2.2.1 直线的点斜式方程-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册创新导学案全书Word（人教A版2019）

数学　选择性必修 第一册 RJ 2.2.1　直线的点斜式方程 (教师独具内容) 课程标准：根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线的点斜式方程与斜截式方程． 教学重点：会求直线的点斜式方程、斜截式方程． 教学难点：能利用直线的点斜式方程、斜截式方程解决相应的问题． 核心素养：通过推导直线的点斜式方程及斜截式方程的过程，提升逻辑推理及数学抽象素养． 知识点一　直角坐标系中确定一条直线的几何要素 在平面直角坐标系中，给定一个点P0(x0，y0)和斜率k(或倾斜角)，就能唯一确定一条直线． 知识点二　直线的点斜式方程(简称点斜式) 已知条件 直线经过点P(x0，y0)，且斜率为k 方程形式 y－y0＝k(x－x0) 特别情况 经过点P(x0，y0)且斜率为0的直线方程为y＝y0 [说明]　(1)经过点P(x0，y0)的直线有无数条，可分为两类： ①斜率存在的直线，其方程可用点斜式求出； ②斜率不存在的直线，其方程不能用点斜式，方程为x＝x0. (2)方程y－y0＝k(x－x0)与方程k＝不是等价的，前者是整条直线，后者表示一条直线去掉点P(x0，y0)． 知识点三　直线的斜截式方程(简称斜截式) 已知条件 直线的斜率为k，且在y轴上的截距为b 方程形式 y＝kx＋b [提醒]　(1)直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特殊情况，它们只适用于直线斜率存在的情况． (2)“直线在y轴上的截距为b”的含义是直线与y轴的交点(0，b)的纵坐标为b，注意截距不是距离，其可正、可负、可为零． [想一想]　斜截式与一次函数的解析式相同，都是y＝kx＋b的形式，两者之间有哪些区别？ 提示：当k≠0时，y＝kx＋b即为一次函数；当k＝0时，y＝b，不是一次函数，一次函数y＝kx＋b(k≠0)必是一条直线的斜截式方程． 1．(点斜式)已知直线的方程是y＋2＝－x－1，则(　　) A．直线经过点(－1，2)，且斜率为－1 B．直线经过点(2，－1)，且斜率为－1 C．直线经过点(－1，－2)，且斜率为－1 D．直线经过点(－2，－1)，且斜率为1 答案：C 2．(点斜式)过点P(－1，2)，倾斜角为60°的直线的点斜式方程为__________________． 答案：y－2＝(x＋1) 3．(斜截式)已知直线l：y＝2－x，则直线l的斜率是________，在y轴上的截距为________． 答案：－　2 4．(斜截式)斜率为2，过点A(0，3)的直线的斜截式方程为______________． 答案：y＝2x＋3 题型一　求直线的点斜式方程　 例1　写出下列直线的点斜式方程： (1)经过点(－1，4)且倾斜角为135°的直线； (2)过点P(3，－4)且与x轴平行的直线； (3)过点P(1，2)且与直线y＝2x＋1平行的直线； (4)直线y＝x＋1绕着其上一点P(3，4)逆时针旋转90°后得到的直线． [解]　(1)由题意知，直线的斜率k＝tan135°＝－1，故所求直线的点斜式方程为y－4＝－[x－(－1)]，即y－4＝－(x＋1)． (2)与x轴平行的直线，其斜率k＝0，由直线的点斜式方程可得直线方程为y－(－4)＝0×(x－3)，即y＝－4. (3)由题意知，所求直线的斜率为2，且过点P(1，2)，所以所求直线的方程为y－2＝2(x－1)． (4)直线y＝x＋1的斜率k＝1.由题意知，所求直线与直线y＝x＋1垂直，所以所求直线的斜率k′＝－1，又点P(3，4)在所求直线上，由点斜式方程知，所求直线的方程为y－4＝－(x－3)． 【感悟提升】　求直线的点斜式方程的步骤 【跟踪训练】　 1．求分别满足下列条件的直线方程，如果能用点斜式表示的，请用点斜式表示． (1)过点P(－4，3)，斜率k＝－3； (2)经过点(2，－3)，倾斜角是直线y＝x的倾斜角的2倍； (3)经过点(－5，2)，且平行于y轴； (4)过P(－2，3)，Q(5，－4)两点． 解：(1)直线过点P(－4，3)，斜率k＝－3， 由直线的点斜式方程得， 所求直线的方程为y－3＝－3(x＋4)． (2)∵直线y＝x的斜率为， ∴直线y＝x的倾斜角为30°. ∴所求直线的倾斜角为60°，故其斜率为. ∴所求直线的方程为y＋3＝(x－2)． (3)∵直线平行于y轴，∴直线的斜率不存在， ∴所求直线的方程为x＝－5. (4)过点P(－2，3)，Q(5，－4)的直线的斜率kPQ＝＝＝－1. 又直线过点P(－2，3)，∴由直线的点斜式方程可得，所求直线的方程为y－3＝－(x＋2)． 题型二　求直线的斜截式方程　 例2　根据条件写出下列直线的斜截式方程： (1)斜率为2，在y轴上的截距是5； (2)倾斜角为，在y轴上的截距是－2； (3)倾斜角为，与y轴的交点到原点的距离为3. [解]　(1)由直线的斜截式方程可知，所求直线的方程为y＝2x＋5. (2)由于倾斜角α＝，则斜率k＝tan＝－，由斜截式可得所求直线的方程为y＝－x－2. (3)由于直线的倾斜角为，则其斜率k＝tan＝－.由于直线与y轴的交点到原点的距离为3，则直线在y轴上的截距b＝3或b＝－3，故所求直线的方程为y＝－x＋3或y＝－x－3. 【感悟提升】　直线的斜截式方程的求解策略 (1)用斜截式求直线方程，只要确定直线的斜率和截距即可，同时要特别注意截距和距离的区别． (2)直线的斜截式方程y＝kx＋b不仅形式简单，而且特点明显，k是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距，只要确定了k和b的值，直线方程就确定了．因此，在解决直线问题时，常通过把直线方程化为斜截式方程，利用k，b的几何意义进行判断． 【跟踪训练】　 2．(1)写出斜率为－1，在y轴上截距为－2的直线的斜截式方程； (2)求过点A(6，－4)，斜率为－的直线的斜截式方程； (3)已知直线方程为y－1＝－2(x－1)，求直线的斜率、在y轴上的截距，以及与y轴交点的坐标． 解：(1)易知k＝－1，b＝－2，由直线的斜截式方程知，所求直线的方程为y＝－x－2. (2)由于直线斜率k＝－，且过点A(6，－4)，根据直线的点斜式方程得直线方程为y＋4＝－(x－6)，化为斜截式方程为y＝－x＋4. (3)直线方程y－1＝－2(x－1)可化为y＝－2x＋3，由直线的斜截式方程知，直线的斜率k＝－2，在y轴上的截距b＝3，直线与y轴交点的坐标为(0，3)． 题型三　平行与垂直问题　 例3　(1)当a为何值时，直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行？ (2)当a为何值时，直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直？ [解]　(1)由题意可知，直线l1的斜率k1＝－1，直线l2的斜率k2＝a2－2. ∵l1∥l2，∴解得a＝－1. 故当a＝－1时，直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行． (2)由题意可知，直线l1的斜率k1＝2a－1，直线l2的斜率k2＝4. ∵l1⊥l2，∴4(2a－1)＝－1，解得a＝. 故当a＝时，直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直． 　在本例(1)中若改为“l1：y＝－ax＋2a”，又如何求a的值？ 解：由题意可知，直线l1的斜率k1＝－a，直线l2的斜率k2＝a2－2. ∵l1∥l2，∴解得a＝－2. ∴当a＝－2时，直线l1：y＝－ax＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行． 【感悟提升】　两条直线平行和垂直的判定 (1)平行的判定(两条直线的斜率都存在) (2)垂直的判定(两条直线的斜率都存在) 提醒：若已知含参数的两条直线平行或垂直，求参数的值时，要注意讨论斜率是否存在，若是平行关系，注意考虑b1≠b2这个条件． 【跟踪训练】　 3．(1)已知直线l过点A(2，－3)，直线l′过点(－4，4)和(－3，2)，根据下列条件，求直线l的方程． ①直线l与l′平行； ②直线l与l′垂直． 解：由斜率公式得直线l′的斜率 k′＝＝－2， ①∵l与l′平行，∴直线l的斜率k＝－2. 由直线的点斜式方程知y＋3＝－2(x－2)， ∴直线l的方程为y＝－2x＋1. ②∵l与l′垂直，∴直线l的斜率k＝. 由直线的点斜式方程知y＋3＝(x－2)， ∴直线l的方程为y＝x－4. (2)已知直线l1：y＝－x＋和直线l2：6my＝－x＋4，问：m为何值时，直线l1与l2平行？m为何值时，直线l1与l2垂直？ 解：当m＝0时，直线l1：y＝，直线l2：x＝4， 直线l1与l2垂直； 当m≠0时，直线l2的方程可化为y＝－x＋. 由得m＝－； 而－×＝－1无解． 故当m＝－时，直线l1与l2平行； 当m＝0时，直线l1与l2垂直． 1．经过点(4，1)，且斜率为3的直线的点斜式方程为(　　) A．y－1＝3(x－4) B．y－1＝3(x＋4) C．y＋1＝3(x＋4) D．y－1＝－3(x－4) 答案：A 解析：经过点(4，1)，且斜率为3的直线的点斜式方程为y－1＝3(x－4)． 2．(多选)已知直线l：y＝mx＋1，A(1，2)，B(3，3)，则下列结论正确的是(　　) A．当m＝1时，直线l的倾斜角为45° B．当m＝0时，直线l的斜率不存在 C．直线l恒过定点(0，1) D．当m＝－2时，直线l与直线AB垂直 答案：ACD 解析：对于A，当m＝1时，直线l的斜率为1，所以直线l的倾斜角为45°，故A正确；对于B，当m＝0时，直线l的方程为y＝1，直线l的斜率存在，且为0，故B错误；对于C，直线l的方程可化为y－1＝m(x－0)，所以直线l恒过定点(0，1)，故C正确；对于D，由题意可得，直线AB的斜率kAB＝＝，直线l的斜率为m，当m＝－2时，因为－2×＝－1，所以直线l与直线AB垂直，故D正确．故选ACD. 3．过点(－3，2)且与直线y－1＝(x＋5)平行的直线的点斜式方程是________________． 答案：y－2＝(x＋3) 解析：∵所求直线与直线y－1＝(x＋5)平行，∴所求直线的斜率为，又所求直线过点(－3，2)，∴所求直线的点斜式方程为y－2＝(x＋3)． 4．已知直线y＝－x＋5的倾斜角是直线l的倾斜角的大小的5倍．若直线l过点P(3，－4)，则直线l的方程为________________；若直线l在y轴上的截距为3，则直线l的方程为________________． 答案：y＝x－－4　y＝x＋3 解析：设直线y＝－x＋5的倾斜角为α，则直线y＝－x＋5的斜率k＝tanα＝－，∴α＝150°，故所求直线l的倾斜角为30°，斜率k′＝.过点P(3，－4)，由点斜式方程，得y＋4＝(x－3)，即y＝x－－4.直线l在y轴上的截距为3，由斜截式方程得直线l的方程为y＝x＋3. 课后课时精练 基础题(占比60%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 难度 ★ ★ ★ ★ ★ ★★ ★ 考向 直线的斜截式方程 直线的点斜式方程 直线的点斜式方程 直线的斜截式方程 直线的点斜式方程；直线的斜截式方程；平行与垂直问题 直线的斜截式方程 直线的点斜式方程 考点 确定直线位置 确定直线经过的点及倾斜角 求直线的点斜式方程 求直线的斜截式方程 特殊方程；直线的点斜式、斜截式方程的适用范围；利用平行关系求参数 直线的斜截式方程的综合应用 求直线的点斜式方程 题号 8 9 10 11 12 13 14 难度 ★ ★★ ★ ★★ ★★ ★★★ ★★★ 考向 平行与垂直问题；直线的斜截式方程 直线的斜截式方程 平行与垂直问题 直线的斜截式方程 直线的点斜式方程；直线的斜截式方程 直线的点斜式方程；直线的斜截式方程 直线的点斜式方程；直线的斜截式方程 考点 利用垂直关系求直线的斜截式方程 利用直线的斜截式方程求参数 利用平行、垂直关系求直线方程 确定直线位置 求直线的斜截式方程 定点问题 定点问题 一、选择题 1．直线y＝－3x＋5不经过的象限为(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案：C 解析：如图，画出直线可看出直线y＝－3x＋5不过第三象限．故选C. 2．已知直线方程y－3＝(x－4)，则这条直线经过的点、倾斜角分别为(　　) A．(4，3)，60° B．(－3，－4)，30° C．(4，3)，30° D．(－4，－3)，60° 答案：A 解析：由直线的点斜式方程易知直线过点(4，3)，且斜率为，所以倾斜角为60°. 3．经过点(－1，1)，且斜率是直线y＝x－2的斜率的2倍的直线方程是(　　) A．x＝－1 B．y＝1 C．y－1＝(x＋1) D．y－1＝2(x＋1) 答案：C 解析：∵y＝x－2的斜率为，∴所求直线的斜率为，又过点(－1，1)，∴其直线方程为y－1＝(x＋1)． 4．直线l的斜率为方程x2－2x＋1＝0的根，且在y轴上的截距为5，则直线l的方程为(　　) A．y＝－x＋5 B．y＝x－5 C．y＝x＋5 D．y＝5 答案：C 解析：由题意，方程x2－2x＋1＝0的根为1，所以k＝1，又在y轴上的截距为5，所以直线l的方程为y＝x＋5.故选C. 5．(多选)下列四个结论中正确的是(　　) A．若直线l过点P(x1，y1)，且倾斜角为，则其方程为x＝x1 B．若直线l过点P(x1，y1)，且斜率为0，则其方程为y＝y1 C．所有直线都有点斜式和斜截式方程 D．若两条直线y＝ax－2与y＝(2－a)x＋1互相平行，则a＝1 答案：ABD 解析：易知A，B均正确；对于C，点斜式与斜截式方程只适用斜率存在的直线，所以C错误；对于D，若两条直线平行，则a＝2－a，解得a＝1，所以D正确．故选ABD. 6．(多选)对于直线l：x＝my＋1，下列说法正确的是(　　) A．直线l恒过定点(1，0) B．直线l的斜率必定存在 C．当m＝时，直线l的倾斜角为60° D．当m＝2时，直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为 答案：AD 解析：对于直线l：x＝my＋1，令y＝0，则x＝1，所以直线l恒过定点(1，0)，故A正确；当m＝0时，直线l：x＝1，斜率不存在，故B错误；当m＝时，直线l：x＝y＋1，斜率为，此时直线l的倾斜角为30°，故C错误；当m＝2时，直线l：x＝2y＋1，与两坐标轴的交点坐标分别为，(1，0)，所以直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为×1×＝，故D正确．故选AD. 二、填空题 7．已知过定点(4，5)的直线m的一个方向向量是d＝(3，2)，则直线m的点斜式方程为________． 答案：y－5＝(x－4) 解析：因为直线m的一个方向向量是d＝(3，2)，所以直线m的斜率为.又直线过点(4，5)，所以直线m的点斜式方程为y－5＝(x－4)． 8．已知直线l与直线y＝x＋4互相垂直，直线l与直线y＝x＋6在y轴上的截距相等，则直线l的方程为______________． 答案：y＝－2x＋6 解析：因为直线l与直线y＝x＋4垂直，所以直线l的斜率k＝－2.又因为直线y＝x＋6在y轴上的截距为6，所以直线l在y轴上的截距为6，所以直线l的方程为y＝－2x＋6. 9．设点A(－1，0)，B(1，0)，直线y＝－2x＋b与线段AB相交，则b的取值范围为________． 答案：[－2，2] 解析：b为直线y＝－2x＋b在y轴上的截距，如图，当直线y＝－2x＋b过点A(－1，0)和点B(1，0)时，b分别取得最小值和最大值，所以b的取值范围是[－2，2]． 三、解答题 10．已知点A(1，2)和直线l：y＝－x＋，求： (1)过点A与直线l平行的直线l1的方程； (2)过点A与直线l垂直的直线l2的方程． 解：由y＝－x＋， 得直线l的斜率k＝－. (1)∵l∥l1，∴直线l1的斜率k1＝k＝－. ∴直线l1的方程为y－2＝－(x－1)， 即y＝－x＋. (2)∵l⊥l2，∴k2k＝－1，∴k2＝. ∴直线l2的方程为y－2＝(x－1)， 即y＝x＋. 11．(多选)在同一坐标系中，直线l1：y＝ax＋b与l2：y＝bx－a的大致位置正确的是(　　) 答案：BC 解析：因为l1：y＝ax＋b，l2：y＝bx－a.对于A，由题图可得直线l1的斜率a<0，在y轴上的截距b<0，而l2的斜率b>0，矛盾，故A错误；对于B，由题图可得直线l1的斜率a>0，在y轴上的截距b<0，而l2的斜率b<0，在y轴上的截距－a<0，即a>0，符合题意，故B正确；对于C，由题图可得直线l1的斜率a<0，在y轴上的截距b>0，而l2的斜率b>0，在y轴上的截距－a>0，即a<0，符合题意，故C正确；对于D，由题图可得直线l1的斜率a>0，在y轴上的截距b>0，而l2的斜率b<0，矛盾，故D错误．故选BC. 12．已知直线l：y＝2x－1.若直线l绕着点A(1，1)逆时针旋转与直线l1重合，则l1的斜截式方程是__________；若直线l绕着点A(1，1)顺时针旋转与直线l2重合，则l2的斜截式方程是________________． 答案：y＝－3x＋4　y＝x＋ 解析：设直线l的倾斜角为α，则tanα＝2，所以＜α＜，由题意得，直线l1的倾斜角为α＋，直线l2的倾斜角为α－，则tan＝＝－3，tan＝＝，所以直线l1：y－1＝－3(x－1)，即y＝－3x＋4，直线l2：y－1＝(x－1)，即y＝x＋. 13．已知直线l：y＝ax－＋. (1)求证：不论a为何值，直线l总过第一象限； (2)当直线l不过第二象限时，求a的取值范围． 解：(1)证明：直线l的方程可化为y－＝a， 由点斜式方程可知，直线l的斜率为a，且过定点A，由于点A在第一象限，所以直线l总过第一象限． (2) 如图，当直线l介于直线AO与AP之间时，直线l不过第二象限， 又kAO＝＝3，直线AP的斜率不存在， 所以a的取值范围为[3，＋∞)． 14．已知直线l：y＝kx＋2k＋1. (1)求证：直线l过定点； (2)当－3<x<3时，直线l上的点都在x轴上方，求实数k的取值范围． 解：(1)证明：由y＝kx＋2k＋1， 得y－1＝k(x＋2)． 由点斜式方程可知，直线l过定点(－2，1)． (2)设函数f(x)＝y＝kx＋2k＋1，显然其图象是一条直线(如图所示)． 若－3<x<3时，直线l上的点都在x轴上方， 需满足 即解得－≤k≤1. 所以实数k的取值范围是. 13 学科网（北京）股份有限公司 $$