1.1.2 空间向量的数量积运算-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册创新导学案全书Word（人教A版2019）

数学　选择性必修 第一册 RJ 1.1.2　空间向量的数量积运算 (教师独具内容) 课程标准：1.掌握空间向量的数量积.2.了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义.3.能初步运用数量积解决空间中的垂直、夹角及距离问题． 教学重点：数量积运算在空间几何体中的应用． 教学难点：空间向量数量积性质的应用． 核心素养：在理解并应用空间向量数量积的过程中，掌握相关概念和方法，培养数学抽象及数学运算素养． 知识点一　空间向量的夹角 如果〈a，b〉＝，那么向量a，b互相垂直，记作a⊥b． [说明]　因为向量是自由向量，空间中的任意两个向量都能平移到同一平面内，因此，空间中两向量的夹角的实质就是平面内两向量的夹角． 知识点二　空间向量的数量积 (1)定义 已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． 特别地，零向量与任意向量的数量积为0. (2)由向量的数量积定义，可以得到： ①a⊥b⇔a·b＝0． ②a·a＝|a||a|cos〈a，a〉＝|a|2． (3)向量的投影 ①如图1，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝|a|cos〈a，b〉，向量c称为向量a在向量b上的投影向量．类似地，可以将向量a向直线l投影(如图2)． ②如图3，向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到向量，向量称为向量a在平面β上的投影向量．这时，向量a，的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角． (4)运算律 ①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R. ②a·b＝b·a(交换律)． ③(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)． [提醒]　(1)向量a，b的数量积记为a·b，而不能表示为a×b或者ab. (2)空间向量的数量积运算不满足消去律和结合律，即a·b＝a·c⇒b＝c，(a·b)·c＝a·(b·c)都不成立． 1．(空间向量的数量积)若空间向量a与b满足|a|＝1，|b|＝2，且a与b的夹角为，则a·b＝(　　) A．1 B．2 C. D．－ 答案：A 2．(空间向量的夹角)已知a，b是空间两个向量，且|a|＝，|b|＝，a·b＝－，则a与b的夹角为(　　) A. B. C. D. 答案：C 3．(空间向量的投影向量)已知空间向量a，b满足|a|＝，|b|＝，cos〈a，b〉＝，则a在b上的投影向量为(　　) A.b B.b C.b D.b 答案：D 4．(多选)(空间向量数量积的运算律)设a，b为空间中任意两个非零向量，下列各式中正确的是(　　) A.＝ B．a2＝|a|2 C．(a·b)2＝a2·b2 D．(a－b)2＝a2－2a·b＋b2 答案：BD 5．(空间向量的模)若a，b，c为两两垂直的三个空间单位向量，则|2a＋2b－3c|＝________． 答案： 题型一　空间向量的夹角　 例1　如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，求向量分别与向量，，，，的夹角． [解]　 如图，连接BD，则在正方体ABCD－A′B′C′D′中，AC⊥BD，∠BAC＝45°，AC＝AD′＝CD′，所以〈，〉＝〈，〉＝45°，〈，〉＝180°－〈，〉＝135°，〈，〉＝∠D′AC＝60°，〈，〉＝180°－〈，〉＝180°－60°＝120°，〈，〉＝〈，〉＝90°. 【感悟提升】　 (1)只有两个非零空间向量才有夹角，当两个非零空间向量共线同向时，夹角为0，共线反向时，夹角为π. (2)对空间任意两个非零向量a，b有①〈a，b〉＝〈b，a〉；②〈－a，b〉＝〈a，－b〉；③〈－a，－b〉＝〈a，b〉． 【跟踪训练】　 1．在正四面体ABCD中，与的夹角为(　　) A．30° B．60° C．150° D．120° 答案：D 解析：〈，〉＝180°－〈，〉＝180°－60°＝120°. 题型二　求空间向量的数量积　 例2　如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，E，F分别是AB，AD的中点，计算： (1)·；(2)·；(3)·；(4)·. [解]　(1)·＝· ＝||||cos〈，〉 ＝×1×1×cos60°＝. (2)·＝·＝||2＝. (3)·＝·＝||||·cos〈，〉＝×1×1×cos120°＝－. (4)·＝(＋)·(＋) ＝[·(－)＋·(－)＋·＋·] ＝[－·－·＋(－)·＋·] ＝×＝－. 【感悟提升】　 1．空间向量数量积运算的两种方法 (1)利用定义：利用a·b＝|a||b|cos〈a，b〉并结合运算律进行计算． (2)利用图形：计算两个向量的数量积，可先将各向量移到同一顶点，利用图形寻找夹角，再代入数量积公式进行运算． 2．在几何体中求空间向量数量积的步骤 (1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式． (2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积． (3)代入a·b＝|a||b|cos〈a，b〉求解． 【跟踪训练】　 2．设ABCD－A1B1C1D1是棱长为a的正方体，AC1与BD1相交于点O，则(　　) A.·＝a2 B.·＝a2 C.·＝a D.·＝a2 答案：B 解析：在正方体ABCD－A1B1C1D1中．对于A，·＝·(＋)＝2＋·＝a2，故A错误；对于B，·＝·(＋＋)＝2＋·＋·＝2＝a2，故B正确；对于C，·＝·＝·＝a2，故C错误；对于D，·＝·(－)＝·－2＝－a2，故D错误．故选B. 题型三　利用空间向量的数量积求夹角　 例3　如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，CA＝CB＝1，棱AA1＝2，则异面直线BA1与CB1所成角的余弦值为________． [解析]　因为＝－＝＋－，＝＋，所以||2＝2＝(＋－)2＝2＋2＋2＝12＋22＋12＝6，即||＝，||2＝2＝(＋)2＝2＋2＝12＋22＝5，即||＝，·＝(＋－)·(＋)＝2－2＝22－12＝3，所以cos〈，〉＝＝＝.所以异面直线BA1与CB1所成角的余弦值为. [答案]　 【感悟提升】　利用空间向量的数量积求夹角的方法 (1)由两个向量的数量积的定义得cos〈a，b〉＝，求〈a，b〉的大小，转化为求两个向量的数量积及两个向量的模，求出〈a，b〉的余弦值，进而求出〈a，b〉的大小． (2)利用向量的数量积求出两个向量的夹角，则这个夹角是两异面直线所成的角或其补角(注意异面直线所成的角的范围)． 【跟踪训练】　 3．已知空间四边形OABC各边及对角线长都相等，E，F分别为AB，OC的中点，则与夹角的余弦值为________． 答案：－ 解析：如图，设＝a，＝b，＝c，|a|＝|b|＝|c|＝1，易知∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝，则a·b＝b·c＝c·a＝.因为＝(＋)＝(a＋b)，＝－＝－＝c－b，||＝||＝，所以·＝(a＋b)·＝a·c＋b·c－a·b－b2＝－，所以cos〈，〉＝＝－.所以与夹角的余弦值为－. 题型四　利用空间向量的数量积求距离　 例4　已知正四面体ABCD的棱长为1，M为CD的中点，O为AM的中点，则BO的长为(　　) A. B. C. D. [解析]　 设＝a，＝b，＝c，因为正四面体ABCD的棱长为1，所以a·b＝|a||b|cos∠BAC＝，a·c＝b·c＝.因为M为CD的中点，O为AM的中点，所以＝＝(＋)＝(b＋c)，＝－＝－a＋b＋c，所以||＝＝＝.故选A. [答案]　A 【感悟提升】　 (1)线段长度的计算通常有两种方法：一是构造三角形，解三角形；二是向量法，计算相应向量的模，此时常需将待求向量转化为关系明确的向量(一般向几何体的棱上转化)． (2)应牢记并能熟练地应用公式 |a＋b＋c|＝＝. 【跟踪训练】　 4．自然界中，构成晶体的最基本的几何单元称为晶胞，其形状、大小与空间格子的平行六面体单位相同．如图是某种晶体的晶胞，其中a＝2，b＝c＝1，α＝60°，β＝90°，γ＝120°，则该晶胞的体对角线AC1的长为________． 答案： 解析：在晶胞各顶点标上字母，如图所示，则＝＋＋，由题可知||＝2，||＝||＝1，α＝∠A1AB＝60°，β＝∠A1AD＝90°，∠BAD＝180°－γ＝60°，所以||2＝|＋＋|2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·＝4＋1＋1＋2×2×1×cos60°＋2×2×1×cos60°＋2×1×1×cos90°＝10，故||＝. 题型五　利用空间向量的数量积判断或证明垂直问题　 例5　如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是棱CC1，BC，CD的中点，求证：A1G⊥平面DEF. [证明]　设正方体的棱长为a， ∵·＝(＋＋)·(＋)＝·＋·＋·＋·＋·＋·＝·＋·＝a2－a2＝0， ∴A1G⊥DF，同理可证A1G⊥DE， 又DF∩DE＝D，DF，DE⊂平面DEF， ∴A1G⊥平面DEF. 【感悟提升】　利用空间向量的数量积判断或证明线面垂直的思路 (1)由数量积的性质a⊥b⇔a·b＝0可知，要证两直线垂直，可在两直线上分别取一个向量，只要证明这两个向量的数量积为0即可． (2)用向量法证明线面垂直，离不开线面垂直的判定定理，需将线面垂直转化为线线垂直，然后利用向量法证明线线垂直即可． 【跟踪训练】　 5．如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝60°，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD.证明：PA⊥BD. 证明：由底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝60°，AB＝2AD知，DA⊥BD， 则·＝0. 由PD⊥底面ABCD知，PD⊥BD， 则·＝0. 又＝＋，∴·＝(＋)·＝·＋·＝0， 即PA⊥BD. 1．对于空间任意两个非零向量a，b，“a∥b”是“〈a，b〉＝0”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：B 解析：显然〈a，b〉＝0⇒a∥b，但a∥b包括向量a，b同向共线和反向共线两种情况，即当a∥b时，〈a，b〉＝0或π，因此a∥b〈a，b〉＝0.故“a∥b”是“〈a，b〉＝0”的必要不充分条件． 2．在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，则a·(b＋c)的值为(　　) A．1 B．0 C．－1 D．－2 答案：B 解析：由正方体的性质可得，⊥，⊥，故·＝0，·＝0，∵＝a，＝b，＝c，∴a·(b＋c)＝·(＋)＝·＋·＝0.故选B. 3．已知a，b是空间两个向量，且|a|＝1，|b|＝，a－b与a垂直，则a与b的夹角为(　　) A．60° B．30° C．135° D．45° 答案：D 解析：∵a－b与a垂直，∴(a－b)·a＝0，∴a·a－a·b＝|a|2－|a||b|cos〈a，b〉＝1－1××cos〈a，b〉＝0，∴cos〈a，b〉＝.∵0°≤〈a，b〉≤180°，∴〈a，b〉＝45°. 4．已知|a|＝4，空间向量e为单位向量，〈a，e〉＝，则空间向量a在向量e上的投影向量的模为(　　) A．2 B．－2 C．－ D. 答案：A 解析：由题意，|a|＝4，|e|＝1，〈a，e〉＝，则空间向量a在向量e上的投影向量的模为＝＝＝2.故选A. 5．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，设AD＝AA1＝1，AB＝2，P是C1D1的中点，则与夹角的大小为________，·＝________． 答案：60°　1 解析：解法一：连接A1D，则∠PA1D就是与的夹角，连接PD，在△PA1D中，易得PA1＝DA1＝PD＝，即△PA1D为等边三角形，从而∠PA1D＝60°，即与夹角的大小为60°.因此·＝××cos60°＝1. 解法二：根据向量的线性运算可得·＝(＋)·＝2＝1.由题意可得PA1＝B1C＝，则××cos〈，〉＝1，从而〈，〉＝60°. 课后课时精练 基础题(占比50%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比20%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 难度 ★ ★ ★ ★ ★★ ★★ ★ 考向 空间向量的数量积 空间向量数量积的概念 空间向量数量积的应用 空间向量数量积的应用 空间向量数量积的概念 空间向量数量积的应用 空间向量的数量积 考点 求空间向量的数量积 判断垂直、共线 求夹角 判断图形形状 投影向量 求夹角；求体积 利用空间向量的数量积求参数 题号 8 9 10 11 12 13 14 难度 ★ ★★ ★ ★★★ ★★★ ★★ ★★★ 考向 空间向量的数量积 空间向量数量积的应用 空间向量的数量积 空间向量数量积的应用 空间向量的数量积 空间向量数量积的应用 空间向量数量积的应用 考点 求空间向量的数量积 求距离 求空间向量的数量积 判断垂直；求最值 求空间向量的数量积 求距离 判断或证明垂直问题；求距离 一、选择题 1．在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，·＝(　　) A．2 B．4 C．2 D．4 答案：D 解析：在正方体ABCD－A1B1C1D1中，·＝0，＝，·＝·(＋)＝·＋·＝0＋22＝4.故选D. 2．已知非零空间向量a，b，c满足(a·b)c＝(a·c)b，(b·c)a＝(b·a)c，(c·a)b＝(c·b)a，这三个向量可构成两两共线的向量组的组数为(　　) A．3 B．2 C．1 D．3或0 答案：D 解析：由题意，可知向量a，b，c共线或两两互相垂直，此时三组向量中两两共线的有3组或0组．故选D. 3．空间四边形OABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝，则cos〈，〉＝(　　) A．0 B. C. D．－ 答案：A 解析：因为OB＝OC，所以||＝||，故·＝·(－)＝·－·＝||||cos－||||cos＝||||cos－||||cos＝0，所以〈，〉＝，故cos〈，〉＝0.故选A. 4．在三棱锥S－ABC中，(＋＋2)·(－)＝0，则△ABC是(　　) A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 答案：C 解析：∵＋＋2＝＋－2＝(－)＋(－)＝＋，－＝＝－，∴(＋＋2)·(－)＝(＋)·(－)＝2－2＝0，∴||＝||，即BC＝BA，∴△ABC是等腰三角形．故选C. 5. 如图，A1B1，AB分别是圆台上、下底面的两条直径，且AB＝2A1B1，AB∥A1B1，C1是弧上靠近点B1的三等分点，则在上的投影向量是(　　) A. B. C. D. 答案：C 解析：如图，取C1在下底面的投影C，作CD⊥AB，垂足为D.连接CA，CO，CC1，则∠COD＝，在上的投影向量是.设上底面的半径为r，则OD＝r，AD＝r＝AB.故在上的投影向量是.故选C. 6．(多选)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列命题为真命题的是(　　) A．(＋＋)2＝32 B.·(－)＝0 C.与的夹角为60° D．正方体的体积为||·(·) 答案：AB 解析：如图所示，(＋＋)2＝(＋＋)2＝2＝32，故A为真命题；·(－)＝·＝0，故B为真命题；与的夹角是与夹角的补角，而与的夹角为60°，故与的夹角为120°，故C为假命题；正方体的体积为||·||||，故D为假命题．故选AB. 二、填空题 7．已知空间向量a，b，|a|＝3，|b|＝5，m＝a＋b，n＝a＋λb，〈a，b〉＝135°，若m⊥n，则λ的值为________． 答案：－ 解析：由m⊥n，得(a＋b)·(a＋λb)＝0，∴a2＋λb2＋(1＋λ)a·b＝0，即18＋25λ＋(1＋λ)×3×5×cos135°＝0，∴λ＝－. 8．已知空间向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，|a|＝3，|b|＝1，|c|＝4，则a·b＋b·c＋c·a的值为________． 答案：－13 解析：∵a＋b＋c＝0，∴(a＋b＋c)2＝0，∴a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝0，∴a·b＋b·c＋c·a＝－＝－13. 9．在斜四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝BC＝CD＝AD＝1，BC∥AD，∠A1AB＝∠A1AD＝∠BAD＝，则||＝________． 答案： 解析：＝＋＋＝－＋＋，则||＝＝ ＝ ＝. 三、解答题 10. 已知在正三棱锥P－ABC中，M，N分别是线段AB，PC的中点，记＝a，＝b，＝c. (1)分别用a，b，c来表示向量，； (2)若a，b，c是两两垂直的单位向量，求向量与的数量积． 解：(1)由题意可知，＝＋＝a＋＝a＋(－)＝a＋b， ＝＋＝－b＋＝－b＋c. (2)由(1)可知， ·＝· ＝－a·b＋a·c＋b·c－b2， 若a，b，c是两两垂直的单位向量， 则a·b＝a·c＝b·c＝0，b2＝1， 所以·＝－. 11．(多选)如图所示四面体OABC中，OB＝OC＝4，OA＝3，OB⊥OC，且∠AOB＝∠AOC＝60°，＝，G为AD的中点，H是线段OA上的动点，则下列说法正确的是(　　) A.＝(＋＋) B．当H是靠近A的三等分点时，，，共面 C．当＝时，⊥ D.·的最小值为－1 答案：BCD 解析：由题意，知||＝3，||＝||＝4，∠AOB＝∠AOC＝60°，∠BOC＝90°，所以·＝·＝6，·＝0.对于A，因为＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝(－)＋(－)＝－＋＋，所以＝＋＝＋＝＋＝＋＋，故A错误；对于B，当H是靠近A的三等分点，即＝时，＝－＝－－＝－－，又＝－，所以＝－－，故，，共面，故B正确；对于C，当＝时，＝－＝－＝－－，所以·＝·＝2－·－·＝×9－×6－×6＝0，所以⊥，故C正确；对于D，设＝λ(0≤λ≤1)，因为＝－＝λ－(＋)＝λ－＝λ－－，所以·＝·λ＝λ22－·－·＝9λ2－6λ＝9－1，0≤λ≤1，当λ＝时，·有最小值，为－1，故D正确．故选BCD. 12．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，M，N为该正方体外接球O表面上的两点，P在正方体表面且不在直线MN上，若＝λ＋(1－λ)，则·的最小值为________． 答案：－ 解析：因为＝λ＋(1－λ)，所以M，O，N三点共线，则MN是球O的直径，又因为正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，所以该正方体外接球的半径R＝＝，所以·＝(＋)·(＋)＝2＋·(＋)＋·＝2＋·＝||2＋××cosπ≥－＝－. 13．如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，沿着它的对角线AC将△ACD折起，使AB与CD成60°角，求此时B，D间的距离． 解：∵∠ACD＝90°， ∴·＝0， 同理可得·＝0. ∵AB与CD成60°角， ∴〈，〉＝60°或〈，〉＝120°. 又＝＋＋， ∴||2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝3＋2×1×1×cos〈，〉， ∴当〈，〉＝60°时，||2＝4，此时B，D间的距离为2； 当〈，〉＝120°时，||2＝2，此时B，D间的距离为. 综上，B，D间的距离为2或. 14．如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，底面边长为. (1)设侧棱长为1，求证：AB1⊥BC1； (2)设AB1与BC1所成的角为，求侧棱的长． 解：(1)证明：＝＋，＝＋. ∵BB1⊥平面ABC， ∴·＝0，·＝0. 又△ABC为正三角形， ∴〈，〉＝π－〈，〉＝π－＝. ∵·＝(＋)·(＋)＝·＋·＋2＋·＝||||cos〈，〉＋2＝－1＋1＝0，∴AB1⊥BC1. (2)结合(1)知·＝||||·cos〈，〉＋2＝2－1. 又||＝＝ ＝||， ∴|cos〈，〉|＝＝， 又||>0， ∴||＝2，即侧棱的长为2. 18 学科网（北京）股份有限公司 $$