4.1 整式-【教材笔记】2025-2026学年新教材七年级上册数学课前预习笔记（人教版2024）

第 四章 整式的加减 港珠澳大桥是集主桥、海底隧道和人工岛于一体的世界上最长的跨海大桥！ 辆汽车从香港口岸行驶到东人工岛的平均速度为96kh,在海底隧道和主桥 上行驶的平均速度分别为72kmh和92kmh.请根据这些数据回答下列问题： (1)汽车在主桥上行驶1h的路程是多少千米？92 (2)如果汽车通过海底隧道需要ah,从香港口岸行驶到东人工岛的时间是 通过海底隧道时间的1.25倍，你能用含a的代数式表示香港口岸到西人工岛的 全长吗？72a+120a (3)如果汽车通过主桥需要b,通过海底隧道所需时间比通过主桥的时间 少0.15h,你能用含b的代数式表示主桥与海底隧道长度的和吗？主桥与海底隧 道的长度相差多少千米？>92h-72(b-0.15) 992b+72(b0.15 要解决上面的问题，需要进一步学习代数式.在本章中，我们将学习一类基 本的代数式整式，以及整式的加减运算，并进一步学习列代数式表示数量和 数量关系，体会数与整式在加减运算中的一致性，为后续学习方程、不等式、函 数等内容打下基础 )整X与数一样，也亦以进行加成运算 4.1整式 学习资源 新知解读 代数式的类型多种多样，下面我们学习一类基本的代数式一整式。 我们来看本章引言中的问题(1). 汽车在主桥上行驶的平均速度为92km/h,根据路程、速度、时间之间的关 系：路程=速度×时间，汽车在主桥上行驶th的路程（单位：km)是 92×t=92t. 观察 我们来看92t和上一章中遇到过的一些代数式 ,09p,号h 这些代数式有什么共同特点？ 只能是积的形式，不能是其他形式 这些代数式都是数或字母的积，像这样的代数式叫作单项式(monomial). 单独的一个数或一个字母也是单项式，例如，-6，x都是单项式 单项式中的数字因数叫作这个单项式的系数.例如，单项式921，a2,0.9p, 包括裁字前面的特号飞 3口h的系数分别是2,1,09，}单项式表示数与字母相乘时，通帝把数写 )单项式的书写要求← 在前面，如92t.单项式的系数是1或-1时，1通常省略不写，如a3,-x. 一个单项式中，所有字母的指数的和叫作这个单项式的次数.如果一个单 项式的次数是n,那么称这个单项式是n次单项式.例如，在单项式92t中，字母 t的指数是1,921的次数就是1，它是一次单项式：在单项式！a2h中，字母a与h 的指数的和是3，了h的次数就是3，它是三次单项式。 对于一个非零的数，规定它的次数为0. 例1用单项式填空，并指出它们的系数和次数.三角形的面积=底×高+2。 (1)若三角形的一条边长为a,这条边上的高为h,则这个三角形的面积为 (2)一个长方体包装盒的长、宽、高分别为xcm,ycm,zcm,则这个长方 体包装盒的体积为 cm. >长方体的体积=长×宽×高 第四章 整式的加减 89 (3)有理数n的相反数是 (4)《北京2022年冬奥会一冰上运动》是为了纪念北京2022年冬奥会冰 上运动发行的邮票.邮票1套共5枚，价格为6元，其中一种版式为一张10枚 (2套)，如图4.1-1所示.某中学举行冬奥会有奖问答活动，买了m张这种版式 的邮票作为奖品，共花费 元 图4.1-1 (5)《中华人民共和国国旗法》规定，国旗旗面为红色长方形，其长与高之 比为3：2，有五种通用尺度（尺寸规格).若一种尺度的国旗的长为acm,则这 种尺度的国旗旗面的面积为 cm2. 解：（1)2血，它的系数是7，次数是2 (2)z,它的系数是1，次数是3. (3)-n,它的系数是-1，次数是1. (4)12m,它的系数是12，次数是1. (5) ，它的系数是子 次数是2 没有写指数的字母，它的指数为1 练习 1.填表： 2a2 2vt 单项式 -1.2h 2 -2 3 系数 2 -1.2 1 -1 3 次数 2 3 2 90 教材笔记数学七年级上册 2.用单项式填空，并指出它们的系数和次数 (1)国家速滑馆“冰丝带”采用了我国自有的二氧化碳跨临界直冷制冰 系统，不仅安全，而且绿色环保，如果使用传统制冷剂，同等用量下的 碳排放量是二氧化碳制冷剂的3985倍，若使用一批二氧化碳制冷剂的碳 排放量为mt,则相同用量的传统制冷剂的碳排放量为 3985m系数为3985，次数为1.←- (2)某人经营一家网店，“五一”假期期间他对网店的某 种商品进行促销.若每售出一件这种商品获利m元，则 售出n件这种商品共获利元.mm系鬟为1，次数为2 (3)测量降水量的基本仪器是雨量器.如图，一个雨量 (第2(3)题) 器的集雨斗是圆锥形状，其内部的底面半径为r,高为h,则这个集雨斗 的容积为 h系数为π，次为3 ?思考 单项式ab与-的和 在上一章中，我们还遇到一些代数式 。单项式2a与3b的和 2n-10,x2+2x+8,2a+3b, 2 ab-2 这些式子与单项式有什么区别和联系？它们有什么共同的特点？ 这些式子都可以看作几个单项式的和.例如，2n-10可以看作单项式2n 与-10的和，x2+2x+8可以看作单项式x,2x与8的和.且分年中不含字每 多项式中舍加减运算 像这样，几个单项式的和叫作多项式（polynomial).其中，每个单项式叫作 多项式的项，不含字母的项叫作常数项.例如，多项式2n-10的项是2n与-10， 其中-10是常数项. 项是2a与3h,次数是1.《 是b与-和 次数是2 多项式里，次数最高的项的次数，叫作这个多项式 的次数.例如，多项式2-10有2项，次数最高的项是 2a+3b, 一次项2n,这个多项式的次数是1；多项式x2+2x+8有 26-02 的项和次数分别是什么？ 3项，次数最高的项是二次项x2,这个多项式的次数 是2. 单项式与多项式统称整式(integral expression).例如，前面学习的单项式 第四章整式的加减 92,a2,0.9p, ah,以及多项式2n-10,x2+2x+8,2a+3b,号ab-2等都 是整式。 例2用多项式填空，并指出它们的项和次数 (1)一个长方形相邻两条边的长分别为a,b,则这个长方形的周长 为 长方形的周长=2（长+宽） (2)m为一个有理数，m的立方与2的差为 (3)某公司向某地投放共享单车，前两年每年投放α辆，为环保和安全起 见，从第三年年初起不再投放，且每个月回收b辆.第三年年底，该地区共有这 家公司的共享单车的辆数为】 (4)现存于陕西历史博物馆的我国南北朝 时期的官员独孤信的印章如图4.1-2所示，它 由18个相同的正方形和8个相同的等边三角形 围成.如果其中正方形和等边三角形的边长都 为a,等边三角形的高为b,那么这个印章的表 图4.1-2 面积为 所有面的面积之和《 解：（1)2a+2b,它的项分别为2a,2b,次数是1. ⊙ (2)m3-2,它的项分别为m3,-2,次数是3. 注意多项式中的 (3)2a-12b,它的项分别为2a,-12b,次数是1. 每一项都包含它前面 的正负号 (4)18a2+4ab,它的项分别为18a2,4ab,次数是2. 在确定多项式的各项时，不要忘 记它前面的特号，龙其注意顶的 符号为负号的情况 练习 1.下列代数式中哪些是单项式？哪些是多项式？分别填入所属的圈中， 3 2a+1,4r2,2x2-5y+1,3,。m3-5n. 8 2a+1,2x2-5y+1 4r2.3 m-5n 8 单项式 多项式 92 教材笔记数学七年级上册 2.填表： 多项式 -5a'b+2ab-b -2h+1 rl+22 2-21+3 2 x3-2y+x2 项 5a'b,2ab,-b -2h,1 422 2,-24,3 2 x3,-2y, 次数 4 2 2 3 3.鲁班锁是我国古代传统建筑的固定结合器，也是一种广泛流传的益智玩 具（图(1)，其中六根鲁班锁中一个构件的一个面的尺寸如图(2)所 示，这个面的面积为 ab-cd o可d a (1 (2) (第3题) 习题4.10 复习巩固 1.单项式-4a2bc的系数是 次数是 1.-46 2.写出一个系数是2，次数是3的单项式. 2.答案不唯一，知2m2n 3.多项式a4-2a2b+b2的项为 次数是 3.a°-2a2b.b24 4.一所住宅的建筑平面图如图所示（图中长度单位：m), 4.x2+2x+182 分为I,Ⅱ，Ⅲ，V四个 区域，则这所住宅的建筑 Ⅲ 面积可以用一个多项式表 示为 这个 中3 多项式的次数是 (第4题) 第四章 整式的加减 93 综合运用 5.5.7%x万人 5.今年“十一”假期期间，某公园接待的游客数比去 年同期增长了5.7%.若去年同期这个公园接待了游 客x万人，求今年“十一”假期期间这个公园比去 年同期多接待的游客人数 6.(10.5-6d0尺 6.我国古代数学著作《周髀算经》中提到，冬至、小 寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、 立夏、小满、芒种这十二个节气中，在同一地点测 量每个节气正午时同一根杆的日影长，发现每个节 气与它后一个节气的日影长的差近似为定值.若这 个定值为d尺（这里的尺是我国古代长度单位），立春 当日的日影长为10.5尺，求立夏当日日影张的近似值. 7.3a+2b-c 7.世界杯排球赛的积分规则为：比赛中以3-0（胜3 局负0局)或者3-1取胜的球队积3分，负队积0 分；比赛中以3-2取胜的球队积2分，负队积1分.若 某球队以3-1胜了a场，以3-2胜了b场，以2-3 负了c场，则这支球队的积分用多项式可以表示 为 拓广探索 8.(1）3n. 8.设n表示任意一个整数，用含n的代数式表示： (2)3+1. (1)能被3整除的整数； (2)除以3余数为1的整数。 9.(1)44 9.鞋号表明了鞋子的大小，我国1998年发布了新鞋号 (2)n=m 标准.新鞋号标准对应于20世纪60年代后期制定 -10 的旧鞋号标准，部分鞋号对照如下： 新鞋号 220 225 230 235 270 旧鞋号 34 35 36 37 a (1)求a的值； (（2)若新鞋号为m,旧鞋号为m,写出一个把I旧鞋 号转换为新鞋号的公式。 94 教材笔记数学七年级上册