专题13.3 三角形的内角与外角（思维导图+知识梳理+8个考点讲练+难度分层练 共38题）同步培优讲练-2025-2026学年人教版数学八年级上册（新教材）

专题13.3 三角形的内角与外角 （知识梳理+8个考点讲练+难度分层练 共38题） 知识点1 三角形的内角和 1.三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°. 如图，在中，． 注意：三角形内角和定理适用于所有三角形，三角形最多有三个锐角，最多有一个钝角，最多有一个直角. 2.三角形的内角和定理证明：主要运用平行线的性质，将三个内角“转移”集中到一个顶点处,合并成一个角,再说明这个角是平角即可. 知识点2 直角三角形的性质及判定 1.性质：直角三角形的两个锐角互余. 表示：直角三角形可以用符号“Rt△”表示,直角三角形ABC可以写成Rt△ABC. 2.判定：有两个角互余的三角形是直角三角形. 知识点3 三角形的外角 1.定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角,叫做三角形的外角.如图，∠ACD是△ABC的一个外角. 2.性质： ①三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和； 求证：∠ACD=∠A+∠B； 证明：∵∠A+∠B+∠ACB=180°；∴∠A+∠B=180°－∠ACB=∠ACD. ②三角形的一个外角大于任意一个和它不相邻的内角； 如图：∵∠ACD=∠A+∠B；∴∠ACD>∠A；∠ACD>∠B. ③三角形的外角和等于360°． 求证：∠BAE+∠CBF+∠ACD=360°； 证明：∵∠BAE=∠2+∠3；∠CBF=∠1+∠3；∠ACD=∠1+∠2； ∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=2（∠1+∠2+∠3）=2×180°=360°. 考点1：三角形内角和定理的证明 【典例精讲】（21-22八年级上·湖北孝感·期中）若∠A与∠B的两边分别垂直，请判断这两个角的等量关系． （1）如图1，∠A与∠B的等量关系是　 　；如图2，∠A与∠B的等量关系是　 　；对于上面两种情况，请用文字语言叙述：　 　． （2）请选择图1或图2其中的一种进行证明． 考点2：与平行线有关的三角形内角和问题 【典例精讲】（23-24八年级上·天津宁河·期中）已知：如图所示， ， 交于点C， 垂足为E，   求 的大小． 【变式训练】（21-22八年级下·吉林长春·阶段练习）【教材呈现】如表是华师版九年级上册第77页部分内容： 如图23.4.2，在中，点D、E分别是AB与AC的中点.根据画出的图形，可以猜想： ，且. 以上内容不必证明. 【结论应用】 (1)如图1，在四边形ABCD中，，P是对角线BD的中点，M是DC的中点，N是AB的中点，求证：. (2)如图2，四边形ABCD中，，M是DC的中点，N是AB的中点，延长BC、NM交于点E，若，则的大小为________. 考点3：与角平分线有关的三角形内角和问题 【典例精讲】（24-25八年级上·天津·期中）如图，在中，，于点D，平分交于点E，于点F．    (1)求的度数； (2)求的度数． 【变式训练】（2023七年级下·全国·专题练习）如图，在中，，于，平分交于，交于F．    (1)如果，求的度数； (2)试说明：． 考点4：三角形折叠中的角度问题 【典例精讲】（24-25八年级上·天津·期中）如图，把纸片沿折叠，使点落在内部点处，若，则等于 ． 【变式训练】（24-25八年级上·江苏·阶段练习）如图，在中，，点E，F分别为上一点，将沿直线翻折至同一平面内，点A落在点处，，分别交边于点M，N．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 考点5：三角形内角和定理的应用 【典例精讲】（24-25八年级上·广东江门·期中）如图，的外角和的平分线交分线交于点和的平分线交于点M，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，于点F，于点E，M为的中点． (1)若，，求的周长． (2)设， ①若，求的度数． ②设，求x与y之间的数量关系． 考点6：直角三角形的两个锐角互余 【典例精讲】（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，在中，是边上的高，平分交边于E，，．求的度数． 【变式训练】（24-25八年级上·浙江温州·期中）在一个三角形中，如果一个角是另一个角的2倍，这样的三角形我们称之为“智慧三角形”．比如：三个内角分别为，，的三角形是“智慧三角形”．如图，，在射线上找一点，过点作交于点，以为端点作射线，交线段于点． (1) ； (2)若．求证：为“智慧三角形”； (3)当为“智慧三角形”时，请求出的度数． 考点7：锐角互余的三角形是直角三角形 【典例精讲】（24-25七年级下·江苏南京·期末）下列命题中，真命题的个数有（    ） ①如果，那么；②如果，那么；③有两个角互余的三角形是直角三角形；④周长相等的三角形的面积相等． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式训练】（24-25七年级下·河南新乡·期末）如图，在中，，D是延长线上一点，是的平分线，分别作，的平分线，交于点E，F，则 °， °． 考点8：三角形的外角的定义及性质 【典例精讲】（24-25八年级上·广西钦州·期中）如图，在中，，和的平分线交于点，得，和的平分线交于点，得，…，和的平分线交于点，得，和的平分线交于点，得，则的大小为 ． 【变式训练】（24-25八年级上·天津·阶段练习）已知：如图，射线是的外角的平分线．射线交于点，若，求证：平分． 1．（2023·四川宜宾·中考真题）如图， ，且，，则等于（　　）    A． B． C． D． 2．（2022·海南·中考真题）如图，直线，是等边三角形，顶点B在直线n上，直线m交于点E，交于点F，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 3．（2022·湖北十堰·中考真题）“美丽乡村”建设使我市农村住宅旧貌变新颜，如图所示为一农村民居侧面截图，屋坡，分别架在墙体的点，处，且，侧面四边形为矩形，若测得，则 ． 4．（2025·山东烟台·中考真题）如图是一款儿童小推车的示意图，若，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·福建·中考真题）某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中点A，E，C，F在同一条直线上，．当时，的大小为（    ） A． B． C． D． 基础夯实 1．（24-25八年级上·广东惠州·期中）小枣一笔画成了如图所示的图形，若，则等于（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·贵州六盘水·期末）某城市几条道路的位置关系如图所示，道路与道路平行，道路与道路的夹角为，城市规划部门想新修一条道路，要求，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·山东威海·中考真题）如图，直线，，．若．则等于（　　） A． B． C． D． 4．（23-24八年级上·重庆永川·期中）如图，（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·内蒙古通辽·期中）将一副学生用的三角板按如图所示的方式放置，若，则的度数是 度． 6．（24-25八年级上·广西桂林·期中）如图，五角星的顶点分别是A，B，C，D，E，那么 ． 7．（24-25八年级上·河北邢台·期中）如图，阴影部分是一个喷水池，现要修建两条通向水池的小道和，要求和所在的直线互相垂直．为了检验和是否垂直，小亮同学在水池外的平地上选定一个可直接到达点P和Q的点C，然后测得，，．请问：这样做和的位置关系是否垂直 （填是或否）． 8．（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）实验探究是数学学习的重要方法．通过剪拼验证“三角形的内角和等于”时，小明给出如图1的拼合方法，发现了证明的思路，并给出了不完整的“已知”和“求证”，请你补充完整，并写出“证明”的过程． 已知：如图2， ； 求证： ． 9．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，B是边上一点，，，，求和的度数． 培优拔高 1．如图，直线，，，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·河北邢台·期中）如图，将三个角分别沿、、翻折，三个顶点均落在点O处，则的度数为（　　） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·河南许昌·期末）如图“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在点相连并可绕转动，点固定，，点，可在槽中滑动，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·上海松江·阶段练习）如图．是的外角的平分线．，．则的度数是 度． 5．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，，若，边和边相交于点P，边和边相交于Q，假设，当为等腰三角形时，则 ． 6．（24-25八年级上·贵州六盘水·期末）如图，在中，，分别为，的角平分线，与相交于点． (1)若，，则_____度； (2)求证：； (3)直接写出与，，的数量关系． 7．（22-23七年级下·浙江温州·期中）已知：如图1，在三角形中，，将线段沿直线平移得到线段，连结． (1)当时，请说明． (2)如图2，当在上方时，且时，求与的度数． (3)当垂直三角形中的一边时，直接写出所有满足条件的的度数． 8．（22-23七年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，在中，点在上，过点作，交于点，平分，交的平分线于点，与相交于点，的平分线与相交于点． (1)若，，则______，______； (2)若，当的度数发生变化时，、的度数是否发生变化？并说明理由； (3)若中存在一个内角等于另一个内角的三倍，请直接写出所有符合条件的的度数______． 9．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）（1）问题引入：如图①，在中，O是和的平分线的交点，若，则________；如图②，，，，则________（用含的式子表示） （2）如图③，，，，请猜想________（用含的式子表示），并说明理由． （3）类比研究：，分别是的外角，的n等分线，它们交于点O，，，，请猜想________． 第 1 页 共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题13.3 三角形的内角与外角 （知识梳理+8个考点讲练+难度分层练 共38题） 知识点1 三角形的内角和 1.三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°. 如图，在中，． 注意：三角形内角和定理适用于所有三角形，三角形最多有三个锐角，最多有一个钝角，最多有一个直角. 2.三角形的内角和定理证明：主要运用平行线的性质，将三个内角“转移”集中到一个顶点处,合并成一个角,再说明这个角是平角即可. 知识点2 直角三角形的性质及判定 1.性质：直角三角形的两个锐角互余. 表示：直角三角形可以用符号“Rt△”表示,直角三角形ABC可以写成Rt△ABC. 2.判定：有两个角互余的三角形是直角三角形. 知识点3 三角形的外角 1.定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角,叫做三角形的外角.如图，∠ACD是△ABC的一个外角. 2.性质： ①三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和； 求证：∠ACD=∠A+∠B； 证明：∵∠A+∠B+∠ACB=180°；∴∠A+∠B=180°－∠ACB=∠ACD. ②三角形的一个外角大于任意一个和它不相邻的内角； 如图：∵∠ACD=∠A+∠B；∴∠ACD>∠A；∠ACD>∠B. ③三角形的外角和等于360°． 求证：∠BAE+∠CBF+∠ACD=360°； 证明：∵∠BAE=∠2+∠3；∠CBF=∠1+∠3；∠ACD=∠1+∠2； ∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=2（∠1+∠2+∠3）=2×180°=360°. 考点1：三角形内角和定理的证明 【典例精讲】（21-22八年级上·湖北孝感·期中）若∠A与∠B的两边分别垂直，请判断这两个角的等量关系． （1）如图1，∠A与∠B的等量关系是　 　；如图2，∠A与∠B的等量关系是　 　；对于上面两种情况，请用文字语言叙述：　 　． （2）请选择图1或图2其中的一种进行证明． 【答案】（1），如果两个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或者互补；（2）见解析 【思路引导】（1）根据对顶角相等，等角的余角相等即可求得，连接，根据三角形内角和定理即可证明；根据结论即可用文字语言叙述； （2）方法同（1）． 【规范解答】（1）如图1， ， 如图2，连接 ， 即 文字语言叙述：如果两个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或者互补； 故答案为：，如果两个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或者互补； （2）选择图1，证明如下， ， ． 【考点剖析】本题考查了三角形内角和定理，同位角相等，等角的余角相等，掌握以上知识是解题的关键． 考点2：与平行线有关的三角形内角和问题 【典例精讲】（23-24八年级上·天津宁河·期中）已知：如图所示， ， 交于点C， 垂足为E，   求 的大小． 【答案】 【思路引导】本题考查了平行线的性质、对顶角、垂直定义、三角形内角和定理等知识点，根据平行线的性质得出，求出，即可求出，根据垂直求出，即可求出答案． 【规范解答】∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式训练】（21-22八年级下·吉林长春·阶段练习）【教材呈现】如表是华师版九年级上册第77页部分内容： 如图23.4.2，在中，点D、E分别是AB与AC的中点.根据画出的图形，可以猜想： ，且. 以上内容不必证明. 【结论应用】 (1)如图1，在四边形ABCD中，，P是对角线BD的中点，M是DC的中点，N是AB的中点，求证：. (2)如图2，四边形ABCD中，，M是DC的中点，N是AB的中点，延长BC、NM交于点E，若，则的大小为________. 【答案】(1)见解析 (2)27° 【思路引导】（1）根据教材呈现中的结论，得出PM＝BC，PN＝AD，再根据AD＝BC得出PM＝PN，进而得出结论； （2）先根据（1）的结论得出∠PMN＝∠PNM，进而求出∠A＋∠ABC＝360°−（∠ADC＋∠DCB）＝126°，根据教材呈现中的结论得出PNAD，PMBE，根据平行线的性质可得∠PNB＝∠A，∠PMN＝∠E，再根据三角形的内角和以及等量代换即可求解． 【规范解答】（1）证明：∵点P，M分别是BD，DC的中点， ∴PM＝BC， ∵点P，N分别是BD，AB的中点， ∴PN＝AD， ∵AD＝BC， ∴PM＝PN， ∴∠PMN＝∠PNM； （2）解：连接BD，取BD的中点P，连接PM、PN， 由（1）可得∠PMN＝∠PNM， ∵∠ADC＋∠DCB＝234°， ∴∠A＋∠ABC＝360°−（∠ADC＋∠DCB）＝126°， ∵点P、M、N分别是BD、CD、AB的中点， ∵PNAD，PMBC， ∴∠PNB＝∠A，∠PMN＝∠E， 在△ENB中，∠E＋∠ABC＋∠ENB＝180°， ∴∠E＝180°−∠ABC−∠PNM−∠PNB＝180°−∠ABC−∠E−∠A， ∴2∠E＝180°−（∠A＋∠ABC）＝180°−126°＝54°， ∴∠E＝27°， 故答案为：27°． 【考点剖析】此题是四边形综合题，主要考查了三角形中位线定理，等腰三角形的性质，平行线的性质，四边形的内角和，三角形的内角和定理等知识点．解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形中位线解决问题． 考点3：与角平分线有关的三角形内角和问题 【典例精讲】（24-25八年级上·天津·期中）如图，在中，，于点D，平分交于点E，于点F．    (1)求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）根据三角形内角和定理求出，根据角平分线定义得出，即可求出答案； （2）根据垂直定义得出，根据直角三角形的两锐角互余得出，求出，再根据直角三角形的两锐角互余求出答案即可． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【考点剖析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形角平分线、中线和高等知识点，能熟记三角形内角和定理等于和直角三角形的两锐角互余是解此题的关键． 【变式训练】（2023七年级下·全国·专题练习）如图，在中，，于，平分交于，交于F．    (1)如果，求的度数； (2)试说明：． 【答案】(1) (2)见解析 【思路引导】本题考查了直角三角形的性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键． （1）根据三角形内角和 可得的度数，根据角平分线的定义可得的度数，根据直角三角形的性质可得的度数； （2）根据直角三角形的两锐角互余可得，，根据角平分线的定义可得，从而可得，即可得证． 【规范解答】（1）解：，， ， 平分交于， ， ； （2）证明：， ， ， ， ， 平分交于， ， ， ， ． 考点4：三角形折叠中的角度问题 【典例精讲】（24-25八年级上·天津·期中）如图，把纸片沿折叠，使点落在内部点处，若，则等于 ． 【答案】 【思路引导】本题考查三角形的内角和定理，轴对称的性质． 由三角形的内角和求出，再由折叠得到，进而平角的定义即可求解． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵折叠得到， ∴，， ∴， ∴ ． 故答案为： 【变式训练】（24-25八年级上·江苏·阶段练习）如图，在中，，点E，F分别为上一点，将沿直线翻折至同一平面内，点A落在点处，，分别交边于点M，N．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了翻折变换，邻补角，直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握以上知识是解题的关键． 先根据平角定义可得，然后利用折叠的性质可得：，，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得，进而可得，最后利用平角定义进行计算，即可解答． 【规范解答】解：∵， ∴， 由折叠得：，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 考点5：三角形内角和定理的应用 【典例精讲】（24-25八年级上·广东江门·期中）如图，的外角和的平分线交分线交于点和的平分线交于点M，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了三角形内角和定理、角平分线定义等知识点，掌握三角形内角和定理成为解题的关键． 先求出，进而求出，再根据角平分线定义得及，最后根据三角形内角和定理求解即可． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴， ∵和的平分线交分线交于点， ∴， ∴． ∵和的平分线交于点M， ∴， ∴， 在中，， 即：． 故选：C． 【变式训练】（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，于点F，于点E，M为的中点． (1)若，，求的周长． (2)设， ①若，求的度数． ②设，求x与y之间的数量关系． 【答案】(1)16 (2)①② 【思路引导】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握直角三角形的性质和等腰三角形的性质； （1）根据斜边的中线等于斜边的一半可得，即可得解； （2）①根据斜边的中线性质可得，再根据等腰三角形的性质可得，再由三角形的内角和即可得解； ②由①可知：，即可得解． 【规范解答】（1）解：，M为的中点， ， ∴的周长； （2）解：①，M为的中点， ， ， ，， ， ， ， ②由①知：， ， ∴． 考点6：直角三角形的两个锐角互余 【典例精讲】（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，在中，是边上的高，平分交边于E，，．求的度数． 【答案】的度数为． 【思路引导】本题考查了三角形的内角和定理，直角三角形的性质，角平分线定义，由平分交边于，得，再根据三角形内角和定理得，又，则，最后由直角三角形的性质即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【规范解答】解：∵平分交边于， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数为． 【变式训练】（24-25八年级上·浙江温州·期中）在一个三角形中，如果一个角是另一个角的2倍，这样的三角形我们称之为“智慧三角形”．比如：三个内角分别为，，的三角形是“智慧三角形”．如图，，在射线上找一点，过点作交于点，以为端点作射线，交线段于点． (1) ； (2)若．求证：为“智慧三角形”； (3)当为“智慧三角形”时，请求出的度数． 【答案】(1)50 (2)为“智慧三角形” (3)的度数为或或或 【思路引导】本题考查了三角形内角和定理和外角性质，角的和差，直角三角形两锐角互余，理解题意并运用分类讨论思想解答是解题的关键． （1）根据直角三角形两锐角互余即可求解； （2）求出的度数，得到，据此即可证明； （3）由可得，再分，，，，和六种情况解答即可求解． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴； 故答案为：50； （2）证明：∵，， ∴ ∴   ∴为“智慧三角形” （3）解：分情况讨论：①当时，，， ∴； ②当时，，，故舍去； ③当时，，故舍去； ④当时，， ∴； ⑤当时，，； ⑥当时，， ∴； 综上所述，的度数为或或或 考点7：锐角互余的三角形是直角三角形 【典例精讲】（24-25七年级下·江苏南京·期末）下列命题中，真命题的个数有（    ） ①如果，那么；②如果，那么；③有两个角互余的三角形是直角三角形；④周长相等的三角形的面积相等． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【思路引导】本题考查了命题和定理，不等式的性质，等式的性质，直角三角形的判定，三角形面积，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据不等式的性质，等式的性质，直角三角形的判定，三角形面积逐项判断即可． 【规范解答】解：①如果，那么，错误，是假命题； ②如果，那么，正确，是真命题； ③有两个角互余的三角形是直角三角形，正确，是真命题； ④周长相等的三角形的面积相等，错误，是假命题； 综上所述，真命题的个数有个， 故选：B． 【变式训练】（24-25七年级下·河南新乡·期末）如图，在中，，D是延长线上一点，是的平分线，分别作，的平分线，交于点E，F，则 °， °． 【答案】 【思路引导】先利用直角三角形两个锐角互余，得出，再根据角平分线的意义，得出，，结合平角的意义，可求得，再利用角平分线的意义和三角形外角的性质，可求得，从而可利用邻补角的意义求得，再利用直角三角形两个锐角互余，求得． 【规范解答】解：∵在中，， ∴， ∵，的平分线， ∴，， ∴ ， ∵是的平分线， ∴， ， ∵， ∴，解得：， 又， ， ，解得：， 故答案为：，． 【考点剖析】本题考查了角平分线的意义，直角三角形两个锐角互余，三角形外角的性质，邻补角的意义，解题关键是利用三角形外角的性质求解． 考点8：三角形的外角的定义及性质 【典例精讲】（24-25八年级上·广西钦州·期中）如图，在中，，和的平分线交于点，得，和的平分线交于点，得，…，和的平分线交于点，得，和的平分线交于点，得，则的大小为 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了角平分线的定义，三角形外角的性质，图形类的规律探索，结合图形，灵活运用所学知识求解，是解题的关键． 根据角平分线的性质和三角形外角性质得出和的关系，进而求出与的关系，找出规律，得到与的关系即可求解． 【规范解答】平分，平分， ， 又， 由， 得 ， ， 同理可求，，， 以此类推，可得，， 当时，，又， ． 故答案为：． 【变式训练】（24-25八年级上·天津·阶段练习）已知：如图，射线是的外角的平分线．射线交于点，若，求证：平分． 【答案】见解析 【思路引导】本题考查三角形外角的性质，角平分线定义，灵活运用三角形外角的性质是解题的关键．由角平分线定义得到，由三角形外角的性质推出 ，而，得到，即可证明平分． 【规范解答】证明：射线是的外角的平分线， ， ， ， ， ， ， 平分． 1．（2023·四川宜宾·中考真题）如图， ，且，，则等于（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】可求，再由，即可求解． 【规范解答】解：， ， ， ， ． 故选：D． 【考点剖析】本题考查了平行线的性质，三角形外角性质，掌握三角形外角的性质是解题的关键． 2．（2022·海南·中考真题）如图，直线，是等边三角形，顶点B在直线n上，直线m交于点E，交于点F，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】根据等边三角形的性质可得∠A=60°，再由三角形外角的性质可得∠AEF=∠1-∠A=80°，从而得到∠BEF=100°，然后根据平行线的性质，即可求解． 【规范解答】解：∵是等边三角形， ∴∠A=60°， ∵∠1=140°， ∴∠AEF=∠1-∠A=80°， ∴∠BEF=180°-∠AEF=100°， ∵， ∴∠2=∠BEF=100°． 故选：B 【考点剖析】本题主要考查了等边三角形的性质，三角形外角的性质，平行线的性质，熟练掌握等边三角形的性质，三角形外角的性质，平行线的性质是解题的关键． 3．（2022·湖北十堰·中考真题）“美丽乡村”建设使我市农村住宅旧貌变新颜，如图所示为一农村民居侧面截图，屋坡，分别架在墙体的点，处，且，侧面四边形为矩形，若测得，则 ． 【答案】 【思路引导】根据矩形的性质可得，求出，根据等边对等角可得，然后根据三角形内角和定理即可求解． 【规范解答】四边形为矩形 ， 故答案为：． 【考点剖析】本题考查了矩形的性质，等边对等角，三角形内角和定理，掌握以上知识是解题的关键． 4．（2025·山东烟台·中考真题）如图是一款儿童小推车的示意图，若，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了平行线的性质，三角形外角定理，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握平行线的性质．首先根据平行线的性质得出，再根据三角形的外角性质即可求出． 【规范解答】解：∵，， ∴， ∵， ， ∴； 故选：A． 5．（2025·福建·中考真题）某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中点A，E，C，F在同一条直线上，．当时，的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查平行线的性质，三角形的外角的性质，根据平行线的性质得到，再根据三角形的外角的性质，进行求解即可．熟练掌握相关性质，是解题的关键． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 故选：B． 基础夯实 1．（24-25八年级上·广东惠州·期中）小枣一笔画成了如图所示的图形，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题主要考查了三角形外角的性质，由三角形外角的性质可得，则可求出，由平角的定义和三角形外角的性质可得． 【规范解答】解：如图所示，∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 2．（24-25八年级上·贵州六盘水·期末）某城市几条道路的位置关系如图所示，道路与道路平行，道路与道路的夹角为，城市规划部门想新修一条道路，要求，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查的是平行线的性质及三角形外角的性质，熟练掌握相关性质是解题关键，先求出，再利用三角形外角的性质求出结论即可． 【规范解答】解：由题意得：， ， ，， ， 故选：C． 3．（2025·山东威海·中考真题）如图，直线，，．若．则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】此题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 首先求出，然后由平行线的性质得到，然后利用三角形外角的性质求解即可． 【规范解答】如图所示， ∵， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴． 故选：A． 4．（23-24八年级上·重庆永川·期中）如图，（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了三角形内角和定理． 连接，由三角形内角和定理可知：，进而计算即可. 【规范解答】解：如图，连接， ∵，， ∴， ∴ ， 故选D． 5．（24-25八年级上·内蒙古通辽·期中）将一副学生用的三角板按如图所示的方式放置，若，则的度数是 度． 【答案】75 【思路引导】本题考查平行线的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，利用平行线的性质三角形的外角的性质即可解决问题． 【规范解答】由三角板可得：，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 6．（24-25八年级上·广西桂林·期中）如图，五角星的顶点分别是A，B，C，D，E，那么 ． 【答案】/180度 【思路引导】本题考查三角形的外角，根据三角形的外角的性质，结合三角形的内角和定理，进行求解即可． 【规范解答】解：如图， ∵，， ∴； 故答案为：． 7．（24-25八年级上·河北邢台·期中）如图，阴影部分是一个喷水池，现要修建两条通向水池的小道和，要求和所在的直线互相垂直．为了检验和是否垂直，小亮同学在水池外的平地上选定一个可直接到达点P和Q的点C，然后测得，，．请问：这样做和的位置关系是否垂直 （填是或否）． 【答案】是 【思路引导】本题考查了三角形的外角的性质，延长，交于点，的延长线与交于点，根据三角形外角的性质结合已知条件得出，即可求解． 【规范解答】解：延长，交于点，的延长线与交于点，如图所示： 则． ． ． 故答案为：是． 8．（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）实验探究是数学学习的重要方法．通过剪拼验证“三角形的内角和等于”时，小明给出如图1的拼合方法，发现了证明的思路，并给出了不完整的“已知”和“求证”，请你补充完整，并写出“证明”的过程． 已知：如图2， ； 求证： ． 【答案】，证明见解析 【思路引导】本题考查三角形内角和定理，平行线的判定和性质，关键是由平行线的性质推出．判定，由平行线的性质推出，于是． 【规范解答】解：已知：如图2，； 求证：． 证明：， ， ， ， ． 故答案为：． 9．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，B是边上一点，，，，求和的度数． 【答案】， 【思路引导】根据，结合，，得到，继而得到，根据，得到，结合 解答即可． 本题考查了三角形外角性质，三角形内角和定理，角的和，熟练掌握三角形外角，三角形内角和定理是解题的关键． 【规范解答】解：根据题意，得， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 培优拔高 1．如图，直线，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了平行线的性质、三角形外角的定义及性质，由平行线的性质可得，再由三角形外角的定义及性质可得，，计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 故选：A． 2．（24-25八年级上·河北邢台·期中）如图，将三个角分别沿、、翻折，三个顶点均落在点O处，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查利用翻折变换的性质和三角形内角和定理． 通过分析翻折后形成的角与原三角形内角的关系，计算出的度数． 【规范解答】由题知： ， ， ， ， 故选：A． 3．（24-25八年级上·河南许昌·期末）如图“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在点相连并可绕转动，点固定，，点，可在槽中滑动，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形的外角性质．先根据等边对等角求出，再由三角形外角性质求得，最后由三角形外角性质列式计算即可求解． 【规范解答】解：设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得，即， 故选：A． 4．（24-25七年级下·上海松江·阶段练习）如图．是的外角的平分线．，．则的度数是 度． 【答案】75 【思路引导】本题主要查了三角形外角的性质．先根据角平分线的定义可得，然后根据三角形外角的性质解答，即可． 【规范解答】解：∵是的外角的平分线，， ∴， ∵，， ∴． 故答案为：75 5．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，，若，边和边相交于点P，边和边相交于Q，假设，当为等腰三角形时，则 ． 【答案】或 【思路引导】过B作于D，过B作于E，根据全等三角形的性质得出，，，进而得到平分，，再根据三角形内角和定理得出，确定，分三种情况讨论，利用三角形内角和等于，即可得到关于的方程，进而得到结果． 【规范解答】解：如图，过B作于D，过B作于E， ∵， ∴，，， ∴平分，， 又∵， ∴， ∴， 分三种情况： ①当时，， ∵， ∴， 解得； ②当时，， 即， 解得； ③当时，， 又∵， ∴（不合题意）， 故答案为：或． 【考点剖析】本题主要考查了等腰三角形的性质以及旋转的性质的运用，解题的关键是利用全等三角形对应边上高相等，得出平分，解题时注意分类思想的运用． 6．（24-25八年级上·贵州六盘水·期末）如图，在中，，分别为，的角平分线，与相交于点． (1)若，，则_____度； (2)求证：； (3)直接写出与，，的数量关系． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【思路引导】（1）根据题意，得，，根据解答即可； （2）根据三角形内角和定理，三角形外角性质，角的平分线证明即可； （3）根据（2）证明可以直接写出结论． 本题考查了三角形内角和定理应用，三角形外角性质，角的平分线，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【规范解答】（1）证明：∵，分别为，的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故答案为：． （2）证明：∵，分别为，的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）证明：∵，分别为，的角平分线， ∴， ∵， ∴． 7．（22-23七年级下·浙江温州·期中）已知：如图1，在三角形中，，将线段沿直线平移得到线段，连结． (1)当时，请说明． (2)如图2，当在上方时，且时，求与的度数． (3)当垂直三角形中的一边时，直接写出所有满足条件的的度数． 【答案】(1)证明过程见详解 (2) (3)当垂直三角形中的一边时的度数为或或 【思路引导】本题主要考查图形平移的性质，三角形内角和定理，外角和的性质，掌握以上知识，数形结合分析，分类讨论思想是解题的关键． （1）根据三角形的外角的性质得到，则，即可求解； （2）根据三角形的外加得到，可求出，则，由此即可求解； （3）根据直角三角形两锐角互余，三角形外角和的性质，分类计算即可． 【规范解答】（1）解：将线段沿直线平移得到线段， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：将线段沿直线平移得到线段， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图所示，时， ∵， ∴， ∴当时，，即； 如图所示，时， ∵将线段沿直线平移得到线段， ∴， ∴； 如图所示，时，垂足为点， ∵在三角形中，， ∴， ∴， ∵， ∴； 综上所述，当垂直三角形中的一边时的度数为或或． 8．（22-23七年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，在中，点在上，过点作，交于点，平分，交的平分线于点，与相交于点，的平分线与相交于点． (1)若，，则______，______； (2)若，当的度数发生变化时，、的度数是否发生变化？并说明理由； (3)若中存在一个内角等于另一个内角的三倍，请直接写出所有符合条件的的度数______． 【答案】(1)115，25 (2)不会发生变化，理由见解析 (3)或或或 【思路引导】（1）由平行线的性质，角平分线的定义结合三角形内角和定理即可求解； （2）同理由平行线的性质，角平分线的定义结合三角形内角和定理即可求解； （3）设，则，再由不变，即可分类讨论：①当时，②当时，③当时，④当时，分别列出关于的等式，解出即可． 【规范解答】（1）解：，， ． 平分， ． ， ，． 平分， ． ； ， ． 平分，平分， ，． ， ，即， ． 故答案为：115，25； （2）解：不会发生变化，理由如下： ， ． ， ，． 平分，平分， ，． ． ， ， ， ． 当的度数发生变化时，、的度数不发生变化； （3）解：设， ． ， ，， 平分，平分， ，， ． ． 平分，平分， ，， ， ， 中存在一个内角等于另一个内角的三倍， ①当时，， 解得： ②当时，， 解得： ③当时，， 解得： ④当时，， 解得： 综上可知，或或或． 【考点剖析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理等知识．熟练运用数形结合和分类讨论的思想是解题关键． 9．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）（1）问题引入：如图①，在中，O是和的平分线的交点，若，则________；如图②，，，，则________（用含的式子表示） （2）如图③，，，，请猜想________（用含的式子表示），并说明理由． （3）类比研究：，分别是的外角，的n等分线，它们交于点O，，，，请猜想________． 【答案】（1）；（2）（3） 【思路引导】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． （1）由三角形内角和定理可求得，根据角平分线的定义可求得，在中利用三角形内角和定理可求得； （2）方法同（1）； （3）根据三角形的内角和等于列式整理即可得． 【规范解答】解：（1）∵，, ∴， ∵点O是和平分线的交点， ∴， ∵， ∴； 同法，在中， ， 故答案为：；； （2） 理由如下：在中， ； 故答案为：； （3）类似（2），可得在中， ； 故答案为：． 第 1 页 共 33 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