2.5.1 第2课时 直线与圆的位置关系的应用-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册创新导学案全书Word（人教A版2019）

数学　选择性必修 第一册 RJ 第2课时　直线与圆的位置关系的应用 (教师独具内容) 课程标准：能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题． 教学重点：1.利用坐标法解决与圆有关的实际应用问题.2.坐标法解决平面几何问题的“三步曲”． 教学难点：直线与圆的位置关系在解决实际问题中的具体应用，以及树立合理运用图形性质简化代数法的数形结合思想． 核心素养：通过直线与圆位置关系的应用，提升直观想象、逻辑推理及数学运算素养． 知识点　　坐标法解决平面几何问题的“三步曲” 第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何要素，如点、直线、圆，把平面几何问题转化为代数问题； 第二步：通过代数运算，解决代数问题； 第三步：把代数运算的结果“翻译”成几何结论． 1．(实际问题)一辆卡车宽1.6 m，要经过一个半圆形隧道(半径为3.6 m)，则这辆卡车的平顶车篷篷顶距地面的高度不得超过(　　) A．1.4 m B．3.5 m C．3.6 m D．2.0 m 答案：B 2．(实际问题、最值问题)设村庄外围所在曲线的方程可用(x－2)2＋(y＋3)2＝4表示，村外一小路所在直线方程可用x－y＋2＝0表示，则从村庄外围到小路的最短距离为________． 答案：－2 3．(与圆有关的最值问题)已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x－4y＋7＝0，则y－x的最小值是________． 答案：－ 题型一　直线与圆的方程的实际应用　 例1　为了适应市场需要，某地准备建一个圆形生猪储备基地(如图)，它的附近有一条公路，从基地中心O处向东走1 km是储备基地的边界上的点A，接着向东再走7 km到达公路上的点B；从基地中心O向正北走8 km到达公路的另一点C.现准备在储备基地的边界上选一点D，修建一条由D通往公路BC的专用线DE，求DE的最短距离． [解]　 如图，以O为原点，OB，OC所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，则圆O的方程为x2＋y2＝1，因为点B(8，0)，C(0，8)， 所以直线BC的方程为＋＝1， 即x＋y－8＝0. 当点D选在与直线BC平行的直线(距BC较近的一条)与圆相切所成切点处时，DE最短． 所以|DE|的最小值为－1＝(4－1) km. 【感悟提升】　利用直线与圆的方程解决实际问题的步骤 (1)认真审题，明确题意． (2)建立直角坐标系，用坐标表示点，用方程表示曲线，从而在实际问题中建立直线与圆的方程的模型． (3)利用直线与圆的方程的有关知识求解问题． (4)把代数结果还原为对实际问题的解释． 【跟踪训练】　 1．一艘轮船沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报，台风中心位于轮船正西70 km处，受影响的范围是半径为30 km的圆形区域，已知港口位于台风中心正北40 km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？ 解：以台风中心为原点，以东西方向为x轴，建立平面直角坐标系(如图)，其中取10 km为单位长度，则受台风影响的圆形区域所对应的圆的方程为x2＋y2＝9，港口所对应的点的坐标为(0，4)，轮船的初始位置所对应的点的坐标为(7，0)，则轮船航线所在直线l的方程为＋＝1，即4x＋7y－28＝0. 圆心(0，0)到航线4x＋7y－28＝0的距离d＝＝，而半径r＝3，所以d>r，所以直线与圆相离． 所以轮船不会受到台风的影响． 题型二　用坐标法解决几何问题　 例2　如图，直角三角形ABC的斜边长为定值2m，以斜边的中点O为圆心作半径为n的圆，直线BC交圆于P，Q两点，求证：|AP|2＋|AQ|2＋|PQ|2为定值． [证明]　如图，以O为原点，直线BC为x轴，建立平面直角坐标系，于是有B(－m，0)，C(m，0)，P(－n，0)，Q(n，0)． 设A(x，y)， 由已知，点A在圆x2＋y2＝m2上， 故|AP|2＋|AQ|2＋|PQ|2＝(x＋n)2＋y2＋(x－n)2＋y2＋4n2＝2x2＋2y2＋6n2＝2m2＋6n2(定值)． 【感悟提升】　坐标法建立平面直角坐标系应坚持的原则 (1)若有两条相互垂直的直线，一般以它们分别为x轴和y轴． (2)充分利用图形的对称性． (3)让尽可能多的点落在坐标轴上，或关于坐标轴对称． (4)关键点的坐标易于求得． 【跟踪训练】　 2. 如图，过半径为2的圆M上两点P，Q的切线相交于点T，自点P向平行于PQ的直径AB的两端各作一直线，这两条直线分别交垂直于PQ的直径所在直线于点R，S.试建立适当的平面直角坐标系用坐标法证明：|RT|＝|ST|. 证明：如图，以圆心M为原点，平行于PQ的直径AB所在直线为y轴，建立平面直角坐标系， 则可得圆的方程为x2＋y2＝4，A(0，2)，B(0，－2)， 设P(x0，y0)，则x＋y＝4. 直线AP的方程为y＝x＋2， 令y＝0，得xR＝， 直线BP的方程为y＝x－2， 令y＝0，得xS＝. ∵切线PT的方程为x0x＋y0y＝4， 由对称性知点T在x轴上， 故令y＝0，得xT＝， ∴|RT|＝|xR－xT|＝＝＝2， |ST|＝|xS－xT|＝＝＝2， ∴|RT|＝|ST|. 题型三　与圆有关的最值问题　 例3　(1)已知圆C：x2＋y2－2x－2y＝0，点P在直线x＋y＋2＝0上运动，过P作C的两条切线，切点分别为A，B，当四边形PACB的面积最小时，∠ACB＝________． [解析]　 如图所示，由圆的几何性质，得PB⊥BC，PA⊥AC，由切线长定理，得|PA|＝|PB|，又因为|AC|＝|BC|，|PC|＝|PC|，所以Rt△PAC≌Rt△PBC.圆C的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2，圆心为C(1，1)，半径为r＝，所以|PA|＝＝.当PC与直线x＋y＋2＝0垂直时，|PC|取得最小值，且|PC|min＝＝2，所以|PA|min＝＝，所以S四边形PACB＝2S△PAC＝|PA|·|AC|≥2，此时∠BPC＝∠APC＝30°，因此∠ACB＝2∠ACP＝2(90°－∠APC)＝120°. [答案]　120° (2)已知实数x，y满足x2＋y2＋4x＋3＝0，求： ①的最大值与最小值； ②(x－3)2＋(y－4)2的最大值与最小值． [解]　圆x2＋y2＋4x＋3＝0的标准方程为(x＋2)2＋y2＝1，将该圆记为圆C，则圆心C(－2，0)，半径r＝1. ①如图1所示，设点M(x，y)在圆C上，Q(1，2)，k＝，即kx－y－k＋2＝0. 由图可知，当直线QM与圆C相切时，k取得最大值或最小值， 由C(－2，0)到直线kx－y－k＋2＝0的距离为1，得＝1，解得k＝. 所以的最大值为，最小值为. ②如图2所示，令A(3，4)，则(x－3)2＋(y－4)2表示圆上的点与点A的距离的平方． 设直线AC与圆交于P，Q两点， 则(x－3)2＋(y－4)2的最大值为|AQ|2，最小值为|AP|2. |AQ|＝|AC|＋r＝＋1＝＋1，|AP|＝|AC|－r＝－1. 所以(x－3)2＋(y－4)2的最大值为(＋1)2＝42＋2，最小值为(－1)2＝42－2. 【感悟提升】　与圆上点(x，y)有关的最值问题的常见类型及解法 (1)形如t＝的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题，即转化为过点(a，b)和点(x，y)的直线的斜率的最值． (2)形如t＝ax＋by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题． (3)形如t＝(x－a)2＋(y－b)2的最值问题，可转化为动点到定点的距离平方的最值问题． 【跟踪训练】　 3．(1)已知圆C：x2＋y2－8x＋12＝0，点P在圆C上，点A(6，0)，M为AP的中点，O为原点，则tan∠MOA的最大值为(　　) A. B. C. D. 答案：A 解析：由题意知，圆C的标准方程为(x－4)2＋y2＝4，设P(x0，y0)，M(x，y)，则 所以又点P在圆C上，所以(x0－4)2＋y＝4，即(2x－10)2＋(2y)2＝4，即点M的轨迹方程为(x－5)2＋y2＝1. 如图所示，当OM与圆(x－5)2＋y2＝1相切时，tan∠MOA取得最大值，此时|OM|＝＝2，tan∠MOA＝＝，所以tan∠MOA的最大值为.故选A. (2)已知实数x，y满足方程(x－3)2＋(y－3)2＝6，则x＋y的最大值为________，最小值为________． 答案：6＋2　6－2 解析：设x＋y＝t，由题意，知直线x＋y＝t与圆(x－3)2＋(y－3)2＝6有公共点，所以≤，所以6－2≤t≤6＋2.所以x＋y的最大值为6＋2，最小值为6－2. 1．y＝|x|的图象和圆x2＋y2＝4所围成的较小部分的面积是(　　) A. B. C. D．π 答案：D 解析：如图，所求面积是圆x2＋y2＝4面积的，即为×π×22＝π. 2．设P是圆M：(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，Q是直线x＝－3上的动点，则|PQ|的最小值为(　　) A．6 B．4 C．3 D．2 答案：B 解析：如图，圆心M(3，－1)与定直线x＝－3的距离为|MQ|＝3－(－3)＝6.因为圆的半径为2，所以所求最短距离为6－2＝4. 3．台风中心从A地以每小时20 km的速度向东北方向移动，离台风中心30 km内的地区为危险地区，B城市在A地正东40 km处，B城市处于危险区内的时间为(　　) A．0.5 h B．1 h C．1.5 h D．2 h 答案：B 解析：如图，建立平面直角坐标系，以点B为圆心，30为半径的圆交AF于点E，F，连接BE，BF.过点B作BC⊥AF，交AF于点C.在Rt△ABC中，|BC|＝40×＝20，而|BE|＝30，∴|EC|＝＝10，∴|EF|＝20，∴B城市处于危险区内的时间为＝1(h)． 4．实数x，y满足方程x＋y－4＝0，则x2＋y2的最小值为________． 答案：8 解析：令x2＋y2＝r2(r>0)，则x2＋y2的最小值为圆x2＋y2＝r2与直线相切时的圆的半径的平方，所以rmin＝＝2，即x2＋y2的最小值为8. 5. 如图，圆弧形拱桥的跨度AB＝12米，拱高CD＝4米，则拱桥所在圆的直径为________米． 答案：13 解析：设拱桥所在圆的圆心为O，半径为r，则由勾股定理得OB2＝OD2＋BD2，即r2＝(r－4)2＋62，解得r＝，所以拱桥所在圆的直径为13米． 课后课时精练 基础题(占比50%)　中档题(占比40%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 难度 ★ ★ ★ ★ ★★ ★★ ★ 考向 与圆有关的最值问题 直线与圆的位置关系的综合应用 直线与圆的方程的实际应用 直线与圆的位置关系的综合应用 与圆有关的最值问题 直线与圆的方程的实际应用 与圆有关的最值问题 考点 直线截圆所得劣弧最短问题 直线与圆相交问题 求弦长 由直线与圆的交点个数求参数 圆外与圆上点所成角最大问题 直线与圆相切问题 斜率的最值 题号 8 9 10 11 12 13 14 难度 ★ ★★ ★ ★★ ★★ ★★ ★★★ 考向 与圆有关的范围问题 直线与圆的方程的实际应用 与圆有关的最值问题 与圆有关的最值问题 与圆有关的最值问题 与圆有关的定值问题 直线与圆的方程的实际应用；与圆有关的最值问题 考点 直线与圆相切问题 直线与圆相交问题 面积的最值 斜率的最值 距离之和的最值 距离之积为定值 直线与圆相切问题；面积的最值 一、选择题 1．过点M(1，2)的直线l将圆(x－2)2＋y2＝9分成两段弧，当其中的劣弧最短时，直线l的方程是(　　) A．x＝1 B．y＝2 C．x－2y＋3＝0 D．x－y＋1＝0 答案：C 解析：由条件知点M在圆内，故当劣弧最短时，l应与过圆心与点M的直线垂直．设圆心为E，则E(2，0)，∴kEM＝＝－2，故直线l的斜率k＝，∴直线l的方程为y－2＝(x－1)，即x－2y＋3＝0. 2．已知直线ax＋y－2＝0与圆心为C的圆(x－1)2＋(y－a)2＝4交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a＝(　　) A．4±2 B．4－2 C．4＋ D．4± 答案：D 解析：圆心C(1，a)到直线ax＋y－2＝0的距离为.因为△ABC为等边三角形，所以|AB|＝|BC|＝2，所以＋12＝22，解得a＝4±. 3. 如图，一座圆弧形拱桥，当水面在如图所示的位置时，拱顶离水面2米，水面宽12米，当水面下降1米后，水面宽度为(　　) A．14米 B．15米 C.米 D．2米 答案：D 解析：以圆弧形拱桥的顶点为原点，过圆弧形拱桥的顶点的水平切线为x轴，过圆弧形拱桥的顶点的竖直直线为y轴，建立平面直角坐标系．设圆心为C，水面所在弦的端点为A，B，则由已知可得A(6，－2)，设圆的半径为r，则C(0，－r)，即圆的方程为x2＋(y＋r)2＝r2.将点A的坐标代入上述方程可得r＝10，所以圆的方程为x2＋(y＋10)2＝100，当水面下降1米后，水面所在弦的端点为A′，B′，可设A′(x0，－3)(x0>0)，代入x2＋(y＋10)2＝100，解得x0＝，所以水面宽度|A′B′|＝2米． 4．直线y＝2x＋m与曲线y＝恰有两个交点，则实数m的取值范围是(　　) A．[4，2] B．[4，2) C．[－4，2) D．[－4，4] 答案：B 解析：y＝⇒所以曲线y＝表示半径为2的半圆，如图所示．当直线y＝2x平移经过点A(－2，0)时，直线y＝2x＋m与曲线y＝恰有两个交点，则0＝2×(－2)＋m⇒m＝4；当直线y＝2x＋m与半圆y＝相切时，m是直线y＝2x＋m在y轴上的截距，由图可知m>0，＝2⇒|m|＝2⇒m＝2，数形结合可知，实数m的取值范围是[4，2)．故选B. 5．(多选)已知点A是直线l：x＋y－＝0上一定点，点P，Q是圆x2＋y2＝1上的动点，若∠PAQ的最大值为90°，则点A的坐标可以是(　　) A．(0，) B．(1，－1) C．(，0) D．(－1，1) 答案：AC 解析：如图所示，原点到直线l的距离d＝＝1，则直线l与圆x2＋y2＝1相切．由图可知，当AP，AQ均为圆x2＋y2＝1的切线时，∠PAQ取得最大值，连接OP，OQ，由于∠PAQ的最大值为90°，且∠APO＝∠AQO＝90°，|OP|＝|OQ|＝1，则四边形APOQ为正方形，连接OA，所以|OA|＝|OP|＝.设A(t，－t)，由两点间的距离公式得|OA|＝＝，整理得t2－t＝0，解得t＝0或，因此点A的坐标为(0，)或(，0)． 6. (多选)如图所示，已知直线l的方程是y＝x－4，并且与x轴、y轴分别交于点A，B，一个半径为1.5的圆C，圆心C从点(0，1.5)开始以每秒0.5个单位的速度沿着y轴向下运动，当圆C与直线l相切时，该圆运动的时间可以为(　　) A．6秒 B．8秒 C．10秒 D．16秒 答案：AD 解析：设当圆与直线l相切时，圆心坐标为(0，m)，则圆心到直线l的距离为＝，得m＝－或m＝－，所以该圆运动的时间为＝6(秒)或＝16(秒)． 二、填空题 7．已知实数x，y满足方程(x－3)2＋(y－3)2＝6，则的最大值为________，最小值为________． 答案：3＋2　3－2 解析：设k＝，则k表示圆上的点P(x，y)与原点O连线的斜率，直线OP的方程为y＝kx，当直线OP与圆相切时，斜率取得最值．由点(3，3)到直线y＝kx的距离d＝＝，得k＝3±2，即k＝3±2时，直线OP与圆相切，所以＝3＋2，＝3－2. 8．一束光线经过点M(25，18)射到x轴上，被反射到圆C：x2＋(y－7)2＝25上，则经过圆心的反射光线所在直线的方程为________________，在x轴上反射点A的活动范围为__________． 答案：x＋y－7＝0　 解析：由已知得圆心C(0，7)，半径r＝5.点M关于x轴的对称点为M′(25，－18)，则过点M′，C的直线即为所求，即x＋y－7＝0.设过点M′的直线方程为y＋18＝k(x－25)，即kx－y－25k－18＝0.当它与圆C相切时，＝5，所以k＝－或k＝－.所以过点M′与圆C相切的直线方程为y＋18＝－(x－25)或y＋18＝－(x－25)．令y＝0，得x＝或x＝1.故在x轴上反射点A的活动范围是. 9. 如图，正方形ABCD的边长为20米，圆O的半径为1米，圆心是正方形的中心，点P，Q分别在线段AD，CB上，若线段PQ与圆O有公共点，则称点Q在点P的“盲区”中，已知点P以1.5米/秒的速度从A出发向D移动，同时，点Q以1米/秒的速度从C出发向B移动，则在点P从A移动到D的过程中，点Q在点P的“盲区”中的时长约为________秒(参考数据：≈2.65)． 答案：4.4 解析：以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，可设点P(－10，－10＋1.5t)，Q(10，10－t)，可得直线PQ的方程为y－10＋t＝×(x－10)，圆O的方程为x2＋y2＝1，由直线PQ与圆O有公共点，可得≤1，化为3t2＋16t－128≤0，结合t≥0，解得0≤t≤，而≈4.4，因此，点Q在点P的“盲区”中的时长约为4.4秒． 三、解答题 10．已知圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝9. (1)直线l1过点A(－2，0)，且与圆C相切，求直线l1的方程； (2)设直线l2：3x＋4y－2＝0与圆C交于E，F两点，P为圆C上的一动点，求△PEF的面积S的最大值． 解：(1)由题意，得C(1，1)，圆C的半径r＝3. 当直线l1的斜率存在时， 设直线l1的方程为y＝k(x＋2)， 即kx－y＋2k＝0， 由直线l1与圆C相切，得＝3， 解得k＝－， 所以直线l1的方程为4x＋3y＋8＝0； 当直线l1的斜率不存在时，直线l1的方程为x＝－2，显然与圆C相切． 综上，直线l1的方程为x＝－2或4x＋3y＋8＝0. (2)由题意，得圆心C到直线l2的距离d＝＝1， 所以|EF|＝2×＝4， 点P到直线l2的距离的最大值为r＋d＝3＋1＝4，则Smax＝|EF|·(r＋d)＝×4×4＝8. 11．直线l1：mx－y＋3m＝0与直线l2：x＋my－3＝0相交于点P(x0，y0)，则的取值范围是(　　) A. B. C. D.∪ 答案：B 解析：由已知，得直线l1过定点A(－3，0)，直线l2过定点B(3，0)，又因为m×1＋(－1)×m＝0，则l1⊥l2，即PA⊥PB，则＝(x0＋3，y0)，＝(x0－3，y0)，所以·＝x－9＋y＝0，所以x＋y＝9，又点(－3，0)不在直线l2上，所以点P的轨迹是曲线x2＋y2＝9(x≠－3)，设＝k，可得kx0－y0－5k＝0，由题意可知，直线kx－y－5k＝0与曲线x2＋y2＝9(x≠－3)有公共点，且圆x2＋y2＝9的圆心为原点，半径为3，所以≤3，解得－≤k≤，又当x0＝－3，y0＝0时，＝0，当x0＝3，y0＝0时，＝0.所以的取值范围是.故选B. 12．已知圆C：(x＋1)2＋(y－3)2＝4，直线l：x－2y－8＝0，M为圆C上一动点，N为直线l上一动点，定点P(－7，－4)，则|MN|＋|PN|的最小值为________． 答案：11 解析：设圆心C(－1，3)关于直线l对称的点为C0(x0，y0)，则解得即C0(5，－9)，连接C0N，C0P，所以|CN|＋|PN|＝|C0N|＋|PN|≥|C0P|＝＝13，当C0，N，P三点共线时，等号成立，故|MN|＋|PN|＝|CN|＋|PN|－2的最小值为13－2＝11. 13．已知圆C过点A(1，2)，B(2，1)，且圆心C在直线y＝－x上．P是圆C外的点，过点P的直线l交圆C于M，N两点． (1)求圆C的方程； (2)若点P的坐标为(0，－4)，探究：|PM|·|PN|是否恒为定值．若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 解：(1)A，B两点的中点为，直线AB的斜率为kAB＝＝－1， 所以线段AB的垂直平分线的斜率为1，且垂直平分线的方程为y＝x， 联立方程解得 所以圆心为(0，0)，半径为r＝＝， 所以圆C的方程为x2＋y2＝5. (2) 如图，若直线MN的斜率不存在，则方程为x＝0，此时与圆的交点为(0，±)，此时|PM|·|PN|＝(4＋)×(4－)＝11； 若直线MN的斜率存在，设直线MN的方程为y＝kx－4，M(x1，y1)，N(x2，y2)， 联立方程 消去y，整理得(1＋k2)x2－8kx＋11＝0， 则x1＋x2＝，x1x2＝， |PM|＝|x1－0|＝|x1|， 同理，|PN|＝|x2|， |PM|·|PN|＝(1＋k2)|x1x2|＝11. 综上，|PM|·|PN|恒为定值11. 14. 如图，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC与河岸AB垂直，保护区的边界为圆心M在线段OA上，并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80 m．经测量，点A位于点O正北方向60 m处，点C位于点O正东方向170 m处(OC为河岸)，tan∠BCO＝. (1)求新桥BC的长； (2)当|OM|多长时，圆形保护区的面积最大？ 解：(1)如图所示，以O为原点，OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系Oxy. 由条件知A(0，60)，C(170，0)， 直线BC的斜率kBC＝－tan∠BCO＝－. 又AB⊥BC，所以直线AB的斜率kAB＝. 设点B的坐标为(a，b)， 则kBC＝＝－，kAB＝＝. 解得a＝80，b＝120. 所以|BC|＝＝150. 因此新桥BC的长是150 m. (2)设保护区的边界圆M的半径为r m， |OM|＝d m(0≤d≤60)． 由条件知，直线BC的方程为y＝－(x－170)， 即4x＋3y－680＝0. 因为圆M与直线BC相切，所以点M(0，d)到直线BC的距离是r，即r＝＝. 因为点O和点A到圆M上任意一点的距离均不少于80 m，所以 即 解得10≤d≤35. 故当d＝10时，r＝最大，即圆面积最大． 所以当|OM|＝10 m时，圆形保护区的面积最大． 17 学科网（北京）股份有限公司 $$