2.2 有理数的乘法与除法-【教材笔记】2025-2026学年新教材七年级上册数学课前预习笔记（人教版2024）

2.2 有理数的乘法与除法 资 新知解读 与加法、减法一样，乘法、除法也是有理数的基本运算.小学时学习的乘 法、除法运算也可以推广到有理数范围内」 2.2.1有理数的乘法 我们已经熟悉正数及0的乘法.与加法类似，数的 在有理数范围内， 范围扩大到了有理数后，我们希望在有理数范围内，所 除了已有的正数与正数 相乘、正数与0相乘以 有数都能像正数及0一样进行乘法运算，并使乘法运算 及0与0相乘，乘法还 具有一致性，那么该怎样进行有理数的乘法运算呢？ 有哪几种情况？ ?思考 负数与负数相乘、负最与0相乘、正数与负数相乘《 分别观察下面的两列乘法算式，你能发现什么规律？ (1)3×3=9, (2)3×3=9, 3×2=6, 2×3=6, 3×1=3, 1×3=3, 3×0=0; 0×3=0. 可以发现，对于(1)中的算式，随着后一乘数逐次递减1，积逐次递减3. 要使这个规律在引入负数后仍然成立，那么应有： 3×(-1)=-3, 3×(-2)= 3×(-3)= 对于（2)中的算式，随着前一乘数逐次递减1，积逐次递减3.要使这个规 律在引入负数后仍然成立，那么应有： (-1)×3= （-2)×3=】 (-3)×3= 从符号和绝对值两个角度分别观察上述所有算式，可以归纳如下： 正数乘正数，积为正数：正数乘负数，积为负数；负数乘正数，积也为负 数.积的绝对值等于乘数的绝对值的积 38 教材笔记数学七年级上册 ?思考 利用上面归纳的结论计算下面的算式，你能发现什么规律？ (-3)×3= (-3)×2= (-3)×1= (-3)×0= 可以发现，上述算式有如下规律：随着后一乘数逐次递减1，积逐次增加 3.按照上述规律，下面的空格应各填什么数？从中可以归纳出什么结论？ (-3)×(-1)= (-3)×(-2)= (-3)×(-3)= 先确定积的符号，再确 可以归纳出如下结论： 定积的绝对值 负数乘负数，积为正数，且积的绝对值等于乘数的绝对值的积. 与有理数加法类似，有理数相乘，也既要确定积的符号，又要确定积的绝对 值.一般地，我们有如下的有理数乘法法则： 两数相乘，同号得正，异号得负，且积的绝对值等于乘数的绝对值的积， 任何数与0相乘，都得0. )针对两个非零有理数相乘 有理数乘法法则也可以表示如下： 设a,b为正有理数，c为任意有理数，则 (+a)x(+b)=+(a×b),(-a)x(-b)=+(a×b); (-a)x(+b)=-(axb),(+a)x(-b)=-(axb); c×0=0,0×c=0. 显然，两个有理数相乘，积是一个有理数 例1计算： (1)8x(-1); 2(2)x-2);a(-子x） 解：(1)8×(-1)=-(8×1)=-8； (2)(2)x(-2)=+2x2)=1: 3)(号)=+(3×)=” 第二章 有理数的运算 39 在例1(2)中，（x(-2》=1,我们说和-2互为倒数。一般地，在 有理数中仍然有： )正数的倒鬟是正戴，负数的倒数是负数 乘积是1的两个数互为倒数. 0没有例数 例2用正负数表示气温的变化量，上升为正，下降为负.登山队攀登一座 山峰，每登高1km气温的变化量为-6℃.登高3km后，气温有什么变化？ 解：（-6)×3=-18. 答：登高3km后，气温下降18℃. 练习 1.计算： 1()54(2)-243)6(4)0.(5)-1(6) (1)6×(-9): (2)(-4)×6; (3)(-6)×(-1): (4)(-6)×0; (5)(-4×寻 (6)号) 2.商店降价销售某种商品，每件降5元，售出60件，与按原价销售同样数 量的商品相比，销售额有什么变化？ 3.写出下列各数的倒数： 1,-1,,-1 2.略， 311,3.3-13-3 552·2 有了有理数的乘法法则后，就要研究乘法的运算律.在小学我们学过乘法的 交换律、结合律，乘法对加法的分配律，对于有理数的乘法，它们还成立吗？ Q探究 计算 5×(-6),(-6)×5, 所得的积相同吗？换几组乘数再试一试， 从上述计算中，你能得出什么结论？ 一般地，在有理数乘法中，两个数相乘，交换乘数 ⊙ a×b也可以写为 的位置，积不变 a·b或ab.当用字母 乘法交换律：ab=ba. 表示乘数时，“×”可 以写为“。”或省略 类似地，可以发现有理数的乘法结合律仍然成立， 40 教材笔记数学七年级上册 即在有理数乘法中，三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘， 积不变 乘法结合律：(ab)c=a(bc. 根据乘法交换律和结合律，多个有理数相乘，可以任意交换乘数的位置，也 可以先把其中的几个数相乘。→利用兼法交换律交换国数的位置时， Q探究 要连同性质特号一起交换 计算 5×[3+(-7)],5×3+5×(-7), 所得的结果相同吗？换几组数再试一试. 从上述计算中，你能得出什么结论？ 0 一般地，在有理数中，一个数与两个数的和相乘， 交换律、结合律、 等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加 分配律等运算律在运 分配律：a(b+c)=ab+ac. 算中有重要作用，它 们是解决许多数学问 例3(1)计算2×3×0.5×(-7)； 题的基础 (2)用两种方法计到+》12。 解：(1)2×3×0.5×(-7) =(2×0.5)×[3×(-7)] =1×(-21) 之积为整最，可以先结合在一起 =-21 (2)解法1： 比较解法1与解法 -(+2 2,它们在运算顺序上有 什么区别？解法2用了 什么运算律？哪种解法 更简便？ 解法1是先算括号里面的，再算兼法：解 解法2： (仔+g》s2 法2是先去括号，再相加减解法2用了 分配律.解法2更简便 2+名*12- ×12 6 2 利用分配律时。士须把括号外的数 和括号内的每一个数都相乘，切不 =3+2-6=-1. 可漏乘 第二章 有理数的运算 Q探究 改变例3(1)的乘积式子中某些乘数的符号，得到下列一些式子.观察 这些式子，它们的积是正的还是负的？ 2×3×(-0.5)×(-7),3正的 2×(-3)×(-0.5)×(-7),7负的 (-2)×(-3)×(-0.5)×(-7).3正的 几个不为0的数相乘，积的符号与负的乘数的个数之间有什么关系？如 果有乘数为0，那么积有什么特点？ 可以得到：几个不为0的数相乘，负的乘数的个数是偶数时，积为正数；负 的乘数的个数是奇数时，积为负数；几个数相乘，如果其中有乘数为0，那么积 为0.>多个非零有理数相乘，乘积的特号只与负因载的个最有关 这样，遇到多个不为0的数相乘，可以先用上面的结论确定积的符号，再把 乘数的绝对值相乘作为积的绝对值，例如： (-3x名x(-号x(4) (x号*4)=景 (-5列x6×(号）k日 41 =5x6x5×4 =6. 练习 1.计算： ->1.(1)-8500:(2)15:(3)25:(4)-6. (1)(-85)×(-25)×(-4)； (2)(-8)k15x(-1)月 (3)(85)30: (4)()×)+(×+好)月 42 教材笔记数学七年级上册 2.计算： (》8(号月 (2)-x个)8×（号k0x(-D 2)(2)0 2.2.2有理数的除法 在小学，我们学习除法时，知道除法是乘法的逆运算.在把除法推广到有理 数范围内时，为使除法运算具有一致性，规定有理数的除法与乘法之间仍然具有 上述关系 g思考 怎样计算8÷(-4)？ 根据除法是乘法的逆运算，计算8÷(-4)，就是要求一个数，使它与-4相 乘得8. 因为 (-2)×(-4)=8, )根据有理戴乘除法的 所以 8÷(-4)=-2. 互遵关票，转化除法 ① 为乘法得到商 另一方面，我们有 8x4）=-2. ② 于是有 8+(-40=8×(4)月 ③ ③式表明，一个数除以-4可以转化为乘-】来 换其他数的除法进行 41 类似讨论，是否仍有除以 进行，即一个数除以-4，等于乘-4的倒数-】 aa-0)可以转化为乘L? 第二章 有理数的运算 一般地，对于有理数的除法，有如下法则： 除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数 这个法则也可以表示成 除数一定不能为0 a÷b=a. (b≠0) b 两个有理数相除（除数不为0），商是一个有理数， 从有理数除法法则，容易得出： 0 两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等 这是有理数除法 于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商.0除以任何 法则的另一种说法」 一个不等于0的数，都得0 先确定商的特号，再确定商的绝对值 例4计算： (1)(-36)÷9: (2)()() 解：(1)(-36)÷9=-(36÷9)=-4； (2)(是)()（是）x(-)号 例51化简： (2)-45 -121 解：（1)子=（←-243=-+3》-2 (2)5=(-45+(-12)=45+12= 4 在例5中，我们得到子=子这表明子是负分数， 3 因而是有理数；反过 o 来看，号-子，又表明号可以写成子这样两个整数 有理数表示为分 3 数形式非常重要·在 相除的形式. 斗分戴可以理解为分子除以分母 以后的学习中，你将 逐渐体会到它在数学 一般地， 根据有理数的除法，形如卫(p,q是整 中的价值 数，9≠0)的数都是有理数；有理数又都可以写成上述形式（整数可以看成分母 44 教材笔记数学七年级上册 为1的分数).这样，有理数就是形如卫(p,9是整数，q≠0)的数。 71.(1)-3.(2)9.(3)- (4)0.(5)-50.(6)3. 练习 9 1.计算： 2(1)-8(2)(3)0(4) (1)(-18)÷6; (2)(-63)÷(-7); (3)1÷(-9); (4)0÷(-8); (5)(-6.5)÷0.13 (6)((号) 2.化简： (1)72 (2) -30 9 451 因为有理数的除法可以转化为乘法，所以可以利用与乘法有关的运算律简化 运算.乘除混合运算往往先将除法转化为乘法，然后确定积的符号，最后求出 结果 )计算时，可先观察算式，看是否能运用乘法运算律来简化计算 例6计算： 1)(-125）4(-: (2)25+4) 解：(1)（-125)+(-5) (2)25+4) =(25+》时 58.1 2×5×4 =125× +5x =1. 5+7×5 25+月 =25 1 有理数的加、减、乘、除混合运算，如无括号指出先做什么运算，则与小学 所学的混合运算一样，按照“先乘除，后加减”的顺序进行。 第二章 有理数的运算 例7计算： (1)-8+4÷(-2); (2)(-7)×(-5)-90÷(-15). 解：(1)-8+4÷(-2) (2)(-7)×(-5)-90÷(-15) =-8+(-2) =35-（-6) =-10； =35+6 =41. 例81某公司去年1月一3月平均每月亏损1.5万元，4月一6月平均每月盈 利32万元，7月一10月平均每月盈利21.7万元，11月一12月平均每月亏损2.3 万元.这个公司去年总的盈亏情况如何？ 》用正、负表表示相反意义的量 解：记盈利额为正数，亏损额为负数.由 (-1.5)×3+32×3+21.7×4+(-2.3)×2 =-4.5+96+86.8-4.6 =173.7 可知，这个公司去年全年盈利173.7万元. 计算器是一种方便实用的计算工具，用计算器进行比较复杂的数的计算，比 笔算要快捷得多.例如，可以用计算器计算例8中的 (-1.5)×3+32×3+21.7×4+(-2.3)×2. 如果计算器带符号键⊙，只需按键 0 0①0⑤834③28③④②①0⑦8④④ 有的计算器用©代 0②038②▣， 替©：有时候计算器显 注意裁的符号不要漏按 显示结果为 示的结果是分数士P的 173.7, 夕 就可以得到答案173.7. 形式，可以再通过相关 不同品牌计算器的操作方法可能有所不同，具体 操作转换为小数形式。 参见计算器的使用说明。 练习… 1.计：911)0(2)4品3)4) 1)写+(-0： (2)(-362)49 (3)(-12(-0+(-1兮)月 (4)(-子)x(-025). 46 教材笔记数学七年级上册 2.计算： (1)6-(-12)÷(-3): (2)3×(-4)+(-28)÷7; (3)(-48)÷8-(-25)×(-6); (4)42×-号)+()(-0s) 3.用计算器计算： (1)357+(-154)+26+(-212); （2)-5.13+4.62+(-8.47）-(-2.3)； (3)26×(-41)+(-35)×(-17); (4)1.252÷（-44)-(-356)÷(-0.196(结果保留小数点后三位). 92.(1)2.(2)-16.(3)-156.(4)-53 3.(1)17.(2)-6.68.(3)-471.(4)-1816.355. 习题2.20 复习巩固 1.计算： (1)(-8)×(-7); (2)12×(-5); 1.(1)(-8)×(-7)=56 (3)2.9×(-0.4); （4)(-30.5)×0.2; (2)12×(-5)=60. (3)2.9×(-0.4)=-1.16 (5)100×(-0.001); (6)(-4.8)×(-1.25. (4)(-30.5)×0.2=6.1. 2.计算： (5)100×(-0.001)=-0.1 (6)(-4.8)×(-1.25=6. (1)4×-8 (2)(ξ)(8)月 (2)1 3)()25: (4)(-03)×(-9) 2号 (3)-170 (4) 3 3-7 3.写出下列各数的倒数： (1)-15; (2)- 5 (3)-0.25; 31) 15 (2)-9 (4)0.17; (5)4 (6)-5 2 (3)-4 (4)100 17 5 4计算： (6)- 27 (1)()x125x(-8: 4(1)16 (2)(-10)×(-8.24)×(-0.1); (2)-8.24 第二章有理数的运算 47