专题06 线段的和与差及中点问题的四种考法（压轴题专项训练）数学湘教版2024七年级上册

专题06 线段的和与差及中点问题的四种考法 目录 1 类型一、线段的和与差多解问题 1 类型二、线段中的单中点问题 7 类型三、线段中的双中点问题 10 类型四、线段中的多中点问题 20 26 类型一、线段的和与差多解问题 分类讨论位置关系： 若点位置不确定（如C点使AC±BC=定值），需分C在线段AB上/延长线/直线外。 例：AC-BC=2cm时，C可能在AB间（一解）或BA延长线（两解，B点异侧）。 图形特征分析： 三角形三边关系：若涉及多线段构造三角形，用|a-b|<c<a+b验证解的合理性（舍去不符解）。 隐藏对称性：如线段差|AC-BC|可能对应轴对称点位置。 画图+临界值验证： 动态作图：移动关键点，标出所有满足方程的位置。 必验几何约束：检查角度、共线、非负距离等条件。 口诀：位置不明分类画，三边约束验真假，对称辅助破难点。 例1．已知线段，线段，且、满足多项式是关于的二次三项式．已知线段，在数轴上运动，为原点，点在点的左侧，点在点的左侧，运动过程中线段两端点重合记该线段长为． (1)如图1，点与原点重合时，且点为线段的三等分点(点靠近点)，则在数轴上点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为_________． (2)在(1)的条件下，在数轴正半轴上是否存在点，使得？若存在，求出点表示的数，若不存在，请说明理由； (3)如图2，点与原点不重合时，线段以每秒个单位的速度沿数轴向正方向运动，同时线段以每秒个单位的速度沿数轴向正方向运动，点始终是线段的中点，点始终是线段的中点，请判断线段的长是否为定值，并说明理由． 【答案】(1)，， (2)点P表示的数为 (3)线段的长是定值，理由见解析 【分析】（1）由二次三项式的定义求出，，求出，，，则可得出答案； （2）分四种情况讨论，得出点在线段上时设点表示的数为，列出方程可得出答案； （3）由题意得出点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，得出，表示的数，则可得出答案． 【详解】（1）解：，满足多项式是关于的二次三项式， ，， ，， ，， 点为线段的三等分点， ， ， ， 数轴上点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， 故答案为：，，； （2）解：①经判断，点不在点的右侧，因为； ②经判断，点不在线段上，因为； ③经判断，点不在线段上，因为； ④当点在线段上时设点表示的数为， ， ， 解得： 点P表示的数为 （3）解：线段的长是定值， 理由：在数轴上，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， 点始终是线段的中点，点始终是线段的中点， 在数轴上表示的数：， 在数轴上表示的数：， ， 即线段的长是定值． 【点睛】本题考查了线段中点的性质，线段的和差，整式的加减，列代数式、数轴、一元一次方程的应用，应用分类讨论思想解答是解题的关键． 变式1-1．已知点C在直线上，，，则线段AC的长为 ． 【答案】2或7/7或2 【知识点】线段的和与差 【分析】本题考查线段的和差关系，分点C在点A的左侧、右侧两种情况，根据线段的和差关系分别求解即可． 【详解】解：当点C在点A的左侧时，如图， ，， ， ； 当点C在点A的右侧时，如图， ， ， ， 综上可知，线段AC的长为2或7， 故答案为：2或7． 变式1-2．已知线段，，三点在一条直线上，线段的长度是多少？ 【答案】线段的长度是或． 【知识点】线段的和与差 【分析】本题主要考查了两点之间的距离．根据点A在线段上和点C在线段延长线上两种情况计算即可． 【详解】解：当点A在线段上时， ； 当点C在线段延长线上时， ； 综上，线段的长度是或． 变式1-3 如图，直线上有两点，点是线段上的一点，． (1)若，则___________，___________． (2)在（1）的条件下，若动点，分别从，同时出发，向右运动，点的速度为，点的速度为．设运动时间为，当点与点重合时，、两点停止运动．当为何值时，． (3)为直线上一点，且满足，直接写出的值___________． 【答案】(1)12；6 (2)或12 (3)或或1 【分析】（1）根据，且，代入计算即可． （2）根据题意，得，，此时 ，当点与点重合时，，此时 根据，得，解答即可． （3）分点Q在上，上，点的左侧，点的右侧，结合，分类求解即可． 【详解】（1）解：∵，且， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：12，6． （2）解：∵动点，分别从，同时出发，向右运动，点的速度为，点的速度为．设运动时间为， 得，，此时 ， 当点与点重合时，，此时， 解得， ∵， ∴， ∴或， 解得或， 都符合题意， 故当为或时，． （3）解：当点Q在上时，，， ∵， ∴， ∴或， 解得或， 此时或； 当点Q在上时，，， ∵， ∴， ∴或， 解得（舍去）或， 此时； 当点Q在点左侧时，，， ∵， ∴， 解得或（舍去）， 此时； 当点Q在点右侧时，，， ∵， ∴， 解得或（舍去）， 此时． 综上所述，的值为或或1． 故答案为：或或1． 【点睛】本题考查了线段的和差倍分的计算，绝对值的应用，运动问题，分类思想，有理数的计算，熟练掌握线段的关系，绝对值的计算是解题的关键． 类型二、线段中的单中点问题 核心思路：化归思想+模型识别 中点性质转化： 立即标注AM=MB=1/2AB（或等量线段），将分散线段整合为整体。 例：若AB中点为M，C为直线外点，则CM可转化为中线或辅助线基础。 例2．已知点在直线l上，其中线段，且，若M是线段的中点，求线段的长． 【答案】线段的长为5或1． 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】本题主要考查了与线段中点有关的线段和差计算，分当点C在点B的右侧时，当点C在点B的左侧时，两种情况先求出，再根据线段的和差关系求出的长，进而根据线段中点的定义求出的长，再求出的长即可． 【详解】解：如图①，当点C在点B的右侧时，∵，且， ∴． ∴． ∵M是线段的中点， ∴． ∴． 如图②，当点C在点B的左侧时， ∵，且， ∴． ∴． ∵M是线段的中点， ∴． ∴， 综上所述，线段的长为5或1． 变式2-1．如图，点M在线段上，线段与的长度之比为，点N为线段的中点． (1)若，求的长． (2)在线段上作出一点E，满足，若，请直接写出的长（用含t的代数式表示）． 【答案】(1)； (2) 【知识点】线段中点的有关计算、两点间的距离、列代数式 【分析】本题主要考查了两点间的距离、列代数式，熟练掌握线段中点的定义，线段之间的数量转化是解题关键． （1）根据，设，，根据线段和的关系列方程求出，再根据线段中点定义求出，进而得到的长； （2）根据，推得，再根据已知条件，等量代换后得出，进而得出用含t的代数式表示的长． 【详解】（1）解：由题知：，设，， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴，.   ∵点是线段的中点， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 变式2-2．如图，点M在线段AB上，线段BM与AM的长度之比为5∶4，点N为线段AM的中点． (1)若AB＝27cm，求BN的长． (2)在线段AB上作出一点E，满足MB＝3EB，若ME＝t，求AB的长（用含t的代数式表示）． 【答案】(1)21cm (2)t 【分析】(1)根据BM：AM=5：4，设BM=5xcm，AM=4xcm，根据线段和的关系列方程求出x，再根据线段中点定义求出MN，进而得到BN的长； (2)根据BM：AM=5：4，推得AM=BM，再根据已知条件，等量代换后得出，进而得出用含t的代数式表示AB的长． 【详解】（1）解：由题知BM∶AM=5∶4，不妨设BM =5x， AM=4 x， ∴ BM+AM=9x， ∵ AB=27cm，且AB= BM+AM， ∴ BM+AM=9x=27， ∴x =3， ∴AM=12cm，BM=15cm． ∵点N是线段AM的中点， ∴MN=AM=6cm， ∴BN = BM+MN=15+6=21cm． （2）如图所示： ∵BM∶AM=5∶4， ∴AM=BM， ∵MB= 3 EB， ∴ME=MB = t， ∴MB =t， ∵AB= AM+ BM = BM + BM=BM， AB= ×t=t． 【点睛】本题主要考查了两点间的距离、列代数式，熟练掌握线段中点的应用，线段之间的数量转化是解题关键． 类型三、线段中的双中点问题 两线段在同一直线上且有一个共同的端点，求这两条线段的中点距离的模型我们称之为线段的双中点模型 条件：点M、N分别为线段AB、BC的中点，结论：. 证明：①当点B在线段AC上，如图1， 图1 ∵M、N分别为AB、BC的中点， ∴（中点定义）；（中点定义）； ∵MN=BM+BN， ∴； ②当点B在线段AC的延长线上，如图2， 图2 ∵M、N分别为AB、BC的中点， ∴（中点定义）；（中点定义）； ∵MN=BM-BN， ∴； ③当点B在线段CA的延长线上 图3 ∵M、N分别为AB、BC的中点， ∴（中点定义）；（中点定义）； ∵MN=BN-BM， ∴； 例3．如图，、是线段上两点，、分别是线段，的中点，下列结论：①若，则；②，则；③；④．其中正确的结论是 （填序号）． 【答案】①②③④ 【分析】本题考查了两点间的距离，能够利用中点的性质求解一些线段之间的关系是解题的关键． 根据线段中点的定义与线段的和差结合图形进行分析． 【详解】解：如图： ， ， ， ， ， 即，故①正确； ， ， ， 、分别是线段，的中点， ，故②正确； ，， ， 又， ，故③正确； ，， ， ，， ，故④正确， 故答案为：①②③④． 变式3-1．如图，点都在直线上，是线段的中点，是线段的中点，．    (1)当点在线段上且时，求和的长． (2)若是直线上的动点，动点从点A出发，以3个单位长度/秒的速度沿着的方向运动，运动时间为秒． ①已知另一动点从点出发，以2个单位长度/秒的速度沿着的方向同时运动．是否存在？若存在，求出此时运动的时间；若不存在，请说明理由． ②当动点在线段上运动时，分别是线段和的中点，试判断与线段之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)， (2)①或；② 【分析】本题主经考查了动点产生的线段的计算．熟练掌握线段中点定义，线段的和差倍分关系，是解题的关键． （1）根据中点，得，，根据，得； （2）①存在，当P、Q相遇时，，得，解得；当P、Q相遇后，，得，解得；②根据中点，得，得，根据，即得． 【详解】（1）解：∵是线段的中点，．∴， ∵是线段的中点， ∴， ∴， ∵点在线段上且， ∴；    （2）解：①存在， 当P、Q相遇时， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得； 当P、Q相遇后， ∵， ∴， 解得； 故或；       ②，理由： ∵分别是线段和的中点，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴．    变式3-2 如图，点O是数轴的原点，点A在数轴上位于原点左侧，点B在数轴上位于原点右侧，． (1)当，时，点A表示的数为 ，点B表示的数为 ； (2)若点C、D为数轴上任意两点，点M是线段的中点，点N是线段的中点． 当点C与点D重合时，探究与的数量关系，并说明理由． 当时，直接写出的长度（用m，n表示）． 【答案】(1)， (2) 或或 【分析】本题考查了数轴上点的表示，线段中点的相关计算，数轴上动点问题； （1）由线段关系可求，，即可求解； （2）分类讨论：当在的左边时，当在、之间时，当在之间右边时，即可求解； 当、在的左边，且在的左边，由线段的中点得，，由线段和差得 ，由，即可求解； 、其它不同位置情况同理可求； 掌握线段的中点，能根据动点不同位置进行分类讨论是解题的关键． 【详解】（1）解： ，， ， ， 点A表示的数为，点B表示的数为； 故答案：，； （2）解： ，理由如下： 如图，当在的左边时， 点M是线段的中点，点N是线段的中点， ，， ； 如图，当在、之间时， 点M是线段的中点，点N是线段的中点， ，， ； 如图，当在之间右边时， 点M是线段的中点，点N是线段的中点， ，， ； 综上所述：； 第一种情况，如图，当、在的左边，且在的左边， 点M是线段的中点，点N是线段的中点， ，，则， ； ； 第二种情况，如图，当、在的左边，且在的右边， ∵点M是线段的中点，点N是线段的中点， ∴，， ∴， ； 第三种情况，如图，当、在的右边，且在的左边， ∵点M是线段的中点，点N是线段的中点， ∴，， ∴ ； 第四种情况，如图，当、在的右边，且在的右边， ∵点M是线段的中点，点N是线段的中点， ∴，， ∴ ； 第五种情况，如图，当、在的右边，且在的左边， ∵点M是线段的中点，点N是线段的中点， ∴，，则， ∴ ； 第六种情况，如图，当、在的右边，且在的右边， ∵点M是线段的中点，点N是线段的中点， ∴，， ∴ ； 综上所述，或或． 变式3-3如图①，已知点C在线段上，线段厘米，厘米，点M，N分别是，的中点． (1)求线段的长度； (2)根据第（1）题的计算过程和结果，设，其他条件不变，求的长度； (3)动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以2厘米/秒的速度沿向右运动，终点为B，点Q以1厘米/秒的速度沿向左运动，终点为A，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，求运动多少秒时： ①点P恰好为线段的中点？ ②直接写出C、P、Q三点中有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点？（除①外） 【答案】(1)厘米 (2) (3)①   ②或 【知识点】线段中点的有关计算、与线段有关的动点问题 【分析】本题考查了线段的中点和计算，利用线段中点的性质得出关于t的方程是解题关键，要分类讨论，以防遗漏． （1）根据中点的定义、线段的和差，可得答案； （2）根据中点的定义、线段的和差，可得答案； （3）①分为为线段的中点和为线段的中点，利用线段中点的定义，可得方程，根据解方程，可得答案； ②分为C为线段的中点和点为线段的中点，利用线段中点的定义，可得方程，根据解方程，可得答案． 【详解】（1）解：∵线段 厘米， 厘米，点, 分别是, 的中点, 厘米， 厘米， 厘米； （2）∵点, 分别是的中点, ， ； （3）解：①当 时，为线段的中点，， 解得； ②当时，是线段的中点，得 解得 当 时，为线段的中点， 解得 当时，为线段的中点， 解得(舍) , 综上所述：或 类型四、线段中的多中点问题 条件：如图，点M在线段的延长线上，且线段，第1次操作：分别取线段和的中点、﹔第2次操作：分别取线段和的中点，﹔第3次操作：分别取线段和的中点，；…连续这样操作n次，结论：． 证明：∵、是和的中点 ∴，， ∴， ∵、是和的中点， ∴，， ∴， ∵，是和的中点， ∴，， ∴，……发现规律：， 例4 如图，点、、在同一直线上，为的中点，为的中点，为的中点，则下列说法：，其中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据线段中点的定义和线段的和差分别计算即可. 【详解】① ∵H是的中点， ∵分别是的中点， .     ∴①正确. ② 由①知 ∴②错误. ③ ∴③正确. ④      ∴④正确. 综上，①③④正确. 故选：D 【点睛】本题主要考查了线段中点的定义，线段的和差.根据线段的和差进行求解是解题的关键. 变式4-1 如图，点在线段的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点、；第二次操作：分别取线段和的中点，；第三次操作：分别取线段和的中点，；连续这样操作15次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和＝（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据线段中点定义先求出的长度，再由的长度求出的长度，从而找到的规律，即可求出结果． 【详解】解：线段，线段和的中点分别为，， ， 线段和的中点，， ， 发现规律： ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了线段规律性问题，与中点有关的计算，准确根据题意找出规律是解决本题的关键，比较有难度． 变式4-2 如图，图中数轴的单位长度为．若原点为的四等分点，则点代表的数为 ．    【答案】或或 【知识点】用数轴上的点表示有理数、线段n等分点的有关计算、数轴上两点之间的距离 【分析】根据线段的四等分点有个，分三种情况并结合图形即可得出答案． 【详解】解：∵图中数轴的单位长度为， ∴， ①如图，当点靠近点时， ∵原点为的四等分点， ∴， ∴点代表的数为；    ②如图，当点恰好是线段的中点时， ∵原点为的四等分点， ∴， ∴点代表的数为；    ③如图，当点靠近点时， ∵原点为的四等分点， ∴， ∴点代表的数为；    综上所述，点代表的数为或或， 故答案为：或或． 【点睛】本题考查线段的四等分点，用数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间的距离，运用了分类讨论的思想．解题的关键是掌握线段的四等分点的定义：把一条线段平均分成份． 变式4-3 小明在学习了比较线段的长短时对下面一道问题产生了探究的兴趣： 如图1，点C在线段AB上，M，N分别是AC，BC的中点．若AB＝12，AC＝8，求MN的长． (1)根据题意，小明求得MN＝___________； (2)小明在求解（1）的过程中，发现MN的长度具有一个特殊性质，于是他先将题中的条件一般化，并开始深入探究． 设AB＝a，C是线段AB上任意一点（不与点A，B重合），小明提出了如下三个问题，请你帮助小明解答． ①如图1，M，N分别是AC，BC的中点，则MN＝______________； ②如图2，M，N分别是AC，BC的三等分点，即，，求MN的长； ③若M，N分别是AC，BC的n等分点，即，，则MN＝___________； 【答案】(1)6 (2)①；②；③ 【知识点】线段中点的有关计算、线段n等分点的有关计算、两点间的距离 【分析】（1）由AB=12，AC=8，得BC=AB-AC=4，根据M，N分别是AC，BC的中点，即得CM=AC=4，CN=BC=2，故MN=CM+CN=6； （2）①由M，N分别是AC，BC的中点，知CM=AC，CN=BC，即得MN=AC+BC=AB，故MN=a； ②由AM=AC，BN=BC，知CM=AC，CN=BC，即得MN=CM+CN=AC+BC=AB，故MN=a； ③由AM=AC，BN=BC，知CM=AC，CN=BC，即得MN=CM+CN=AC+BC=AB，故MN=a． 【详解】（1）解：∵AB=12，AC=8， ∴BC=AB-AC=4， ∵M，N分别是AC，BC的中点， ∴CM=AC=4，CN=BC=2， ∴MN=CM+CN=6； 故答案为：6； （2）解：①∵M，N分别是AC，BC的中点， ∴CM=AC，CN=BC， ∴MN=AC+BC=AB， ∵AB=a， ∴MN=a； 故答案为：a； ②∵AM=AC，BN=BC， ∴CM=AC，CN=BC， ∴MN=CM+CN=AC+BC=AB， ∵AB=a， ∴MN=a； ③∵AM=AC，BN=BC， ∴CM=AC，CN=BC， ∴MN=CM+CN=AC+BC=AB， ∵AB=a， ∴MN=a， 故答案为：a． 【点睛】本题考查了线段的中点、线段的和差，解题的关键是掌握线段中点的定义及线段和差运算． 一、填空题 1．中考新趋势·一题多问  已知C为线段上一点，D为的中点，E为的中点，F为的中点，则 ．若，则 ． 【答案】 或 【分析】本题考查了两点间的距离：连接两点间的线段的长度叫两点间的距离．理清线段之间的关系是解决本题的关键． （1）由为的中点，为的中点得到, 则可计算出, 再利用为的中点得到, 求解出结果； （2）根据线段的中点定义和线段的和差计算分两种情况即可求解； 【详解】 解：（1）为的中点，为的中点， ， 为的中点， ， （2）①当，点F在点C左侧时，如图所示： 为的中点，为的中点， ， 为的中点， ， ， ， ， ， ， ∴． ②当，点F在点C左侧时，如图所示： 为的中点，为的中点， ， 为的中点， ， ， ， ， ， ， 综上所述，的值为：或， 故答案为：；或． 2．如图，为一根长为的绳子，拉直铺平后，在绳子上任意取两点M、N，分别将、沿点M、N折叠，点A、B分别落在绳子上的点、处（绳子无弹性，折叠处的长度忽略不计）． （1）当点与点恰好重合时， ． （2）当时， ． 【答案】 20 25或15 【分析】本题考查了折叠的性质，两点之间的距离． （1）由折叠的性质得，，，根据当点与点恰好重合时，求解即可； （2）分两种情况分别计算即可：当点落在点的左侧时，当点落在点的右侧时． 【详解】解：（1）由折叠的性质得，，， ∴当点与点恰好重合时，， 故答案为：20； （2）当点落在点的左侧时，如图， ∵，， ∴， 由折叠的性质得，，， ∴， ∴； 当点落在点的右侧时，如图， ∵， ∴， ∴． 故答案为：25或15． 二、解答题 3．如图，点A，B，C，D是同一直线上从左到右依次排列的四点，，，且a，b满足：，． (1) ， ； (2)线段以2个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段以1个单位长度/秒的速度向左匀速运动． ①求运动多少秒时，线段重合的长度为2； ②当点B和C重合时，线段立即以原来2.5倍的速度向右运动，线段的运动状态不变，若线段向右运动过程中，式子的值为定值n，请求m和n的值． 【答案】(1)6；3 (2)①秒或秒；② 【分析】本题主要考查了非负数的性质，两点间的距离，一元一次方程的应用，熟练运用数轴上两点之间的距离，分类讨论，是解题关键． （1）根据非负数的性质即可求得答案； （2）①设运动时间为t秒，当时，根据，得，解得；当时，得，解得；②设相遇后运动时间为x秒，则，根据为定值n，得，得，． 【详解】（1）解：∵，且，， ∴，， ∴； 故答案为6，3； （2）解：①设运动时间为t秒， 当时， ∵点经过的路程为，点经过的路程为t，， ∴， 解得； 当时， ∵， ∴， 解得； 故运动秒或秒时，线段重合的长度为2； ②设相遇后运动时间为x秒， ∵运动路程为，运动路程为， 则， ∴，， ∴， ∵的值为定值n， ∴， ∴， ∴． 故． 4．已知线段上的两点、，点为线段的中点，． (1)如图1，求线段的长； (2)如图2，点在的延长线上，点在线段上，满足，则点是否为线段的中点？请作出判断，并说明理由； (3)如图3，在（2）的条件下， ，点为的中点，，求的长． 【答案】(1) (2)点是线段的中点，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了线段中点的性质，线段的和差计算； （1）根据为的中点，得出，进而根据，即可求解； （2）根据，则，即，即可得出结论； （3）设，由（1）可得，则 ， ，根据中点的性质可得 ．根据，建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：因为为的中点， 所以． 因为， 所以； （2）解：点是线段的中点 理由如下：因为，， 所以， 所以， 即， 所以点为的中点． （3）解：由（1）可得， 设，则 ， ．    因为为的中点， 所以 ． 所以． 由（2）知，为的中点， 所以 ． 所以， 所以 解得， 即． 5．如图，P是线段上一点，E，F两点分别在线段，上运动，且． (1)若，，求线段的长； (2)如果不论E，F两点如何运动，都有． ①若Q是直线上一点，且，求的值； ②若时，恰好有，此时E点停止不动，将F点向左移动（F点始终在线段上），C，D分别是，的中点，试判断在F点向左移动的过程中，是否发生变化？如果不变，请求出该值；如果发生变化，请说明理由． 【答案】(1)4 (2)①1或；②的值不变，为 【分析】本题考查了线段的和差关系，线段中点的定义等知识，解题的关键是： （1）根据线段的和差关系并结合已知可得出，然后代入计算即可； （2）①根据题意画出图形分析求解即可； ②设，结合已知可求出，，，，结合可得出关于b的方程，解方程求出b，即可求出，然后根据线段中点定义和线段和差关系求出，即可解答． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 又， ∴； （2）解：①∵，， ∴，即， ∴，， ∵Q是直线上一点，且， ∴Q的位置有两种情况： 点Q在点的延长线上，如图， ∴， ∴； 点Q在线段上，如图， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 综上，的值为1或； ②设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵C，D分别是，的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴的值不变，为． 6．（1）关于x的代数式，当x取任意一组相反数m与时，若代数式的值相等，则称之为“偶代数式”；若代数式的值互为相反数，则称之为“奇代数式”．例如代数式是“偶代数式”，是“奇代数式”． （I）以下代数式中，是“偶代数式”的有________；是“奇代数式”的有________；（将正确选项的序号填写在横线上） ①；②；③；④． （Ⅱ）对于整式，当x分别取，，，，，0，1，2，3，4，5时，这十一个整式的值之和是________． （2）如图，点C为线段上一点，点B为的中点，且，．若点E在直线上，且，求线段的长． 【答案】（1）（I）①③；②；（II）11；（2）或 【分析】本题主要考查了代数式求值，新定义，有理数的运算，线段的和差等知识点，正确理解“偶代数式”与“奇代数式”的定义并能灵活运用是解决此题的关键． （1）（I）利用“新定义”计算判断即可得解，（Ⅱ）利用“新定义”计算判断即可得解； （2）当点E在点A的左侧和点E在点A的右侧时，进行分类讨论即可得解； 【详解】（1）解：（I）∵，，，， ∴“偶代数式”有①③；“奇代数式”有②， 故答案为：①③，②； （II）是“奇代数式”， ∴是“奇代数式”， 分别取，，，，，0，1，2，3，4，5时， “奇代数式”的和为， ∴这十一个整式的值之和是， 故答案为：； （2）解：点B为的中点，， ， 又， ， ①当点E在点A的左侧时，如图所示： 则， 点B为的中点， ， ，， ， ②当点E在点A的右侧时，如图所示： ，， ， 综上，或． 7．如图①，已知点C在线段上，线段厘米，厘米，点M，N分别是，的中点． (1)求线段的长度； (2)根据第（1）题的计算过程和结果，设，其他条件不变，求的长度； (3)动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以2厘米/秒的速度沿向右运动，终点为B，点Q以1厘米/秒的速度沿向左运动，终点为A，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，求运动多少秒时： ①点P恰好为线段的中点？ ②直接写出C、P、Q三点中有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点？（除①外） 【答案】(1)厘米 (2) (3)①   ②或 【分析】本题考查了线段的中点和计算，利用线段中点的性质得出关于t的方程是解题关键，要分类讨论，以防遗漏． （1）根据中点的定义、线段的和差，可得答案； （2）根据中点的定义、线段的和差，可得答案； （3）①分为为线段的中点和为线段的中点，利用线段中点的定义，可得方程，根据解方程，可得答案； ②分为C为线段的中点和点为线段的中点，利用线段中点的定义，可得方程，根据解方程，可得答案． 【详解】（1）解：∵线段 厘米， 厘米，点, 分别是, 的中点, 厘米， 厘米， 厘米； （2）∵点, 分别是的中点, ， ； （3）解：①当 时，为线段的中点，， 解得； ②当时，是线段的中点，得 解得 当 时，为线段的中点， 解得 当时，为线段的中点， 解得(舍) , 综上所述：或 8．七（1）班的学习小组学习“线段中点”内容时得到一个很有意思的结论，请跟随他们一起思考． (1)发现： 如图1，线段，点C，E，F在线段上，当点E，F是线段和线段的中点时，线段的长为 ；若点C在线段的延长线上，其他条件不变（请在图2中按题目要求将图补充完整），得到的线段与线段之间的数量关系为 ． (2)应用： 如图3，现有长为40米的拔河比赛专用绳左右两端各有一段（和）磨损了，磨损后的麻绳不再符合比赛要求，已知磨损的麻绳总长度不足20米．只利用麻绳和一把剪刀（剪刀只用于剪断麻绳）就可以得到一条长20米的拔河比赛专用绳，学习小组应用“线段中点”的结论很快做出了符合要求的专用绳，请你尝试着“复原”他们的想法： ①在图中标出点E点F的位置，并简述画图方法； ②请说明①题中所标示E，F点的理由． 【答案】(1)6，，图见解析 (2)①见解析；②见解析 【分析】本题属于作图设计，线段的和差定义，线段的中点的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． （1）根据线段的和差定义，线段的中点的定义解决问题即可． （2）①如图3中，在上取得M，使得F为的中点，点E与C重合． ②根据线段的和差定义，线段的中点的定义解决问题即可． 【详解】（1）解：（1）如图1中， 如图2中， 故答案为6， （2）解：①如图3中，在上取得M，使得，F为的中点，点E与C重合． ②F为的中点， ， ，， ， ， ， 点E与C重合，， ， 点F落在线段上． 9．如图，数轴上A、B两点表示的有理数分别为a、b，与互为相反数，线段在数轴上从A点左侧沿数轴正方向匀速运动（点C在点D的左侧），点M、N分别为、的中点．    (1)的长为 ；若，则的长为 ； (2)在（1）条件下，当时，求N点所表示的有理数； (3)设，线段运动的速度为v，则在运动过程中，线段完全通过线段的时间为 ．（用含m、v的式子表示） 【答案】(1)10，6 (2)或 (3) 【分析】（1）由题意可直接得到，两点表示的有理数分别为和4，设，则，，由点、分别为、的中点，可得出，，所以； （2）根据（1）中的结论，分两种情况讨论可直接求得； （3）根据题意，开始点与点重合，再根据当线段从开始运动到完全通过线段的路程为，由此求解即可． 【详解】（1）解： 与互为相反数， ， 又，， ， ， ，两点表示的有理数分别为和4， ； 如题图1，设，则，， 点、分别为、的中点， ， ， ； （2）解：如题图2，    设点C表示的数，点D表示的数为，根据题意，得， 点M表示的数为，点N表示的数为， 当时， 或， 解得；或 点表示的有理数为或． （3）解：∵，线段在数轴上从A点左侧沿数轴正方向匀速运动 ∴开始点与点重合， 则点表示的数字为，运动到点时，路程为； 到结束时，点与点重合，此时完全通过线段，如图所示 则 点表示的数为， 则运动的总路程为 ∴当线段从开始运动到完全通过线段的时间为． 【点睛】本题主要考查了数轴上两点距离，数轴上的动点问题，用数轴表示有理数，非负数的性质，熟知数轴上两点距离公式是解题的关键． 10．如图，点在线段上，点M，N分别是，的中点． （1）若，，则线段的长为____________； （2）若，，则线段的长为____________； （3）若，求线段的长度； （4）若点为线段上任意一点，且，其他条件不变，你能猜想的长度吗？并用一句简洁的话描述你发现的结论． 【拓展提问】若将例题中的“点在线段上”改为“点在线段的延长线上”，其他条件不变，（3）中结论还成立吗？请画出图形，写出你的结论，并说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4），描述见解析；【拓展提问】成立，理由见解析 【分析】（1）根据中点性质，，，得到，，得到； （2）根据中点性质，，，，，得到； （3）根据中点性质，得到，，根据，得到； （4）猜想，结论：若点为线段一点，且点上分别是，的中点，则； 拓展提问：当点在线段的延长线上时， 根据中点性质，得到，．根据，得到． 【详解】（1）∵点M，N分别是，的中点，，， ∴，， ∴； 故答案为：； （2）∵点M，N分别是，的中点，，， ∴，， ∴； 故答案为：； （3）∵点M，N分别是，的中点， ∴，， ∵，， ∴； （4）猜想：； 结论：若点为线段上一点，且点分别是，的中点，则； 【拓展提问】成立．理由： 当点在线段的延长线上时，如图， ∵点分别是，的中点， ∴，， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了线段的中点，线段的和差．熟练掌握中点性质，线段的和差关系，是解决问题的关键． 11．如图已知线段、， (1)线段在线段上（点C、A在点B的左侧，点D在点C的右侧） ①若线段，，M、N分别为、的中点，求的长． ②M、N分别为、的中点，求证： (2)线段在线段的延长线上，M、N分别为、的中点，②中的结论是否成立？请画出图形，直接写出结论 【答案】(1)①10，②见解析 (2)不成立，见解析 【分析】（1）①利用求出的值，利用中点平分线段，得到，再利用，即可得解；②利用中点平分线段，得到，进而得到，再利用，即可得证； （2）分点在点的左侧，点在点的右侧，点在点的左侧，点在点的左侧，以及点在点的左侧，三种情况分类讨论，求解即可． 【详解】（1）解：①∵，， ∴， ∵M、N分别为、的中点， ∴， ∴； ②∵M、N分别为、的中点， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）不成立； ∵M、N分别为、的中点， ∴， ①当点在点的左侧，点在点的右侧时，如图： 或 ； ②当点在点的左侧，点在点的左侧时，如图： 或 ； ③当点在点的左侧时，如图： 或 ； 综上：或；故结论不成立． 【点睛】本题考查线段之间的和与差．正确的识图，理清线段之间的和，差，倍数关系，是解题的关键．注意分类讨论． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 线段的和与差及中点问题的四种考法 目录 1 类型一、线段的和与差多解问题 1 类型二、线段中的单中点问题 3 类型三、线段中的双中点问题 4 类型四、线段中的多中点问题 7 8 类型一、线段的和与差多解问题 分类讨论位置关系： 若点位置不确定（如C点使AC±BC=定值），需分C在线段AB上/延长线/直线外。 例：AC-BC=2cm时，C可能在AB间（一解）或BA延长线（两解，B点异侧）。 图形特征分析： 三角形三边关系：若涉及多线段构造三角形，用|a-b|<c<a+b验证解的合理性（舍去不符解）。 隐藏对称性：如线段差|AC-BC|可能对应轴对称点位置。 画图+临界值验证： 动态作图：移动关键点，标出所有满足方程的位置。 必验几何约束：检查角度、共线、非负距离等条件。 口诀：位置不明分类画，三边约束验真假，对称辅助破难点。 例1．已知线段，线段，且、满足多项式是关于的二次三项式．已知线段，在数轴上运动，为原点，点在点的左侧，点在点的左侧，运动过程中线段两端点重合记该线段长为． (1)如图1，点与原点重合时，且点为线段的三等分点(点靠近点)，则在数轴上点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为_________． (2)在(1)的条件下，在数轴正半轴上是否存在点，使得？若存在，求出点表示的数，若不存在，请说明理由； (3)如图2，点与原点不重合时，线段以每秒个单位的速度沿数轴向正方向运动，同时线段以每秒个单位的速度沿数轴向正方向运动，点始终是线段的中点，点始终是线段的中点，请判断线段的长是否为定值，并说明理由． 变式1-1．已知点C在直线上，，，则线段AC的长为 ． 变式1-2．已知线段，，三点在一条直线上，线段的长度是多少？ 变式1-3 如图，直线上有两点，点是线段上的一点，． (1)若，则___________，___________． (2)在（1）的条件下，若动点，分别从，同时出发，向右运动，点的速度为，点的速度为．设运动时间为，当点与点重合时，、两点停止运动．当为何值时，． (3)为直线上一点，且满足，直接写出的值___________． 类型二、线段中的单中点问题 核心思路：化归思想+模型识别 中点性质转化： 立即标注AM=MB=1/2AB（或等量线段），将分散线段整合为整体。 例：若AB中点为M，C为直线外点，则CM可转化为中线或辅助线基础。 例2．已知点在直线l上，其中线段，且，若M是线段的中点，求线段的长． 变式2-1．如图，点M在线段上，线段与的长度之比为，点N为线段的中点． (1)若，求的长． (2)在线段上作出一点E，满足，若，请直接写出的长（用含t的代数式表示）． 变式2-2．如图，点M在线段AB上，线段BM与AM的长度之比为5∶4，点N为线段AM的中点． (1)若AB＝27cm，求BN的长． (2)在线段AB上作出一点E，满足MB＝3EB，若ME＝t，求AB的长（用含t的代数式表示）． 类型三、线段中的双中点问题 两线段在同一直线上且有一个共同的端点，求这两条线段的中点距离的模型我们称之为线段的双中点模型 条件：点M、N分别为线段AB、BC的中点，结论：. 证明：①当点B在线段AC上，如图1， 图1 ∵M、N分别为AB、BC的中点， ∴（中点定义）；（中点定义）； ∵MN=BM+BN， ∴； ②当点B在线段AC的延长线上，如图2， 图2 ∵M、N分别为AB、BC的中点， ∴（中点定义）；（中点定义）； ∵MN=BM-BN， ∴； ③当点B在线段CA的延长线上 图3 ∵M、N分别为AB、BC的中点， ∴（中点定义）；（中点定义）； ∵MN=BN-BM， ∴； 例3．如图，、是线段上两点，、分别是线段，的中点，下列结论：①若，则；②，则；③；④．其中正确的结论是 （填序号）． 变式3-1．如图，点都在直线上，是线段的中点，是线段的中点，．    (1)当点在线段上且时，求和的长． (2)若是直线上的动点，动点从点A出发，以3个单位长度/秒的速度沿着的方向运动，运动时间为秒． ①已知另一动点从点出发，以2个单位长度/秒的速度沿着的方向同时运动．是否存在？若存在，求出此时运动的时间；若不存在，请说明理由． ②当动点在线段上运动时，分别是线段和的中点，试判断与线段之间的数量关系，并说明理由． 变式3-2 如图，点O是数轴的原点，点A在数轴上位于原点左侧，点B在数轴上位于原点右侧，． (1)当，时，点A表示的数为 ，点B表示的数为 ； (2)若点C、D为数轴上任意两点，点M是线段的中点，点N是线段的中点． 当点C与点D重合时，探究与的数量关系，并说明理由． 当时，直接写出的长度（用m，n表示）． 变式3-3如图①，已知点C在线段上，线段厘米，厘米，点M，N分别是，的中点． (1)求线段的长度； (2)根据第（1）题的计算过程和结果，设，其他条件不变，求的长度； (3)动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以2厘米/秒的速度沿向右运动，终点为B，点Q以1厘米/秒的速度沿向左运动，终点为A，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，求运动多少秒时： ①点P恰好为线段的中点？ ②直接写出C、P、Q三点中有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点？（除①外） 类型四、线段中的多中点问题 条件：如图，点M在线段的延长线上，且线段，第1次操作：分别取线段和的中点、﹔第2次操作：分别取线段和的中点，﹔第3次操作：分别取线段和的中点，；…连续这样操作n次，结论：． 证明：∵、是和的中点 ∴，， ∴， ∵、是和的中点， ∴，， ∴， ∵，是和的中点， ∴，， ∴，……发现规律：， 例4 如图，点、、在同一直线上，为的中点，为的中点，为的中点，则下列说法：，其中正确的是（　　） A． B． C． D． 变式4-1 如图，点在线段的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点、；第二次操作：分别取线段和的中点，；第三次操作：分别取线段和的中点，；连续这样操作15次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和＝（　　） A． B． C． D． 变式4-2 如图，图中数轴的单位长度为．若原点为的四等分点，则点代表的数为 ．    变式4-3 小明在学习了比较线段的长短时对下面一道问题产生了探究的兴趣： 如图1，点C在线段AB上，M，N分别是AC，BC的中点．若AB＝12，AC＝8，求MN的长． (1)根据题意，小明求得MN＝___________； (2)小明在求解（1）的过程中，发现MN的长度具有一个特殊性质，于是他先将题中的条件一般化，并开始深入探究． 设AB＝a，C是线段AB上任意一点（不与点A，B重合），小明提出了如下三个问题，请你帮助小明解答． ①如图1，M，N分别是AC，BC的中点，则MN＝______________； ②如图2，M，N分别是AC，BC的三等分点，即，，求MN的长； ③若M，N分别是AC，BC的n等分点，即，，则MN＝___________； 一、填空题 1．中考新趋势·一题多问  已知C为线段上一点，D为的中点，E为的中点，F为的中点，则 ．若，则 ． 2．如图，为一根长为的绳子，拉直铺平后，在绳子上任意取两点M、N，分别将、沿点M、N折叠，点A、B分别落在绳子上的点、处（绳子无弹性，折叠处的长度忽略不计）． （1）当点与点恰好重合时， ． （2）当时， ． 二、解答题 3．如图，点A，B，C，D是同一直线上从左到右依次排列的四点，，，且a，b满足：，． (1) ， ； (2)线段以2个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段以1个单位长度/秒的速度向左匀速运动． ①求运动多少秒时，线段重合的长度为2； ②当点B和C重合时，线段立即以原来2.5倍的速度向右运动，线段的运动状态不变，若线段向右运动过程中，式子的值为定值n，请求m和n的值． 4．已知线段上的两点、，点为线段的中点，． (1)如图1，求线段的长； (2)如图2，点在的延长线上，点在线段上，满足，则点是否为线段的中点？请作出判断，并说明理由； (3)如图3，在（2）的条件下， ，点为的中点，，求的长． 5．如图，P是线段上一点，E，F两点分别在线段，上运动，且． (1)若，，求线段的长； (2)如果不论E，F两点如何运动，都有． ①若Q是直线上一点，且，求的值； ②若时，恰好有，此时E点停止不动，将F点向左移动（F点始终在线段上），C，D分别是，的中点，试判断在F点向左移动的过程中，是否发生变化？如果不变，请求出该值；如果发生变化，请说明理由． 6．（1）关于x的代数式，当x取任意一组相反数m与时，若代数式的值相等，则称之为“偶代数式”；若代数式的值互为相反数，则称之为“奇代数式”．例如代数式是“偶代数式”，是“奇代数式”． （I）以下代数式中，是“偶代数式”的有________；是“奇代数式”的有________；（将正确选项的序号填写在横线上） ①；②；③；④． （Ⅱ）对于整式，当x分别取，，，，，0，1，2，3，4，5时，这十一个整式的值之和是________． （2）如图，点C为线段上一点，点B为的中点，且，．若点E在直线上，且，求线段的长． 7．如图①，已知点C在线段上，线段厘米，厘米，点M，N分别是，的中点． (1)求线段的长度； (2)根据第（1）题的计算过程和结果，设，其他条件不变，求的长度； (3)动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以2厘米/秒的速度沿向右运动，终点为B，点Q以1厘米/秒的速度沿向左运动，终点为A，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，求运动多少秒时： ①点P恰好为线段的中点？ ②直接写出C、P、Q三点中有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点？（除①外） 8．七（1）班的学习小组学习“线段中点”内容时得到一个很有意思的结论，请跟随他们一起思考． (1)发现： 如图1，线段，点C，E，F在线段上，当点E，F是线段和线段的中点时，线段的长为 ；若点C在线段的延长线上，其他条件不变（请在图2中按题目要求将图补充完整），得到的线段与线段之间的数量关系为 ． (2)应用： 如图3，现有长为40米的拔河比赛专用绳左右两端各有一段（和）磨损了，磨损后的麻绳不再符合比赛要求，已知磨损的麻绳总长度不足20米．只利用麻绳和一把剪刀（剪刀只用于剪断麻绳）就可以得到一条长20米的拔河比赛专用绳，学习小组应用“线段中点”的结论很快做出了符合要求的专用绳，请你尝试着“复原”他们的想法： ①在图中标出点E点F的位置，并简述画图方法； ②请说明①题中所标示E，F点的理由． 9．如图，数轴上A、B两点表示的有理数分别为a、b，与互为相反数，线段在数轴上从A点左侧沿数轴正方向匀速运动（点C在点D的左侧），点M、N分别为、的中点．    (1)的长为 ；若，则的长为 ； (2)在（1）条件下，当时，求N点所表示的有理数； (3)设，线段运动的速度为v，则在运动过程中，线段完全通过线段的时间为 ．（用含m、v的式子表示） 10．如图，点在线段上，点M，N分别是，的中点． （1）若，，则线段的长为____________； （2）若，，则线段的长为____________； （3）若，求线段的长度； （4）若点为线段上任意一点，且，其他条件不变，你能猜想的长度吗？并用一句简洁的话描述你发现的结论． 【拓展提问】若将例题中的“点在线段上”改为“点在线段的延长线上”，其他条件不变，（3）中结论还成立吗？请画出图形，写出你的结论，并说明理由． 11．如图已知线段、， (1)线段在线段上（点C、A在点B的左侧，点D在点C的右侧） ①若线段，，M、N分别为、的中点，求的长． ②M、N分别为、的中点，求证： (2)线段在线段的延长线上，M、N分别为、的中点，②中的结论是否成立？请画出图形，直接写出结论 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$