2.3.1 两条直线的交点坐标 2.3.2 两点间的距离公式-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册创新导学案全书Word（人教A版2019）

数学　选择性必修 第一册 RJ 2.3.1　两条直线的交点坐标 2.3.2　两点间的距离公式 (教师独具内容) 课程标准：1.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.2.探索并掌握平面上两点间的距离公式． 教学重点：1.解决与两直线的交点、两点间的距离相关的问题.2.用坐标法证明简单的几何问题． 教学难点：坐标法在平面几何中的应用． 核心素养：通过求解两直线的交点坐标及两点间的距离，提升数学运算及逻辑推理素养． 知识点一　直线的交点与直线的方程组成的方程组的解的关系 (1)两条直线的交点坐标 几何元素及关系 代数表示 点A A(a，b) 直线l l：Ax＋By＋C＝0 点A在直线l上 Aa＋Bb＋C＝0 直线l1与l2的交点是A (2)两条直线的位置关系 方程组的解 一组 无数组 无解　 直线l1与l2的公共点的个数 一个 无数个 零个 直线l1与l2的位置关系 相交　 重合 平行　 [拓展]　两条直线相交，系数满足的条件 (1)设l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1与l2相交的条件是A1B2－A2B1≠0或≠(A2，B2≠0)． (2)设两条直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则l1与l2相交⇔k1≠k2. 知识点二　两点间的距离公式 已知平面内两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则|P1P2|＝．特别地，原点O(0，0)与任一点P(x，y)间的距离|OP|＝. [点拨]　(1)两点间的距离公式与两点的先后顺序无关，也就是说公式也可写成|P1P2|＝. (2)当直线P1P2平行于x轴时，|P1P2|＝|x2－x1|； 当直线P1P2平行于y轴时，|P1P2|＝|y2－y1|. 1．(求两条直线的交点坐标)直线l1：x－2y＝0与l2：x＋y－3＝0的交点坐标为________． 答案：(2，1) 2．(两点间的距离公式)点M(－3，4)到原点的距离|OM|＝________． 答案：5 3．(求两条直线的交点坐标和直线方程)直线l的斜率不存在，且经过直线2x＋y＋1＝0与直线x－y－4＝0的交点，则直线l的方程为________． 答案：x＝1 4．(两点间的距离公式)(1)若A(2，0)，B(0，8)，则|AB|＝________； (2)若A(1，3)，B(－2，1)，则|AB|＝________； (3)若A(5，0)，B(－1，0)，则|AB|＝________； (4)若A(a，3)，B(a，－3)，则|AB|＝________． 答案：(1)2　(2)　(3)6　(4)6 题型一　直线的交点问题　 例1　(1)过x＋y＝2与x－y＝0的交点，且平行于向量v＝(3，2)的直线方程为(　　) A．3x－2y－1＝0 B．3x＋2y－5＝0 C．2x－3y＋1＝0 D．2x－3y－1＝0 [解析]　由得所以交点坐标为(1，1)，又因为所求直线平行于向量v＝(3，2)，所以所求直线方程为y－1＝(x－1)，即2x－3y＋1＝0.故选C. [答案]　C (2)过直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P，且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程为________． [解析]　解法一：解方程组得P(0，2)．∵直线l与直线l3垂直且直线l3的斜率为，∴直线l的斜率为－，∴直线l的方程为y－2＝－(x－0)，即4x＋3y－6＝0. 解法二：设所求直线l的方程为(x－2y＋4)＋λ(x＋y－2)＝0，即(λ＋1)x＋(λ－2)y＋4－2λ＝0，∵直线l与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直，∴－×＝－1，解得λ＝11.∴直线l的方程为4x＋3y－6＝0. [答案]　4x＋3y－6＝0 【感悟提升】　求过两条直线交点的直线方程的两种方法 (1)先解方程组求出交点坐标，再结合其他条件写出直线方程． (2)利用过两条直线交点的直线系方程，通过待定系数法求解． 【跟踪训练】　 1．(1)已知直线x＋ky＋2＝0经过两直线3x＋2y－9＝0和x－1＝0的交点，则实数k的值为________． 答案：－1 解析：联立方程解得即两直线的交点为(1，3)，将点(1，3)代入直线x＋ky＋2＝0，可得1＋3k＋2＝0，解得k＝－1，即实数k的值为－1. (2)分别判断下列直线是否相交，若相交，求出交点坐标． ①l1：2x－y＝7和l2：3x＋2y－7＝0； ②l1：4x＋2y＋4＝0和l2：y＝－2x＋3. 解：①方程组的解为 因此直线l1和l2相交，交点坐标为(3，－1)． ②方程组无解，这表明直线l1和l2没有公共点，故l1∥l2. 题型二　两点间距离公式的应用　 例2　(1)已知点A(－3，4)，B(2，)，点P在x轴上，且|PA|＝|PB|，则点P的坐标为________． [解析]　设点P的坐标为(x，0)，则有|PA|＝＝，|PB|＝＝.由|PA|＝|PB|，得x2＋6x＋25＝x2－4x＋7，解得x＝－.故所求点P的坐标为. [答案]　 (2)已知四边形ABCD的顶点分别为A(－7，0)，B(2，－3)，C(5，6)，D(－4，9)，判断这个四边形的形状． [解]　∵kAB＝－，kCD＝－，kAD＝3，kBC＝3， ∴AB∥CD，AD∥BC，即四边形ABCD为平行四边形． 又kABkAD＝－1， ∴AB⊥AD，即平行四边形ABCD为矩形， ∵|AB|＝＝3， |AD|＝＝3， ∴|AB|＝|AD|，即矩形ABCD为正方形， 故四边形ABCD为正方形． 　将本例(2)中点D的坐标改为(0，21)，判断此四边形的形状． 解：∵kAB＝－，kCD＝－3，kAD＝3，kBC＝3， ∴AD∥BC且AB⊥AD. ∴四边形ABCD为直角梯形． 【感悟提升】　判断四边形与三角形形状的方法 (1)判断四边形形状的方法：若两组对边均平行，则是平行四边形，进而再判断是否是矩形、菱形或正方形；若一组对边平行，进而再判断是否是等腰梯形或直角梯形；若两组对边均不平行，则为一般四边形． (2)判断三角形形状的方法：利用两点间距离公式求出线段的长度，再根据各边长度的关系判断三角形形状． 【跟踪训练】　 2．(1)已知x，y∈R，S＝＋，则S的最小值是(　　) A．0 B．2 C．4 D. 答案：B 解析：∵S＝＋＝＋，∴S可以看作点(x，y)到点(－1，0)和点(1，0)的距离之和， 如图所示，∴当点(x，y)在x轴上，且位于点(－1，0)和点(1，0)之间时，S取得最小值，为2.故选B. (2)已知△ABC的三个顶点分别为A(－3，1)，B(3，－3)，C(1，7)， ①判断△ABC的形状； ②求BC边上的中线AM的长． 解：①解法一：∵|AB|＝ ＝2， |AC|＝＝2， |BC|＝＝2， ∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，且|AB|＝|AC|， ∴△ABC是等腰直角三角形． 解法二：∵kAC＝＝，kAB＝＝－， 则kACkAB＝－1，∴AC⊥AB. 又|AC|＝＝2， |AB|＝＝2， ∴|AC|＝|AB|， ∴△ABC是等腰直角三角形． ②设点M的坐标为(x，y)，∵M为BC的中点， ∴x＝＝2，y＝＝2，即点M的坐标为(2，2)． 由两点间的距离公式得 |AM|＝＝， ∴BC边上的中线AM的长为. 题型三　坐标法的应用　 例3　在△ABC中，AD是BC边上的中线，求证：|AB|2＋|AC|2＝2(|AD|2＋|DC|2)． [证明]　 以D为原点，边BC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，如图所示，设A(b，c)，C(a，0)，则B(－a，0)．因为|AB|2＝(a＋b)2＋c2，|AC|2＝(a－b)2＋c2，|AD|2＝b2＋c2，|DC|2＝a2，所以|AB|2＋|AC|2＝2(a2＋b2＋c2)，|AD|2＋|DC|2＝b2＋c2＋a2，所以|AB|2＋|AC|2＝2(|AD|2＋|DC|2)． 【感悟提升】　利用坐标法解决平面几何问题的常见步骤 (1)建立坐标系，用坐标表示有关的量； (2)进行有关代数运算； (3)把代数运算的结果“翻译”成几何结论． 【跟踪训练】　 3．已知在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，对角线为AC和BD.求证：|AC|＝|BD|. 证明：建立如图所示的平面直角坐标系，设A(0，0)，B(a，0)，C(b，c)，则点D的坐标是(a－b，c)， 所以|AC|＝ ＝， |BD|＝＝. 故|AC|＝|BD|. 题型四　过定点的直线系问题　 例4　求证：不论m取何值，直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5都过定点． [证明]　证法一：当m＝1时，直线方程为y＝－4； 当m＝时，直线方程为x＝9. 这两条直线的交点为(9，－4)． 又当x＝9，y＝－4时，9(m－1)＋(－4)×(2m－1)＝m－5， 即点(9，－4)在直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5上， 故不论m取何值，直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5都过定点(9，－4)． 证法二：将已知方程以m为未知数整理，得 m(x＋2y－1)－(x＋y－5)＝0. 由m取值的任意性，得 解得 所以不论m取何值，直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5都过定点(9，－4)． 【感悟提升】　解含有参数的直线恒过定点问题的方法 (1)任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解． (2)含有一个参数的二元一次方程若能整理为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，其中λ是参数，这就说明了它表示的直线必过定点，其定点可由方程组解得．若整理成y－y0＝k(x－x0)的形式，则表示的所有直线必过定点(x0，y0)． 【跟踪训练】　 4．已知直线l：(2＋a)x＋(a－1)y－3a＝0在x轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率k的取值范围是(　　) A. B.∪(1，＋∞) C．(－∞，－1)∪ D．(－∞，－1)∪ 答案：D 解析：已知直线l：(2＋a)x＋(a－1)y－3a＝0，所以(x＋y－3)a＋2x－y＝0，所以 解得所以直线l过点A(1，2)，可设直线l：y－2＝k(x－1)．由题意知，直线l在x轴上的截距的取值范围是(－3，3)，所以k≠0，令y＝0，得x＝1－，所以－3<1－<3，解得k>或k<－1.故选D. 题型五　对称问题　 例5　已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)．求： (1)点A关于直线l的对称点A′的坐标； (2)直线l关于点A(－1，－2)对称的直线l′的方程． [解]　(1)设A′(x，y)， 则解得 ∴A′. (2)在直线l：2x－3y＋1＝0上任取两点，如M(1，1)，N(4，3)，则M，N关于点A(－1，－2)的对称点M′(－3，－5)，N′(－6，－7)均在直线l′上，∴kM′N′＝＝， ∴直线l′的方程为y＋5＝(x＋3)， 即2x－3y－9＝0. 【感悟提升】　两类常见的对称问题 (1)中心对称 ①点关于点的对称．若点M(x1，y1)及N(x，y)关于点P(a，b)对称，则由中点坐标公式得 ②直线关于点的对称，其主要方法是：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点坐标求出直线方程． (2)轴对称 ①点(x1，y1)关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称的对称点(x2，y2)可由 得出； ②直线关于直线对称 求直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0关于l：Ax＋By＋C＝0对称的直线l2的方程的方法：转化为点关于直线对称．在l1上任取两点P1和P2，求出P1，P2关于l的对称点，再用两点坐标求出l2的方程． 【跟踪训练】　 5. 如图，一束光线从原点O(0，0)出发，经过直线l：8x＋6y＝25反射后通过点P(－4，3)，求反射光线的方程及光线从点O到达点P所走过的路程． 解：设原点关于l的对称点A的坐标为(a，b)， 由直线OA与l垂直和线段AO的中点在l上， 得解得 ∴点A的坐标为(4，3)． ∵反射光线的反向延长线过点A(4，3)， 又反射光线过P(－4，3)，两点纵坐标相等， 故反射光线所在直线的方程为y＝3. 由方程组解得 由于反射光线为射线，故反射光线的方程为y＝3. 由光的性质可知， 光线从点O到点P的路程即为AP的长度|AP|， 由A(4，3)，P(－4，3)知， |AP|＝4－(－4)＝8， ∴光线从点O经直线l反射后到达点P所走过的路程为8. 1．直线a(x＋1)－y＋1＝0恒过定点(　　) A．(－1，1) B．(－1，－1) C．(1，－1) D．(1，1) 答案：A 解析：对于直线a(x＋1)－y＋1＝0，由得所以直线a(x＋1)－y＋1＝0恒过定点(－1，1)．故选A. 2．已知点A(－2，－1)，B(a，3)，且|AB|＝5，则a的值为(　　) A．1 B．3 C．－5 D．1或－5 答案：D 解析：由两点间的距离公式得＝5，即(a＋2)2＝9，解得a＝1或－5. 3．与直线3x－4y＋5＝0关于y轴对称的直线方程是(　　) A．3x＋4y＋5＝0 B．3x＋4y－5＝0 C．3x－4y＋5＝0 D．3x－4y－5＝0 答案：B 解析：令x＝0，则y＝，可得直线3x－4y＋5＝0与y轴的交点为，令y＝0，则x＝－，可得直线3x－4y＋5＝0与x轴的交点为，此点关于y轴的对称点为，所以与直线3x－4y＋5＝0关于y轴对称的直线经过两点，，其直线的截距式方程为＋＝1，化为一般式方程为3x＋4y－5＝0.故选B. 4．已知点M(0，－1)，N在直线x－y＋1＝0上，若直线MN垂直于直线x＋2y－3＝0，则点N的坐标是________． 答案：(2，3) 解析：由题意知，直线MN过点M(0，－1)且与直线x＋2y－3＝0垂直，其方程为2x－y－1＝0.直线MN与直线x－y＋1＝0的交点为N，联立方程解得即点N的坐标为(2，3)． 5．已知直线x－y－1＝0与直线x－2y＋3＝0交于点P，则过点P且平行于直线3x－4y＋5＝0的直线方程为________________． 答案：3x－4y＋1＝0 解析：联立方程解得∴P(5，4)．设所求直线方程为3x－4y＋m＝0，将P(5，4)代入得m＝1，∴所求直线方程为3x－4y＋1＝0. 课后课时精练 基础题(占比50%)　中档题(占比40%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 难度 ★ ★ ★ ★ ★ ★★ ★ 考向 直线的交点问题 过定点的直线系问题 对称问题 两点间距离公式的应用 对称问题 直线的交点问题 直线的交点问题 考点 求交点坐标 求定点坐标 直线关于直线对称 判断三角形形状 点关于直线对称 与交点有关的三角形问题 求交点坐标和直线方程 题号 8 9 10 11 12 13 14 难度 ★ ★★ ★★ ★★ ★★ ★★ ★★★ 考向 直线的交点问题 对称问题 直线的交点问题 直线的交点问题 两点间距离公式的应用 两点间距离公式的应用 坐标法的应用 考点 根据交点位置求参数 点关于直线对称 求交点坐标和直线方程 与交点有关的分割平面问题 求最值 求直线方程 三线共点问题 一、选择题 1．直线x＋2y－4＝0与直线2x－y＋2＝0的交点坐标是(　　) A．(2，0) B．(2，1) C．(0，2) D．(1，2) 答案：C 解析：解方程组得即直线x＋2y－4＝0与直线2x－y＋2＝0的交点坐标是(0，2)． 2．若直线kx－y＋3k－2＝0恒过一定点，则该定点的坐标为(　　) A．(3，2) B．(－3，－2) C．(2，3) D．(－2，－3) 答案：B 解析：由kx－y＋3k－2＝0，得k(x＋3)－y－2＝0，所以解得x＝－3，y＝－2，所以定点坐标为(－3，－2)．故选B. 3．已知直线l与直线2x－3y＋4＝0关于直线x＝1对称，则直线l的方程为(　　) A．2x＋3y－8＝0 B．3x－2y＋1＝0 C．x＋2y－5＝0 D．3x＋2y－7＝0 答案：A 解析：解法一：易求直线2x－3y＋4＝0与直线x＝1的交点坐标为(1，2)，因为直线l与直线2x－3y＋4＝0关于直线x＝1对称，所以直线l与直线2x－3y＋4＝0的倾斜角互补，斜率互为相反数，所以直线l的斜率为－，且过点(1，2)，其点斜式方程为y－2＝－(x－1)，即2x＋3y－8＝0.故选A. 解法二：设P(x，y)为直线l上的任意一点，则点P关于直线x＝1对称的点为P′(2－x，y)，将(2－x，y)代入2x－3y＋4＝0，可得2(2－x)－3y＋4＝0，化简得2x＋3y－8＝0.故选A. 4．已知△ABC的三个顶点分别是A(－a，0)，B(a，0)，C，a>0，则△ABC的形状是(　　) A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．斜三角形 答案：C 解析：由已知得|AB|＝2a，|AC|＝ ＝a，|BC|＝ ＝a，∴|AB|2＝|AC|2＋|BC|2，∴△ABC是直角三角形． 5．点P在直线l：x－y－1＝0上运动，已知A(4，1)，B(2，0)，则|PA|＋|PB|的最小值是(　　) A. B. C．3 D．4 答案：C 解析：易知点A，B在直线l的同侧，设A(4，1)关于直线x－y－1＝0对称的点为A′(x，y)，则解得∴A′(2，3)，∴|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|，当A′，P，B三点共线时，|PA|＋|PB|取得最小值，为|A′B|＝＝3.故选C. 6．(多选)若三条不同的直线l1：mx＋2y＋m＋4＝0，l2：x－y＋1＝0，l3：3x－y－5＝0不能围成一个三角形，则m的取值可能为(　　) A．－2 B．－6 C．－3 D．1 答案：ABC 解析：若l1∥l2，则解得m＝－2.若l1∥l3，则解得m＝－6.由解得即l2与l3的交点为(3，4)，若l1过点(3，4)，则4m＋12＝0，解得m＝－3. 二、填空题 7．平面直角坐标系xOy中，过直线l1：7x－3y＋1＝0与l2：x＋4y－3＝0的交点，且在y轴上截距为1的直线l的方程为________________． 答案：9x＋5y－5＝0 解析：解法一：由题设，令直线l的方程为7x－3y＋1＋λ(x＋4y－3)＝0，且直线过(0，1)，所以0－3＋1＋λ(0＋4－3)＝0⇒λ＝2，故直线l的方程为9x＋5y－5＝0. 解法二：联立方程解得即直线l1，l2的交点坐标为.由题意设直线l的方程为y＝kx＋1，将点代入，得k＝－，所以直线l的方程为y＝－x＋1，即9x＋5y－5＝0. 8．若直线5x＋4y＝2a＋1与直线2x＋3y＝a的交点位于第四象限，则a的取值范围为________． 答案： 解析：由解得即两直线的交点坐标为.又交点在第四象限，则解得－<a<2. 9．已知A(3，1)，B(－1，2)，若∠ACB的平分线方程为y＝x＋1，则AC所在直线的方程为________． 答案：x－2y－1＝0 解析：设点B关于直线y＝x＋1的对称点为B′(x0，y0)，则 即解得即B′(1，0)．又B′在直线AC上，则直线AC的方程为＝，即x－2y－1＝0. 三、解答题 10．已知△ABC的顶点A(5，1)，边AB上的中线CM所在直线的方程为2x－y－5＝0，边AC上的高BH所在直线过点(1，－2)，且直线BH的一个方向向量为(－2，－1)． (1)求顶点C的坐标； (2)求直线BC的方程． 解：(1)因为直线BH的一个方向向量为(－2，－1)，所以kBH＝， 由AC⊥BH，得kAC＝－2，又A(5，1)． 所以直线AC的方程为y－1＝－2(x－5)， 即2x＋y－11＝0. 联立方程解得 所以顶点C的坐标为(4，3)． (2)设点B(x，y)，则M， 因为M在CM上，所以2×－－5＝0， 即2x－y－1＝0. 直线BH的方程为y＋2＝(x－1)， 即x－2y－5＝0， 联立方程解得 故点B的坐标为(－1，－3)， 又C(4，3)，所以直线BC的方程为＝， 即6x－5y－9＝0. 11．已知三条直线l1：x－2y＋2＝0，l2：x－2＝0，l3：x＋ky＝0将平面分为六个部分，则满足条件的k的值共有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 答案：C 解析：当三条直线交于一点时，满足要求，联立方程解得将代入x＋ky＝0中，得2k＋2＝0，解得k＝－1；当l3：x＋ky＝0与l1：x－2y＋2＝0平行时，满足要求，此时k＝－2；当l3：x＋ky＝0与l2：x－2＝0平行时，满足要求，此时k＝0.综上，满足条件的k的值共有3个．故选C. 12．f(x)＝＋的最小值为________． 答案：3 解析：＝＝， ＝＝，如图，设点A(x，0)，B(－1，1)，C(2，－2)，要求f(x)的最小值，即求|AB|＋|AC|的最小值．由于|AB|＋|AC|≥|BC|，当A，B，C三点共线时，等号成立，且|BC|＝＝3，故f(x)的最小值为3. 13．已知正方形ABCD的中心为原点O，点A的坐标为(2，1)，点B在第四象限，则直线AB的方程为________，直线BC的方程为________． 答案：3x－y－5＝0　x＋3y＋5＝0 解析：因为AC所在直线的方程为y＝x，且AC⊥BD，所以BD所在直线的方程为y＝－2x.设点B的坐标为(a，－2a)，a>0，因为|OB|＝|OA|＝＝，所以|OB|＝＝，解得a＝1，所以点B的坐标为(1，－2)，所以直线AB的方程为y＝(x－2)＋1，即3x－y－5＝0.因为BC⊥AB，所以直线BC的方程为y＝－(x－1)－2，即x＋3y＋5＝0. 14．在△ABC中，AD，BE，CF分别为三边上的高，求证：AD，BE，CF三线共点． 证明：建立如图所示的平面直角坐标系，设A(a，0)，B(b，0)，C(0，c)，F(0，0)， 则直线CF的方程为x＝0. 由直线的截距式方程可得直线AC的方程为＋＝1，即cx＋ay－ac＝0. 同理，可得直线BC的方程为cx＋by－bc＝0. 由于AD为BC边上的高， 则直线AD的斜率为， 由直线的点斜式方程可得直线AD的方程为y＝(x－a)． 同理，可得直线BE的方程为y＝(x－b)． 设直线CF和直线AD交于点O， 由得点O的坐标为. 又点O的坐标也满足直线BE的方程， 所以直线BE也过点O. 所以AD，BE，CF三线共点． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$