2.3 有理数的乘方-【教材笔记】2025-2026学年新教材七年级上册数学课前预习笔记（人教版2024）

2.3有理数的乘方 资 新知解读 在数学和实际问题中，经常会遇到一种特殊形式的乘法运算，其中的各个乘 数都相同，下面就来学习这种乘法运算 2.3.1乘方 我们知道，边长为2cm的正方形的面积是2×2=4(cm)；棱长为2cm的正 方体的体积是2×2×2=8(cm). 2×2,2×2×2都是相同乘数的乘法.为了简便，我们将它们分别记作2,2 2读作“2的平方”（或“2的2次方”)，2读作“2的立方”（或“2的3次 方” 同样地， (-2)×(-2)×(-2)×(-2)记作(-2，读作“-2的 (-2)与-2相等 4次方”；负数或分数的乘方，在书写时一定要把整个 吗？为什么？ 负戴或分裁用小括号括起来 (号)x号×个)×（号）个号)记（号广，读作的5次方 一般地，n个相同的乘数a相乘，即a·a·…·g,记作a,读作“a的n 次方”. n个 求n个相同乘数的积的运算，叫作乘方，乘方的结果叫作幂 指数 (power).在a”中，a叫作底数，n叫作指数，当a”看作a的n次方的 结果时，也可读作“a的n次幂”.例如，在9中，底数是9，指数 底数 是4,9读作“9的4次方”，或“9的4次幂”. 一一个数可以看作这个数本身的1次方.例如，5就是5.指数1通常省略不写. 因为a就是n个a相乘，所以可以利用有理数的乘法运算来进行有理数的 乘方运算. 例计算： (1)(-4)3: (2)(-21; 3( 第二章 有理数的运算 51 解：（1)(-4)}°=(-4)×(-4)×(-4)=-64； (2)(-2=(-2)×(-2)×(-2)×(-2)=16; )(-(号)- Q探究 请再举一些计算乘方的例子，结合例1，你发现负数的暴的正负与指数 有什么关系？ 根据有理数的乘法法则可以得出： 负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数， 显然，正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0 例2用计算器计算(-8泸和(-3). 解：用带符号键O的计算器，有 00⑧①⊙⑤0 显示结果为 1.(1)底裁是-7，指数是8 -32768; (2)-10叫作底裁8叫作指载.(-10)” 是正数 003①⊙⑥© 2.(1)1.(2)-1.(3)512.(4)-125 显示结果为 (5)0.001.(6) 1 (7)10000 16 729. (8)-100000. 3.(1)1771561.(2)268435456 因此，(-8)5=-32768，(-3)°=729 (3)592.704.(4)-175.616 练习 1.（1)(-7)8中，底数、指数各是什么？ （2)(-103中，-10叫作什么数？8叫作什么数？(-10)是正数还是负数？ 2.计算： (1)(-1); (2)(-1)7 (3)8; (4)(-5P; (5)0.13; (7)(-10; (8)(-105. 3.用计算器计算： (1)(-11); (2)16; (3)8.43; (4)(-5.63. 教材笔记数学七年级上册 引入有理数的乘方运算后，做有理数的加、减、乘、除、乘方混合运算时， 应注意以下运算顺序： 1.先乘方，再乘除，最后加减： “加”和“减”，“乘”和“除”"乘方”和“开方 (以后会李到)，以上三类分别是同级运算 2.同级运算，从左到右进行： 3.如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行， 例3计算： (1)2×(-33-4×(-3)+15; (2)(-2°+(-3)×(-42+2)-(-32÷(-2). 解：(1)原式=2×(-27)-(-12)+15 =-54+12+15 =-27; (2)原式=-8+(-3)×(-16+2)-9÷(-2) =-8+(-3)×(-14)-(-4.5) =-8+42+4.5 =38.5. 例4观察下面三行数： -2, 4, -8, 16.-32,64, ① 0, 6, -6, 18. -30, 66, ② -1, 2,-4, 8,-16, 32, ③ (1)第①行中的数可以看成按什么规律排列？ (2)第②③行中的数与第①行中的数分别有什么关系？ (3)取每行中的第10个数，计算这三个数的和 分析：观察第①行中的数，发现各数均为2的倍数.联系数的乘方，从符号 和绝对值两方面考虑，可以发现排列的规律· 解：(1)第①行中的数可以看成按如下规律排列： -2,（-22，（-2)3,(-2)°，… (2)对比第①②两行中位置对应的数，可以发现：第②行中的数是第①行中 相应的数加2，即 -2+2,(-2}+2,（-2}°+2，（-2°+2，…； 对比第①③两行中位置对应的数，可以发现：第③行中的数是第①行中相应 第二章有理数的运算 53 数的宁即 (-2x（-2×（-2x分（-2x (3)每行中第10个数的和是 关健是我到第一行中的第 (-2)°+[-2)°+2]+(-2)0×】 2 10个鬟字，然后根据(2) 的分析得出第二、三行的 第10个裁字 1024+1024+2)+1024× =1024+1026+512 =2562. 练习 计算： (1)(-1)10×2+(-23÷4; (2)-3x月 (3)号写品+ (4)(-10°+[(-4)2-(3+32)×2]. (1)0.(2)-1253(3)-2 (4)9992 16 25 2.3.2科学记数法 在现实生活中，我们会遇到一些比较大的数.例如，太阳的半径约为 696000km;光的速度约为300000000m/s;2022年11月15日，联合国宣布世 界人口达到8000000000人；等等.读、写这样大的数有一定的困难。 观察10的乘方，有如下特点： 10=100,103=1000,10=10000,…. 一般地，10的n次幂等于100（在1的后面有n个0），因此可以利用10的 乘方表示一些大数，例如， 696000=6.96×105, 读作“6.96乘10的5次方（幂”.这样不仅可以使书写简短，同时还便于 读数 像上面这样，把一个大于10的数表示成a×10的形式（其中a大于或等于 54教材笔记数学七年级上册 1,且a小于10，n是正整数)，使用的是科学记数法 对于小于-10的数也可以类似表示，例如， -567000000=-5.67×10° 例5用科学记数法表示下列各数： )注意此处不要遗漏负号 1000000,300000000,8000000000,10100000. 解：1000000=1×10， 300000000=3×108, 8000000000=8×10, 10100000=1.01×10 ?思考 在上面的式子中，等号左边整数的位数与右边10的指数有什么关系？用 科学记数法表示一个n位整数（n大于或等于2)，其中10的指数是 准确数是能够戴出来或确定的.，所有 2.3.3 近似数通过测量得到的数据都不是准确数 先看一个例子.对于参加同一个会议的人数，有两则报道，一则报道说： “会议秘书处宣布，参加今天会议的有505人.”这里数字505确切地反映了实 际人数，它是一个准确数.另一则报道说：“约有五百人参加了今天的会议.” 五百这个数只是接近实际人数，但与实际人数还有差别，它是一个近似数 approximate number ) 在许多情况下，很难取得准确数，或者不必使用准确数，而可以使用近似数 例如，宇宙的年龄约为138亿年，长江长约6300km,圆周率π约为3.14，这里 都使用了近似数 )测算值 >测量值 )测算值 近似数与准确数的接近程度，可以用精确度表示.例如，在前面的例子中， 五百是精确到百位的近似数，它与准确数505的误差为5. 按四舍五入法对圆周率π取近似数时，有 元≈3（精确到个位）， π≈3.1（精确到0.1，或叫作精确到十分位)， π≈3.14（精确到0.01，或叫作精确到百分位)， π≈3.142（精确到0.001，或叫作精确到千分位)， π≈3.1416（精确到0.0001，或叫作精确到万分位)， 例6按括号内的要求，用四舍五入法对下列各数取近似数： (1)0.0158（精确到0.001)； （2)304.35（精确到个位)； (3)1.804(精确到0.1)； (4)1.804(精确到百分位). 第二章 有理数的运算 55 解：(1)0.0158≈0.016； (2)304.35≈304； 这里的1.8和1.80 (3)1.804≈1.8； 的精确度相同吗？表示 (4)1.804≈1.80 近似数时，能简单地把 1.80后面的0去掉吗？ 练习 1.用科学记数法表示下列各数： 100000,7400000,56000000,567000000. 2.下列用科学记数法表示的数，原来分别是什么数？ 1×10,4×103,8.5×10,7.04×10,3.96×10. 3.我国的陆地面积约为9600000km2,用科学记数法表示这个数， 4.用四舍五入法对下列各数取近似数： (1)0.00356(精确到万分位)； （2)61.235(精确到个位)； (3)1.8935(精确到0.001)； (4)0.0571(精确到0.1). 1.1×10.7.4×10.5.6×10.5.67×10 2.10000000.4000,8500000,704000.39600000 习题2.30 3.9.6×10.4.(1)0.0036.(2)61.(3)1.894.(4)0.1. 复习巩固 1.(1)-27. (2)625. 1.计算： (3)2.89 (4) 64 (1)(-3； (2)(-5)°； (3)(-1.72; 27 (5)8 (6)36. (4)(手： (5)-(-23;(6)(-22×(-3. 2.(1)429981696 2.用计算器计算： (2)112550881 (3)360.944128. (1)(-12)；(2)103°；(3)7.12；(4)(-45.73 (4)-95443.993 3.计算： (1)(-1)10×5+(-2)4÷4; 3.(1)9 (2)-271 7 (2)(-3-3x3月 (3) 72 )名G*房 (4)-968 (4)(-10)3+[(-42-(1-3)×2]; (5)-8. (5)-2*号号月 教材笔记数学七年级上册 (6)4+(-2×5-(-0.28)÷4. (6)-35.93 4.用科学记数法表示下列各数： 4.(1)2.35×10 (1)235000000: (2)188520000: (2)1.8852×10 (3)7.01×10 (3)701000000000: (4)36000000. (4)3.6×10 5.下列用科学记数法表示的数，原来各是什么数？ 5.30000000.1300 3×10,1.3×103,8.05×106,2.004×105 8050000.200400 6.用四舍五入法对下列各数取近似数： 7.±3的平方等于9 (1)0.00457(精确到0.0001)； 6.(1)0.0046. -3的立方等于-27 (2)566.1235(精确到个位)； (2)566. (3)3.8963(精确到0.01)； (3)3.90 8.长方体的体积为ah (4)0.057 表面积为2a2+4ah (4)0.0571(精确到千分位). 当a=2cm,h=5cm 综合运用 时，长方体的体积为 7.什么数的平方等于9？什么数的立方等于-27？ a2h=22×5=20(cm) 8.一个长方体的长、宽都是a,高是h,它的体积和表 表面积为2a2+4ah=2× 面积怎样计算？当a=2cm,h=5cm时，它的体积 22+4×2×5=48(cm). 和表面积各是多少？ 9.一天有8.64×10s,一年按365天计算，一年有多 9.3.1536×107s 少秒（用科学记数法表示？ 10.1.1×10km/h= 10.地球绕太阳公转的速度约是1.1×10km/h,声音在 1.1×10x10m 空气中的传播速度约是340m/s,比较两个速度的 3600s 大小 3.06×10m/s. 图为340<3.06×104 拓广探索 所以地球绕太阳公 11.（1)计算0.12,12,10,1002.观察这些结果，底 转的速度快 数的小数点向左（或右）移动一位时，平方数的小 11.（1)0.12=0.01.12=1 数点有什么移动规律？ (2)计算0.13,13,103,1003.观察这些结果，底数 102=100,1002=10000 规律略 的小数点向左（或右）移动一位时，立方数的小数 (2)0.13=0.001,13=1 点有什么移动规律？ 10=1000.1003=1000000 (3)计算0.14,14,10°，100.观察这些结果，底数 规律略 的小数点向左（或右）移动一位时，四次方数的小 (3)0.1=0.0001 数点有什么移动规律？ 14=1,104=10000 12.计算(-2}2,22，（-2,2.联系这类具体的数的乘 100=100000000 方，你认为当a<0时下列各式是否成立？ 规律略 (1)a2>0: (2)a2=(-a2; (3)a2=-a2; (4)a3=-a. 12.(-2)2-4,22-=4.(-2)3=-8.2=8. (1)成立.(2)成立.(3)不成立.(4)不成立 第二章 有理数的运算