(六)空间向量与立体几何综合-【衡水金卷·先享题】2024-2025学年高二数学选择性必修2同步周测卷（新高考湘教版）

高二周测卷 ·数学（湘教版）选择性必修第二册· 高二同步周测卷/数学选择性必修第二册（六） 命题要素一览表 注： 1.能力要求： I,抽象概括能力Ⅱ推理论证能力Ⅲ.运算求解能力下，空间想象能力V,数据处理能力 M.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模①直观想象⑤数学运算©数据分析 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 题型 分 (主题内容) I Ⅲ N T ① ② ③① 0 ⑥ 档次系数 1 选择题 5 由线面平行求参 易 0.80 2 选择题 5 求向量的模长 易 0.72 3 选择题 利用向量的运算求参 易 0.70 选择题 5 利用空间向量判断四 点共面 中 0.55 5 选择题 5 利用向量的运算求线 段长 0.45 6 选择题 5 求直线到平面的距离 中 0.30 7 选择题 6 基的概念 易 0.70 选择题 6 利用空间向量解决距 各 0.35 离、夹角问题 9 填空题 5 由三点共线求参 √ 易0.71 10 填空题 5 利用空间向量求线段 中 0.45 长度的最小值 11 解答题 13 利用空间向量求点到 直线、点到面的距离 么 0.60 利用空间向量证明面 12 解答题 15 面垂直，求二面角的余 中0.30 弦值 利用空间向量证明线 13 解答题 20 面平行，求线面角的正 难 0.28 弦值 ·73 ·数学（湘教版）选择性必修第二册· 参考答案及解析 香考誉案及解析 一、选择题 1,D【解析】因为m∥a,所以a⊥b,所以a·b=x一2 c0s号+2×2×c0s号）=20，所以1AC1=25.故 ×8十y=0,整理得x-16十y=0.即x十y=16.故 选A. 选D. 2.A【解析】由题意得|a=|b=|cl=1,a·b a·c=b·c=0,所以|3a十b-2e=/(3a+b-2c) =√/9a+b+4c+6a·b-12a·c-4b·c D √9+1十4=14，故选A. 3.D【解析】根据题意，利用空间向量的运算法则，可 得-成-Oi-专(o成+成)-十i- 6.D【解析】因为PA⊥平面ABC,所以PA⊥AB,PA 0+号+c,因为M=-子a+b叶c, 1 ⊥AC,又因为∠BAC=乏，所以AB⊥AC,所以以A 所以产=子，解得=子故选D 为原点，AB,AC,AP分别为x轴、y轴、：轴正方向建 立如图所示的空间直角坐标系， 4.B【解析】由题意建立如图所示的空间直角坐标系， 2 D 由题意可知B(2,0,0),D(0,0,2),E(0.2,2), 则A'(1,0,1),B(1,1,0),C(0,1.1),所以BA7= M(0,0,1),N(1,2,0),则D元=(0,2,0)，D第= (0,-1.1),BC=(-1,0,1),设点P(x,y,x)在平 (2,0,-2),M衣=(1,2，-1)，M市=(0,0,1).设平 面A'BC‘内，则由共面向量定理得，存在唯一的有序 面BDE的法向量为n=(x,y,),则 实数对(A,),使B驴=入BA产+：BC,所以 n·D元=2y=0 1x-1=入·0十4·(-1)=一4「x=1一 n·D成=2x-2=0令=1，得x=1y=0,所以 y一1=A·(一1)十以·0=一入，即y=1-A,对于A n=(1,0,1),因为MN·n=0,所以MN⊥n,又MN :=1·1+·1=1十H 2=入十4 亡平面BDE,所以MW∥平面BDE,所以直线MN 项，代入点坐标（号，号，号），无解，故A错误：对于 到平面BDE的距离即为点M到平面BDE的距离， 1 所以直线MN到平面BDE的距离为M市，nl=」 B项，代入点坐标（受，子，古），可解出 ,故B 4 一号故选D 正确：对于C项，代人点坐标（合，），无解，故 二、选择题 7.ACD【解析】由题意得|a|=|b|=|cl=1,a·b C错误：对于D项，代入点坐标(-一1，三，1)，无解，故 =a·c=b·c=0,对于A项，|a十b|=√2|c|=2, D错误.枚选B. 故A正确：对于B项，因为a一b十b十c=a十c,所以 (a一b,b十c,a十c)不能构成空间的一组基，故B错 5,A【解析】由题意可得AC=(A市+AD+AA) 误：对于C项，(a十b)·(a十c)=a°=1，故C正确： =AB+AD+AA+2(AB·AD+AB·AA+ 对于D项，因为不存在唯一的实数对(x,y),使得 A市.A)=4+4+4+2×(2×2X0受+2×2× x(a-b)+y(b+c)=a-c,所以{a-b,b+c,a-c 构成空间的一组基，故D正确.故选ACD. 74✉ 高二周测卷 ·数学（相教版）选择性必修第二册· 8,BCD【解析】由题意可知C=Ci+B戒=一AD+ 中点，即PA⊥BD,PC⊥BD, 2BA=-AD+2 (AA-AB)=-2 AB-AD+ 2AA,故B正确：以A为原点，AF,AB,AA分 别为x轴、y轴，x轴正方向建立如图所示的空间直角 坐标系， 又因为平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面 BCD=BD,APC平面ABD,所以AP⊥平面BCD, 因为PCC平面BCD,所以AP⊥PC,因为AP=PC =√5，PD=1,所以三棱锥A一PCD的外接球为图 则C(-1,1,0),Q(0,-1,1),C(-1,1,-1),E(1, 中右侧长方体的外接球，且该长方体的长，宽、高分 -1,-1),G(-1.-1,1),B(0,1,-1),D(-10, -1),所以QC=(-1,2.-1).C0=(1,-2,2) 别为31原，所以外接球的半径R=3+3五 2 EC=(-2,2,0),EG=(-2,0,2).BD=(-1,-1, 吾以P为原点，成元成分别为r轴y轴销 0),BC=(-1,0,1).点C到直线CQ的距离d 正方向建立如图所示的空间直角坐标系· V区-哥-(-9放 A错误：设平面ECG的法向量为n1=(xy,), 1m·EC=-2x1+2y=0 m:心=-2+2=0令=1，得y=1, 则 x=1,则n:=(1,1,1),设平面BCD的法向量为 n:=(r,y,),则 m:·Bi=-x-=0 令 m:·BC=-十=0 x=-1,得y2=1,2=一1，则n:=(一1,1，一1)，设 可知球心0(-士号号)B1,0.0).则1ò1= 平面ECG与平面BC,D所成的角为9，则cos9= 1om-日-子故C正确：设异面 √-之-)+()+()=要，所以 直线CQ与BD所成的角为a,则cosa= 1cos<dà，BD1=IC. |B戒l=B0-R=压- 1 2 CBD √个+4+4×2 四、解答题 号所以m8=VT.放D正确，故选D 11,解：(1)以D为原点，DA,DC,DD分别为x轴、y 轴、之轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 三、填空题 9.-10【解析】：A,B,C三点共线，OA=2OB+ D 红0元∴2+4=1，∴=-1，xOi+m0i+n00 =00耐=一兴Oi-只元.又“A,B,C三点共 B 线一装一是=1+m十n=0 10.压，一互【解析】如图，△PAC的周长为PA十 2 PC+AC,其中AC为定值，PA=PC,则当PA取最 则D(0,0,2),E(2,1,0),B(2,2,2),F(0,2,1), 小值时，△PAC的周长最小，明显此时P为BD的 ·75· ·数学（湘教版）选择性必修第二册· 参考答案及解析 所以D,E=(2,1,-2),BE=(0,-1,-2),DF (-2,2,-4), (10分) (0,2,-1), (3分) 设平面AEB的法向量为n=(x,yg), 所以点B,到直线D,E的距离为 则n·A店=4y+22=0 VB:- BE·DEF n·B,A=-4x-4:=0 D EI =√/5-I=2. (7分) 令x=2,得y=1,=-2, (2)设平面DEF的法向量为n=(x,y,e), 则n=(2,1,-2). (13分) n·D,E=2x+y-2x=0 设平面AEO与平面AEB,所成的角为8， 则 n.DF=2y-:=0 令y=2,得x=3,=4,则n=(3,2,4), (10分) 所以e0=ea,1=高 所以点B到平面D,EF的距离为B它：ml 6 6 n F×24 6 1-1×2-2×4⊥_10/2细 所以平面AEO与平面AEB:所成角的余弦值为 (13分) w√3+2+4F 29 12.解：(1)因为BC是圆柱底面的直径， 6 (15分) 所以AB⊥AC, 13.解：(1)因为四边形ABCD,ABEF均为正方形， 所以BC⊥BA,BA⊥BE, 所以BC=√AB+AC=4√2，OA=OB=2√2， 又平面ABCD⊥平面ABEF,平面ABCD∩平面 B,O=BB+BO=2√6， ABEF=BA,BCC平面ABCD, 因为AA⊥平面AB:C,所以AA⊥AB, 所以BC⊥平面ABEF, 所以AB,=√AA+AB所=4√E, 又BEC平面ABEF,所以BCL⊥BE, (3分) 因为B,O十OA=AB, 所以以B为原点，BA,BE,BC分别为x轴、y轴、： 所以B:O⊥OA, (3分) 轴正方向，建立如图所示空何直角坐标系， 又E为CC的中点， 所以OE=√0C+CE=2√5， B E=BCi+CE=6, 则B,O十OE=B1E, 所以B:O⊥OE, (5分) 又OE∩OA=O,OE,OAC平面AEO, 所以B,O⊥平面AEO, 因为BOC平面ABO, 所以平面AEO⊥平面AB:O, (7分) (2)由题意可知AA⊥平面ABC,AB⊥AC, 则A(1,0,0),B(0,0,0), 以A为原点，AB,AC,AA分别为x轴y轴、e轴正 因为CM=BN=a, 方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 易知平面CBE的一个法向量为BA=(1,0,0), 所以m.=(o.号号。-1小·100)=0 所以M衣⊥BA。 (6分) 又MN亡平面CBE, 则A(0,0,0),E(0,4,2),B(4,0,4),0(2,2,0), 所以MN∥平面CBE. (8分) 所以AE=(0,4,2),B1A=(-4,0,-4). (2)由(1)可得1=√合a+(竖。-) 由(1)知平面AEO的一个法向量为B,O ·76. -Ea+i=√(a-+之，其中0<a fnBi=+名=0 则 <2, n…B时=之+安y=0 当a=号时瓜最小，最小值为号 (13分) 取x=1,得y=一1，=-1，则n=(1,-1,-1), (17分) (3)由(2)可知，当MN的长最小时，M(号，0，号)， 设直线AM与平面MNB所成的角为a, N(分2o): 则sin9=jcos(Ai,m1= AM.m6 |AM·|n3 则A成=(-之0，)B成=（分，0，），B成= 所以直线AM与平面MNB所成角的正弦值为气。 (2,号0) (15分) (20分) 设平面MNB的法向量为n=(x,y,z),高二同步周测卷/数学选择性必修第二册 (六)空间向量与立体几何综合 (考试时料40分钟，满分100分) 一，选择塑（本题共8小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的四个达项中，只有一 项是符合题目要求的) L已知直线m的方向向量为a=(1,一2,1》.平面a的法向量为6=《，8，y,若两∥c· 知x十y A.10 技12 C.14 D.1 2.已知a,b,c是空间中两两垂直的单位向量，则3a十6一2 A./1 且14 .v2 .2 a.在西面体O4BC中.Oi-a.O店-h.心-c.Oi-a1A(a>0m,N为C的中点，若 不=4++0，期 A.3 2 D 4.已知正方体ACD-ACD的控长为1，以D为原点，Di.心.D丽分别为r轴y 轴，幸伯正方向建立空间直角量标系，则以下坐标表示的点在平面AC内的是 A(层景引 停 c.() D(-,2 5.在平行六面体ABCD-ABCD中，AB=AD-AA,=2,∠BAD-三，∠BAA- ∠DAA:=,则AC= A.2月 &5 C.20 .25 6.如需，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC∠BAC=,D.E.N分别为PA,PC, BC的中点，点M是AD的中点.PA=AC=2AB=4,则直线MN到平面BDE的距 真为 号 R c号 数学（用教板》选程性必修第二珠第1面（共4面 衡水金卷·先摩通 二、选择题（本题共2小题，每小题6分，共12分。在每小题给出的透项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选话的得0分) 7.已知a,,e是空到的一组标准正交基，则下列结论正确的是 A.a+-2|e 五.a一b,b十c,a十c1构成空间的一组基 C.(n十be十c)=1 D,(a一b,b+e,a一e构咸空间的一组基 8.布达粼斯的伊帕崎峰保带博物馆收的达·芬青方转是在正六边彩上调了具有规觉 效果的正方体用案，如用1，把三片这样的达·芽音方砖讲成周2的组合，这个组合 库转换成谢3所示的空间几问体，若图3中每个正方体的棱长均为1，则下列说法正 确的是 点C到直发CQ的距离是雪 我.夜--2Ai-Ai+2AA C.平画BCG与平面BC,D所成角的余装值为 D异面直线CQ与BD所成角的正切值为，√7 班级 性名 分数 愿号 1 2 4 8 答室 三，填空题（本题共2小题，每小题5分，共10分） 9.已知AB.C三点我线，若对空间任一点O.Oi=2O店十：风，则a- 若存 在三个不为0的实数2.m,m,使20+得O店+n0风=非，剩1十十m= .(本 题第一空2分，第二空3分) 10.在三棱继A一BCD中，△ABD和△BCD均是边长为2的正三角形，且平面ABD1 平面BCD,P是校BD上一点，点Q是三棱锥A一PCD外接球上一动点.当△PAC 的周长最小时，Q的最小值为 高二网步周测移六 敏学（荆较板）透择性必修第二西氧2面（携4面） 四、解答题（本题共？小题，共48分。解答应写出必要的文字说明，正明过程或演算步露） 13.(本小题满分20分) 11.(本小题博分13分) 在如图所示的试验装置中，两个正方形框果ABD,ABEF的边长都是1，且它门所 如图，在棱长为2的正方体ABCD-ACD中，E,F分别是AD,CC的中点 在的平面互相垂直，活动弹子M,N分别在正方形对角线AC,BF上移动，且CM, (1》求点B到直线DE的距离： BN的长度保挎相等，记CM一BN一e(0<g<泛， (2)求点B到平面DEF的距高 (1)证明：MN∥平面CBE: (2)背为何值时，MN的长最小？ (3)当MV的长最小时，求直线AM与平面MNB所成角的正弦值. 12.(本小图请分15分) 杭州第19届运动会罪幕式现场，在AR技术加持下，寄托着古今美好心愿的灯笼升 俺而起，溢闲整个大莲花场前，除汇为点点星河瓷向远方，绘就了一解万家灯火的美 好图量.灯笼又统称为灯彩，是一种古老的汉族传锐工艺品，经过数千年的发展，灯 境也发晨出了不同的地域风格，形状也是千姿百态，每一种灯毫器其有独特的艺 表现形式.现将一个图桂形的灯笼切开，如图所示，平面B℃品为国柱的轴截面， BC是置柱底面的直径，O为底面圆心，E为棱CC,的中点，AA,为一条母线.AB= AC=A4,=4, (1求证：平面AE0L平面ABO (2)求平面A0与平面AEB,所成角的余数值， 数学（湘较版}选择性必修第二研第3西（共4页 衡水金参·先摩·商二网步周测蓉六 雕学（湘胶级）透择性必修第二西第：面（携4页）