2.1 有理数的加法与减法-【教材笔记】2025-2026学年新教材七年级上册数学课前预习笔记（人教版2024）

第二章有理数的运算 在第一章中，我们把数的范围扩大到了有理数.根据小学阶段学习数的经 验，接下来就要研究有理数的运算 最高温度与最低温 在实际问题中，我们也会遇到有理数的运算问题. 度的差，这一天北 例如：：京的温差是6℃ (1)北京冬季某一天的气温为-3~3℃，这一天北京的温差是多少？ (2)李明同学经常对家里的生活垃圾分类，并卖出积攒的可回收物.这样既 保护了环境，又增加了零花钱.下表是他某个月零花钱的部分收支情况， 收支情况表 日期 收入(+)或支出(-)/元 结余/元 注释 2日 3.5 18.5 卖可回收物 8日 -6.5 12.0 买中性笔、记号笔 12月 -15.2 -3.2 买科普书，同学代付 这里，“结余12.0”和 “结余一3.2”是怎么得到的？加、减秉，徐运算 要解决上面的问题，就要计算3-(-3)，18.5+(-6.5)，12.0+(-15.2) 本章我们将在上童以及小学已学的数的运算的基础上，进一步学习有理数 的运算，将数的运算推广到有理数范围内，从而初步感悟数系扩充的完整过程， 并认识运算在数学中的价值及其在解决实际问题中的作用. 加成来，除 兼方运算 厨余垃圾 其他垃圾 可回收物 有害垃圾 2.1有理数的加法与减法 资 新知解读 数的范围扩大到有理数后，就要研究有理数的运算.我们先把小学学习的加 法与减法运算推广到有理数范围内. 2.1.1有理数的加法 在小学，我们学过正数及0的加法运算，引入负数后，在有理数范围内怎样 进行加法运算呢？ 在实际问题中，有时也会遇到与负数有关的加法运算.例如，在本章引言 中，把收人记作正数，支出记作负数，在求“结余”时，需要计算18.5+（-6.5)， 12.0+(-15.2)等. ?思考 ,》可柳括为同号两数相加、异号两戴 相加、一个数与0相加三种情况 小学学过的加法运算涉及正数与正数相加、正数与0相加以及0与0相 加，引入负数后，在有理数范围内，加法有哪几种情况？ 引人负数后，在有理数范围内，除了小学学过的加法运算，还有负数与负数 相加、负数与正数相加、负数与0相加等.下面借助具体情境和数轴来讨论有理 数的加法 看下面的问题 一个物体沿着一条直线做左右方向的运动，我们规定向右为正，向左为负 例如，将向右运动5m记作5m,向左运动5m记作-5m g思考 >把向左运动的戴据记作负戴 如果物体沿着一条直线先向右运动5m,再向右运动3m,那么两次运动 的最后结果是什么？可以用怎样的算式表示？ 》以第一次运动的终点为第 二次运动的起点 两次运动后，物体从起点向右运动了8m.写成算式就是 5+3=8.正表与正戴相加，即同号两裁相加 ① 若将物体的运动起点放在原点O,则这个算式可以用数轴表示为图2.1-1. 5 0 8 图2.1-1 第二章 有理数的运算 ?思考 ,)向左运动的数据记作负裁 如果物体沿着一条直线先向左运动5m,再向左运动3m,那么两次运动 的最后结果是什么？可以用怎样的算式表示？ 两次运动后，物体从起点向左运动了8m.写成算式就是 负裁与负裁相加，( (-5)+(-3)=-8 为同号两数相加 ② 这个算式也可以用数轴表示，如图2.1-2所示，其中假设原点0为物体的 运动起点。 -5 -8 图2.1-2 从算式①②可以看出：符号相同的两个数相加，和的符号不变，且和的绝对 值等于加数的绝对值的和。 Q探究 (1)如果物体沿着一条直线先向左运动3m,再向右运动5m,那么两次 运动的最后结果是什么？如何用算式表示？ （2)如果物体沿着一条直线先向右运动3m,再向左运动5m,那么两次 运动的最后结果是什么？如何用算式表示？ (1)结果是物体从起点向右运动了2m.写成算式就是 负数与正数相加，←… 为异号两戴相加 (-3)+5=2. ③ 你能用数轴表示算 (2)结果是物体从起点向左运动了2m.写成算式就是 式③④吗？ 正数与负数相加，人… 为异号两戴相加 3+(-5)=-2. ④ 从算式③④可以看出：绝对值不相等、符号相反的两个数相加，和的符号与 绝对值较大的加数的符号相同，且和的绝对值等于加数的绝对值中较大者与较小 者的差 Q探究 如果物体沿着一条直线先向右运动5m,再向左运动5m,那么两次运动 的最后结果是什么？ 结果是物体仍在起点处.写成算式就是 5+(-5)=0:>特号相反，互为相反裁 ⑤ 26 教材笔记数学七年级上册 算式⑤表明，互为相反数的两个数相加，结果为0. 如果物体第1s向右（或左）运动5m,第2s原地不动，那么2s后物体从 起，点向右（或左）运动了5m.写成算式就是 5+0=5(或(-5)+0=-5) ⑥ 算式⑥表明，一个数与0相加，结果仍是这个数. 从算式①~⑥可知，在有理数的加法运算中，既要考虑符号，又要考虑绝 对值.你能从这些算式中归纳出有理数加法的运算法则吗？ 有理数加法法则： 1.同号两数相加，和取相同的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值的和 2.绝对值不相等的异号两数相加，和取绝对值较大的加数的符号，且和的绝 对值等于加数的绝对值中较大者与较小者的差，互为相反数的两个数相加得0 3.一个数与0相加，仍得这个数. 若a,b互为相反数，则 a+b-0,反过来也成立 显然，两个有理数相加，和是一个有理数. ?思考 按照有理数加法法则进行正数及0的加法运算，它和小学学过的正数及 0的加法运算一致吗？ 例计算： (1)(-3)+(-9); (2)(-8)+0; (3)12+(-8); (4)(-4.7)+3.9; (5)(2)(+2) 0 在运算过程中，“先 解：(1)(-3)+(-9)=-(3+9)=-12： 定和的符号，再算和的 (2)(-8)+0=-8; 绝对值”，是一种有效 的方法】 (3)12+(-8)=+(12-8)=4; (4)(-4.7)+3.9=-(4.7-3.9)=0.8; 谁的绝对值大 和就用谁的特号 (5)(2)+(+2)=0. ?思考 任何一个数加上一个正数，和与原来的数有怎样的大小关系？加上一个负 数呢？请你先借助数轴直观地得出结论，再利用有理数的加法法则进行说明. 第二章有理数的运算 27 练习 1.用算式表示下面的结果： (1)温度由-4℃上升7℃； (2)收入7元，又支出5元 2.口算： (1)(-4)+(-6); (2)4+(-6); (3)(-4)+6; (4)(-4)+4; (5)(-4)+14; (6)(-14)+4; (7)6+(-6); (8)0+(-6); (9)(-8)+0. 3.计算： (1)15+(-22); (2)(-13)+(-8); (3)(-0.9)+1.5; (4)) 4.请你用生活实例解释(-3)+2=-1，(-3)+(-2)=-5的意义. >1.(1)-4+7=3：(2)7+(-5)=2 2.略.3.略.4.略 有了有理数的加法法则后，还要研究加法的运算律.我们以前学过加法交换 律、结合律，对于有理数的加法，它们还成立吗？ Q探究 计算 30+(-20),(-20)+30, 所得的和相同吗？换几组加数再试一试. 从上述计算中，你能得出什么结论？ 在有理数的加法中，两个数相加，交换加数的位置，和不变， 加法交换律：a+b=b+a. )注意：用加法交换律时，一定要连同加 Q探究 裁的特号一起交换 计算 [8+(-5]+(-4),8+[(-5)+(-4], 所得的和相同吗？换几组加数再试一试. 从上述计算中，你能得出什么结论？ 28 教材笔记数学七年级上册 在有理数的加法中，三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相 加，和不变 加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c). 根据加法交换律和结合律，多个有理数相加，可以任意交换加数的位置，也 可以先把其中的几个数相加。 利用加法交换律、结合律，可以使运算简化.认识运算律对于理解运算有很 重要的意义， 例2计算： (1)8+(-6)+(-8); (2)16+(-25)+24+(-35). 解：（1)8+(-6)+(-8) =[8+(-8)]+(-6)=0+(-6) 把和为0或整”十”的两个数 先相加，从而使计算筒化，它 =-6; 的依据是加法交换律和加法结 合律 (2)16+(-25)+24+(-35) 例2中是怎样使 =(16+24)+[(-25)+(-35] 计算简化的？依据是 什么？ =40+(-60) =-20. 例310袋小麦称后记录（单位：kg）如图2.1-3所示.10袋小麦一共多少 千克？如果每袋小麦以50kg为质量标准，10袋小麦总计超过多少千克或不足多 少千克？ 50.550.550.849.550.6 50.749.249.450.950.4 图2.1-3 解法1：先计算10袋小麦一共多少千克： 50.5+50.5+50.8+49.5+50.6+50.7+49.2+49.4+50.9+50.4=502.5. 再计算总计超过多少千克： 502.5-50×10=2.5. 第二章 有理数的运算 29 解法2：把每袋小麦超过50kg的千克数记作正数，不足的千克数记作负 数.10袋小麦对应的数分别为+0.5，+0.5，+0.8，-0.5，+0.6，+0.7，-0.8， -0.6,+0.9,+0.4. 0.5+0.5+0.8+(-0.5)+0.6+0.7+(-0.8)+(-0.6)+0.9+0.4 =[0.5+(-0.5]+[0.8+(-0.8]+[0.6+(-0.6]+(0.5+0.7+0.9+0.4) =2.5. 解法2把互为相反戴的藏结合 起来相加，可以使计算简化 比较两种解法.解法2 50×10+2.5=502.5. 这种解法使用的是加法交换律 中使用了哪些运算律？ 和加法结合律 答：10袋小麦一共502.5kg,总计超过2.5kg 练习 1.计算： (1)23+(-17)+6+(-22); (2)(-2)+3+1+(-3)+2+(-4); (3)1+(2)+5+石) (4)34+-2)+5+(-8号} 利用有理数的加法解下列各题（第23题）： 2.某银行储蓄卡中存有人民币450元，先取出80元，随后又存入150元， 储蓄卡中还存有人民币多少元？ 3.一架飞机从9000m的高度先下降300m,再上升500m,这时飞机的飞 行高度是多少米？ )10(2)-3.(3)2(4-2 2.450+-80)+150=520(元) 3.9000+(-300)+500=9200m). 2.1.2有理数的减法 实际问题中还经常涉及有理数的减法.例如，在 如图2.1-4，你能 看出3℃比-3℃高多 本章引言中，北京某一天的气温是-33℃，计算这 少摄氏度吗？ 一天的温差（最高气温减最低气温）就要计算3-(-3). 这里遇到了正数与负数的减法， 在小学，我们学习减法时，知道减法是加法的逆运算.在把减法 推广到有理数范围内时，为使减法运算具有一致性，规定有理数的减 法与加法之间仍然具有上述关系.这样，计算3-(-3)，就是要求一个 数，使得它与-3相加得3.因为6与-3相加得3，所以这个数应该是 6,即 3 3-（-3)=6. 图2.1-4 教材笔记数学七年级上册 另一方面，我们知道 3+(+3)=6, ② 由①②，得 3-(-3)=3+(+3). ③ Q探究 从③式能看出减-3相当于加哪个数吗？把3分别换成0，-1，-5，用 上面的方法考虑 0-(-3),(-1)-(-3),(-5)-(-3). @ 这些数减-3的结果与它们加+3的结果相同吗？ 换几个数再试一试 计算 9-8,9+(-8),15-7,15+(-7), 从中又有什么新发现？ 可以发现，有理数的减法可以转化为加法来进行。 有理数减法法则： 》法则中的“两变“和“一 减去一个数，等于加这个数的相反数。 不变” (1）“两变”是指把运 有理数减法法则也可以表示成 算特号“-”号变为“+ 号，把减数变为它的相 a-b=a+(-b). 反： (2）“一不变“是指被 显然，两个有理数相减，差是一个有理数. 减鬟和减麦的位置固定 例4计算： 不变 (1)(-3)-(-5); (2)0-7; (3)2-5; (4)7.2-(-4.8): (5)(-3)-54 解：（1)(-3)-(-5)=(-3)+5=2； (2)0-7=0+(-7)=-7; (3)2-5=2+(-5)=-3; (4)7.2-(-4.8)=7.2+4.8=12; (5)(-32）54-(-32)+-54)=-84 第二章 有理数的运算 31 ?思考 o 在小学，只有当a大于或等于b时（其中a,b是0 在数学发展史中， 或正数)，我们才能计算a-b（如2-1,1-1).现在， 使较小的正数减去较大 正数的运算能正常进 当a小于b时，你能计算a-b(如1-2，（-1)-1)吗？ 行，并与已有的运算不 一般地，在有理数范围内，较小的数减去较大的 矛盾，是引入负数的一 数，所得差的符号是什么？ 个重要原因 练习 1.计算： (1)6-9: (2)(+4)-(-7); (3)(-5)-(-8); (4)0-(-5); (5)0-0.2; (6)(-2.5)-5.9; (7)1.9-(-0.6); (8)(2）4: (9)(+2)(32) 2.计算： （1)比2℃低8℃的温度； (2)比-3℃低6℃的温度 1.(1)-3.(2)11.(3)3.(4)5.(5)-0.2.(6)-8.4.(7)2.5 (8)、3 (9)67 2.(1)2-8=-6(℃).(2)-3-6=-9（℃） 4 14 下面研究怎样进行有理数的加减混合运算。 例5计算(-20)+(+3)-(-5)-(+7). 分析：这个算式中既有加法，也有减法，可以先根据有理数减法法则，把减 法转化为加法，即把这个算式改写为 (-20)+(+3)+(+5)+(-7), 再进行有理数的加法运算， 解：(-20)+(+3)-(-5)-(+7） 藏法转化为加法后使用了加 =(-20)+(+3)+(+5)+(-7) 法交换律和加法结合律 =[(-20)+(-7)]+[(+3)+(+5] 这里使用了哪些运 =(-27)+(+8) 算律？ =-19. 2归纳 引入相反数后，加减混合运算可以统一为加法运算.例如 a+b-c=a+b+(-c). 32 教材笔记数学七年级上册 算式(-20)+(+3)+(+5)+(-7)是-20，+3，+5，-7这四个数的和.为书 写简单，可以省略算式中的括号和加号，把它写为 -20+3+5-7. 这个算式可以读作“负20、正3、正5、负7的和”，或读作“负20加3加 5减7”，例5的运算过程也可以简单地写为 在省略括号和加号前，女须统(-20)+(+3)-(-5)-(+7) 一转化为加法运算 =-20+3+5-7 =-20-7+3+5 =-27+8 =-19. 例6计算14-25+12-17. 解：14-25+12-17 =14+12-25-17 =26-42 =-16. Q探究 在数轴上，点A,B分别表示数a,b.对于下列各组数a,b: a=2,b=6;a=0,b=6;a=2,b=-6;a=-2,b=-6. (1)观察点A,B在数轴上的位置，你能得出它们之间的距离吗？ (2)利用有理数的运算，你能用含有a,b的算式表示上述各组点A,B之 间的距离吗？ 一般地，你能发现点A,B之间的距离与数a,b之间的关系吗？ 练习 1.计算： (1)1-4+3-0.5; 1.(1)-0.5 (2)0. (2)-2.4+3.5-4.6+3.5; (3)-6. (3)(-7)-(+5)+(-4)-(-10); (4)-13 4)3+(石号1 第二章 有理数的运算 33