3.1.2 椭圆的简单几何性质 课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

3.1.2椭圆的简单几何性质 学习目标： 山东省胶州市第一中学 x y O 创设问题情景，学生自主探究： 问题2:你能利用学过的知识快速画出它的图形吗？作图时候我们或许能用到或要考虑哪些问题呢？ 问题1：方程 表示什么样的曲线？ 山东省胶州市第一中学 椭圆的简单几何性质 范围 顶点 扁平程度 对称性 山东省胶州市第一中学 1.范围 说明：椭圆落在x =±a,y =±b围成的矩形中 o y F1 F2 x 问题3：观察直角坐标系中的椭圆，它有怎样的范围？你能利用方程（代数方法）确定出它的具体边界吗？ 山东省胶州市第一中学 椭圆 中, x的范围是 . 练习1： 说明椭圆位于 的矩形框里. y的范围是 . 山东省胶州市第一中学 Y X O P（x，y） P1（-x，y） P3（-x，-y） 问题4：观察椭圆的形状，它有怎样的对称性？在直角坐标系中，要证明一个图形的对称性本质是证明什么？ （1）从图形上看： 椭圆关于x轴、y轴、原点对称，既是轴对称图形，又是中心对称图形。 2.对称性 结论:椭圆关于x轴、y轴、原点对称。 （2）从方程上看： （1）P(x,y) y轴 （2）P(x,y) x轴 （3）P(x,y) 原点 3、顶点 椭圆与 y轴的交点是什么？ 长轴长：A1A2=2a a长半轴长 短轴长：B1B2=2b b短半轴长 焦距长：F1F2=2c c半焦距。 o y B2 B1 A1 A2 F1 F2 四个顶点 A1(-a, 0) A2(a, 0) 坐标为 B1(0, -b) B2(0, b) 椭圆与 x轴的交点是什么？ 问题5：观察椭圆，你觉得有哪些比较特殊的点？为什么？如何得到这些点的坐标？ 令 x=0，得y =±b 令 y=0，得 x =±a 练习2.根据前面所学有关知识在同一坐标系中画出下列图形. （1） （2） A1 B1 A2 B2 1 2 3 -1 -2 -3 -4 4 y 1 2 3 4 5 -1 -5 -2 -3 -4 x O 问题6：椭圆有些比较“扁”，有些比较“圆”，如何用一个适当的量刻画椭圆扁平的程度呢？ 1 2 3 -1 -2 -3 -4 4 y 1 2 3 4 5 -1 -5 -2 -3 -4 x A1 B1 A2 B2 O a保持不变时， b越小，此时椭圆就越扁 b越大，此时椭圆就越圆 可以刻画椭圆的扁平程度. 合作探究 4.椭圆的离心率 椭圆的焦距与长轴长的比 叫做椭圆的离心率。 刻画椭圆的扁圆程度： 离心率 问题7：椭圆的离心率在什么范围内？ 0 < e < 1 问题8：椭圆的离心率在范围内变化时椭圆形状如何变化？ 结论：离心率越大越接近 1，椭圆越扁； 离心率越小越接近 0，椭圆越圆. 特例：c=0，a= b ,椭圆变为圆，方程变为 4.椭圆的离心率 问题9：你能运用三角函数的知识解释，为什么 越大，椭圆越扁平？越小越接近于圆吗？ x y O 标准方程 图 象 范 围 对 称 性 顶点坐标 焦点坐标 半 轴 长 焦 距 a,b,c关系 离 心 率 关于x轴、y轴成轴对称； 关于原点成中心对称. 长半轴长为a，短半轴长为b 焦距为2c x y O x y O 关于x轴、y轴成轴对称； 关于原点成中心对称. 长半轴长为a，短半轴长为b 焦距为2c 长半轴长为a，短半轴长为b 焦距为2c 小 结 关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称. 1、填空：长轴长： ；短轴长： ； 焦距： ；离心率： ； 焦点坐标： ；顶点坐标： ； 6 4 典例分析 分析：椭圆方程转化为标准方程为： 于是a=3，b=2，c= 例1.已知椭圆方程为4x2+9y2=36, 标准方程 图 象 范 围 对 称 性 顶点坐标 焦点坐标 半 轴 长 焦 距 a,b,c关系 离 心 率 关于x轴、y轴成轴对称； 关于原点成中心对称. 长半轴长为a，短半轴长为b 焦距为2c x y O x y O 关于x轴、y轴成轴对称； 关于原点成中心对称. 长半轴长为a，短半轴长为b 焦距为2c 小 结 数学思想： 1、数形结合 2、分类讨论 这就是椭圆在物理学中的应用，类似的还有天坛回音壁和英国伦敦的“私语走廊”。 得进一寸进一寸，得进一尺进一尺，不断积累，飞跃必来，突破随之。——华罗庚 $$