24.2 重点题型专题17 巧用隐圆解题（习题课件）-【一本】2025-2026学年九年级数学上册同步训练（人教版 安徽专用）

初中数学 九年级上册·（RJ版）安徽专版 第二十四章　圆 重点题型专题 17 巧用隐圆解题 类型1　定点定长 模型展示　 类型 一点作圆 三点定圆 图示     特征 平面内，A为定点，B为动点且AB长度固定 OA＝OB＝OC 结论 点B的轨迹在以点A为圆心，AB的长为半径的圆上 点A，B，C均在☉O上 上一页 下一页 例1　如图，在四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，连接BD.如果∠DAC＝56°，∠CAB＝20°，那么∠BCD＝______°. 142 上一页 下一页 例2　如图，已知正方形纸片ABCD的边AB＝4，点P在边AD上，将∠A沿BP折叠，点A的对应点为A'，连接DA'，则DA'的最小值为________. 4－4 上一页 下一页 类型2　定弦定角 模型展示　 图示       特征 在△ABC中，AB＝a为定长，∠C＝α为定角度 上一页 下一页 结论 当α＜90°时，点C在优弧上运动(不与点A，B重合)，∠ACB＝ ∠AOB 当α＝90°时，点C在☉O上运动(不与点A，B重合)，弦AB为直径 当α＞90°时，点C在劣弧上运动(不与点A，B重合)， ∠AOB＋∠ACB＝180° 推论 构成等腰三角形(AC＝BC)时，点C到AB的距离最大且此时△ABC的面积最大 上一页 下一页 例3　如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，P是矩形内部的一个动点，且∠APD＝90°，连接CP并延长交AB于点E，则AE的最大值为____. 　 上一页 下一页 例4　如图，在边长为4的等边三角形ABC中，P为△ABC内的一个动点，且∠PBC＝∠PCA，连接AP，则△PBC面积的最大值为_____. 　 上一页 下一页 类型3　四点共圆 模型展示　 图示       上一页 下一页 特征 AB为△ABC和△ABD的公共边，点C，D在AB的同一侧，且∠C＝∠D 在四边形ABCD中，∠D＋∠B＝180°(四边形对角互补) 结论 点A，B，C，D在同一个圆上 上一页 下一页 例5　如图，△ABC的两条高BD，CE交于点H，连接AH并延长，交BC于点F.求证：AF⊥BC. 证明：如图，连接DE，分别以AH，BC的 中点为圆心，AH，BC的长为半径作圆. ∵BD，CE是△ABC的高， ∴∠AEH＝∠BEC＝∠ADH＝∠CDB ＝90°， 上一页 下一页 ∴A，E，H，D四点共圆，B，E，D，C四点共圆，∴∠1＝∠2＝∠3. ∵∠AHD＝∠BHF，∴∠1＋∠ADH＝ ∠3＋∠BFH， ∴∠BFH＝∠ADH＝90°，∴AF⊥BC. 上一页 下一页 例6　如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝6，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°.四边形ABCD的周长是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由. 解：四边形ABCD的周长存在最大值. 如图，连接AC，BD，在AC上取一点 M，使得DM＝DC，以点M为圆心， DM的长为半径作圆. 上一页 下一页 ∵∠DAB＝60°，∠DCB＝120°，∴∠DAB＋∠DCB＝180°， ∴A，B，C，D四点共圆，∴∠DAC＝∠DBC. ∵AD＝AB，∠DAB＝60°， ∴△ADB是等边三角形， ∴∠ABD＝∠ADB＝60°，∴∠ACD＝∠ABD＝60°. ∵DM＝DC，∴△DMC是等边三角形， ∴∠ADB＝∠MDC＝60°，CM＝DC. 上一页 下一页 ∵∠ADM＝∠ADB－∠BDM，∠BDC＝∠MDC－∠BDM， ∴∠ADM＝∠BDC. 在△ADM和△BDC中， ∴△ADM≌△BDC(ASA)，∴AM＝BC， ∴AC＝AM＋MC＝BC＋CD.∴四边形 ABCD的周长＝AD＋AB＋BC＋CD＝AD＋AB＋AC. 上一页 下一页 ∵AD＝AB＝6，∴当AC最大时，四边形ABCD的周长最大， ∴当AC为△ABC的外接圆的直径时，四边形ABCD的周长最大，此时AC＝4， ∴四边形ABCD的周长的最大值为12＋4. 上一页 下一页 跟踪训练 1.如图，在Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB＝∠PBC，则线段CP长的最小值为( ) A. B.2 C. D. B 上一页 下一页 2.(2023·安徽节选)如图，在Rt△ABC中，M是斜边AB的中点，将线段MA绕点M旋转至MD的位置，点D不在直线AB上，连接AD，BD. (1)如图1，求∠ADB的度数. 解：由旋转，得MA＝MD. ∵M是AB的中点，∴MA＝ MB＝MD， ∴点D在以点M为圆心，AB为直径的圆上，如图1所示， ∴∠ADB＝90°. 上一页 下一页 2.(2023·安徽节选)如图，在Rt△ABC中，M是斜边AB的中点，将线段MA绕点M旋转至MD的位置，点D不在直线AB上，连接AD，BD. (2)如图2，已知E是边AC 上一点，且满足ME⊥AD， DE∥AB，连接CD.求证：BD＝CD. 解：证明：如图2，在☉M中， ∵ME⊥AD，∴ME平分AD，∴AE＝DE， 上一页 下一页 ∴∠EAD＝∠EDA. ∵DE∥AB，∴∠EDA＝∠DAB， ∴∠EAD＝∠DAB，∴＝， ∴BD＝CD. 上一页 下一页 3.如图，四边形ABCD的边CD和BC的长是关于x的方程x2－(m＋2)x＋(2m2－m＋)＝0的两个实数根，∠DAB＝∠DCB＝ 90°，AD＝2，求AC的长. 解：如图，连接BD，过点D作DE⊥AC， 垂足为E. 由题意，得Δ＝[－(m＋2)]2－4××(2m2 －m＋)＝－3m2＋6m－3＝－3(m－1)2≥0， 上一页 下一页 ∴(m－1)2≤0，∴m＝1，∴原方程为x2－3x＋＝0， 解得x1＝x2＝3，∴CD＝BC＝3. ∵∠DAB＝∠DCB＝90°， ∴A，B，C，D四点共圆，∠CBD＝45°， ∴∠DAC＝45°. ∵在Rt△DEA中，AD＝2，∴AE＝DE＝. ∵在Rt△DEC中，CD＝3，DE＝，∴CE＝， ∴AC＝AE＋CE＝＋. 上一页 下一页 4.如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边DC，CB上移动，且DE＝CF，AE，DF交于点P，连接CP，EF，当线段CP的长度最小时，求证：∠BAP＝∠FEC. 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝DC，∠ADE＝∠DCF＝90°. 在△ADE和△DCF中， 上一页 下一页 ∴△ADE≌△DCF(SAS)， ∴AE＝DF，∠DAE＝∠CDF. ∵∠CDF＋∠ADF＝90°，∴∠DAE＋∠ADF＝90°， ∴∠APD＝90°， ∴点P的路径是以AD为直径的一段圆弧. 上一页 下一页 如图，设AD的中点为G，连接GC交圆弧于点P，此时CP的长度最小.记∠GDP＝∠1，∠GPD＝∠2，∠FPC＝∠3，∠FEC＝∠4，∠BAP＝∠5.∵PG＝DG，∴∠1＝∠2. ∵∠2＝∠3，∴∠1＝∠3.∵AD∥BC， ∴∠1＝∠PFC， ∴∠3＝∠PFC.∵∠B＝∠APF＝90°， ∴A，B，F，P四点共圆，四边形ABFP 为圆内接四边形， 上一页 下一页 ∴∠5＋∠BFD＝180°.∵∠BFP＋∠PFC＝180°， ∴∠5＝∠PFC. 同理，C，E，P，F四点共圆，四边形CEPF 为圆内接四边形， ∴∠3＝∠4，∴∠4＝∠PFC，∴∠5＝∠4， 即∠BAP＝∠FEC. 上一页 下一页 5.在△ABC中，∠A＝45°，∠ABC＝α，以BC为斜边作等腰直角三角形BDC，使得A，D两点在直线BC的同侧，过点D作DE⊥AB于点E. (1)如图1，当α＝20°时， ①求∠CDE的度数； 解：∵∠CDB＝90°，CD＝DB， ∴∠DBC＝∠DCB＝45°，∴∠DBE＝∠DBC－∠ABC＝25°. 上一页 下一页 ∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°＝∠CDB， ∴∠CDE＋∠EDB＝∠EDB＋∠ABD＝90°， ∴∠CDE＝∠DBE＝25°. 上一页 下一页 5.在△ABC中，∠A＝45°，∠ABC＝α，以BC为斜边作等腰直角三角形BDC，使得A，D两点在直线BC的同侧，过点D作DE⊥AB于点E. (1)如图1，当α＝20°时， ②判断线段AE与BE之间 的数量关系，并说明理由. 解：AE＝BE.理由如下： 如图1，延长BD至点H，使DH＝BD，连接CH. 上一页 下一页 ∵BD＝DH，CD⊥BD，∴CH＝BC， ∴∠CHB＝∠CBH＝45°， ∴∠A＝∠CHB＝45°，∠HCB＝90°， ∴A，C，B，H四点共圆. ∵∠HCB＝90°，∴BH是直径，点D是圆心. ∵DE⊥AB，∴AE＝BE. 上一页 下一页 5.在△ABC中，∠A＝45°，∠ABC＝α，以BC为斜边作等腰直角三角形BDC，使得A，D两点在直线BC的同侧，过点D作DE⊥AB于点E. (2)若45°＜α＜90°，线段AE与BE之间 的数量关系是否保持不变？依题意补全 图2，并写出证明过程. 解：线段AE与BE之间的数量关系不变.证明如下： 上一页 下一页 补全图形如图2所示，延长BD至点H，使DH＝BD，连接CH. ∵BD＝DH，CD⊥BD，∴CH＝BC，∴∠CHB＝∠CBH＝45°， ∴∠A＝∠CHB＝45°，∠HCB＝90°， ∴A，B，C，H四点共圆. ∵∠HCB＝90°，∴BH是直径，点D是圆心. ∵DE⊥AB，∴AE＝BE. 上一页 下一页 6.(选做)[问题提出] (1)如图1，已知△ABC为边长为2的等边三角形，则△ABC的面积为______. 解：如图1，过点A作AD⊥BC于点D. ∵△ABC是边长为2的等边三角形， ∴BD＝1，∴AD＝＝， ∴△ABC的面积为×2×＝. 故答案为. 　 上一页 下一页 [问题探究] (2)如图2，在△ABC中，已知∠BAC＝120°，BC＝6，求△ABC的最大面积. 解：如图2，作△ABC的外接圆☉O. ∵∠BAC＝120°，BC＝6， ∴点A在 上运动. 当A'O⊥BC时，△ABC的面积最大， 上一页 下一页 ∴∠BOA'＝60°，BH＝CH＝3，∴OH＝3，OB＝6， ∴A'H＝OA'－OH＝6－3＝3， ∴△ABC的最大面积为×6×3＝9. 上一页 下一页 [问题解决] (3)如图3，矩形ABCD是某校学生礼堂的平面示 意图，其宽AB＝20米，长BC＝24米.为了能够 监控到礼堂内部情况，现需要在礼堂最尾端墙 面CD上安装一台摄像头M进行观测，并且要求 能观测到礼堂前端墙面AB区域，同时为了观测效果达到最佳，还需要使观测角∠AMB＝45°.请你用所学知识进行分析，在CD区域上是否存在点M满足要求？若存在，求出MC的长度；若不存在，请说明理由. 上一页 下一页 解：存在. 如图3，以AB为边，在矩形ABCD的内部作一 个等腰直角三角形AOB，且∠AOB＝90°， 过点O作HG⊥AB交AB于点H，交CD于点G. ∵AB＝20米，∴AH＝OH＝10米，OA＝10米. ∵BC＝24米，∴OG＝14米. ∵10＞14，∴以点O为圆心，OA为半径的圆与CD相交， 上一页 下一页 ∴☉O上存在点M，满足∠AMB＝45°，此时满 足条件的点有两个点，分别为点M1，M2，位置 如图3所示，连接AM1，BM1，过点M1作M1F⊥ AB于点F，过点O作OE⊥M1F于点E，∴EF＝OH ＝10米，OM1＝10米，∴EM1＝14米，∴OE＝ ＝2米，∴CM1＝BF＝8米.同理CM2＝BH＋OE＝10＋2＝12(米)， ∴MC的长度为8米或12米. 上一页 下一页 谢谢观看 $$