专题01 有关数轴的探索（3重难点题型）（题型专练）考试满分全攻略同步备考系列-2025-2026学年七年级数学上册（北师大版2024）

专题01 有关数轴的探索 题型梳理 题型方法 题型一 数轴中的折叠问题 题型二 数轴上循环规律问题 题型三 数轴上数的变化规律问题 题型方法 【题型一】数轴中的折叠问题 【例1】（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）如图，已知纸面上有一数轴，折叠纸面，表示的点和表示的点重合，则表示的点与表示（    ）的点重合．    A． B．6 C．3 D． 【答案】C 【分析】先根据已知条件确定对称点，然后再求出结论即可． 【详解】解：∵表示的点与表示的点重合， ∴折痕处所表示的数为：， ∴表示的点与数表示的点重合． 故选：C． 【点睛】本题主要考查数轴上的点和数之间的对应关系，结合数轴，找到对称中心是解决问题的关键． 【举一反三】【变式1】（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）长方形纸片上有一数轴，剪下个单位长度（从到）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图所示）．若这三条线段的长度之比为，则折痕处对应的点所表示的数可能是 【答案】或或 【分析】本题考查实数与数轴，熟练掌握数轴上点的特征，两点间距离的求法，折叠的性质，利用中点公式解决折叠问题是解题的关键．设三条线段的长分别是，，，由题意可得，求出，再分三种情况讨论：①当时；②当时；③当时；分别求解即可． 【详解】解：三条线段的长度之比为， 设三条线段的长分别是，，， 到的距离是， ， 解得， 三条线段的长分别为，，， 当时，折痕点表示的数是； ②当时，折痕点表示的数是； ③当时，折痕点表示的数是； 综上所述：折痕处对应的点表示的数可能或或． 故答案为：或或． 【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）在课后延时服务中，某数学小组在一张白纸上制作一条数轴，如图． 操作一： (1)折叠纸面，使表示1的点与表示的点重合，则表示的点与表示 ___________的点重合． 操作二： (2)折叠纸面，使表示的点与表示3的点重合，解答以下问题： ①表示5的点与在数轴上表示的点重合，求点表示的数． ②若数轴上，两点之间的距离为9（点在点的左侧），且，两点折叠后重合，求，两点表示的数． 【答案】(1)2 (2)①，② 【分析】本题考查了数轴的简单应用，解决数轴中的折叠问题，关键是找到折痕经过的数轴上表示的点． （1）根据表示1的点与表示的点重合，可得其中点为原点，则与2重合； （2）根据表示的点与表示3的点重合，可得其中点为表示1的点，再根据互相重合的两个点到中点的距离相等即可求解． 【详解】（1）解：表示1的点与表示的点重合， 折痕经过原点， 表示的点与表示2的点重合． 故答案为：2； （2）解：表示的点与表示3的点重合， ， 折痕经过表示1的点， ①， 点表示的数为； ②， ． ，两点表示的数分别为，5.5． 【变式3】（24-25七年级上·福建厦门·期中）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和点建立起一一对应的关系，揭示了代数与几何之间的内在联系，它是“数形结合”的基础，小安在一张长方形纸条上画了一条数轴，然后进行了实践探究： (1)折叠纸条，使表示1的点与表示的点重合，则表示的点与表示___________的点重合． (2)在数轴上A，B两点之间的距离为2024（点A在点B的左侧），折叠纸条，使表示6的点与表示的点重合．此时A，B两点也重合，则点A表示的数是___________． (3)定义：P，Q为数轴上任意两点，若折叠纸条使点P，Q重合，折痕与数轴的交点为点M，则称点M为点P和点Q的“叠点”． 点C，D，O在数轴上，点C是数轴上最大的负整数点，点O是原点，点D在点O的右侧且到点O的距离是7．折叠纸条使点C和点D重合，点E是点C和点D的“叠点”．若存在点F在点C与点D之间，且其在数轴上对应的数为m，．求点F到“叠点”E的距离． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查有理数与数轴；熟练掌握数轴上点的特征，两点间距离的求法，折叠的性质，利用中点公式解决折叠问题是解题的关键． （1）利用中点坐标公式求出折痕点，再求解即可； （2）①利用中点坐标公式求出折痕点，设A点表示的数是x，则B点表示的数是，根据中点坐标公式求出x，即可求解； （3）根据题意分别求得表示的数，进而即可求解． 【详解】（1）解：∵1表示的点和表示的点重合， ∴折叠点对应的数是0， ∴表示的点与表示的点重合， 故答案为：； （2）解：∵表示的点和表示的点重合， ∴折叠的点表示的数是， 设点表示的数是，则B点表示的数是， ∴， 解得， ∴点A表示的数， 故答案为：； （3）解：∵点C是数轴上最大的负整数点， ∴点C表示的数是， ∵点O是原点，点D在点O的右侧且到点O的距离是7， ∴点D表示的数是， ∵折叠纸条使点C和点D重合，点E是点C和点D的“叠点”． ∴点E表示的数是； ∵存在点F在点C与点D之间，且其在数轴上对应的数为m，． ∴，即点F表示的数是， ∴点F到“叠点”E的距离为． 【题型二】数轴上循环规律问题 【例2】（24-25七年级上·贵州贵阳·期中）如图，正六边形（每条边长相等、每个角相等）在数轴上的位置如图所示，点，对应的数分别为，．现将正六边形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点所对应的数为1，像这样连续翻转后数轴上2025这个数所对应的点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】本题考查了数轴，以及图形类规律探究，根据题意找出规律进行求解是解决本题的关键． 根据题意可得，翻转后数轴上点1，3，5，7，9，11的对应的点分别是A，B，C，D，E，F，根据规律进行判定即可得出答案． 【详解】解：根据题意可得，翻转后数轴上点1对应的是A， 数轴上点3对应的是B， 数轴上点5对应的是C， 数轴上点7对应的是D， 数轴上点9对应的是E， 数轴上点11对应的是F， …… 则， 所以连续翻转后数轴上2025这个数所对应的点是E． 故选：C． 【举一反三】【变式1】（24-25七年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，长方形的边在数轴上，O为原点，长方形的面积为，边长为4，将长方形沿数轴水平移动，移动后的长方形记为，移动后的长方形与原长方形重叠部分的面积为8，则点表示的数为（   ） A．4 B． C．2或 D．4或8 【答案】C 【分析】本题考查了用数轴上的点表示有理数，分类讨论当长方形向左平移时和向右平移时两种情况，求出的长度即可求解； 【详解】解：∵长方形的面积为，边长为4， ∴； 当长方形向左平移时， 由题意得 ：， ∴， 则点表示的数为2； 当长方形向右平移时， 同理可得， ∵， ∴， ∴， 则点表示的数为； 故选：C 【变式2】（24-25七年级上·河北保定·期中）正方形在数轴上的位置如图所示，点、对应的数分别为和，若正方形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，第次翻转后，点所对应的数为；则翻转次后，数轴上数所对应的点是 ． 【答案】点B 【分析】本题考查了数轴，数字字母规律问题，根据翻转的变化规律确定出每次翻转为一个循环组依次循环是解题的关键． 根据题意可知每次翻转为一个循环组依次循环，用除以，根据是否整除可知点在数轴上．然后进行计算即可得解． 【详解】解：每次翻转为一个循环组依次循环， ， 翻转次后点在数轴上， 点对应的数是， 数轴上数所对应的点是点 故答案为：点． 【变式3】（24-25七年级上·宁夏银川·期中）等边三角形（三条边都相等的三角形是等边三角形）纸板在数轴上的位置如图所示，点，对应的数分别为和，若绕着顶点逆时针方向在数轴上连续翻转，翻转第次后，点所对应的数为，则翻转次后，点所对应的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了数轴，根据翻转的变化规律确定出每次翻转为一个循环组依次循环是解题的关键．作出草图，不难发现，每次翻转为一个循环组依次循环，用除以，根据余数为可知点在数轴上，然后进行计算即可得解． 【详解】解：如图，每次翻转为一个循环组依次循环， ， 翻转次后点在数轴上， 点对应的数是． 故答案为：． 【题型三】数轴上数的变化规律问题 【例3】（21-22七年级上·福建龙岩·阶段练习）如图，在纸面所在的平面内，一只电子蚂蚁从数轴上表示原点的位置O点出发，按向上，向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位，其移动路线如图所示，第1次移动到，第2次移动到，第3次移动到，……，第n次移动到，则的面积是（    ）    A． B．505 C． D．506 【答案】B 【分析】由题意知，，由表示的数为2，表示的数为4，表示的数为6，…，可推导一般性规律：表示的数为，则表示的数为1010，根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， ∵表示的数为2，表示的数为4，表示的数为6，…， ∴可推导一般性规律：表示的数为， ∴表示的数为1010， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了数轴上点的规律探究．解题的关键在于推导一般性规律 【举一反三】【变式1】（24-25七年级上·河北邯郸·期末）如图，数轴上点A的初始位置表示的数为1，现点A做如下移动：第1次点A向左移动3个单位长度至点，第2次从点向右移动6个单位长度至点，第3次从点向左移动9个单位长度至点，…，按照这种移动方式进行下去，如果点与原点的距离不小于20，那么n的最小值是 ． 【答案】13 【分析】本题主要考查数字的变化规律以及数轴上点的距离，根据题意，找到数轴上点所对应的数的变化规律，是解题的关键．由题意得：序号为奇数的点在点A的左边，各点所表示的数依次减少3，序号为偶数的点在点A的右侧，各点所表示的数依次增加3，找出规律即可． 【详解】第1次点A向左移动3个单位长度至点，则表示的数； 第2次从点向右移动6个单位长度至点，则表示的数为； 第3次从点向左移动9个单位长度至点，则表示的数为； 第4次从点向右移动12个单位长度至点，则表示的数为； …… 表示数是，表示的数是. ， 令， 解得： 即 故n的最小值是13． 故答案为13． 【变式2】（24-25七年级上·河北秦皇岛·期末）一点从数轴上表示的点A开始移动，第一次先向左移动1个单位，再向右移动2个单位到达点；第二次从点先向左移动3个单位，再向右移动4个单位到达点C；第三次从点C先向左移动5个单位，再向右移动6个单位… (1)第一次移动后这个点在数轴上表示的数为 ；点与点间的距离为 ． (2)第二次移动后这个点在数轴上表示的数为 ；点A与点C间的距离为 ． (3)若第n次移动后到达N点则这个点在数轴上表示的数为 ；点与点间的距离为 ． (4)若第次移动后这个点在数轴上表示的数为78，求m的值． 【答案】(1)2；1 (2)3；2 (3) (4) 【分析】本题考查了数轴，数字的变化类—规律型，根据题意得出数轴上数字的变化规律是解题的关键． （1）点从数轴上表示的点先向左移动个单位，再向右移动个单位，等于向右移动个单位，移动后这个点表示的数为，； （2）第二次点先向左移动个单位，再向右移动个单位，等于向右移动个单位，移动后这个点表示的数为，； （3）根据题意得出规律：第次移动后点表示的数是，； （4）根据移动规律得出，计算即可得到答案． 【详解】（1）解：点表示的数为， ， 故答案为：； （2）解：点表示的数为， ， 故答案为：； （3）解：点表示的数为， ， 故答案为：； （4）解：∵， ∴． 【变式3】（24-25七年级上·四川眉山·期中）如图，已知数轴上两点对应的数分别为、，点P为数轴上一动点，其对应的数为x． (1)（填空）若点P从B开始向左移动6个单位长度，则______．若点P向左移动到与点A距离3个单位长度时，则点P对应的数是______． (2)（填空）当点P从点B以每秒3个单位长度的速度向右移动，则t秒后P点表示的数是______，此时若将数轴折叠，使与3表示的点重合，则点P与数______表示的点重合（用含t的式子表示）； (3)若点P从A点出发沿数轴的负方向移动，速度为每秒1个单位长度，同时点Q从B出发同向移动，速度为每秒3个单位长度，设运动时间为t，在移动过程中，是否存在某一时刻t，使得点Q与点P之间的距离等于2个单位长度，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；2或-4 (2) (3)存在，或 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用，以及数轴，关键是理解题意，表示出两点之间的距离， 利用数形结合法列出方程． （1）根据点的移动过程可以得到答案； （2）先根据移动得到P点表示的数，然后根据中点坐标公式解题即可； （3）先写出点P和点Q对应的数，然后根据题意列方程，求解即可． 【详解】（1）已知数轴上两点对应的数分别为、， 点P从B开始向左移动6个单位长度， 则， 当点P向左移动到与点A距离3个单位长度时， 点P对应的数是或． （2）点P从点B以每秒3个单位长度的速度向右移动， 则t秒后P点表示的数是， 数轴折叠，使与3表示的点重合， 折叠中心为， 折叠后，点P与数表示的点重合． （3）存在， t秒后，点P所在的位置表示的数为， 点Q所在的位置表示的数为， 点Q与点P之间的距离， 当等于2个单位长度时， ，即或， 解得或． 存在t使得点Q与点P之间的距离等于2个单位长度，此时或 好题必刷 一、单选题 1．（24-25七年级上·湖北荆州·期中）小慧在纸上画了一条数轴后，折叠纸使数轴上表示的点与表示3的点重合，若数轴上A，B两点之间的距离为2024（A在B的左侧），且经上述折叠后A，B两点重合，则A点表示的数为（    ） A． B．1013 C． D．1011 【答案】A 【分析】此题考查了有理数的减法，数轴，熟练掌握数轴的性质是解题的关键． 先求出表示的点与表3的点的中点表示的数，再根据A、B两点之间的距离为2024且折叠后重合，则A、B关于1对称，又A在B的左侧，则A点表示的数为∶，即可得到答案。 【详解】解∶折叠纸使数轴上表示的点与表示3的点重合， 表示的点与表示3的点的中点表示的数是． 由题意可知点A、B关于1对称， A、B两点之间的距离为2024且折叠后重合， 则A、B关于1对称， 又A在B的左侧， A点表示的数为∶． 故选∶A． 2．（24-25七年级上·云南昆明·期中）小丽在纸上画了一条数轴后，折叠纸面，使数轴上表示2的点与表示的点重合；若数轴上A、B两点之间的距离为10（在的左侧），且A、B两点经上述折叠后重合，则点表示的数是（   ） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】本题考查数轴上的数的运算问题．得到折叠处的地方表示的数是解决本题的关键．根据数轴上表示2的点与表示的点重合，可得2和的中点即为折叠的地方，进而根据A、B两点经上述折叠后重合，可得A、B两点距离折叠点的距离相等，都是5，根据点A在折叠的地方的左边可得点A表示的数． 【详解】解：∵数轴上表示2的点与表示的点重合， ∴折叠的地方表示的数， ∵数轴上A、B两点之间的距离为10（A在B的左侧），且A、B两点经上述折叠后重合， ∴点A距离折叠点5个单位长度，并且在折叠的地方的左边． ∴点A表示的数为． 故选：B． 3．（23-24七年级上·辽宁丹东·期中）一个动点P从数轴上原点O出发开始移动，第1次向右移动1个单位长度到达点，第2次向右移动2个单位长度到达点，第3次向左移动3个单位长度到达点，第4次向左移动4个单位长度到达点，第5次向右移动5个单位长度到达点，…，点P按此规律移动，则移动第次后到达点在数轴上表示的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查数字的变化规律，分别求出部分点表示的数，发现规律为每移动四次相当于向左移动4个单位长度，再由，可得，即为在数轴上表示的数． 【详解】解：∵表示的数为，表示的数为，表示的数为0，表示的数为，表示的数为，.....， ∴每移动四次相当于向左移动4个单位长度， ∵， ∴， ∴在数轴上表示的数为， 故选：B． 4．（24-25七年级上·广东梅州·阶段练习）正方形纸板 在数轴上的位置如图所示，顶点 A，D对应的数分别为1 和0，若正方形纸板绕着顶点按顺时针方向在数轴上连续翻转，则在数轴上与1999对应的顶点是（         ） A．D B．C C．B D．A 【答案】B 【分析】本题考查了数轴的定义的实际应用，读懂题意，归纳类推出规律是解题关键．先翻转一次和两次确认点、对应的数，再根据正方形的性质归纳类推出每个顶点对应的数的规律，从而即可得出答案． 【详解】解：翻转一次可得：点对应的数为；再翻转一次可得：点对应的数为3； 在正方形纸板连续翻转的过程中，各顶点对应的数的规律归纳类推如下： 点A对应的数分别为，，，，，为非负整数； 点对应的数分别为，，，，，为非负整数； 点对应的数分别为，，，，，为非负整数； 点对应的数分别为，，，，，为非负整数； ， 只有点对应的数可以为，此时为非负整数，符合要求， 故选：B． 5．（20-21七年级上·浙江金华·阶段练习）一个动点P从数轴上的原点O出发开始移动，第1次向右移动1个单位长度到达点P1，第2次向右移动2个单位长度到达点P2，第3次向左移动3个单位长度到达点P3，第4次向左移动4个单位长度到达点P4，第5次向右移动5个单位长度到达点P5…，点P按此规律移动，则移动第158次后到达的点在数轴上表示的数为（ ） A．159 B．-156 C．158 D．1 【答案】A 【分析】根据数轴，按题目叙述的移动方法即可得到点前五次移动后在数轴上表示的数；根据移动的规律即可得移动第158次后到达的点在数轴上表示的数． 【详解】解：设向右为正，向左为负，则 表示的数为+1， 表示的数为+3 表示的数为0 表示的数为-4 表示的数为+1…… 由以上规律可得，每移动四次相当于向左移动4个单位长度．所以当移动156次时，156=39×4相当于向左移动了39次四个单位长度．此时表示的数为．则第157次向右移动157个单位长度，；第158次还是向右，移动了158个单位长度，所以． 故在数轴上表示的数为159． 故选A． 【点睛】本题考查了数轴上点的运动规律，正确理解题意，找出点在数轴上的运动次数与对应点所表示的数的规律是解题的关键． 二、填空题 6．（24-25六年级上·上海·期末）在一条可以折叠的数轴上，点、表示的数分别为和3，（如图1）以点为折点，将此数轴向右对折，折叠后若A，两点间的距离为1，则点表示的数为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了数轴上的点表示的有理数，先根据A，B点表示的数求出线段长，再分两种情况讨论：并根据折叠后的长求出的长，进而确定点C表示的有理数． 【详解】解：∵点A，B点表示的数分别是， ∴． 当折叠后点A在点B的右边，且， ∴， 解得， ∴点C表示的数是； 当折叠后点A在点B的左边，且， ∴， 解得， ∴点C表示的数是． 所以点C表示的数是或． 故答案为：或． 7．（24-25七年级上·广西河池·期末）正方形在数轴上的位置如图所示，点，对应的数分别为0和1，若正方形绕着顶点沿顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点所对应的数为2，则翻转次后，数轴上数所对应的点是 ． 【答案】A 【分析】此题考查的是数轴上的数与正方形的四个顶点的对应关系，发现各个顶点在翻转过程中所对应的数字的规律是解此题的关键． 正方形旋转一周后，A、B、C、D分别对应的点为1、2、3、4，可知四次一循环，由此可以确定所对应的点． 【详解】解：当正方形在转动第一周过程中，即正方形连续翻转了4次，第一次翻转A对应1，第二次翻转B对应2，第三次翻转C对应3，第四次D对应4，… 四次一个循环， ， 所对应的点是A． 故答案为：A． 8．（24-25七年级上·河南洛阳·期末）数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，数形结合是解决数学问题的重要思想方法，例如：代数式的几何意义是数轴上x所对应的点与3所对应的点之间的距离；因为，所以的几何意义就是数轴上x所对应的点与所对应的点之间的距离．请结合数轴探究，当表示数x的点在数轴上移动时，代数式的最小值为 ． 【答案】7 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离和绝对值的几何意义，解题的关键是熟练掌握绝对值的几何意义，明确数轴上的点和有理数的一一对应关系，以及具有数形结合的思想． 根据两点之间的距离和绝对值的几何意义解答即可． 【详解】解：的几何意义数轴上x所对应的点到的距离与x所对应的点到5的距离之和， 当在数与5之间时，的和为7， 当在的左侧或5的右侧时，， 的最小值为7， 故答案为：7． 三、解答题 9．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）如图，在一张长方形纸条上画一条数轴． (1)折叠纸条使数轴上表示的点与表示9的点重合，折痕与数轴的交点表示的数是 ；如果数轴上两点之间的距离为7，经过上述的折叠方式能够重合，那么左边这个点表示的数是 ； (2)如图2，点A、表示的数分别是、4，数轴上有点，使点到点的距离是点到点A距离的3倍，那么点表示的数是多少？ (3)如图2，若将此纸条沿A、两处剪开，将中间的一段纸条对折，使其左右两端重合，这样连续对折5次后，再将其展开，分别求出最左端和最右端的折痕与数轴的交点表示的数． 【答案】(1)3， (2)或 (3)和 【分析】本题考查了实数与数轴，解题的关键是掌握数轴上点的特点，以及理解图形对称的性质． （1）找出表示的点与9表示的点组成线段的中点表示数，然后结合数轴即可求得答案； （2）分点在小之间和点右侧两种情况解答； （3）先求出A，两点之间距离和连续对折5次后的段数，再求出每两条相邻折痕间的距离，即可解得答案． 【详解】（1）解：， ∴折痕与数轴的交点表示的数是：3； 因为两点间的距离为7， ∴这两点到表示数3的点的距离为， ∴左边这个点表示的数是， 故答案为：3，； （2）解：设点表示的数为， ， 点离点A较近，只有两种情况： ①点在线段上时，， 解得：； ②当点在点A的左边数轴上时，， 解得：， 故点表示的数是为：或； （3）解：对折5次后，每两条相邻折痕间的距离， 最左端的折痕与数轴的交点表示的数为：， 最右端的折痕与数轴的交点表示的数为：． 答：最左端和最右端的折痕与数轴的交点表示的数分别为：和． 10．（24-25七年级上·甘肃张掖·阶段练习）如图，已知数轴上A，B两点对应的数分别为，3． (1)点P为数轴上一动点，其对应的数为x，若点P到点A，B的距离相等，则___________； (2)若将数轴折叠，使A、B两点重合． ①设与重合的点表示的数为y，求y的值； ②若数轴上M，N两点之间的距离为2024，点M在点N的左侧，且经过折叠后，M、N两点互相重合，求M，N两点表示的数分别是多少． 【答案】(1) (2)①；②M，N两点表示的数分别是和1013 【分析】本题主要考查了数轴上的点，数轴上两点之间的距离，解题的关键是列出方程，解方程． （1）根据两点之间的距离公式，列出关于x的方程，解方程即可； （2）①求出折叠的点表示的数，列出关于y的方程，解方程即可得出y的值；②设点M表示的数是a，则点N表示的数是，列出关于a的方程，解方程即可得出a的值，即可得出答案． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得：， 故答案为：1． （2）解：①∵将数轴折叠，使与3表示的点重合， ∴折叠的点表示的数为， ∴， 解得：， ②设点M表示的数是a，则点N表示的数是， ∵M，N两点经过折叠后互相重合， ∴， 解得：， ∴， ∴M，N两点表示的数分别是和1013． 11．（24-25七年级上·广东珠海·期末）数轴是一个非常重要的数学工具，用数轴上的点表示数对数学的发展起了重要的作用，以数轴为基础，可以借助图形直观地表示很多与数有关的问题，它是“数形结合”的基础． 小海在草稿纸上画了一条数轴，下图是数轴的一部分，并利用折叠进行下列的操作探究： 操作一： （1）折叠纸面，若使1表示的点与表示的点重合，则表示的点与 表示的点重合； 操作二： （2）折叠纸面，若使5表示的点与表示的点重合，回答以下问题： ①若折痕处对应的点记为C，则C点表示的数是_________； ②表示的点与 表示的点重合； ③若数轴上A点表示的数为a，B点表示的数为b（A在B的左侧），折叠后A，B两点重合，且A，B两点的距离为12，求a，b的值，并画数轴表示A点和B点的位置． 【答案】（1）5；（2）①1；②3；③，，画数轴见解析 【分析】本题考查了用数轴表示有理数，数轴上两点的距离，折叠的性质，熟知数轴的相关知识是解题的关键． （1）根据题意可知数轴上数1表示的点与表示的点关于原点对称，由此即可得到答案； （2）①根据折叠的性质求解即可； ②据折叠的性质求解即可； ③根据结合A、B关于1对称进行求解即可． 【详解】解：（1）∵1表示的点与表示的点重合， ∴数轴上数1表示的点与表示的点关于原点对称， ∴数轴上数表示的点与数5表示的点重合； 故答案为：5； （2）①∵5表示的点与表示的点重合， ∴数轴上数5表示的点与数表示的点关于数1表示的点对称， ∴C点表示的数是1． 故答案为：1； ②∵折痕C点表示的数是1， ∴表示的点与3表示的点重合；， 故答案为：3； ③∵折痕C点表示的数是1，， ∴点A、B到1的距离均为6， 又∵A在B的左侧 ∴A点表示的数是，B表示的数是． 画数轴表示如下： 12．（22-23七年级上·北京朝阳·期中）点A从数轴上表示的点开始移动，第一次先向左移动个单位，再向右移动个单位，第二次先向左移动3个单位长度，再向右移动个单位；第三次先向左移动个单位，再向右移动6个单位… (1)写出第一次移动后这个点在数轴上表示的数为 ___________； (2)写出第四次移动后这个点在数轴上表示的数为 ___________； (3)如果第次移动后这个点在数轴上表示的数为，求的值． 【答案】(1)； (2)； (3)166． 【分析】（）直接利用点平移的性质得出对应的数字； （）直接利用点平移的性质得出对应的数字； （）根据前两问得出平移规律，进而求解． 【详解】（1）解：∵A从数轴上表示的点开始移动， ∴第一次先向左平移个单位，再向右移动个单位， ∴第一次移动后这个点在数轴上表示的数为； （2）解：第二次先向左移动3个单位长度，再向右移动个单位， ∴第二次移动后这个点在数轴上表示的数为； ∵第三次先向左移动5个单位，再向右移动6个单位， ∴第三次移动后这个点在数轴上表示的数为：， ∵第四次先向左移动7个单位，再向右移动8个单位， ∴第四次移动后这个点在数轴上表示的数为：； （3）解：由以上可得：第n次移动结果这个点在数轴上表示的数为：． ∴， 解得：． 【点睛】此题主要考查了数轴以及点的平移，正确得出平移规律是解题的关键． 13．（24-25七年级上·山东德州·阶段练习）我们知道的几何意义是：数轴上表示的点与原点的距离，即．这个结论可以推广为： ①表示在数轴上表示数a，b的两点间的距离； ②表示在数轴上表示数的两点间的距离． 根据以上结论探究： (1)表示5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离，所以______；表示5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离，所以______． (2)数轴上表示数的点在1与5之间移动时，的值是一个固定的值，为______． (3)可理解为与______两数在数轴上所对应的两点之间的距离，要使，则______． (4)当式子取最小值时，______． 【答案】(1)3，7 (2)4 (3)；或 (4)2 【分析】本题考查两点间的距离，熟练掌握两点间的距离公式，是解题的关键： （1）根据两点间的距离进行计算即可； （2）根据表示数的点在1与5之间移动时，表示和5两个数在数轴上的距离，进行求解即可； （3）根据绝对值的意义作答，根据两点间的距离公式，分，三种情况进行讨论求解即可； （4）根据绝对值的意义，得到当时，式子取最小值，即可． 【详解】（1）解：，； 故答案为：3，7； （2）当表示数的点在1与5之间移动时，表示和5两个数在数轴上的距离， ∴； 故答案为：4； （3）可表示为数与数之间的距离； 当时：，解得：； 当时，； 当时，，解得：； 故答案为：；或； （4），表示数与数之间的距离之和， ∴当时，的距离最小； 故答案为：2． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 有关数轴的探索 题型梳理 题型方法 题型一 数轴中的折叠问题 题型二 数轴上循环规律问题 题型三 数轴上数的变化规律问题 题型方法 【题型一】数轴中的折叠问题 【例1】（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）如图，已知纸面上有一数轴，折叠纸面，表示的点和表示的点重合，则表示的点与表示（    ）的点重合．    A． B．6 C．3 D． 【举一反三】【变式1】（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）长方形纸片上有一数轴，剪下个单位长度（从到）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图所示）．若这三条线段的长度之比为，则折痕处对应的点所表示的数可能是 【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）在课后延时服务中，某数学小组在一张白纸上制作一条数轴，如图． 操作一： (1)折叠纸面，使表示1的点与表示的点重合，则表示的点与表示 ___________的点重合． 操作二： (2)折叠纸面，使表示的点与表示3的点重合，解答以下问题： ①表示5的点与在数轴上表示的点重合，求点表示的数． ②若数轴上，两点之间的距离为9（点在点的左侧），且，两点折叠后重合，求，两点表示的数． 【变式3】（24-25七年级上·福建厦门·期中）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和点建立起一一对应的关系，揭示了代数与几何之间的内在联系，它是“数形结合”的基础，小安在一张长方形纸条上画了一条数轴，然后进行了实践探究： (1)折叠纸条，使表示1的点与表示的点重合，则表示的点与表示___________的点重合． (2)在数轴上A，B两点之间的距离为2024（点A在点B的左侧），折叠纸条，使表示6的点与表示的点重合．此时A，B两点也重合，则点A表示的数是___________． (3)定义：P，Q为数轴上任意两点，若折叠纸条使点P，Q重合，折痕与数轴的交点为点M，则称点M为点P和点Q的“叠点”． 点C，D，O在数轴上，点C是数轴上最大的负整数点，点O是原点，点D在点O的右侧且到点O的距离是7．折叠纸条使点C和点D重合，点E是点C和点D的“叠点”．若存在点F在点C与点D之间，且其在数轴上对应的数为m，．求点F到“叠点”E的距离． 【题型二】数轴上循环规律问题 【例2】（24-25七年级上·贵州贵阳·期中）如图，正六边形（每条边长相等、每个角相等）在数轴上的位置如图所示，点，对应的数分别为，．现将正六边形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点所对应的数为1，像这样连续翻转后数轴上2025这个数所对应的点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【举一反三】【变式1】（24-25七年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，长方形的边在数轴上，O为原点，长方形的面积为，边长为4，将长方形沿数轴水平移动，移动后的长方形记为，移动后的长方形与原长方形重叠部分的面积为8，则点表示的数为（   ） A．4 B． C．2或 D．4或8 【变式2】（24-25七年级上·河北保定·期中）正方形在数轴上的位置如图所示，点、对应的数分别为和，若正方形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，第次翻转后，点所对应的数为；则翻转次后，数轴上数所对应的点是 ． 【变式3】（24-25七年级上·宁夏银川·期中）等边三角形（三条边都相等的三角形是等边三角形）纸板在数轴上的位置如图所示，点，对应的数分别为和，若绕着顶点逆时针方向在数轴上连续翻转，翻转第次后，点所对应的数为，则翻转次后，点所对应的数是 ． 【题型三】数轴上数的变化规律问题 【例3】（21-22七年级上·福建龙岩·阶段练习）如图，在纸面所在的平面内，一只电子蚂蚁从数轴上表示原点的位置O点出发，按向上，向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位，其移动路线如图所示，第1次移动到，第2次移动到，第3次移动到，……，第n次移动到，则的面积是（    ）    A． B．505 C． D．506 【举一反三】【变式1】（24-25七年级上·河北邯郸·期末）如图，数轴上点A的初始位置表示的数为1，现点A做如下移动：第1次点A向左移动3个单位长度至点，第2次从点向右移动6个单位长度至点，第3次从点向左移动9个单位长度至点，…，按照这种移动方式进行下去，如果点与原点的距离不小于20，那么n的最小值是 ． 【变式2】（24-25七年级上·河北秦皇岛·期末）一点从数轴上表示的点A开始移动，第一次先向左移动1个单位，再向右移动2个单位到达点；第二次从点先向左移动3个单位，再向右移动4个单位到达点C；第三次从点C先向左移动5个单位，再向右移动6个单位… (1)第一次移动后这个点在数轴上表示的数为 ；点与点间的距离为 ． (2)第二次移动后这个点在数轴上表示的数为 ；点A与点C间的距离为 ． (3)若第n次移动后到达N点则这个点在数轴上表示的数为 ；点与点间的距离为 ． (4)若第次移动后这个点在数轴上表示的数为78，求m的值． 【变式3】（24-25七年级上·四川眉山·期中）如图，已知数轴上两点对应的数分别为、，点P为数轴上一动点，其对应的数为x． (1)（填空）若点P从B开始向左移动6个单位长度，则______．若点P向左移动到与点A距离3个单位长度时，则点P对应的数是______． (2)（填空）当点P从点B以每秒3个单位长度的速度向右移动，则t秒后P点表示的数是______，此时若将数轴折叠，使与3表示的点重合，则点P与数______表示的点重合（用含t的式子表示）； (3)若点P从A点出发沿数轴的负方向移动，速度为每秒1个单位长度，同时点Q从B出发同向移动，速度为每秒3个单位长度，设运动时间为t，在移动过程中，是否存在某一时刻t，使得点Q与点P之间的距离等于2个单位长度，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 好题必刷 一、单选题 1．（24-25七年级上·湖北荆州·期中）小慧在纸上画了一条数轴后，折叠纸使数轴上表示的点与表示3的点重合，若数轴上A，B两点之间的距离为2024（A在B的左侧），且经上述折叠后A，B两点重合，则A点表示的数为（    ） A． B．1013 C． D．1011 2．（24-25七年级上·云南昆明·期中）小丽在纸上画了一条数轴后，折叠纸面，使数轴上表示2的点与表示的点重合；若数轴上A、B两点之间的距离为10（在的左侧），且A、B两点经上述折叠后重合，则点表示的数是（   ） A． B． C． D．4 3．（23-24七年级上·辽宁丹东·期中）一个动点P从数轴上原点O出发开始移动，第1次向右移动1个单位长度到达点，第2次向右移动2个单位长度到达点，第3次向左移动3个单位长度到达点，第4次向左移动4个单位长度到达点，第5次向右移动5个单位长度到达点，…，点P按此规律移动，则移动第次后到达点在数轴上表示的数为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·广东梅州·阶段练习）正方形纸板 在数轴上的位置如图所示，顶点 A，D对应的数分别为1 和0，若正方形纸板绕着顶点按顺时针方向在数轴上连续翻转，则在数轴上与1999对应的顶点是（         ） A．D B．C C．B D．A 5．（20-21七年级上·浙江金华·阶段练习）一个动点P从数轴上的原点O出发开始移动，第1次向右移动1个单位长度到达点P1，第2次向右移动2个单位长度到达点P2，第3次向左移动3个单位长度到达点P3，第4次向左移动4个单位长度到达点P4，第5次向右移动5个单位长度到达点P5…，点P按此规律移动，则移动第158次后到达的点在数轴上表示的数为（ ） A．159 B．-156 C．158 D．1 二、填空题 6．（24-25六年级上·上海·期末）在一条可以折叠的数轴上，点、表示的数分别为和3，（如图1）以点为折点，将此数轴向右对折，折叠后若A，两点间的距离为1，则点表示的数为 ． 7．（24-25七年级上·广西河池·期末）正方形在数轴上的位置如图所示，点，对应的数分别为0和1，若正方形绕着顶点沿顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点所对应的数为2，则翻转次后，数轴上数所对应的点是 ． 8．（24-25七年级上·河南洛阳·期末）数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，数形结合是解决数学问题的重要思想方法，例如：代数式的几何意义是数轴上x所对应的点与3所对应的点之间的距离；因为，所以的几何意义就是数轴上x所对应的点与所对应的点之间的距离．请结合数轴探究，当表示数x的点在数轴上移动时，代数式的最小值为 ． 三、解答题 9．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）如图，在一张长方形纸条上画一条数轴． (1)折叠纸条使数轴上表示的点与表示9的点重合，折痕与数轴的交点表示的数是 ；如果数轴上两点之间的距离为7，经过上述的折叠方式能够重合，那么左边这个点表示的数是 ； (2)如图2，点A、表示的数分别是、4，数轴上有点，使点到点的距离是点到点A距离的3倍，那么点表示的数是多少？ (3)如图2，若将此纸条沿A、两处剪开，将中间的一段纸条对折，使其左右两端重合，这样连续对折5次后，再将其展开，分别求出最左端和最右端的折痕与数轴的交点表示的数． 10．（24-25七年级上·甘肃张掖·阶段练习）如图，已知数轴上A，B两点对应的数分别为，3． (1)点P为数轴上一动点，其对应的数为x，若点P到点A，B的距离相等，则___________； (2)若将数轴折叠，使A、B两点重合． ①设与重合的点表示的数为y，求y的值； ②若数轴上M，N两点之间的距离为2024，点M在点N的左侧，且经过折叠后，M、N两点互相重合，求M，N两点表示的数分别是多少． 11．（24-25七年级上·广东珠海·期末）数轴是一个非常重要的数学工具，用数轴上的点表示数对数学的发展起了重要的作用，以数轴为基础，可以借助图形直观地表示很多与数有关的问题，它是“数形结合”的基础． 小海在草稿纸上画了一条数轴，下图是数轴的一部分，并利用折叠进行下列的操作探究： 操作一： （1）折叠纸面，若使1表示的点与表示的点重合，则表示的点与 表示的点重合； 操作二： （2）折叠纸面，若使5表示的点与表示的点重合，回答以下问题： ①若折痕处对应的点记为C，则C点表示的数是_________； ②表示的点与 表示的点重合； ③若数轴上A点表示的数为a，B点表示的数为b（A在B的左侧），折叠后A，B两点重合，且A，B两点的距离为12，求a，b的值，并画数轴表示A点和B点的位置． 12．（22-23七年级上·北京朝阳·期中）点A从数轴上表示的点开始移动，第一次先向左移动个单位，再向右移动个单位，第二次先向左移动3个单位长度，再向右移动个单位；第三次先向左移动个单位，再向右移动6个单位… (1)写出第一次移动后这个点在数轴上表示的数为 ___________； (2)写出第四次移动后这个点在数轴上表示的数为 ___________； (3)如果第次移动后这个点在数轴上表示的数为，求的值． 13．（24-25七年级上·山东德州·阶段练习）我们知道的几何意义是：数轴上表示的点与原点的距离，即．这个结论可以推广为： ①表示在数轴上表示数a，b的两点间的距离； ②表示在数轴上表示数的两点间的距离． 根据以上结论探究： (1)表示5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离，所以______；表示5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离，所以______． (2)数轴上表示数的点在1与5之间移动时，的值是一个固定的值，为______． (3)可理解为与______两数在数轴上所对应的两点之间的距离，要使，则______． (4)当式子取最小值时，______． 1 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