2.2.3 直线的一般式方程-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册创新导学案全书Word（人教A版2019）

数学　选择性必修 第一册 RJ 2.2.3　直线的一般式方程 (教师独具内容) 课程标准：1.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线的一般式方程.2.会进行直线方程几种形式间的转化． 教学重点：利用直线的几种形式解决相应的问题． 教学难点：直线方程几种形式的相互转化及适用范围． 核心素养：通过学习直线的一般式方程，提升逻辑推理及数学抽象素养． 知识点一　直线的一般式方程 (1)定义：关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式． (2)适用范围：平面直角坐标系中的任意一条直线都可用一般式表示． (3)系数的几何意义：当B≠0时，则－＝k(斜率)，－＝b(在y轴上的截距)； 当B＝0，A≠0时，则－＝a(在x轴上的截距)，此时斜率不存在． (－B，A)或(B，－A)为直线的方向向量． 知识点二　二元一次方程与直线的关系 在平面直角坐标系中，任意一个二元一次方程是直角坐标平面上一条确定的直线；反之，直角坐标平面上的任意一条直线可以用一个确定的二元一次方程表示． [拓展]　(1)对于直线方程的一般式，有如下约定： ①方程中等号的左侧从左向右一般按x，y，常数项的先后顺序排列； ②x的系数为正； ③x，y的系数和常数项一般不出现分数． (2)直线方程Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的系数A，B，C对直线位置的影响： ①当A≠0，B≠0时，直线与两条坐标轴都相交； ②当A≠0，B＝0，C≠0时，直线只与x轴相交，即直线与y轴平行，与x轴垂直； ③当A＝0，B≠0，C≠0时，直线只与y轴相交，即直线与x轴平行，与y轴垂直； ④当A＝0，B≠0，C＝0时，直线与x轴重合； ⑤当A≠0，B＝0，C＝0时，直线与y轴重合． 1．(一般式)若直线l：ax＋y－2－a＝0过原点，则a的值是(　　) A．1 B．－1 C．0 D．－2 答案：D 2．(一般式与点斜式)经过点A(－2，1)，斜率是的直线的一般式方程为__________________． 答案：x－3y＋5＝0 3．(一般式与斜截式)若直线l的一般式方程为2x－3y＋12＝0，则直线l的斜率是________，在y轴上的截距是________． 答案：　4 4．(一般式与截距式)将直线l的一般式方程x－2y＋4＝0化为截距式方程为______________． 答案：＋＝1 题型一　求直线的一般式方程　 例1　根据下列条件，写出直线的方程，并化为一般式方程． (1)经过点A(8，－2)，斜率是－； (2)经过点B(4，2)，平行于x轴； (3)经过P1(3，－2)，P2(5，－4)两点； (4)在x轴、y轴上的截距分别是，－3. [解]　(1)由已知得，此直线的点斜式方程为y＋2＝－(x－8)，化为一般式方程为x＋2y－4＝0. (2)由已知得，此直线的方程为y＝2，化为一般式方程为y－2＝0. (3)解法一：由已知得，此直线的斜率为k＝＝－1，点斜式方程为y－(－4)＝－(x－5)，化为一般式方程为x＋y－1＝0. 解法二：由已知得，此直线的两点式方程为＝，化为一般式方程为x＋y－1＝0. (4)由已知得，此直线的截距式方程为＋＝1，化为一般式方程为2x－y－3＝0. 【感悟提升】　求直线一般式方程的方法 提醒：解题时，如无特殊说明，应把最终结果化为一般式． 【跟踪训练】　 1．已知平面内两点A(8，－6)，B(2，2)． (1)求AB中垂线的一般式方程； (2)求过点P(2，－3)且与直线AB平行的直线l的一般式方程． 解：(1)因为＝5，＝－2， 所以AB的中点坐标为(5，－2)， 因为kAB＝＝－， 所以AB的中垂线的斜率为， 故AB的中垂线的方程为y＋2＝(x－5)， 即3x－4y－23＝0. (2)由(1)知kAB＝－， 所以直线l的方程为y＋3＝－(x－2)， 即4x＋3y＋1＝0. 题型二　直线的一般式方程与其他形式的互化　 例2　设直线l的方程为2x＋(k－3)y－2k＋6＝0(k≠3)，根据下列条件分别确定k的值： (1)直线l的斜率为－1； (2)直线l在x轴、y轴上的截距之和等于0. [解]　(1)因为直线l的斜率存在，所以直线l的方程可化为y＝－x＋2，由题意得－＝－1，解得k＝5. (2)直线l的方程可化为＋＝1， 由题意得k－3＋2＝0，解得k＝1. 【感悟提升】　 1．一般式化为斜截式的步骤 (1)移项，得By＝－Ax－C； (2)当B≠0时，得斜截式：y＝－x－. 2．一般式化为截距式的步骤 方法一： (1)把常数项移到方程右边，得Ax＋By＝－C； (2)当C≠0时，方程两边同除以－C，得＋＝1； (3)化为截距式：＋＝1. 方法二： (1)令x＝0，求直线在y轴上的截距b； (2)令y＝0，求直线在x轴上的截距a； (3)代入截距式方程＋＝1. 由于直线方程的斜截式和截距式是唯一的，而两点式和点斜式不唯一，因此，通常情况下，一般式不化为两点式和点斜式． 【跟踪训练】　 2．设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)． (1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程； (2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围． 解：(1)当直线l过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距均为零，满足题意． ∴a＝2，l的方程为3x＋y＝0； 若a≠2，由截距存在且均不为零有＝a－2，即a＋1＝1， ∴a＝0，此时l的方程为x＋y＋2＝0. (2)将l的方程化为y＝－(a＋1)x＋a－2. ∴或解得a≤－1. 综上可知，实数a的取值范围是(－∞，－1]． 题型三　一般式下直线的平行与垂直问题　 例3　(1)直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线l2：mx＋3y－2＝0平行，求m的值； (2)直线l1：ax＋(1－a)y－3＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y－2＝0垂直，求a的值； (3)已知直线l1过点A(2，3)，且直线l1与直线l2：3x－y＋1＝0平行，求直线l1的方程． [解]　(1)解法一：a.当m＋1＝0，即m＝－1时，直线l1的斜率不存在，直线l2的斜率为，两直线不平行； b．当m＋1≠0，即m≠－1时，两直线方程化为斜截式， l1：y＝－x－，l2：y＝－x＋. 由l1∥l2知两直线斜率相等，截距不相等， 所以 由①得m2＋m－6＝0， 解得m＝2或m＝－3， 经验证均适合②式，故m的值为2或－3. 解法二：因为l1∥l2， 所以2×3－(m＋1)m＝0且－2(m＋1)－3×4≠0， 即m2＋m－6＝0且m≠－7， 所以m＝2或m＝－3. 所以要使l1∥l2，m的值为2或－3. (2)解法一：当a＝1时，l1：x＝3，l2：y＝， 所以l1⊥l2； 当a＝－时，l1：y＝x＋，l2：x＝－， 所以l1不垂直于l2； 当a≠1且a≠－时，k1＝，k2＝， 由于l1⊥l2，则×＝－1， 解得a＝－3. 综上可知，当l1⊥l2时，a＝1或a＝－3. 解法二：若l1⊥l2，则a(a－1)＋(1－a)(2a＋3)＝0， 解得a＝1或a＝－3. (3)因为直线l1与直线l2平行，所以可设直线l1的方程为3x－y＋λ＝0(λ≠1)， 因为直线l1过点A(2，3)， 将点A(2，3)代入直线l1的方程， 得3×2－3＋λ＝0，解得λ＝－3. 所以直线l1的方程为3x－y－3＝0. [条件探究]　本例(3)若改为“直线l1与直线l2：x＋3y－2＝0垂直”，如何求直线l1的方程？ 解：因为直线l1与直线l2垂直， 所以可设直线l1的方程为3x－y＋λ＝0. 因为直线l1过点A(2，3)， 将点A(2，3)代入直线l1的方程，得3×2－3＋λ＝0， 解得λ＝－3. 所以直线l1的方程为3x－y－3＝0. 【感悟提升】　一般式下两条直线平行与垂直的判定 (1)条件 直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0. (2)结论 ①l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0或A1C2－A2C1≠0； ②l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0. 这种判定方法避开了斜率存在和不存在两种情况的讨论，可以减小因考虑不周而造成失误的可能性． 注意：与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为Ax＋By＋m＝0(m≠C)，与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋m＝0. 【跟踪训练】　 3．已知直线l1：x＋my＋6＝0和直线l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，求m为何值时，直线l1与l2： (1)相交；(2)平行；(3)重合；(4)垂直． 解：(1)若两条直线的斜率不相等，则两条直线一定相交． 当m＝0时，两条直线相交； 当m≠0时，由－≠－， 得m≠3且m≠－1. 所以当m≠3且m≠－1时，两条直线相交． (2)由－＝－，得m＝3或m＝－1. 当m＝－1时，两条直线平行； 当m＝3时，两条直线重合． 所以当m＝－1时，两条直线平行． (3)由(2)，知当m＝3时，两条直线重合． (4)由1×(m－2)＋3m＝0，得m＝. 所以当m＝时，两条直线垂直． 1．若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则A，B应满足的条件为(　　) A．A≠0 B．B≠0 C．AB≠0 D．A2＋B2≠0 答案：D 解析：由直线的一般式方程可知，要使方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则A，B不能同时为0.故选D. 2．(多选)两条直线l1：ax＋y＋1＝0和l2：x－a2y－1＝0互相垂直，则a的值可以是(　　) A．0 B．1 C．－1 D．－2 答案：AB 解析：由两条直线垂直的充要条件可得a×1＋1×(－a2)＝0，解得a＝0或a＝1.故选AB. 3．直线(a＋1)x＋3y＋3＝0与直线x＋(a－1)y＋1＝0平行，则实数a的值为(　　) A．2 B. C．－2 D．2或－2 答案：C 解析：当直线(a＋1)x＋3y＋3＝0与直线x＋(a－1)y＋1＝0平行时，(a＋1)(a－1)＝3且(a＋1)×1≠3×1，解得a＝－2.故选C. 4．过点(2，1)且与直线2x＋y＋1＝0垂直的直线的一般式方程为________________． 答案：x－2y＝0 解析：与2x＋y＋1＝0垂直的直线方程可设为x－2y＋m＝0.又直线过点(2，1)，所以2－2＋m＝0，解得m＝0.故所求直线的一般式方程为x－2y＝0. 5．(1)直线x＋3y＝0的斜率为________，在y轴上的截距为________； (2)直线2x－y－3＝0的斜率为________，化为截距式为________________． 答案：(1)－　0　(2)2　＋＝1 解析：(1)直线x＋3y＝0的斜截式方程为y＝－x，其斜率为－，在y轴上的截距为0. (2)直线2x－y－3＝0的斜截式方程为y＝2x－3，其斜率为2，化为截距式为＋＝1. 课后课时精练 基础题(占比60%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 难度 ★ ★ ★ ★ ★ ★★ ★ 考向 直线的一般式方程 直线的一般式方程与其他形式的互化 直线的一般式方程与其他形式的互化 直线的一般式方程 一般式下直线的平行与垂直问题 直线的一般式方程 直线的一般式方程与其他形式的互化 考点 求直线的一般式方程 一般式与斜截式 一般式与斜截式 特殊方程 判断点与直线、直线与直线的位置关系 直线一般式方程的综合应用 一般式与斜截式 题号 8 9 10 11 12 13 14 难度 ★ ★★ ★ ★★ ★★★ ★★ ★★★ 考向 一般式下直线的平行与垂直问题 直线的一般式方程 一般式下直线的平行与垂直问题 一般式下直线的平行与垂直问题 直线的一般式方程与其他形式的互化 直线的一般式方程 直线的一般式方程 考点 利用垂直关系求参数 求直线的一般式方程 利用平行、垂直关系求参数 利用垂直关系解决最值问题 一般式与截距式、斜截式 求直线的一般式方程 求直线的一般式方程 一、选择题 1．过点P(－1，3)且垂直于直线x－2y＋3＝0的直线的一般式方程为(　　) A．2x＋y－1＝0 B．2x＋y－5＝0 C．x＋2y－5＝0 D．x－2y＋7＝0 答案：A 解析：∵直线x－2y＋3＝0的斜率为，∴所求直线的斜率为－2，又过点P(－1，3)，∴直线方程为y－3＝－2(x＋1)，整理得2x＋y－1＝0. 2．若AB<0，BC>0，则直线Ax－By－C＝0不经过的象限是(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案：A 解析：由Ax－By－C＝0得y＝x－，又AB<0，BC>0，所以直线的斜率<0，在y轴上的截距－<0，所以直线经过第二、三、四象限，不经过第一象限．故选A. 3．直线mx＋ny＋3＝0在y轴上的截距为－3，且它的斜率是直线x－y＝3的斜率的相反数，则(　　) A．m＝－，n＝1 B．m＝－，n＝－1 C．m＝，n＝－1 D．m＝，n＝1 答案：D 解析：因为直线mx＋ny＋3＝0在y轴上的截距为－3，所以0－3n＋3＝0，解得n＝1.因为直线x－y＝3的斜率为，由已知可得，直线mx＋ny＋3＝0的斜率为－，即－＝－，所以m＝.故选D. 4．将直线l：y＝－(x－2)绕点(2，0)顺时针旋转30°得到直线l′，则直线l′的一般式方程为(　　) A．x＋y＋1＝0 B．x＋2y－1＝0 C．－x＋2y－3＝0 D．x－2＝0 答案：D 解析：由已知，可得直线l的倾斜角为120°，绕点(2，0)顺时针旋转30°后，所得直线l′的倾斜角为120°－30°＝90°，直线l′恰好与x轴垂直，其方程为x＝2.故选D. 5．已知点P(x0，y0)是直线l：Ax＋By＋C＝0外一点，则方程Ax＋By＋C＋(Ax0＋By0＋C)＝0表示(　　) A．过点P且与l垂直的直线 B．过点P且与l平行的直线 C．不过点P且与l垂直的直线 D．不过点P且与l平行的直线 答案：D 解析：∵点P(x0，y0)不在直线Ax＋By＋C＝0上，∴Ax0＋By0＋C≠0，∴直线Ax＋By＋C＋(Ax0＋By0＋C)＝0不经过点P.直线Ax＋By＋C＋(Ax0＋By0＋C)＝0与直线l：Ax＋By＋C＝0平行．故选D. 6．(多选)下列说法正确的是(　　) A．直线x－y－3＝0与两坐标轴围成的三角形的面积是 B．若三条直线x＋y＝0，x－y＝0，x＋ay＝3－a不能构成三角形，则实数a的取值集合为{－1，1} C．经过点(1，2)且在x轴和y轴上截距相等的直线方程为x＋y－3＝0或x－y＋1＝0 D．若直线ax＋by＋c＝0经过第一、二、四象限，且c<0，则a>0，b>0 答案：AD 解析：对于A，直线x－y－3＝0与x轴和y轴的交点分别为(3，0)和(0，－3)，三角形的面积为，A正确；对于B，由三条直线x＋y＝0，x－y＝0，x＋ay＝3－a不能构成三角形，可得1－a＝0或a＋1＝0或直线x＋ay＝3－a过点(0，0)，解得a＝1或a＝－1或a＝3，B错误；对于C，当直线经过原点时，y＝2x，当直线不经过原点时，设直线方程为＋＝1，代入点(1，2)，即＋＝1，解得a＝3，故直线方程为x＋y－3＝0，C错误；对于D，由题意知，直线ax＋by＋c＝0在x轴、y轴上的截距均大于0，则－>0，－>0，又c<0，则a>0，b>0，D正确．故选AD. 二、填空题 7．若直线(2t－3)x＋y＋6＝0不经过第一象限，则t的取值范围为________． 答案： 解析：直线方程可化为y＝(3－2t)x－6，所以3－2t≤0，解得t≥. 8．已知直线m：(a＋2)x＋ay＋3＝0，n：ax＋2y－4＝0，若m⊥n，则实数a＝________． 答案：0或－4 解析：直线m：(a＋2)x＋ay＋3＝0，n：ax＋2y－4＝0，由m⊥n，得a(a＋2)＋2a＝0，所以a＝0或a＝－4. 9．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0，2)，B(－2，0)，C(1，0)，分别以AB，AC为边向外作正方形ABEF与ACGH，则点H的坐标为________，直线FH的一般式方程为________________． 答案：(2，3)　x＋4y－14＝0 解析：分别过H，F作y轴的垂线，垂足分别为M，N，∵四边形ACGH为正方形，∴Rt△AHM≌Rt△CAO，可得|AM|＝|CO|，|MH|＝|OA|.∵A(0，2)，C(1，0)，∴|MH|＝|OA|＝2，|AM|＝|CO|＝1，可得|OM|＝|OA|＋|AM|＝3，由此可得点H的坐标为(2，3)，同理得F(－2，4)，∴直线FH的斜率为k＝＝－，可得直线FH的方程为y－3＝－(x－2)，化简得x＋4y－14＝0. 三、解答题 10．已知两直线l1：mx＋8y＋n＝0和l2：2x＋my－1＝0，则m，n满足什么条件时，分别有 (1)l1∥l2； (2)l1⊥l2，且l1在y轴上的截距为－1. 解：(1)∵l1∥l2，∴ 解得或 ∴当m＝4，n≠－2或m＝－4，n≠2时，l1∥l2. (2)解法一：∵l1在y轴上的截距为－1， ∴n＝8，∴l1：mx＋8y＋8＝0. 当m＝0时，l1：y＝－1，l2：x＝，满足l1⊥l2； 当m≠0时，k1＝－，k2＝－， 则k1k2＝－×＝≠－1， ∴l1与l2不垂直． 综上，当m＝0，n＝8时，l1⊥l2，且l1在y轴上的截距为－1. 解法二：由题意，得 解得 ∴当m＝0，n＝8时，l1⊥l2，且l1在y轴上的截距为－1. 11．已知a>0，b>0，直线l1：(a－1)x＋y－1＝0，l2：x＋2by＋1＝0，且l1⊥l2，则＋的最小值为(　　) A．2 B．4 C．8 D．9 答案：C 解析：因为l1⊥l2，所以(a－1)×1＋1×2b＝0，即a＋2b＝1，因为a>0，b>0，所以＋＝(a＋2b)＝2＋2＋＋≥4＋2＝8，当且仅当＝，a＋2b＝1，即a＝，b＝时，等号成立，所以＋的最小值为8.故选C. 12．已知直线l过点(0，4)，且与直线x－y＋4＝0及x轴围成等腰三角形，则直线l的方程为______________________． 答案：x＋y－4＝0或x－y＋4＝0 解析：设A(0，4)，直线x－y＋4＝0过点A(0，4)和B，当直线l的方程为x＝0时，直线l，直线x－y＋4＝0与x轴围成的三角形是△AOB，不是等腰三角形，所以直线l的斜率存在．设点B关于y轴的对称点为C， 当直线l过A，C两点时，|AB|＝|AC|，△ABC是等腰三角形，同时由于直线AB的斜率为，倾斜角为，所以△ABC是等边三角形，所以|AC|＝|BC|，此时直线l的方程为＋＝1，即x＋y－4＝0；当直线l不过点C时，设直线l与x轴相交于点D，如图所示，若|AB|＝|BD|，则易知∠ADB＝，所以直线AD，即直线l的斜率为，直线l的方程为y＝x＋4，即x－y＋4＝0.综上，直线l的方程为x＋y－4＝0或x－y＋4＝0. 13．已知在△ABC中，点A的坐标为(1，3)，AB，AC边上的中线所在直线的方程分别为x－2y＋1＝0和y－1＝0，求△ABC各边所在直线的一般式方程． 解：设AB，AC边上的中线分别为CD，BE，其中D，E分别为AB，AC的中点， ∵点B在中线BE：y－1＝0上， ∴设点B的坐标为(x，1)． 又点A的坐标为(1，3)，D为AB的中点， ∴由中点坐标公式得点D的坐标为. 又点D在中线CD：x－2y＋1＝0上， ∴－2×2＋1＝0， 解得x＝5， ∴点B的坐标为(5，1)． 同理可求出点C的坐标为(－3，－1)． 故可求出△ABC三边AB，BC，AC所在直线的一般式方程分别为x＋2y－7＝0，x－4y－1＝0和x－y＋2＝0. 14．如图，在平行四边形OABC中，O是原点，点A和点C的坐标分别是(3，0)，(1，3)，D为线段AB上的动点． (1)当D运动到AB中点时，求直线CD的一般式方程； (2)求线段CD的中点M的轨迹方程． 解：(1)由平行四边形的性质，得点B的坐标是(4，3)， ∵A(3，0)，∴D， ∵C(1，3)，∴直线CD的斜率kCD＝－， ∴直线CD的方程是y－3＝－(x－1)， 化简得3x＋5y－18＝0. (2)∵A(3，0)，B(4，3)， ∴直线AB的方程为3x－y－9＝0. 设点M的坐标是(x，y)，点D的坐标是(x0，y0)， ∵M是线段CD的中点， ∴x＝，y＝，于是有x0＝2x－1，y0＝2y－3， ∵点D在线段AB上运动， ∴3x0－y0－9＝0(3≤x0≤4)， ∴3(2x－1)－(2y－3)－9＝0， 即6x－2y－9＝0. ∴线段CD的中点M的轨迹方程为6x－2y－9＝0. 3 学科网（北京）股份有限公司 $$