24.1 重点题型专题13 圆的有关性质（习题课件）-【一本】2025-2026学年九年级数学上册同步训练（人教版 安徽专用）

初中数学 九年级上册·（RJ版）安徽专版 第二十四章　圆 重点题型专题 13　圆的有关性质 1.如图，四边形ABCD内接于☉O，AB是直径，C为的中点，延长AD，BC交于点P，连接AC. (1)求证：AB＝AP； 解：证明：∵C为的中点， ∴∠BAC＝∠CAP. ∵AB是直径， ∴∠ACB＝90°，∴∠ACP＝90°， 1 2 3 4 5 6 上一页 下一页 ∴∠ABC＋∠BAC＝90°，∠P＋∠CAP＝90°，∴∠ABC＝∠P， ∴AB＝AP. 1 2 3 4 5 6 上一页 下一页 1.如图，四边形ABCD内接于☉O，AB是直径，C为的中点，延长AD，BC交于点P，连接AC. (2)当AB＝10，DP＝2时，求线段CP的长. 解：如图，连接BD. ∵AB是直径， ∴∠ADB＝90°，∴∠BDP＝90°. ∵AB＝AP＝10，DP＝2，∴AD＝10－2＝8. 1 2 3 4 5 6 上一页 下一页 在Rt△ABD中，由勾股定理，得BD＝＝＝6， ∴PB＝＝＝2. ∵AB＝AP，AC⊥BP， ∴PC＝BC＝PB＝. 1 2 3 4 5 6 上一页 下一页 2.如图，AB是☉O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是上的一点，AG的延长线与DC的延长线交于点F，连接DG，CG. (1)若CD＝8，BE＝2，求☉O的半径； 解：如图，连接OC.设☉O的半径为R. ∵CD⊥AB，CD＝8， ∴DE＝EC＝4. 1 2 3 4 5 6 上一页 下一页 在Rt△OEC中，由勾股定理，得OC2＝OE2＋EC2， 即R2＝(R－2)2＋42， 解得R＝5，即☉O的半径为5. 1 2 3 4 5 6 上一页 下一页 2.如图，AB是☉O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是上的一点，AG的延长线与DC的延长线交于点F，连接DG，CG. (2)求证：∠FGC＝∠AGD. 解：证明：如图，连接AD. ∵CD⊥AB， ∴＝， ∴∠ADC＝∠AGD. 1 2 3 4 5 6 上一页 下一页 ∵四边形ADCG是圆内接四边形， ∴∠ADC＋∠AGC＝180°. ∵∠AGC＋∠FGC＝180°， ∴∠ADC＝∠FGC， ∴∠FGC＝∠AGD. 1 2 3 4 5 6 上一页 下一页 3.如图，☉O的直径CD分别与弦AB，AF交于点E，H，连接AD.已知CF＝CH，FB＝BD. (1)求证：AB⊥CD； 解：证明：∵CF＝CH， ∴∠CFH＝∠CHF. ∵∠CFH＝∠CDA，∠CHF＝∠AHD， ∴∠CDA＝∠AHD，∴AH＝AD. 1 2 3 4 5 6 上一页 下一页 ∵FB＝BD，∴＝， ∴∠HAE＝∠DAE， ∴∠AEH＝∠AED＝90°， ∴AE⊥HD，即AB⊥CD. 1 2 3 4 5 6 上一页 下一页 3.如图，☉O的直径CD分别与弦AB，AF交于点E，H，连接AD.已知CF＝CH，FB＝BD. (2)若AE＝4，OH＝1，求AO的长. 解：∵AH＝AD，AE⊥DH，∴HE＝DE. 设OE＝x. ∵OH＝1，∴HE＝x＋1＝DE， ∴OD＝2x＋1＝AO. 1 2 3 4 5 6 上一页 下一页 在Rt△OAE中，由勾股定理，得OE2＋AE2＝AO2， 即x2＋42＝(2x＋1)2， 解得x1＝－3(舍去)，x2＝， ∴AO＝2×＋1＝. 1 2 3 4 5 6 上一页 下一页 4.如图，以AB为直径的☉O经过△ABC的顶点C，AE，BE分别平分∠BAC和∠ABC，AE的延长线交☉O于点D，连接BD. (1)判断△BDE的形状，并说明理由； 解：△BDE为等腰直角三角形.理由如下： ∵AE平分∠BAC，BE平分∠ABC， ∴∠BAE＝∠CAD＝∠CBD， ∠ABE＝∠CBE. 1 2 3 4 5 6 上一页 下一页 ∵∠BED＝∠BAE＋∠ABE， ∠DBE＝∠CBD＋∠CBE， ∴∠BED＝∠DBE，∴BD＝ED. ∵AB为直径，∴∠ADB＝90°， ∴△BDE为等腰直角三角形. 1 2 3 4 5 6 上一页 下一页 4.如图，以AB为直径的☉O经过△ABC的顶点C，AE，BE分别平分∠BAC和∠ABC，AE的延长线交☉O于点D，连接BD. (2)若AB＝10，BE＝2，求BC的长. 解：如图，连接OC，CD，OD，OD交BC于点F. ∵∠DBC＝∠CAD＝∠BAD＝∠BCD，∴BD＝DC. 1 2 3 4 5 6 上一页 下一页 ∵OB＝OC，∴OD垂直平分BC. ∵△BDE为等腰直角三角形，BE＝2， ∴BD＝2. ∵AB＝10，∴OB＝OD＝5. 设OF＝t，则DF＝5－t. 在Rt△BOF和Rt△BDF中，由勾股定理，得52－t2＝(2)2－(5－t)2，解得t＝3， ∴BF＝＝4，∴BC＝8. 1 2 3 4 5 6 上一页 下一页 5.如图，∠AOB＝90°，C，D为的三等分点，AB交OC，OD于点E，F. (1)求证：AE＝CD； 解：证明：如图，连接AC，BD. ∵C，D是的三等分点， ∴AC＝CD＝BD，∠AOC＝∠COD＝ ∠DOB＝∠AOB＝30°. 1 2 3 4 5 6 上一页 下一页 ∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝45°， ∴△AOE≌△BOF，∴AE＝BF. ∵OA＝OC， ∴∠OAC＝∠OCA＝＝75°. ∵∠AEC＝∠AOE＋∠OAB＝30°＋45°＝75°， ∴∠AEC＝∠OCA， ∴AC＝AE， ∴AE＝CD. 1 2 3 4 5 6 上一页 下一页 5.如图，∠AOB＝90°，C，D为的三等分点，AB交OC，OD于点E，F. (2)若☉O的半径为4，求AE的长. 解：方法一：如图，过点E作EM ⊥OA于点M. ∵∠OAB＝45°， ∴AM＝EM. 1 2 3 4 5 6 上一页 下一页 由勾股定理，得AE＝ME. ∵∠MOE＝30°， ∴OE＝2ME. 由勾股定理，得OM＝ME. 设AM＝EM＝x， 则x＋x＝4，∴x＝2－2， ∴AE＝×(2－2)＝2－2. 1 2 3 4 5 6 上一页 下一页 方法二：如图，过点C作CG⊥OD于点G. ∵∠COD＝30°， ∴CG＝OC＝2，OG＝2， ∴DG＝OD－OG＝4－2. ∵∠CGD＝90°， ∴AE＝CD＝＝＝2－2. 1 2 3 4 5 6 上一页 下一页 6.如图，BC是半圆O的直径，P是半圆的中点，A是的中点，AD⊥BC于点D，连接AB，PB，AC，BP分别与AD，AC相交于点E，F. (1)求证：AE＝BE. 解：证明：∵BC是半圆O的直径， ∴∠BAC＝90°. ∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝90°， 1 2 3 4 5 6 上一页 下一页 ∴∠ACB＋∠ABC＝∠BAD＋∠ABD＝90°， ∴∠ACB＝∠BAD. ∵A是的中点， ∴∠ACB＝∠ABP，∴∠ABE＝∠BAE， ∴AE＝BE. 1 2 3 4 5 6 上一页 下一页 6.如图，BC是半圆O的直径，P是半圆的中点，A是的中点，AD⊥BC于点D，连接AB，PB，AC，BP分别与AD，AC相交于点E，F. (2)判断BE与EF的长度是否相等， 并说明理由. 解：BE＝EF.理由如下： 由(1)，知∠BAC＝90°， ∠BAE＝∠ABF， 1 2 3 4 5 6 上一页 下一页 ∴∠BAE＋∠FAD＝∠ABF＋∠AFB＝90°， ∴∠FAD＝∠AFB，∴EF＝AE. ∵AE＝BE，∴BE＝EF. 1 2 3 4 5 6 上一页 下一页 6.如图，BC是半圆O的直径，P是半圆的中点，A是的中点，AD⊥BC于点D，连接AB，PB，AC，BP分别与AD，AC相交于点E，F. (3)小明通过测量猜想：CF＝2AB.请问这个猜想是否正确？若正确，请说明理由；若不正确，请写出CF与AB之间正确的数量关系. 1 2 3 4 5 6 上一页 下一页 解：小明的猜想是正确的.理由如下： 如图，连接OA，CP，延长BA与CP， 两线交于点G. ∵P为半圆的中点， ∴BP＝PC. ∵BC是半圆O的直径， ∴∠CPF＝∠BPG＝90°. 1 2 3 4 5 6 上一页 下一页 在△PCF和△PBG中， ∴△PCF≌△PBG(ASA)， ∴CF＝BG. ∵BC为半圆O的直径， ∴∠BAC＝∠GAC＝90°. ∵A为的中点， 1 2 3 4 5 6 上一页 下一页 ∴＝， ∴∠GCA＝∠BCA. 在△BAC和△GAC中， ∴△BAC≌△GAC(ASA)， ∴AG＝AB＝BG， ∴CF＝BG＝2AB. 1 2 3 4 5 6 上一页 下一页 谢谢观看 $$