2.5.1 第1课时 直线与圆的位置关系-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册创新导学案全书Word（人教A版2019）

数学　选择性必修 第一册 RJ 2.5.1　直线与圆的位置关系 第1课时　直线与圆的位置关系 (教师独具内容) 课程标准：能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系． 教学重点：直线与圆的三种位置关系及其判定方法． 教学难点：1.用代数法判断直线与圆的位置关系.2.解决直线与圆相切、相交的有关问题． 核心素养：通过直线与圆位置关系的判断，进一步提升数学抽象及数学运算素养． 知识点一　直线与圆的位置关系 位置关系 公共点个数 相交 有两个公共点 相切 只有一个公共点 相离 没有公共点 [想一想]　当直线经过圆内一点时，直线与圆的位置关系是怎样的？ 提示：相交． 知识点二　直线与圆位置关系的判断方法 (1)代数法 直线l：Ax＋By＋C＝0，圆M：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，直线l与圆M的方程联立得方程组，消去y(或x)整理，得关于x(或y)的一元二次方程mx2＋nx＋k＝0(或my2＋ny＋k＝0)，其判别式为Δ＝n2－4mk， Δ>0⇔直线l与圆M相交； Δ＝0⇔直线l与圆M相切； Δ<0⇔直线l与圆M相离． (2)几何法 直线l：Ax＋By＋C＝0，圆心为M(a，b)、半径为r的圆，圆心M到直线l的距离为d. d>r⇔直线l与圆M相离； d＝r⇔直线l与圆M相切； d<r⇔直线l与圆M相交． [拓展]　切线段的长度公式 (1)从圆外一点P(x0，y0)引圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的切线，则P到切点的切线段长为d＝. (2)从圆外一点P(x0，y0)引圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的切线，则P到切点的切线段长为d＝. 1．(直线与圆相切)设直线l过点P(－2，0)，且与圆x2＋y2＝1相切，则l的斜率是(　　) A．±1 B．± C．± D．± 答案：C 2．(直线与圆位置关系的判断)直线3x＋4y＋12＝0与圆x2＋y2－2x＝0的位置关系是________． 答案：相离 3．(直线与圆相离)若直线x＋y－a＝0与圆x2＋(y－1)2＝2相离，则a的取值范围为____________________． 答案：(－∞，－1)∪(3，＋∞) 4．(直线与圆相交)直线x－2y＋5＝0与圆x2＋y2＝8交于A，B两点，则|AB|＝________． 答案：2 题型一　直线与圆位置关系的判断　 例1　已知圆x2＋y2＝2，直线y＝x＋b，当b为何值时，直线与圆相交、相切、相离？ [解]　解法一(代数法)：判断直线与圆位置关系的问题可转化为b为何值时，方程组 有两组不同实数解；有两组相同实数解；无实数解的问题． 将②代入①，整理得2x2＋2bx＋b2－2＝0.③ 方程③的根的判别式Δ＝(2b)2－4×2(b2－2)＝－4(b＋2)(b－2)． 当－2<b<2时，Δ>0，方程组有两组不同实数解，因此直线与圆有两个公共点，直线与圆相交； 当b＝2或b＝－2时，Δ＝0，方程组有两组相同的实数解，因此直线与圆只有一个公共点，直线与圆相切； 当b<－2或b>2时，Δ<0，方程组没有实数解，因此直线与圆没有公共点，直线与圆相离． 解法二(几何法)：如图，圆心O(0，0)到直线y＝x＋b的距离为d＝，圆的半径r＝. 当d＝r时，|b|＝2， 即b＝2或b＝－2时，直线与圆相切； b为直线在y轴上的截距，数形结合可知， 当－2<b<2时，直线与圆相交； 当b>2或b<－2时，直线与圆相离． 【感悟提升】　直线与圆位置关系的两种判断方法 (1)几何法 原理 相交⇔d<r，相切⇔d＝r，相离⇔d>r 注意点 准确求出圆心坐标、圆的半径r及圆心到直线的距离d (2)代数法 原理 直线与圆的位置关系直线与圆公共点的个数直线方程与圆的方程构成的方程组实数解的个数 注意点 将直线方程代入圆的方程中，消去一个未知数，得到一个关于x(或y)的一元二次方程，由Δ与0的大小关系判断方程解的个数，进一步判断直线与圆的位置关系 【跟踪训练】　 1．(1)直线y＝ax＋1与圆x2＋y2－2x－3＝0的位置关系是(　　) A．相切 B．相交 C．相离 D．随a的变化而变化 答案：B 解析：∵直线y＝ax＋1恒过定点(0，1)，且点(0，1)在圆x2＋y2－2x－3＝0的内部，∴直线与圆相交． (2)(多选)直线x－y＋m＝0与圆x2＋y2－2x－1＝0有两个不同的交点的充分不必要条件可以是(　　) A．0<m<1 B．m<1 C．－2<m<1 D．－3<m<1 答案：AC 解析：圆x2＋y2－2x－1＝0的圆心为(1，0)，半径为r＝，因为直线x－y＋m＝0与圆x2＋y2－2x－1＝0有两个不同的交点，所以直线与圆相交，因此圆心到直线的距离d＝<，所以|1＋m|<2，解得－3<m<1.显然(0，1)(－3，1)，(－3，1)(－∞，1)，(－2，1)(－3，1)，(－3，1)＝(－3，1)，即0<m<1，－2<m<1是－3<m<1的充分不必要条件；m<1是－3<m<1的必要不充分条件；－3<m<1是－3<m<1的充要条件，所以A，C符合题意，B，D不符合题意．故选AC. 题型二　直线与圆相交的有关问题　 例2　直线l经过点P(5，5)，且和圆C：x2＋y2＝25交于A，B两点，截得的弦长为4，求直线l的方程． [解]　解法一(几何法)：若直线l的斜率不存在， 则l：x＝5与圆C相切，不符合题意，所以直线l的斜率存在，设其方程为y－5＝k(x－5)，即kx－y＋5(1－k)＝0. 如图所示，|OH|是圆心到直线l的距离，|OA|是圆的半径，|AH|是弦长|AB|的一半，在Rt△AHO中，|OA|＝5，|AH|＝|AB|＝×4＝2. 所以|OH|＝＝， 所以＝， 解得k＝或k＝2. 所以直线l的方程为x－2y＋5＝0或2x－y－5＝0. 解法二(代数法)：若直线l的斜率不存在，则l：x＝5与圆C相切，不符合题意， 所以直线l的斜率存在，设直线l的方程为y－5＝k(x－5)，且与圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点， 由消去y，得(k2＋1)x2＋10k(1－k)x＋25k(k－2)＝0. 所以Δ＝[10k(1－k)]2－4(k2＋1)×25k(k－2)>0，解得k>0， 又因为x1＋x2＝－， x1x2＝， 由斜率公式，得y1－y2＝k(x1－x2)． 所以|AB|＝ ＝ ＝ ＝ ＝4， 两边平方，整理得2k2－5k＋2＝0， 解得k＝或k＝2，均符合题意． 故直线l的方程为x－2y＋5＝0或2x－y－5＝0. 【感悟提升】　与圆的弦长有关问题的两种解法 (1)几何法：如图，直线l与圆C交于A，B两点，设弦心距为d，圆的半径为r，弦长为|AB|，则有＋d2＝r2，即|AB|＝2. (2)代数法：①联立直线方程和圆的方程，解方程组得A，B两点的坐标，再由两点间的距离公式求弦长|AB|；②设直线l的方程为y＝kx＋b，联立直线l的方程和圆的方程，消去一个未知数得一个一元二次方程，利用根与系数的关系求解． 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＝kx1＋b，y2＝kx2＋b. 则|AB|＝ ＝ ＝ ＝. 注意：①若直线方程较特殊(如x＝a，y＝b等)，一般解出坐标再求|AB|； ②过圆内定点最长的弦为直径，最短的弦是与此直径垂直的弦． 【跟踪训练】　 2．(1)过点(3，1)作圆C：(x－2)2＋(y－2)2＝4的弦，其中最短弦的长为________． 答案：2 解析：设点A(3，1)，易知圆心C(2，2)，半径r＝2.当弦过点A(3，1)且与CA垂直时为最短弦，|CA|＝＝，∴最短弦的长为2＝2＝2. (2)一圆与y轴相切，圆心在直线x－3y＝0上，且直线y＝x截圆所得弦长为2，则此圆的标准方程为________________． 答案：(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9 解析：因为圆与y轴相切，且圆心在直线x－3y＝0上，故设圆的标准方程为(x－3b)2＋(y－b)2＝9b2.又因为直线y＝x截圆所得弦长为2，则有＋()2＝9b2，解得b＝±1，故所求圆的标准方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9. 题型三　直线与圆相切的有关问题　 例3　(1)(多选)与圆C：x2＋y2－4x＋2＝0相切，且在x，y轴上的截距相等的直线方程可以为(　　) A．x＋y＝0 B．x－y＝0 C．x＝0 D．x＋y－4＝0 [解析]　圆C的方程可化为(x－2)2＋y2＝2.可分为两种情况讨论：①直线在x，y轴上的截距均为0，易知直线的斜率必存在，设直线方程为y＝kx，则＝，解得k＝±1，即所求直线方程为x＋y＝0和x－y＝0；②直线在x，y轴上的截距均不为0，则可设直线方程为＋＝1(a≠0)，即x＋y－a＝0(a≠0)，则＝，解得a＝4(a＝0舍去)，即所求直线方程为x＋y－4＝0.故选ABD. [答案]　ABD (2)已知圆C：x2＋y2＝25，求过点P(3，4)的圆的切线方程． [解]　∵32＋42＝25，∴点P在圆C上． 由圆C：x2＋y2＝25知圆心C(0，0)，半径r＝5. 则CP的斜率kCP＝＝， ∵圆的切线垂直于经过切点的半径， ∴所求切线的斜率k＝－. 故过点P的圆的切线方程为y－4＝－(x－3)，即3x＋4y－25＝0. [结论探究]　将本例(2)改为“求过点Q的圆的切线方程”，如何求解？ 解：∵(－5)2＋>25，∴点Q在圆外． 若所求切线的斜率存在，设切线的斜率为k， 则切线方程为y－＝k[x－(－5)]， 即kx－y＋5k＋＝0. ∵圆心C(0，0)到切线的距离等于半径5， ∴＝5，∴k＝. 故所求切线方程为x－y＋＋＝0， 即3x－4y＋25＝0； 若所求切线的斜率不存在，则切线方程为x＝－5，圆心C(0，0)到x＝－5的距离为5，符合题意． 综上，过点Q的圆的切线方程为x＋5＝0或3x－4y＋25＝0. 【感悟提升】　求圆的切线方程的方法 (1)求过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程： 先求切点与圆心的连线的斜率k，则由垂直关系，k存在且k≠0时，知切线斜率为－，由点斜式方程可求得切线方程．如果k＝0或k不存在，则由图形可直接得切线方程为x＝x0或y＝y0. (2)求过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程： 几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y－kx0＋y0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，可求得k，切线方程即可求出．并注意检验当k不存在时，直线x＝x0是否为圆的切线． 代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，由Δ＝0求得k，切线方程即可求出．并注意检验当k不存在时，直线x＝x0是否为圆的切线． 注意：求过某点与圆相切的直线方程时，要注意此点在圆上还是在圆外，在圆上只有一条切线，在圆外有两条切线． 【跟踪训练】　 3．(1)过点M(2，)且与圆C：x2＋y2＝10相切的直线方程为________________． 答案：2x＋y－10＝0 解析：因为22＋()2＝10，所以点M在圆C：x2＋y2＝10上，由题意可知圆心为C(0，0)，则直线CM的斜率kCM＝，因为圆的切线垂直于经过切点的半径，所以所求切线的斜率k＝－.故经过点M的切线方程为y－＝－(x－2)，整理得2x＋y－10＝0. (2)过点A(－1，4)且与圆(x－2)2＋(y－3)2＝1相切的直线l的方程为________________． 答案：y＝4或3x＋4y－13＝0 解析：∵(－1－2)2＋(4－3)2＝10>1，∴点A在圆外．当直线l的斜率不存在时，l的方程是x＝－1，不满足题意．设直线l的斜率为k，则方程为y－4＝k(x＋1)，即kx－y＋4＋k＝0. 解法一：圆心(2，3)到切线l的距离为＝1，解得k＝0或k＝－，因此，所求直线l的方程为y＝4或3x＋4y－13＝0. 解法二：由于直线l与圆相切，所以方程组只有一解．消去y，得到关于x的一元二次方程(1＋k2)x2＋(2k2＋2k－4)x＋k2＋2k＋4＝0，则Δ＝(2k2＋2k－4)2－4(1＋k2)(k2＋2k＋4)＝0，得4k2＋3k＝0，即k＝0或k＝－，因此，所求直线l的方程为y＝4或3x＋4y－13＝0. 1．直线3x＋4y＋12＝0与圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝9的位置关系是(　　) A．相交且直线过圆心 B．相交但直线不过圆心 C．相切 D．相离 答案：D 解析：圆心C(1，1)到直线的距离d＝＝，圆C的半径r＝3，则d＞r，所以直线与圆相离． 2．直线y＝x＋1与圆x2＋y2＋2y－3＝0交于A，B两点，则|AB|＝(　　) A．1 B. C．2 D．2 答案：C 解析：因为圆x2＋y2＋2y－3＝0可化为x2＋(y＋1)2＝4，所以圆心(0，－1)，半径r＝2.因为直线y＝x＋1可化为x－y＋1＝0，所以圆心到直线的距离为d＝＝，所以|AB|＝2＝2×＝2.故选C. 3．过圆x2＋y2＝4上的一点(1，)的圆的切线方程是(　　) A．x＋y－4＝0 B.x－y＝0 C．x＋y＝0 D．x－y－4＝0 答案：A 解析：过圆心与点(1，)的直线的斜率为，所以过点(1，)的圆的切线的斜率为－，所以切线方程为y－＝－(x－1)，即x＋y－4＝0. 4．直线3x＋4y＝b与圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切，则b的值为________． 答案：2或12 解析：由题意知圆心坐标为(1，1)，半径r＝1，∵直线与圆相切，∴＝1，解得b＝2或b＝12. 5．过点P(a，5)作圆(x＋2)2＋(y－1)2＝4的切线，切线段长为2，则a的值为________． 答案：－2 解析：点P(a，5)与圆心(－2，1)的距离d＝，又圆的半径为2，所以(2)2＋22＝(a＋2)2＋16，解得a＝－2. 课后课时精练 基础题(占比60%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 难度 ★ ★ ★ ★ ★ ★★ ★ 考向 直线与圆位置关系的判断 直线与圆相交的有关问题 直线与圆相交的有关问题 直线与圆相切的有关问题 直线与圆相切的有关问题 直线与圆位置关系的判断；直线与圆相交的有关问题 直线与圆相切的有关问题 考点 直线与圆相离 求直线方程 由弦长求斜率 求圆的方程 求切线方程 由弦长最短求直线方程 求切线方程 题号 8 9 10 11 12 13 14 难度 ★ ★ ★★ ★★ ★★ ★★ ★★★ 考向 直线与圆相交的有关问题 直线与圆相交的有关问题 直线与圆相交的有关问题 直线与圆相切的有关问题 直线与圆有公共点问题 直线与圆相交的有关问题 直线与圆相切的有关问题；直线与圆相交的有关问题 考点 由直线与圆相交求参数 面积问题 由直线与圆相交求参数 切线长的最值问题 由直线与圆有公共点求参数 求直线方程 求圆的方程；求直线方程 一、选择题 1．已知点M(x0，y0)在圆x2＋y2＝2内，则直线x0x＋y0y＝2与圆的位置关系是(　　) A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定 答案：C 解析：因为点M(x0，y0)在圆x2＋y2＝2内，则x＋y<2，所以圆心(0，0)到直线x0x＋y0y＝2的距离为d＝>，所以直线与圆相离．故选C. 2．若点P(2，－1)为圆C：(x－1)2＋y2＝25的弦AB的中点，则直线AB的方程为(　　) A．x＋y－1＝0 B．2x＋y－3＝0 C．2x－y－5＝0 D．x－y－3＝0 答案：D 解析：圆心是点C(1，0)，由CP⊥AB，得kAB＝1，又直线AB过点P，所以直线AB的方程为x－y－3＝0.故选D. 3．直线y＝kx＋3被圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝4截得的弦长为2，则直线的斜率为(　　) A. B．± C. D．± 答案：D 解析：因为直线y＝kx＋3被圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝4截得的弦长为2，所以圆心C(2，3)到直线的距离d＝＝1，所以＝＝1，解得k＝±.故选D. 4．已知圆C与直线x－y＝0及x－y－4＝0都相切，且圆心C在直线x＋y＝0上，则圆C的方程为(　　) A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2 B．(x－1)2＋(y＋1)2＝2 C．(x－1)2＋(y－1)2＝2 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 答案：B 解析：由x－y＝0与x－y－4＝0都与圆C相切，且直线x－y＝0与x－y－4＝0平行，知圆C的圆心C在直线x－y－2＝0上．由 得圆心C(1，－1)．又因为两平行线间的距离d＝＝2，所以所求圆的半径r＝，故圆C的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2. 5．过点(0，0)与圆x2＋y2－4x－2y＋4＝0相切的两条直线的夹角为α，则cosα＝(　　) A. B. C. D. 答案：A 解析：x2＋y2－4x－2y＋4＝0化为标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1，圆心为(2，1)，半径为1，过点(0，0)与圆x2＋y2－4x－2y＋4＝0相切的两条直线的夹角为α，设切线为y＝kx，圆心到切线y＝kx的距离为d，则d＝＝1，解得k＝或k＝0，故切线为y＝x或y＝0，故tanα＝，易知α∈，所以cosα＝.故选A. 6．(多选)已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0.则下列结论正确的是(　　) A．直线l恒过定点(3，1) B．圆C被y轴截得的弦长为2＋2 C．直线l与圆C恒相交 D．直线l被圆C截得的弦长最短时，直线l的方程为2x－y－5＝0 答案：ACD 解析：将直线l的方程整理为(x＋y－4)＋m(2x＋y－7)＝0，由解得则无论m为何值，直线l恒过定点D(3，1)，故A正确；在圆C的方程中，令x＝0，则(y－2)2＝24，解得y＝2±2，故圆C被y轴截得的弦长为4，故B错误；因为(3－1)2＋(1－2)2＝5<25，所以点D在圆C的内部，直线l与圆C恒相交，故C正确；圆心C(1，2)，当直线l被圆C截得的弦长最短时，l⊥CD，kCD＝－，则直线l的斜率为2，此时直线l的方程为y－1＝2(x－3)，即2x－y－5＝0，故D正确．故选ACD. 二、填空题 7．垂直于直线y＝x＋1且与圆x2＋y2＝1相切于第一象限的直线方程是________________． 答案：x＋y－＝0 解析：因为所求直线l(设斜率为k)垂直于直线y＝x＋1，所以k×1＝－1，所以k＝－1，设直线l的方程为y＝－x＋b(b>0)，即x＋y－b＝0，所以圆心到直线l的距离为＝1，所以b＝，故所求直线方程为x＋y－＝0. 8．若直线l：x－y＋1＝0与圆C：x2＋y2＋2ay＋a2－2＝0有公共点，则实数a的取值范围是________． 答案：[－3，1] 解析：圆C：x2＋y2＋2ay＋a2－2＝0，即圆C：x2＋(y＋a)2＝2.根据题意，知圆心(0，－a)到直线x－y＋1＝0的距离d＝≤，故|a＋1|≤2，所以a∈[－3，1]．故实数a的取值范围为[－3，1]． 9．(新课标Ⅱ卷)已知直线l：x－my＋1＝0与⊙C：(x－1)2＋y2＝4交于A，B两点，写出满足“△ABC的面积为” 的m的一个值：________． 答案：2 解析：设点C到直线AB的距离为d，由弦长公式得|AB|＝2，所以S△ABC＝×d×2＝，解得d＝或d＝，又d＝＝，所以＝或 ＝，解得m＝±或m＝±2. 三、解答题 10．已知圆C过点A(8，1)，且圆C与两坐标轴均相切． (1)求圆C的标准方程； (2)若半径小于6的圆C与直线l：x－y＋m＝0交于A，B两点，________，求m的值． 在①∠ACB＝120°；②|AB|＝5这两个条件中任选一个补充在上面问题中并解答． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 解：(1)设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 因为圆C过点A(8，1)， 所以(8－a)2＋(1－b)2＝r2， 又因为圆C与两坐标轴均相切， 所以a＞0，b＞0且a＝b＝r， 则(8－r)2＋(1－r)2＝r2，解得r＝13或r＝5， 即a＝b＝r＝5或a＝b＝r＝13， 所以圆C的标准方程为(x－5)2＋(y－5)2＝25或(x－13)2＋(y－13)2＝169. (2) 因为圆C的半径小于6，所以圆C：(x－5)2＋(y－5)2＝25. 如果选择①，由∠ACB＝120°，|CA|＝|CB|＝5，得∠CAB＝∠CBA＝30°， 过点C作CD⊥AB于点D， 则|CD|＝|AC|＝， 所以圆心C到直线l的距离d＝， 则d＝＝，解得m＝±. 如果选择②，在△ABC中，|AB|＝5， |CA|＝|CB|＝5， 过点C作CD⊥AB于点D， 则|AD|＝|AB|＝， 在Rt△ACD中， |CD|＝＝， 所以圆心C到直线l的距离d＝， 则d＝＝，解得m＝±. 11．已知圆C的方程为(x－3)2＋(y－4)2＝1，过直线l：3x＋4y－5＝0上任意一点作圆C的切线，则切线长的最小值为(　　) A．4 B. C. D．5 答案：B 解析：如图所示，过直线l上一点A作圆的两条切线AD，AE，过C作BC⊥l，垂足为B，则切线长为|AD|＝|AE|＝，显然|AC|≥|BC|，当且仅当A，B重合时，等号成立，此时|AC|＝＝4，所以切线长的最小值为.故选B. 12．设点A(－2，3)，B(0，a)，若直线AB关于直线y＝a对称的直线l与圆C：(x＋3)2＋(y＋2)2＝1有公共点，则a的取值范围是________． 答案： 解析：点A(－2，3)关于直线y＝a对称的点为A′(－2，2a－3)，点B(0，a)在直线y＝a上，所以A′B所在直线即为直线l，所以直线l：y＝x＋a，即(a－3)x＋2y－2a＝0.圆C：(x＋3)2＋(y＋2)2＝1，圆心C(－3，－2)，半径r＝1，依题意，圆心C到直线l的距离d＝≤1，即(5－5a)2≤(a－3)2＋22，解得≤a≤，即a的取值范围是. 13．已知圆C经过M(－2，2)，N(3，－3)两点，且圆心C在直线x＋y－＝0上． (1)求圆C的方程； (2)若直线l∥MN，且与圆C交于A，B两点，以线段AB为直径的圆经过原点，求直线l的方程． 解：(1)∵M(－2，2)，N(3，－3)， ∴线段MN的中点为， 斜率kMN＝－1， 则MN的垂直平分线方程为y＋＝1×， 即x－y－1＝0. 解方程组得 ∴圆心C(1，0)，半径r＝＝. 故圆C的方程为(x－1)2＋y2＝13. (2)由l∥MN，设l的方程为y＝－x＋m. 代入圆C的方程，得2x2－2(m＋1)x＋m2－12＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝m＋1，x1x2＝－6，故y1y2＝(m－x1)(m－x2)＝m2＋x1x2－m(x1＋x2)， 设原点为O， 依题意知OA⊥OB，则·＝0. ∴(x1，y1)·(x2，y2)＝x1x2＋y1y2＝0， 于是m2＋2x1x2－m(x1＋x2)＝0， 即m2－m－12＝0. ∴m＝4或m＝－3，经检验，均满足Δ>0， 故直线l的方程为y＝－x＋4或y＝－x－3. 14．已知圆M过原点O，圆心M在直线y＝x－1上，直线2x＋y＝0与圆M相切． (1)求圆M的方程； (2)过点P(0，4)的直线l交圆M于A，B两点，若A为线段PB的中点，求直线l的方程． 解：(1)因为圆M过原点O，且与直线2x＋y＝0相切， 所以圆心M在直线y＝x上， 又圆心M也在直线y＝x－1上， 联立方程 解得圆心M(2，1)， 所以半径r＝|OM|＝， 因此圆M的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5. (2)解法一：设A(x，y)，因为A为线段PB的中点， 所以B(2x，2y－4)． 因为A，B在圆M上， 所以 解得或 当A(0，2)时，直线l的方程为x＝0； 当A时，直线l的方程为y＝－x＋4， 即5x＋12y－48＝0. 综上，直线l的方程为x＝0或5x＋12y－48＝0. 解法二：当直线l的斜率不存在时，此时l：x＝0，A(0，2)，B(0，0)，满足要求； 当直线l的斜率存在时，设l：y＝kx＋4， 由 得(1＋k2)x2＋(6k－4)x＋8＝0， 由Δ>0， 得k>6＋2或k<6－2.(*) 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1＋x2＝，① x1x2＝，② 由A为线段PB的中点，可得2x1＝x2.③ 由①③解得x1＝，x2＝， 代入②，得×＝， 解得k＝－，符合(*)， 所以直线l的方程为y＝－x＋4， 即5x＋12y－48＝0. 综上，直线l的方程为x＝0或5x＋12y－48＝0. 解法三：设线段AB的中点为C， 则|PC|＝3|CB|， 即|PC|2＝9|CB|2， 设圆心M到直线l的距离为d， 则|CB|2＝|BM|2－|MC|2＝5－d2， 又|PC|2＝|PM|2－|MC|2＝13－d2， 所以13－d2＝9(5－d2)， 解得d＝2. 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝0，A(0，2)，B(0，0)，符合题意； 当直线l的斜率存在时，设l：y＝kx＋4， 则d＝＝2， 解得k＝－， 直线l的方程为y＝－x＋4， 即5x＋12y－48＝0. 综上，直线l的方程为x＝0或5x＋12y－48＝0. 18 学科网（北京）股份有限公司 $$