，0)，|F1F2|＝2c，在△F1PF2中，由正弦定理，得2R＝＝＝c，解得R＝c，则r＝R＝c，设|PF1|＝m，|PF2|＝n，在△F1PF2中，由余弦定理，得4c2＝m2＋n2－2mncos＝(m＋n)2－3mn，解得mn＝，所以S△F1PF2＝mnsin＝，又S△F1PF2＝(m＋n＋2c)r＝，所以＝，整理，得2a2－3c2－ac＝0，即3e2＋e－2＝0，解得e＝或e＝－1(舍去)．故椭圆的离心率为. 14．给定椭圆C：＋＝1(a>b>0)，称圆心在原点O，半径是的圆为椭圆C的“准圆”．已知椭圆C的一个焦点为F(，0)，其短轴的一个端点到点F的距离为. (1)求椭圆C和其“准圆”的方程； (2)若点A，B是椭圆C的“准圆”与x轴的两交点，P是椭圆C上的一个动点，求·的取值范围． 解：(1)由题意，知c＝，且a＝＝， 故b＝＝1， 故椭圆C的方程为＋y2＝1， 其“准圆”方程为x2＋y2＝4. (2)由题意，可设P(m，n)(－≤m≤)， 则有＋n2＝1，不妨设点A在y轴右侧， 则A(2，0)，B(－2，0)， 所以＝(m－2，n)，＝(m＋2，n)， 所以·＝m2－4＋n2＝m2－4＋1－＝－3， 又－≤m≤，所以－3∈[－3，－1]， 所以·的取值范围是[－3，－1]． 17 学科网（北京）股份有限公司 $$