第二章 整式及其加减（知识清单）数学沪科版2024七年级上册

第二章 整式及其加减 1. 代数式的定义：用基本的_________________（如：_________________）把_________________和_________________连接起来的_________________叫做代数式. 2. 列代数式的定义：把问题中与数量有关的词语，用_________________和_________________的式子表示出来，这就是列代数式. 3. 代数式的书写要求： 1）数字与字母、字母与字母相乘，通常把乘号写成“_________________”或省_________________；数与数相乘必须写_________________. 2）字母与数字相乘时，通常把_________________写在字母的前面；如果字母前面的数字是_________________时，通常省略不写. 3）除法可写成_________________形式，带分数与字母相乘需把代分数化为_________________. 4）若代数式的最后结果含有加、减运算，则要将整个式子用_________________括起来，再写_________________. 4. 单项式的有关概念 1）单项式的定义：由_________________、_________________的乘积组成的式子叫单项式. 2）单项式的系数：单项式中的_________________叫做单项式的系数. 注意：0圆周率π是常数，单项式中出现π时，应看作系数，而不能当成字母； 3）单项式的次数：一个单项式中，_________________叫做这个单项式的次数. 5. 多项式的有关概念 1）多项式的定义：_________________叫做多项式. 2）多项式的项：在多项式中，每个_________________叫做多项式的项，_________________的项叫做常数项. 3）多项式的次数：一个多项式中_________________，叫做这个多项式的次数. 4）多项式的排列：把一个多项式按某一个字母的指数_________________的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母降幂排列；若按某一个字母的指数_________________的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升幂排列． 6. 整式的定义：_________________与_________________统称为整式. 7. 同类项的概念：所含字母_________________，并且相同字母的_________________的项叫做同类项. 8. 同类项的特征：两相同，两无关. 两相同指_________________相同，_________________也相同. 两无关指同类项与_________________无关，与字母的_________________无关. 9. 合并同类项法则：同类项的系数_________________，_________________作为系数，而_________________不变.（简称：一相加两不变） 10. 去括号法则：如果括号前面是“＋”号，那么去括号后原括号内各项的符号与原来的符号_________________； 如果括号前面是“－”号，那么去括号后原括号内各项的符号与原来的符号_________________； 11. 整式的加减的运算法则：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先_________________，然后再_________________. 序号 易错点 易错题 注意事项 1 代数式书写错误 1．下列各式是一些不规范的书写，请将规范写法写在横线处：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)米． 详情见知识点3 2 含π的单项式系数判断错误 1．单项式的系数是 ，次数是 ． 圆周率π是常数，单项式中出现π时，应看作系数，而不能当成字母 3 括号前是负号，去括号时只改变首项符号而致错 1．化简：（1） ； （2） ． 2．去括号：（1） ； （2） ； （3） ． 3．有一道题，“□”的地方被墨水弄污了，则“□”内应填写 ． 去括号时“-”全变“+”不变 4 去括号时括号前的系数只乘一项，其它项漏乘 若括号前面有数字因数，去括号时应先把数字因数与括号内各项相乘，再去括号，不要漏乘括号内的任何一项 重难点01 求代数式的值 1．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）已知，则的值是（   ） A． B．8 C． D．32 2．（24-25七年级上·安徽淮北·阶段练习）当时，代数式的值为2026，则当时，的值为（    ） A．2024 B． C．2025 D． 3．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）按如图所示的程序计算，若开始输入的x值为30，第一次得到的结果为15，第二次得到的结果为24，请你探索第2025次得到的结果为（   ） A．6 B．12 C．15 D．24 4．（24-25七年级上·安徽滁州·期末）若时，的值为3，则的值为 ． 5．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）若，，则代数式的值为 ． 6．（24-25七年级上·安徽宣城·期中）已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，x的绝对值是2，求的值 重难点02 整式的相关概念 7．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）下列说法正确的是（   ） A．的系数是3 B．的次数是4 C．的最高次项为 D．的系数是 8．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）下列说法中正确的是（    ） A．若是有理数，则一定是负数 B．去括号： C．单项式的系数是，次数是5 D．多项式是三次三项式 9．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）下列关于多项式的说法中，正确的是（    ） A．是三次三项式 B．最高次项系数是 C．常数项是1 D．二次项是 10．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期末）关于多项式与，下面说法正确的有（    ） ①项数相同；②次数相同；③都是按照x的降幂排列；④和仍是多项式． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 11．（22-23七年级上·安徽合肥·期中）下列各式，，，，，，，中，整式有（   ） A．3个 B．4个 C．6个 D．7个 12．（22-23七年级上·安徽六安·阶段练习）对下列式子进行分类． ． 单项式：（                       ）； 多项式：（                       ）； 整式：（                         ）． 重难点03 已知单项式的次数（或已知多项式是几次几项式）求未知数的值 13．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）关于，的单项式的次数为5，则的值为 ． 14．（22-23七年级上·安徽宣城·期中）已知单项式的次数与多项式的次数相同，则 ． 15．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）若多项式是四次三项式，则 ． 16．（23-24七年级上·安徽淮南·阶段练习）关于的多项式是二次多项式，则 ． 17．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）对于多项式（其中是大于的整数）． (1)若，且该多项式是关于的三次三项式，求的值； (2)若该多项式是关于的五次三项式，则、要满足什么条件？ 重难点04 与单项式有关的规律探究题 18．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）一组按照规律排列的式子如下：、、、、、……，请根据规律写出第21个式子为（     ） A． B． C． D． 19．（2022·云南昆明·三模）按一定规律排列的代数式：2，，……，第n个单项式是（    ） A． B． C． D． 20．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）斐波那契数列在自然界和计算机科学中有着广泛的应用，如兔子繁殖问题、向日葵的螺旋排列、黄金分割等．受到斐波那契数列的启发，小明同学利用计算机设计了一个程序，输入和输出的情况如下表．按此规律，当输入9时，输出结果为 ，从1开始一直输入到2025后，输出项的系数与次数均为奇数的项共有 个． 输入 1 2 3 4 5 6 7 8 … 输出 a … 21．（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）观察下列单项式： 第1个单项式：．第2个单项式：．第3个单项式：．第4个单项式：．…… (1)第5个单项式为______． (2)第n个单项式为______（用含有n的式子表示）． (3)前3个（第1个到第3个）单项式中字母a，b的所有指数之和为，求前10个（第1个到第10个）单项式中字母a，b的所有指数之和． 重难点05 已知同类项求代数式的值 22．（24-25七年级上·安徽六安·期末）如果与是同类项，那么的值是（   ） A． B．1 C． D．2024 23．（24-25七年级上·安徽池州·期末）若单项式与的和仍是单项式，则的值是（    ） A．2 B．4 C． D． 24．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）已知和的和是单项式，x与y互为相反数（），c与d互为倒数，则 ． 25．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）已知．当与是同类项时，求的值． 重难点06 整式的加减 26．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）已知有理数a、b、c在数轴上对应的点如图所示： 化简：的结果为（   ） A． B． C． D． 27．（24-25七年级上·安徽安庆·阶段练习）化简的结果为（    ） A． B． C． D． 28．（24-25七年级上·安徽滁州·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 29．（24-25七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）小明同学在计算：时，将括号前面的“”号抄成了“”号，得到的运算结果是，则多项式是 ． 30．（22-23七年级上·北京朝阳·期中）已知，，化简． 解：先化简：， 进而得到……① ……② ……③ 根据上面的解法回答下列问题： (1)①是否有错？______，①到②是否有错？______，②到③是否有错？______（填是或否）． (2)写出正确的解法． 31．（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）化简下列各式： (1) (2) 重难点07 整式的化简求值 32．（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）若，，求的值，其中，． 33．（24-25七年级上·安徽宣城·期中）先化简，再求值：，其中， 34．（24-25七年级上·安徽亳州·期末）先化简，再求值：，其中． 35．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）已知：，． (1)求（结果要求化为最简）； (2)如果，求的值是多少？ 重难点08 整式加减的应用-无关型问题 36．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）已知代数式，． (1)求； (2)若单项式与单项式是同类项，求的值； (3)当m取何值时，的值与n的取值无关． 37．（24-25七年级上·安徽亳州·期中）已知：． (1)计算：； (2)若的值与的取值无关，求的值． 重难点09 整式加减的应用-不含型问题 38．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）小明做一道数学题“已知两个多项式、．，，计算”，小明误把“”看成“”，求得的结果为． (1)请求出的正确结果； (2)若多项式且的结果不含项和项，求的值． 39．（23-24七年级上·安徽宿州·阶段练习）已知多项式与多项式的差不含x的二次项，求m的值． 40．（22-23七年级上·广东东莞·期中）当多项式不含二次项和一次项时，求m、n的值． 重难点10 整式加减的应用-比较整式的大小 41．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）小明在探究有理数大小比较的方法时，观察到两个数的大小与它们差的符号之间有着密切联系，让我们来和小明一起完成他的探究． (1)完成下表： 已知 计算 比较大小 与0 与 5 3 2 (2)发现规律： 若，则_____ 若，则_____ 若，则_____ (3)应用扩展： 在整式中，整式和整式也是满足上述规律的，请利用上面发现的规律解决问题． ①比较大小：_____ ②整式，整式，试讨论比较整式与整式的大小． 42．（24-25七年级上·湖北恩施·期中）对于两个有理数a，b的大小比较，有下面的方法： 若，则；若，则；若，则；我们把这种比较两个数大小的方法叫做“作差法”． (1)分别求出图1中长方形A的周长和图2中长方形B的周长； (2)若，请用“作差法”比较，的大小； (3)若，，直接写出图1与图2中长方形的周长之和______． 重难点11 整式加减的应用-整除问题 43．（24-25七年级上·安徽六安·期中）在小学我们就知道，如果一个整数的各个数位上的数字的和能被3整除，那么这个整数也能被3整除．如： 3285的各个数位上的数字的和能被3整除，所以3285能被3整除； 463的各个数位上的数字的和不能被3整除，所以463不能被3整除． 设一个三位数的百位数字为，十位数字为，个位数字为， (1)用代数式表示这个三位数是_______________________； (2)若能被3整除，试说明这个三位数也能被3整除． (3)任意三个连续整数的和都能被3整除吗？为什么？ 44．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）阅读材料： 一个三位自然数若满足百位数字与个位数字的和等于十位数字，则称这个三位数为“欢喜数”，如572的百位数字5与个位数字2的和等于十位数字7，所以572是“欢喜数”． 解答问题 (1)最小的“欢喜数”是________，最大的“欢喜数”是________； (2)若某“欢喜数”的百位数字为a，十位数字为b，试说明这个“欢喜数”是11的倍数； (3)若“欢喜数”m为奇数，且十位数字比个位数字大n（n为大于4而小于7的整数），且m能被3整除，请直接写出所有符合条件的“欢喜数”m． 45．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）一个三位数，百位上的数字为 a，十位上的数字为 b，个位上的数字为 c，这个三 位数可以用代数式表示为 ．接下来我们探究能被 9 整除的三位数的数的特征． (1)【举例说明】请写出两个能被 9 整除的三位数 、 ； (2)【一般探究】由特例，提出猜想：如果 能被 9 整除，那么这个三位数能被 9 整 除．  请在下列括号内填空，补全下面的推理过程： ① 因为能被 9 整除，并且①式是 9 的倍数，也能被 9 整除，所以它们的和一定能被 9 整除，因此猜想成立． (3)【类比推广】继续探索能被 9 整除的多位数的数的特征，写出你发现的规律．（不需要说明理由） 重难点12 整式加减的应用 46．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）如图，一个边长为的正方形，挖去四个半径为的半圆剩下来的部分（单位：cm）． (1)用代数式表示剩下部分的周长； (2)当，时，剩下部分的周长是多少（取3.14）． 47．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）某中学要建一长方形停车场，其中一面靠墙，其他三面用护栏围起，已知长方形停车场的长为米，宽比长少米． (1)求护栏的总长度； (2)若，，每米护栏造价70元，求建此停车场所需护栏的总价． 48．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）某地为市民打造十五分钟健身圈，计划将一块闲置土地改造成一个休闲广场（由主广场、儿童乐园区、健身区和休闲区组成），现对该地块进行地面改造，其平面图如下图所示（单位：米）： (1)用含，的代数式表示儿童乐园区比休闲区面积大多少平方米？ (2)用含，的代数式表示该休闲广场的总面积； (3)该休闲广场地面全部铺设地砖，但为了确保安全，还需要在健身区和儿童乐园区的地砖上额外增加一层橡胶地垫．已知每平方米地砖的铺设成本为150元，每平方米橡胶地垫的铺设成本为100元．当，时，求该休闲广场地面改造的总费用．（不考虑其他额外费用，计算结果使用科学记数法表示） 49．（24-25七年级上·安徽黄山·期中）将连续的奇数排成如图所示的数表．    (1)十字框中的五个数之和与中间数有什么关系？ (2)设中间数为，如何用含的代数式表示十字框中五个数之和？ (3)十字框中的五个数之和能为吗？能为吗？ 50．（24-25七年级上·广东茂名·期中）阅读理解： 已知；若A的值与字母x的取值无关，则，解得． ∴当时，A的值与字母x的取值无关． 知识应用： （1）已知，．若的值与字母m的取值无关，求x的值； 知识拓展： （2）春节快到了，某超市计划购进甲、乙两种羽绒服共20件进行销售，甲种羽绒服每件进价700元，每件售价1050元；乙种羽绒服每件进价500元，销售利润率为60%．购进羽绒服后，该超市决定：每售出一件甲种羽绒服，返还顾客现金a元，乙种羽绒服售价不变．设购进甲种羽绒服x件，当销售完这20件羽绒服的利润与x的取值无关时，求a的值． 重难点13 数字类规律探索 51．（24-25七年级上·安徽六安·期中）一个自然数的立方，可以分裂成若干个连续奇数的和．例如：，和分别可以按如图所示的方式“分裂”成2个、3个和4个连续奇数的和，即；；；…；若也按照此规律来进行“分裂”，则“分裂”出的奇数中，最大的奇数是（    ） A．37 B．39 C．41 D．43 52．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）数学老师根据圆圈中的三个数字按照如下规律设置学校密码，根据提供的信息可以推断该校的密码是（   ）    A．355155 B．323550 C．357315 D．351550 53．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）有一个正六面体的骰子放在桌面上，将骰子按如图所示顺时针方向滚动，每滚动算一次，则滚动2025次后，骰子朝下一面的数字是（   ）． A．2 B．3 C．4 D．5 54．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）如图所示的是一个按某种规律排列的数阵，根据规律，自然数2024应该排在从上向下数的第行，是该行中的从左向右数的第个数，那么的值是（   ） A．133 B．132 C．131 D．130 55．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期中）观察下列各式： ， ， ，…… (1)请写出第4个式子______． (2)若n为正整数，试猜想______． (3)试利用（2）中猜想的结论求的值． 56．（24-25七年级上·安徽宣城·期中）定义一种新运算“f”：表示n在运算f作用下的结果．若表示n在运算f作用下的结果，它对一些数的运算结果如下：，，，……根据以上定义完成以下问题： (1)计算的值； (2)计算的值． 重难点14 图形类规律探索 57．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）小明和小伙伴利用若干台无人机操作，按照某种规律摆出自己家乡合肥的拼音缩写，第一次摆出的图形如图1，第二次摆出的图形如图2，第三次摆出的图形如图3，……按照这种规律，需要越来越多的无人机，第100次需要（   ）架无人机． A．614 B．608 C．600 D．618 58．（24-25七年级上·安徽黄山·期末）元旦，广场上要进行无人机表演增强气氛，其中有一个设计由如图所示图案逐步演变而成，其中一个圆圈代表一架无人机，n代表第n次演变过程，s代表第n次演变后的无人机的数量．仔细观察下列演变过程，当时，的值为（   ） A． B． C． D． 59．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）用边长相等的等边三角形和正方形卡片按如图所示的方式拼图形．拼第1个图形所用两种卡片的总数为7枚，拼第2个图形所用两种卡片的总数为12枚……若按照这样的规律拼出的第个图形中，所用等边三角形卡片比正方形卡片少101枚，则拼第个图形所用两种卡片的总数为（   ） A．507枚 B．502枚 C．500枚 D．497枚 60．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）如图，一组有规律的图案中，第一个图案是1个边长为正方形，周长为，第二个图案是2个边长为的正方形拼接而成，周长为，第三个图案是3个边长为的正方形拼接而成，周长为，…… (1)第5个图案的周长为_____； (2)第个图案的周长为_____； (3)图案的周长有可能为吗？如果有可能，求出是第几个图案，如果没有可能，请说明理由． 61．（24-25七年级上·安徽六安·期末）如图，通过观察，小明同学发现可以用这样的方法确定每个图形中黑色和白色小正方形的总个数：如第1个图中共有1个黑色小正方形，第2个图中共有个黑白小正方形，第3个图中共有个黑白小正方形．第4个图中共有个黑白小正方形，回答问题： (1)根据规律，第5个图中计算黑白小正方形的等式是： ； (2)根据规律，第个图中计算黑白小正方形的等式是： ； (3)根据（2）的等式，计算：． 62．（24-25七年级上·安徽六安·期末）观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律： (1)在④后面的横线上写出相应的等式； ①；②；③；④_____________； (2)试用含有n的式子表示这一规律： ；（n为正整数） (3)请利用（2）中的规律计算：． 重难点15 与整式加减有关的新定义问题 63．（21-22七年级上·安徽宿州·期中）对于有理数a，b定义，则化简后得（　　） A． B． C． D． 64．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期末）对整式A，B定义新运算“#”和“※”∶，；(n是正整数，特别地，)．若， （1） ； （2）若的计算结果中的系数大于100，则n至少是 ． 65．（23-24七年级上·安徽芜湖·期中）已知均为有理数，现定义一种新运算“”，其规则为：． （1）计算：= ． （2）化简：= ． 66．（24-25七年级上·安徽亳州·期中）定义：若，则称与是关于2的平衡数． (1)3与_______是关于2的平衡数． (2)若，，判断与是否是关于2的平衡数，并说明理由． 67．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）定义新运算“”：对于任意的有理数 a 和 b ，． (1)分别求出 ，的值； (2)若，求代数式 的值； (3)若 ，且的运算结果与n 的 取值无关，求 m 的值及的值． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 整式及其加减 1. 代数式的定义：用基本的运算符号（如：加，减，乘，除，乘方，开方）把数和表示数的字母连接起来的式子叫做代数式. 2. 列代数式的定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数、字母和运算符号的式子表示出来，这就是列代数式. 3. 代数式的书写要求： 1）数字与字母、字母与字母相乘，通常把乘号写成“·”或省略不写；数与数相乘必须写乘号. 2）字母与数字相乘时，通常把数字写在字母的前面；如果字母前面的数字是1或-1时，通常省略不写. 3）除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数. 4）若代数式的最后结果含有加、减运算，则要将整个式子用括号括起来，再写单位. 4. 单项式的有关概念 1）单项式的定义：由数字与字母、字母与字母的乘积组成的式子叫单项式. 2）单项式的系数：单项式中的数字因数叫做单项式的系数. 注意：0圆周率π是常数，单项式中出现π时，应看作系数，而不能当成字母； 3）单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数. 5. 多项式的有关概念 1）多项式的定义：几个单项式的和叫做多项式. 2）多项式的项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项. 3）多项式的次数：一个多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数. 4）多项式的排列：把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母降幂排列；若按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升幂排列． 6. 整式的定义：单项式与多项式统称为整式. 7. 同类项的概念：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项. 8. 同类项的特征：两相同，两无关. 两相同指所含字母相同，相同字母的指数也相同. 两无关指同类项与系数无关，与字母的排列顺序无关. 9. 合并同类项法则：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，而字母与字母的指数不变.（简称：一相加两不变） 10. 去括号法则：如果括号前面是“＋”号，那么去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同； 如果括号前面是“－”号，那么去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反； 11. 整式的加减的运算法则：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项. 序号 易错点 易错题 注意事项 1 代数式书写错误 1．下列各式是一些不规范的书写，请将规范写法写在横线处：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)米． 答案：(1)(2)(3)(4)(5)(6)米 详情见知识点3 2 含π的单项式系数判断错误 1．单项式的系数是 ，次数是 ． 答案：/ 圆周率π是常数，单项式中出现π时，应看作系数，而不能当成字母 3 括号前是负号，去括号时只改变首项符号而致错 1．化简：（1） ； （2） ． 2．去括号：（1） ； （2） ； （3） ． 3．有一道题，“□”的地方被墨水弄污了，则“□”内应填写 ． 答案：1. / / 2. 3. 去括号时“-”全变“+”不变 4 去括号时括号前的系数只乘一项，其它项漏乘 若括号前面有数字因数，去括号时应先把数字因数与括号内各项相乘，再去括号，不要漏乘括号内的任何一项 重难点01 求代数式的值 1．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）已知，则的值是（   ） A． B．8 C． D．32 【答案】D 【分析】本题考查了整式加减的化简求值，利用整体思想解题是关键．将代数式去括号、合并同类项后变形为，再整体代入计算求值即可． 【详解】解： 原式， 故选：D． 2．（24-25七年级上·安徽淮北·阶段练习）当时，代数式的值为2026，则当时，的值为（    ） A．2024 B． C．2025 D． 【答案】B 【分析】本题考查了代数式求值，熟练掌握整体思想是解题关键．将代入可得，再将代入计算即可得． 【详解】解：∵当时，代数式的值为2026， ∴， ∴， ∴当时， ， 故选：B． 3．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）按如图所示的程序计算，若开始输入的x值为30，第一次得到的结果为15，第二次得到的结果为24，请你探索第2025次得到的结果为（   ） A．6 B．12 C．15 D．24 【答案】B 【分析】本题考查了与程序流程图相关的规律问题，数字类规律探究，正确理解题意找到规律是解题关键．分别计算出前九次的输出结果，可以得到从第三次输出结果开始，每三次输出结果为一个循环，依次为12、6、3，由此进行求解即可． 【详解】解：开始输入的值为30， 第一次得到的结果为， 第二次得到的结果为， 第三次得到的结果为， 第四次得到的结果为， 第五次得到的结果为， 第六次得到的结果为， 第七次得到的结果为， 第八次得到的结果为， 第九次得到的结果为， …… 观察发现，从第三次输出结果开始，每三次输出结果为一个循环，依次为12、6、3， ， 第2025次得到的结果为12， 故选：B． 4．（24-25七年级上·安徽滁州·期末）若时，的值为3，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了代数式求值，整体代入是解题的关键．根据题意得出，代入代数式即可求解． 【详解】解：当时，， ∴， ∴ ， 故答案为：． 5．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）若，，则代数式的值为 ． 【答案】2019 【分析】本题主要考查了代数式求值，利用整体代入的思想求解是解题的关键．先把所求式子变形为，再把已知条件式整体代入求解即可． 【详解】解：∵，， ， 故答案为：． 6．（24-25七年级上·安徽宣城·期中）已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，x的绝对值是2，求的值 【答案】1或5 【分析】本题考查的是相反数，倒数，绝对值的含义，求解代数式的值，根据题意可得，，，再分情况代入计算即可． 【详解】解：∵a、b互为相反数，c、d互为倒数，x的绝对值是2 ∴，，， 当时，原式；     当时，原式； 综上，所求的值为1或5 重难点02 整式的相关概念 7．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）下列说法正确的是（   ） A．的系数是3 B．的次数是4 C．的最高次项为 D．的系数是 【答案】D 【分析】本题考查了单项式和多项式的次数及系数的概念，单项式是指数字和字母的乘积，单项式的次数是指所有字母的指数和，系数是指单项式的数字部分；多项式是多个单项式的和，次数是多项式中单项式的最高次数叫做多项式的次数；根据定义逐一分析即可． 【详解】解：A、单项式的系数是，而非仅3，选项错误； B、单项式的次数是2，而非4，选项错误； C、多项式中，各单项式次数依次为3、4、0，最高次项为，选项错误； D、单项式的系数为，选项正确； 故选：D． 8．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）下列说法中正确的是（    ） A．若是有理数，则一定是负数 B．去括号： C．单项式的系数是，次数是5 D．多项式是三次三项式 【答案】C 【分析】本题主要考查负数，去括号，单项式和多项式的定义，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据定义进行判断即可． 【详解】解：若是有理数，则可能是正数、、负数，故不一定是负数，故选项A错误； ，故选项B错误； 单项式的系数是，次数是5，故选项C正确； 多项式是五次三项式，故选项D错误； 故选C． 9．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）下列关于多项式的说法中，正确的是（    ） A．是三次三项式 B．最高次项系数是 C．常数项是1 D．二次项是 【答案】A 【分析】本题考查了多项式的项、项数、次数“多项式中每一个单项式称为该多项式的项（带符号）；次数最高的项的次数即为该多项式的次数；不含字母的项称为常数项”，熟记多项式的项、项数、次数的定义是解题关键．根据多项式的项、项数、次数的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、多项式共有三项，其中的次数为，的次数为，的次数为0，所以这个多项式是三次三项式，则此项正确，符合题意； B、最高次项系数是4，则此项错误，不符合题意； C、常数项是，则此项错误，不符合题意； D、二次项是，则此项错误，不符合题意； 故选：A． 10．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期末）关于多项式与，下面说法正确的有（    ） ①项数相同；②次数相同；③都是按照x的降幂排列；④和仍是多项式． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了多项式的相关概念、合并同类项，熟练掌握多项式的项数、次数、降幂排列，合并同类项是解题的关键．根据多项式的相关概念、合并同类项，对题目的说法逐个分析判断即可． 【详解】解：项数为3，项数为3，所以与项数相同，故①正确； 次数为2，次数为2，所以与次数相同，故②正确； 与都是按照x的降幂排列，故③正确； ，所以与的和为单项式，故④错误； 综上所述，说法正确的有①②③，共3个． 故选：C． 11．（22-23七年级上·安徽合肥·期中）下列各式，，，，，，，中，整式有（   ） A．3个 B．4个 C．6个 D．7个 【答案】C 【分析】本题考查了整式的辨别，熟悉掌握整式的概念是解题的关键． 根据整式的概念逐一判断即可 【详解】解：∵，，，，，都为整式，和为分式， ∴整式有6个， 故选：C． 12．（22-23七年级上·安徽六安·阶段练习）对下列式子进行分类． ． 单项式：（                       ）； 多项式：（                       ）； 整式：（                         ）． 【答案】，，，；，，；，，，，，， 【分析】单项式是指只含乘法的式子，单独的字母或数字也是单项式． 多项式：若干个单项式的代数和组成的式子．多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数．不含字母的项叫做常数；整式：单项式和多项式统称为整式． 【详解】单项式：（，，，） 多项式：（，，） 是整式：（，，，，，，） 【点睛】本题考查整式、单项式、多项式的概念，熟练掌握相关的概念是解题的关键． 重难点03 已知单项式的次数（或已知多项式是几次几项式）求未知数的值 13．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）关于，的单项式的次数为5，则的值为 ． 【答案】3 【分析】此题考查了单项式的次数，单项式中所有字母的指数和叫做单项式的次数，据此进行解答即可． 【详解】∵关于，的单项式的次数为5， ∴， 故答案为：3 14．（22-23七年级上·安徽宣城·期中）已知单项式的次数与多项式的次数相同，则 ． 【答案】5 【分析】根据单项式次数的定义：各字母指数的和；多项式中次数的定义：组成多项式的各单项式中次数最高的项，得出相应方程求解即可． 【详解】解：单项式的次数是7， ∴多项式的次数也是7， ∴， ∴． 故答案为：5 【点睛】题目主要考查单项式与多项式中次数的定义，理解次数的定义是解题关键． 15．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）若多项式是四次三项式，则 ． 【答案】 【分析】本题考查多项式的定义，根据多项式是四次三项式可知，，可得、的值，即可得解．掌握多项式的定义是解题的关键．也考查了求代数式的值． 【详解】解：∵多项式是四次三项式， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为：． 16．（23-24七年级上·安徽淮南·阶段练习）关于的多项式是二次多项式，则 ． 【答案】 【分析】本题考查多项式的次数问题，由多项式次数为，为此知没有次项，由此知，这时最高次项是，可知的值问题得以解决． 【详解】∵关于的多项式是二次多项式， ∴该多项式没有次项，由此知，，． ∴。 故答案为：． 17．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）对于多项式（其中是大于的整数）． (1)若，且该多项式是关于的三次三项式，求的值； (2)若该多项式是关于的五次三项式，则、要满足什么条件？ 【答案】(1)1 (2)且 【分析】本题考查多项式，理解多项式的相关定义是解答的关键． （1）利用多项式的定义，得出的次数进而得出答案； （2）利用多项式的定义，得出的次数与系数进而得出答案． 【详解】（1）解：时，原多项式变为， ∵该多项式是关于的三次三项式， ∴，解得，即的值为1； （2）解：由题意得：且，即且． 重难点04 与单项式有关的规律探究题 18．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）一组按照规律排列的式子如下：、、、、、……，请根据规律写出第21个式子为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了代数式规律问题的求解能力，关键是根据所给代数式准确归纳出该组代数式的规律． 根据各式符号、式子的规律求解此题即可． 【详解】根据、、、、，得第各式子是，所以第21 个式子是． 故选：C． 19．（2022·云南昆明·三模）按一定规律排列的代数式：2，，……，第n个单项式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】不难看出奇数项为正，偶数项为负，分母为x2n-2，分子的指数为由1开始的自然数，据此即可求解． 【详解】解：∵2=， ∴按一定规律排列的代数式为：，，，，，…， ∴第n个单项式是(-1)n-1， 故选：B． 【点睛】本题考查单项式的规律，根据所给单项式的系数与次数的特点，确定单项式的规律是解题的关键． 20．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）斐波那契数列在自然界和计算机科学中有着广泛的应用，如兔子繁殖问题、向日葵的螺旋排列、黄金分割等．受到斐波那契数列的启发，小明同学利用计算机设计了一个程序，输入和输出的情况如下表．按此规律，当输入9时，输出结果为 ，从1开始一直输入到2025后，输出项的系数与次数均为奇数的项共有 个． 输入 1 2 3 4 5 6 7 8 … 输出 a … 【答案】 1350 【分析】本题考查的是数字类的规律探究，单项式的规律探究，通过观察输出结果，得到当输入的数是时，输出项的系数与次数均为奇数，再由，即可求解． 【详解】解：输入1，得到a， 输入2，得到，项的系数与次数不都为奇数， 输入3，得到，项的系数与次数都为奇数， 输入4，得到，项的系数与次数均为奇数， 输入5，得到，项的系数与次数不都为奇数， 输入6，得到，项的系数与次数都为奇数， 输入7，得，项的系数与次数均为奇数， 输入8，得，项的系数与次数不都为奇数， 输入9，得，项的系数与次数均为奇数， …… ∴当输入的数是时，输出项的系数与次数均为奇数， ∵， ∴从1开始一直输入到2025后，输出项的系数与次数均为奇数的项共有1350个， 故答案为：，1350． 21．（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）观察下列单项式： 第1个单项式：． 第2个单项式：． 第3个单项式：． 第4个单项式：． …… (1)第5个单项式为______． (2)第n个单项式为______（用含有n的式子表示）． (3)前3个（第1个到第3个）单项式中字母a，b的所有指数之和为，求前10个（第1个到第10个）单项式中字母a，b的所有指数之和． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了单项式的系数和次数规律探索等知识点，准确发现其规律是解决此题的关键． (1)观察单项式的系数和次数的规律，可以发现系数是序号的2倍，字母的次数不变，字母的次数是序号的2倍减1即可得解； (2)由(1)的规律即可得解； (3)根据规律计算前10个单项式中字母的所有指数之和即可得解． 【详解】（1）解：第1个单项式：， 第2个单项式：， 第3个单项式：， 第4个单项式：， …… 观察单项式的系数和次数的规律，可以发现系数是序号的2倍，字母的次数不变，字母的次数是序号的2倍减1， ∴第5个单项式为， 故答案为：； （2）解：由(1)的规律知，第n个单项式为， 故答案为：； （3）根据规律，前10个单项式中字母的所有指数之和为． 重难点05 已知同类项求代数式的值 22．（24-25七年级上·安徽六安·期末）如果与是同类项，那么的值是（   ） A． B．1 C． D．2024 【答案】B 【分析】本题主要考查了同类项的定义，代数式求值，所含字母相同，相同字母的指数也相同的单项式叫做同类项，据此可得的值，再代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵与是同类项， ∴， ∴， 故选：B． 23．（24-25七年级上·安徽池州·期末）若单项式与的和仍是单项式，则的值是（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了合并同类项、已知同类项求代数式的值．熟练掌握同类项的定义是解题的关键．由题意知，，计算求解的值，然后代值求解即可． 【详解】解：由题意知，， 解得，， ∴， 故选：C． 24．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）已知和的和是单项式，x与y互为相反数（），c与d互为倒数，则 ． 【答案】11 【分析】本题考查同类项的判断，相反数和倒数的定义，代数式求值．根据同类项的判断，求得m、n的值，由相反数的定义得出，由倒数的定义得出，即可求解． 【详解】解：∵和的和是单项式， ∴，， 解得，， ∵x与y互为相反数， ∴， ∴， ∵c与d互为倒数， ∴， ∴， 故答案为：11． 25．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）已知．当与是同类项时，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式加减运算，同类项定义，解题的关键是熟练掌握加减运算法则，准确计算． 根据整式加减运算法则算出，再根据同类项定义得出，然后代入求值即可． 【详解】解：∵， ， 与是同类项， ， 则． 重难点06 整式的加减 26．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）已知有理数a、b、c在数轴上对应的点如图所示： 化简：的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了利用数轴判断式子正负，整式的加减运算，根据数轴正确得出式子正负是解题关键．由数轴可得，，，再去绝对值符号化简即可． 【详解】解：由数轴可知，，且， ，，， ， 故选：B． 27．（24-25七年级上·安徽安庆·阶段练习）化简的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了整式化简，解题的关键是熟练掌握去括号法则和合并同类项法则，注意括号前面为负号时，将负号和括号去掉后，括号里每一项的符号要发生改变．根据去括号，合并同类项法则进行计算即可． 【详解】解： ． 故选：C． 28．（24-25七年级上·安徽滁州·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式的加减．根据合并同类项法则（系数直接相加减，字母以及字母的指数不变），去括号法则（括号前是负号，括号内各项变符号，括号前是正号，括号内各项不变符号）以及添括号进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、与不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意； D、，故该选项符合题意； 故选：D． 29．（24-25七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）小明同学在计算：时，将括号前面的“”号抄成了“”号，得到的运算结果是，则多项式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减，由题意得，，则多项式是，然后化简即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：由题意得， ∴ ， 故答案为：． 30．（22-23七年级上·北京朝阳·期中）已知，，化简． 解：先化简：， 进而得到……① ……② ……③ 根据上面的解法回答下列问题： (1)①是否有错？______，①到②是否有错？______，②到③是否有错？______（填是或否）． (2)写出正确的解法． 【答案】(1)是  是  是 (2)见解析 【分析】此题主要考查了整式的加减，正确合并同类项是解题关键． （1）直接利用去括号法则判断得出答案； （2）利用整式的加减运算法则计算得出答案． 【详解】（1）①有错；①到②有错；②到③有错； 故答案为：是，是，是； （2） ． 31．（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）化简下列各式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减； （1）合并同类项，系数相加，字母及字母的指数不变； （2）先去括号，然后再合并同类项，即可求解． 【详解】（1）解： （2）解： 重难点07 整式的化简求值 32．（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）若，，求的值，其中，． 【答案】6 【分析】本题考查了整式的加减运算，熟练掌握去括号的法则是解题的关键． 将A，B代入运用整式加减的运算法则计算，然后代数求解即可． 【详解】∵，， ∴ ∵， ∴原式． 33．（24-25七年级上·安徽宣城·期中）先化简，再求值：，其中， 【答案】， 【分析】本题考查的是整式的加减运算中的化简求值，先去括号，再合并同类项，得到化简的结果，最后把，代入计算即可． 【详解】解： ； 当，时， 原式 ； 34．（24-25七年级上·安徽亳州·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式加减中的化简求值、非负数的性质等知识，熟练掌握整式加减运算法则是解题关键．首先按照去括号、合并同类项的步骤完成化简，再根据非负数的性质确定的值，然后代入求值即可． 【详解】解：原式 ， ∵， ∴， 解得， ∴原式 ． 35．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）已知：，． (1)求（结果要求化为最简）； (2)如果，求的值是多少？ 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）把与代入中，去括号合并即可得到结果； （）利用非负数的性质求出与的值，代入计算即可求出结论； 本题考查了整式的加减﹣化简求值，以及非负数的性质，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，． ∴ ； （2）解：∵， ∴，， ∴，， ∴原式 ． 重难点08 整式加减的应用-无关型问题 36．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）已知代数式，． (1)求； (2)若单项式与单项式是同类项，求的值； (3)当m取何值时，的值与n的取值无关． 【答案】(1)； (2)28； (3)时，的值与n的取值无关． 【分析】本题考查了整式的加减运算，涉及到同类项概念的应用，熟练掌握整式加减运算法则是解题的关键． （1）把A，B的代数式代入中，去括号，合并同类项后，即可得到结果； （2）根据同类项的概念，得到m，n的值，代入中，得到结果； （3）根据题意，对变形，得到，得到m的值． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ， 即； （2）解：∵单项式与单项式是同类项， ∴，， ∴ ； （3）解：， ∵的值与n的取值无关， ∴， ∴， 即时，的值与n的取值无关． 37．（24-25七年级上·安徽亳州·期中）已知：． (1)计算：； (2)若的值与的取值无关，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查整式的混合运算，掌握其运算法则，理解无关项的含义是解题的关键． （1）根据整式的混合运算法则计算即可求解； （2）根据无关项的含义得到，该项的系数为0，由此列式求解即可． 【详解】（1）解：， ∴ ； （2）解：由（1）的计算得到，， ∵值与的取值无关， ∴， 解得，． 重难点09 整式加减的应用-不含型问题 38．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）小明做一道数学题“已知两个多项式、．，，计算”，小明误把“”看成“”，求得的结果为． (1)请求出的正确结果； (2)若多项式且的结果不含项和项，求的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了整式的运算法则，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）先根据条件求出多项式，然后将和代入中即可求出答案． （2）将和代入中，合并同类项为，再根据的结果不含和项，即可得到，，求解即可得到的值． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， 的结果不含和项， ∴，， 解得：，． 39．（23-24七年级上·安徽宿州·阶段练习）已知多项式与多项式的差不含x的二次项，求m的值． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减混合运算以及“无关型”，依题意，即可列式，去括号合并同类项，即可作答． 【详解】解： ． ∵多项式与多项式的差不含的二次项， ∴， 解得． 即m的值为． 40．（22-23七年级上·广东东莞·期中）当多项式不含二次项和一次项时，求m、n的值． 【答案】 【分析】先合并关于x的二次项与一次项，再根据不含某项，则某项的系数为0，再列方程求解即可． 【详解】解： ∵多项式不含二次项和一次项 ∴ 解得： 【点睛】本题考查的是合并同类项，多项式不含某项的含义，掌握“合并同类项及理解多项式不含某项的含义”是解本题的关键． 重难点10 整式加减的应用-比较整式的大小 41．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）小明在探究有理数大小比较的方法时，观察到两个数的大小与它们差的符号之间有着密切联系，让我们来和小明一起完成他的探究． (1)完成下表： 已知 计算 比较大小 与0 与 5 3 2 (2)发现规律： 若，则_____ 若，则_____ 若，则_____ (3)应用扩展： 在整式中，整式和整式也是满足上述规律的，请利用上面发现的规律解决问题． ①比较大小：_____ ②整式，整式，试讨论比较整式与整式的大小． 【答案】(1)见解析 (2)；； (3)①；②当时，；当时，；当时，． 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，整式的加减计算，有理数比较大小，有理数的减法计算， 正确理解题意是解题的关键． （1）根据有理数的减法计算法则计算出对应的的结果，则可得到与0的大小关系，再根据有理数比较大小的方法比较出与的大小关系即可； （2）根据（1）所求即可得到规律，进而可得答案； （3）①求出的结果，根据（2）的结论求解即可；②求出，再根据（2）的结论讨论求解即可． 【详解】（1）解：， ， ； ，； ，则； 填表如下： 已知 计算 比较大小 与0 与 5 3 2 （2）解：由（1）可得若，则， 若，则， 若，则； （3）解：① ， ∴； ②∵，， ∴ ， 当时，，此时，即； 当时，，此时，即； 当时，，此时，即； ∴当时，；当时，；当时，． 42．（24-25七年级上·湖北恩施·期中）对于两个有理数a，b的大小比较，有下面的方法： 若，则；若，则；若，则；我们把这种比较两个数大小的方法叫做“作差法”． (1)分别求出图1中长方形A的周长和图2中长方形B的周长； (2)若，请用“作差法”比较，的大小； (3)若，，直接写出图1与图2中长方形的周长之和______． 【答案】(1)，， (2) (3)60 【分析】本题考查了整式化简求值，整式的加减运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据长方形的周长等于长加宽的和再乘2，即可作答． （2）根据，，列式，再结合，即可作答． （3）根据，，列式由（1）得，再把，代入计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，长方形A的周长， 长方形B的周长， （2）解：由（1）得，， 则 ， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：由（1）得，， ∴ ∵，， ∴， 即， ∴图1与图2中长方形的周长之和为60． 故答案为：60． 重难点11 整式加减的应用-整除问题 43．（24-25七年级上·安徽六安·期中）在小学我们就知道，如果一个整数的各个数位上的数字的和能被3整除，那么这个整数也能被3整除．如： 3285的各个数位上的数字的和能被3整除，所以3285能被3整除； 463的各个数位上的数字的和不能被3整除，所以463不能被3整除． 设一个三位数的百位数字为，十位数字为，个位数字为， (1)用代数式表示这个三位数是_______________________； (2)若能被3整除，试说明这个三位数也能被3整除． (3)任意三个连续整数的和都能被3整除吗？为什么？ 【答案】(1) (2)见解析 (3)能，理由见解析 【分析】本题考查列代数式以及数的整除． （1）根据数字的表示方法表示即可； （2）将表示为，结合已知条件即可解决； （3）设三个连续整数分别为，，（为整数），它们的和为，进而可得结论． 【详解】（1）解：设一个三位数的百位数字是a，十位数字是b，个位数字是c， 则该三位数是：， 故答案为：； （2）解：∵ ， 又∵能被3整除， ∴这个三位数也能被3整除． （3）解：能，理由如下： 设三个连续整数分别为，，（为整数），它们的和为 ， 因为为整数，所以能被3整除． 即任意三个连续整数的和都能被3整除． 44．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）阅读材料： 一个三位自然数若满足百位数字与个位数字的和等于十位数字，则称这个三位数为“欢喜数”，如572的百位数字5与个位数字2的和等于十位数字7，所以572是“欢喜数”． 解答问题 (1)最小的“欢喜数”是________，最大的“欢喜数”是________； (2)若某“欢喜数”的百位数字为a，十位数字为b，试说明这个“欢喜数”是11的倍数； (3)若“欢喜数”m为奇数，且十位数字比个位数字大n（n为大于4而小于7的整数），且m能被3整除，请直接写出所有符合条件的“欢喜数”m． 【答案】(1)110，990 (2)见解析 (3)561或693 【分析】此题考查学生的阅读理解能力以及知识的迁移能力，整式加减混合运算的应用．解题的关键是理解“欢喜数”的定义． （1）按照题意写出最小的“欢喜数”与最大的“欢喜数”即可； （2）由“欢喜数”的定义可得出该“欢喜数”个位数字为，从而可求出，即说明这个“欢喜数”是11的倍数； （3）由题意可知n即为“欢喜数”m的百位数字，再根据m为奇数，n为大于4而小于7的整数可得出该“欢喜数”的个位数字小于等于4，或6，再分类讨论，结合m能被3整除，进行取舍即可． 【详解】（1）解：由“欢喜数”的定义可知最小的“欢喜数”是110，最大的“欢喜数”是990； （2）解：∵这个“欢喜数”的百位数字为a，十位数字为b， ∴该“欢喜数”个位数字为， ∴， ∴这个“欢喜数”是11的倍数； （3）解：∵十位数字比个位数字大n， ∴该“欢喜数”的百位数字为n． ∵该“欢喜数”m为奇数， ∴该“欢喜数”的个位数字为奇数． ∵n为大于4而小于7的整数， ∴该“欢喜数”的个位数字小于等于4，或6， ∴该“欢喜数”的个位数字为1或3． 分类讨论：当①该“欢喜数”的个位数字为1时，当时，此时十位数字为6，该“欢喜数”为561，能被3整除，符合题意； 当时，此时十位数字为7，该“欢喜数”为671，不能被3整除，不符合题意； ②该“欢喜数”的个位数字为3时，当时，此时十位数字为8，该“欢喜数”为583，不能被3整除，不符合题意； 当时，此时十位数字为9，该“欢喜数”为693，能被3整除，符合题意． 综上可知，符合条件的“欢喜数”m为561或693． 45．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）一个三位数，百位上的数字为 a，十位上的数字为 b，个位上的数字为 c，这个三 位数可以用代数式表示为 ．接下来我们探究能被 9 整除的三位数的数的特征． (1)【举例说明】请写出两个能被 9 整除的三位数 、 ； (2)【一般探究】由特例，提出猜想：如果 能被 9 整除，那么这个三位数能被 9 整 除．  请在下列括号内填空，补全下面的推理过程： ① 因为能被 9 整除，并且①式是 9 的倍数，也能被 9 整除，所以它们的和一定能被 9 整除，因此猜想成立． (3)【类比推广】继续探索能被 9 整除的多位数的数的特征，写出你发现的规律．（不需要说明理由） 【答案】(1)， (2)见解析 (3)一个多位数，各个数位上的数字之和能被9整除，那么这个多位数一定能被9整除 【分析】本题主要考查了整式加减混合运算，熟练掌握整式加减混合运算是解题的关键． （1）按要求写出数字即可 （2）根据整式加减法则，进行填空即可； （3）根据（2）中的证明，进行作答即可． 【详解】（1）解：能被 9 整除的三位数为：，； （2）解： ① 因为能被 9 整除，并且是 9 的倍数，也能被 9 整除， 所以它们的和一定能被 9 整除，因此猜想成立． （3）解：由（2）可得：一个多位数，各个数位上的数字之和能被9整除，那么这个多位数一定能被9整除． 重难点12 整式加减的应用 46．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）如图，一个边长为的正方形，挖去四个半径为的半圆剩下来的部分（单位：cm）． (1)用代数式表示剩下部分的周长； (2)当，时，剩下部分的周长是多少（取3.14）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了列代数式和代数式求值，正确列式是解题的关键； （1）根据剩下部分的周长4个半圆的周长求解即可； （2）把，代入（1）的式子计算即可． 【详解】（1）解：， 答：剩下部分的周长是； （2）解：当，时， 答：剩下部分的周长为． 47．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）某中学要建一长方形停车场，其中一面靠墙，其他三面用护栏围起，已知长方形停车场的长为米，宽比长少米． (1)求护栏的总长度； (2)若，，每米护栏造价70元，求建此停车场所需护栏的总价． 【答案】(1)米 (2)33600元 【分析】本题考查代数式解应用题，涉及整式加减运算、代数式求值等知识，读懂题意，准确列出代数式是解决问题的关键． （1）根据题意，先求出宽，再由停车场的围栏构造得出代数式表示即可； （2）由（1）中所求代数式，将，代入求值，再由每米护栏造价70元，即可得到建此停车场所需的费用． 【详解】（1）解：由题意得，宽为：（米）， 护栏的长度为：（米）． （2）解：当，时，， 则建此停车场所需护栏的总价为：（元）． 48．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）某地为市民打造十五分钟健身圈，计划将一块闲置土地改造成一个休闲广场（由主广场、儿童乐园区、健身区和休闲区组成），现对该地块进行地面改造，其平面图如下图所示（单位：米）： (1)用含，的代数式表示儿童乐园区比休闲区面积大多少平方米？ (2)用含，的代数式表示该休闲广场的总面积； (3)该休闲广场地面全部铺设地砖，但为了确保安全，还需要在健身区和儿童乐园区的地砖上额外增加一层橡胶地垫．已知每平方米地砖的铺设成本为150元，每平方米橡胶地垫的铺设成本为100元．当，时，求该休闲广场地面改造的总费用．（不考虑其他额外费用，计算结果使用科学记数法表示） 【答案】(1)平方米 (2)平方米 (3)元 【分析】本题主要考查了列代数式，代数式求值，整式加减运算，解题的关键是理解题意，数形结合，熟练掌握长方形面积公式． （1）先分别表示出儿童乐园区和休闲区的面积，再表示出儿童乐园区比休闲区面积大的部分即可； （2）先分别表示出健身区面积和主广场面积，再表示出休闲广场总面积即可； （3）分别求出休闲广场的总面积和健身区和儿童乐园区的总面积，然后再求出总费用即可． 【详解】（1）解：儿童乐园区的面积为：平方米， 休闲区面积为：平方米， 则儿童乐园区比休闲区面积大：平方米． （2）解：健身区面积为：平方米， 主广场的面积为：（平方米）， 则休闲广场的总面积为： 平方米； （3）解：当，时，休闲广场的总面积为： （平方米）， 健身区和儿童乐园区的总面积为： （平方米）， 休闲广场地面改造的总费用为： （元）． 49．（24-25七年级上·安徽黄山·期中）将连续的奇数排成如图所示的数表．    (1)十字框中的五个数之和与中间数有什么关系？ (2)设中间数为，如何用含的代数式表示十字框中五个数之和？ (3)十字框中的五个数之和能为吗？能为吗？ 【答案】(1)十字框中的五个数之和是中间数的倍 (2)十字框中的五个数之和为 (3)十字框中五个数之和不能为，十字框中五个数之和能为 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．此题注意结合数的排列规律发现左右和上下相邻两个数之间的大小关系，从而完成解答． （1）算出这5个数的和，与15进行比较； （2）由图易知同一坚列相邻的两个数相隔10，横行相邻的两个数相隔2．用中间的数表示出其他四个数，然后相加即可； （3）求出（2）中的代数式的和等于，可列方程求出中间的数，然后根据方程的解的情况就可以作出判断． 【详解】（1）解：因为 则十字框中的五个数之和是中间数的倍； （2）解：设中间数为a，则其余的4个数分别为 ， ，， 由题意得 因此十字框中的五个数之和为； （3）解：由（2）知，十字框中五个数之和总为中间数的5倍， ， 因为是小数， 所以十字框中五个数之和不能为． ， 因为是整数，且在第三列， 所以十字框中五个数之和能为． 50．（24-25七年级上·广东茂名·期中）阅读理解： 已知；若A的值与字母x的取值无关，则，解得． ∴当时，A的值与字母x的取值无关． 知识应用： （1）已知，．若的值与字母m的取值无关，求x的值； 知识拓展： （2）春节快到了，某超市计划购进甲、乙两种羽绒服共20件进行销售，甲种羽绒服每件进价700元，每件售价1050元；乙种羽绒服每件进价500元，销售利润率为60%．购进羽绒服后，该超市决定：每售出一件甲种羽绒服，返还顾客现金a元，乙种羽绒服售价不变．设购进甲种羽绒服x件，当销售完这20件羽绒服的利润与x的取值无关时，求a的值． 【答案】（1）；（2）50 【分析】本题主要考查了整式的加减和列代数式． （1）根据的值与字母m的取值无关，列出关于x的一元一次方程，进行解答即可； （2）根据总利润甲羽绒服单件利润件数返还顾客钱数乙羽绒服单件利润件数，列出代数式，进行化简即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴ ， 又∵的值与字母m的取值无关， ∴， ∴； （2）如果购进甲种羽绒服x件，那么购进乙种羽绒服件，当购进的20件羽绒服全部售出后，所获利润为： 元； 若当销售完这20件羽绒服的利润与的取值无关时，则， 解得：， 答：a的值是50． 重难点13 数字类规律探索 51．（24-25七年级上·安徽六安·期中）一个自然数的立方，可以分裂成若干个连续奇数的和．例如：，和分别可以按如图所示的方式“分裂”成2个、3个和4个连续奇数的和，即；；；…；若也按照此规律来进行“分裂”，则“分裂”出的奇数中，最大的奇数是（    ） A．37 B．39 C．41 D．43 【答案】C 【分析】本题考查了数字变换规律，有理数的乘方，观察数据特点，判断出底数是相应的奇数的个数是解题的关键．通过观察不难发现，奇数的个数与底数相同，先求出到以6为底数的立方的最后一个奇数为止，所有的奇数的个数为20，再求出从3开始的第20个奇数即可得解． 【详解】解：有3、5共2个奇数，有7、9、11共3个奇数，有13、15、17、19共4个奇数， ， 共有6个奇数， 到 “分裂”出的奇数为止，一共有奇数：， 又是第一个奇数， 第20个奇数为， 即 “分裂”出的奇数中，最大的奇数是41． 故选：C． 52．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）数学老师根据圆圈中的三个数字按照如下规律设置学校密码，根据提供的信息可以推断该校的密码是（   ）    A．355155 B．323550 C．357315 D．351550 【答案】D 【分析】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的密码，探索出密码与数字之间的关系是解题的关键．根据所给密码可知，第一个数与最后一个数的乘积的结果是密码的前两位，第二个数与最后一个数的乘积的结果是密码的中间两位，第一个数与第二个数的和与最后一个数的乘积的结果是密码的最后两位，由此求解即可． 【详解】解：由前3个密码与三个数字的关系可以发现： 第1，2个数字为最上面的数与下面右边的数的积； 第个数字为下面的两个数的积； 第个数字为最上面的数与下面左边的数的和与右边的数的积． ， 所以密码是351550， 故选：D． 53．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）有一个正六面体的骰子放在桌面上，将骰子按如图所示顺时针方向滚动，每滚动算一次，则滚动2025次后，骰子朝下一面的数字是（   ）． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了规律问题的探索，找到数字朝上一面数字的规律是解题的关键；由题意知，3与4相对，2与5相对，由图知，第4次滚动后骰子朝上一面的数字是3，因此每4次一个循环，而，即可求得骰子朝上一面的数字，从而得到骰子朝下一面的数字． 【详解】解：由题意知，3与4相对，2与5相对； 第1次滚动后骰子朝上一面的数字是5，第2次滚动后骰子朝上一面的数字是4，第3次滚动后骰子朝上一面的数字是2，第4次滚动后骰子朝上一面的数字是3，第5次滚动后骰子朝上一面的数字是5，……，因此每4次一个循环，骰子朝上一面的数字按5，4，2，3的顺序循环，而，则第205次滚动后，骰子朝上一面的数字为5，所以骰子朝下一面的数字是2； 故选：A． 54．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）如图所示的是一个按某种规律排列的数阵，根据规律，自然数2024应该排在从上向下数的第行，是该行中的从左向右数的第个数，那么的值是（   ） A．133 B．132 C．131 D．130 【答案】A 【分析】本题主要考查数字的变化规律，代数式求值，通过观察所给的数的排列，得到每行数的个数规律是解题的关键． 根据每行的最后一个数是这个行的行数a的平方，第a行的数字个数是个，由此规律可进行求解m和n的值，代入求值即可． 【详解】解：第一行1个数， 第二行3个数， 第三行5个数，……， 第a行个数， ∴前a行共有个数， ∵，， ∴第45行共有89个数，最后一个数是2025， ∴2024在第45行第88个数， ∵自然数2024应该排在从上向下数的第行，是该行中的从左向右数的第个数， ∴，， ∴． 故答案为：133． 55．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期中）观察下列各式： ， ， ，…… (1)请写出第4个式子______． (2)若n为正整数，试猜想______． (3)试利用（2）中猜想的结论求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，正确理解题意找到规律是解题的关键． （1）根据题意写出第4个式子即可； （2）根据题意可得规律从1到n的连续的正整数的立方和等于n的平方乘以的平方的四分之一，据此可得答案； （3）根据（2）的规律结合所求式子等于，进行求解即可． 【详解】（1）解： 由题意得，第4个式子为； （2）解：第1个式子为， 第2个式子为， 第3个式子为， ……， 以此类推，第n个式子为， ∴ （3）解： ． 56．（24-25七年级上·安徽宣城·期中）定义一种新运算“f”：表示n在运算f作用下的结果．若表示n在运算f作用下的结果，它对一些数的运算结果如下：，，，……根据以上定义完成以下问题： (1)计算的值； (2)计算的值． 【答案】(1)39 (2) 【分析】本题考查了数字规律类探索及有理数的混合运算，理解新运算的法则是解题的关键． （1）根据新运算，令即可求得的值； （2）利用新运算可分别求得的值，代入即可求解； 【详解】（1）解：当时，； （2）解：∵， ， ， ， ， ， ， ， ． 重难点14 图形类规律探索 57．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）小明和小伙伴利用若干台无人机操作，按照某种规律摆出自己家乡合肥的拼音缩写，第一次摆出的图形如图1，第二次摆出的图形如图2，第三次摆出的图形如图3，……按照这种规律，需要越来越多的无人机，第100次需要（   ）架无人机． A．614 B．608 C．600 D．618 【答案】B 【分析】本题考查了图形的变化类规律，列代数式，根据观察，第n次需要无人机架，由此得到答案．从变化的图形中找到与图形序号变化一致的信息是解答本题的关键． 【详解】解：由题意可知，第1次需要无人机架， 第2次需要无人机架， 第3次需要无人机架， …… 第n次需要无人机架， ∴第100次需要架无人机， 故选：B． 58．（24-25七年级上·安徽黄山·期末）元旦，广场上要进行无人机表演增强气氛，其中有一个设计由如图所示图案逐步演变而成，其中一个圆圈代表一架无人机，n代表第n次演变过程，s代表第n次演变后的无人机的数量．仔细观察下列演变过程，当时，的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了图形和数字规律，解题的关键是找到合适的规律列出代数式．根据图形的变化规律，结合数字规律列出表达式，再总结归纳规律，进一步求解即可． 【详解】解：∵， ， ， ， …， ∴当时， ， 故选：A． 59．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）用边长相等的等边三角形和正方形卡片按如图所示的方式拼图形．拼第1个图形所用两种卡片的总数为7枚，拼第2个图形所用两种卡片的总数为12枚……若按照这样的规律拼出的第个图形中，所用等边三角形卡片比正方形卡片少101枚，则拼第个图形所用两种卡片的总数为（   ） A．507枚 B．502枚 C．500枚 D．497枚 【答案】A 【分析】本题考查了与有理数有关的规律探究，解题的关键是总结规律第个图形中所用正方形卡片比等边三角形卡片多几枚． 总结规律第个图形中所用正方形卡片比等边三角形卡片多几枚，当时，求出所用正方形卡片及等边三角形卡片的数量，再求和即可得到答案． 【详解】解：第1个图形中所用正方形卡片比等边三角形卡片多（枚）， 第2个图形中所用正方形卡片比等边三角形卡片多（枚）， 第3个图形中所用正方形卡片比等边三角形卡片多（枚）， 第个图形中所用正方形卡片比等边三角形卡片多（枚）， 当时，所用正方形卡片为：（枚），所用等边三角形卡片为：， 所用两种卡片的总数为：（枚）， 故选：A． 60．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）如图，一组有规律的图案中，第一个图案是1个边长为正方形，周长为，第二个图案是2个边长为的正方形拼接而成，周长为，第三个图案是3个边长为的正方形拼接而成，周长为，…… (1)第5个图案的周长为_____； (2)第个图案的周长为_____； (3)图案的周长有可能为吗？如果有可能，求出是第几个图案，如果没有可能，请说明理由． 【答案】(1)12 (2) (3)可能为，是第1011个图案 【分析】本题考查了图形类规律探索和一元一次方程的应用，正确找到规律是解题的关键； （1）根据前几个图形周长的数据可以得到：第n个图案是n个边长为的正方形拼接而成，周长是，即可求解； （2）根据（1）的结论即得答案； （3）根据得到的规律列出方程求解即可进行判断． 【详解】（1）解：第一个图案是1个边长为正方形，周长为，， 第二个图案是2个边长为的正方形拼接而成，周长为，， 第三个图案是3个边长为的正方形拼接而成，周长为，， …… 所以第n个图案是n个边长为的正方形拼接而成，周长是， 所以第5个图案的周长为cm； 故答案为：12； （2）解：由（1）知：第n个图案是n个边长为的正方形拼接而成，周长是， 故答案为：； （3）解：若，解得， 所以图案的周长可能为，是第1011个图案． 61．（24-25七年级上·安徽六安·期末）如图，通过观察，小明同学发现可以用这样的方法确定每个图形中黑色和白色小正方形的总个数：如第1个图中共有1个黑色小正方形，第2个图中共有个黑白小正方形，第3个图中共有个黑白小正方形．第4个图中共有个黑白小正方形，回答问题： (1)根据规律，第5个图中计算黑白小正方形的等式是： ； (2)根据规律，第个图中计算黑白小正方形的等式是： ； (3)根据（2）的等式，计算：． 【答案】(1) (2) (3)7500 【分析】本题考查了图形的变化规律、有理数混合运算，熟练掌握以上知识点是关键． （1）根据各图形中小正方形个数的变化可找出变化规律即可求出结论； （2）根据各图形中小正方形个数的变化可找出变化规律“第n个图形中有小正方形的个数即可求解； （3）利用（2）的规律即可求解． 【详解】（1）解：第1个图中，计算黑白小正方形的等式是：； 第2个图中，计算黑白小正方形的等式是：； 第3个图中，计算黑白小正方形的等式是：；     第4个图中，计算黑白小正方形的等式是：； 第5个图中，计算黑白小正方形的等式是： 故答案为： （2）解：由（1）得：； 故答案为： （3）解： 62．（24-25七年级上·安徽六安·期末）观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律： (1)在④后面的横线上写出相应的等式； ①；②；③；④_____________； (2)试用含有n的式子表示这一规律： ；（n为正整数） (3)请利用（2）中的规律计算：． 【答案】(1) (2) (3)5000 【分析】本题考查了图形的变化类问题，仔细观察图形和算式找到规律是解答本题的关键． （1）根据图形结合算式规律直接得到第个图案所代表的算式为：，得到答案； （2）根据图形结合算式规律可以找到一般规律：第个图案所代表的算式为：，写出答案． （3）将，写成，再根据（2）得出的一般规律，即可得到答案． 【详解】（1）解：由已知可知： 第个图案所代表的算式为：； 第个图案所代表的算式为：； 第个图案所代表的算式为：； 第个图案所代表的算式为：； （2）解：由已知可知： 第个图案所代表的算式为：； 第个图案所代表的算式为：； 第个图案所代表的算式为：； 第个图案所代表的算式为：； 以此类推： 第个图案所代表的算式为：． 故答案为：． （3）解：原式 ． 重难点15 与整式加减有关的新定义问题 63．（21-22七年级上·安徽宿州·期中）对于有理数a，b定义，则化简后得（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据新定义运算可直接进行求解． 【详解】解：∵， ∴ ． 故选：B． 【点睛】本题主要考查整式的加减运算，熟练掌握整式的加减运算是解题的关键． 64．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期末）对整式A，B定义新运算“#”和“※”∶，；(n是正整数，特别地，)．若， （1） ； （2）若的计算结果中的系数大于100，则n至少是 ． 【答案】 4 【分析】本题考查了定义新运算、整式加减的应用，理解新定义是解题的关键． （1）利用定义新运算计算即可； （2）按照定义新运算分别计算，，……，再判断计算结果中的系数是否大于100，即可得出结论． 【详解】解：（1）由题意得，． 故答案为：； （2）由（1）得，， ， ， ， 若的计算结果中的系数大于100，n至少是4． 故答案为：4． 65．（23-24七年级上·安徽芜湖·期中）已知均为有理数，现定义一种新运算“”，其规则为：． （1）计算：= ． （2）化简：= ． 【答案】 （1） 【分析】本题考查有理数的混合运算，整式的加减运算； （1）根据题中给出的例子列式计算即可； （2）根据题中给出的例子列式，再合并同类项即可． 【详解】（1）由题意得， ； （2） ． 故答案为：（1）；（2）． 66．（24-25七年级上·安徽亳州·期中）定义：若，则称与是关于2的平衡数． (1)3与_______是关于2的平衡数． (2)若，，判断与是否是关于2的平衡数，并说明理由． 【答案】(1) (2)与是关于2的平衡数，理由见解析 【分析】本题考查了新定义和整式的加减，理解平衡数的定义和熟练掌握整式的加减运算法则是解题关键． （1）根据平衡数的定义，可以计算出3的平衡数； （2）将a和b相加，化简，看最后的结果是否为2即可． 【详解】（1）解：∵， ∴与是关于2的平衡数， 故答案为：； （2）解：∵，， ∴ ， ∴与是关于2的平衡数． 67．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）定义新运算“”：对于任意的有理数 a 和 b ，． (1)分别求出 ，的值； (2)若，求代数式 的值； (3)若 ，且的运算结果与n 的 取值无关，求 m 的值及的值． 【答案】(1)， (2) (3)， 【分析】本题考查了有理数的运算，整式的加减，理解定义的新运算是解题的关键． （1）根据定义的新运算进行计算，即可解答； （2）根据定义的新运算得到，再将代数式去括号合并化简后，将整体代入计算即可解答； （3）根据定义的新运算列出的式子，代入已知数据利用整式加减法则化简，根据的运算结果与n 的 取值无关，先求出的值，然后代入m的值即可解答． 【详解】（1）解：由题意得：， ； （2）解：∵， ∴，即， ∵ ； ∴原式； （3）解： ； ∵ ， ∴ ； ∵的运算结果与n 的 取值无关， ∴中， 解得：， ∴的值为． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$