(三)导数综合-【衡水金卷·先享题】2024-2025学年高二数学选择性必修2同步周测卷（新高考湘教版）

高二周测卷 ·数学（湘教版）选择性必修第二册· 高二同步周测卷/数学 选择性必修第二册（三） 9 命题要素一览表 注： 1.能力要求： 1.抽象概括能力Ⅱ.推理论证能力Ⅲ，运算求解能力W,空间想象能力V.数据处理能力 1.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模①直观想象⑤数学运算⑥数据分析 题号 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题型 (主题内容) ①② ③④ 档次系数 选择题 单调性与充要性的 5 易 0.80 综合 2 选择题 求函数的最值 √ 易 0.72 3 选择题 5 函数图象的识别 易 0.70 4 选择题 导数的实际应用 务 0.55 5 选择题 利用导数研究函数图 象的对称性 % 0.45 6 选择题 5 利用导数比较大小 中 0.30 7 选择题 6 借助函数图象判惭不 等关系 易 0.75 选择题 利用导数研究函数的 8 6 性质 难 0.28 9 填空题 5 由函数的极值求参 易 0.72 10 填空题 利用导数研究双变量 0.45 问题 11 解答题 利用导数求最值，由函 13 数零点求参 父 0.60 12 解答题 讨论含参函数的单调 15 中 0.35 性，由不等式有解求参 利用导数求函数的极 13 解答题 20 值，由不等式恒成立求 香 0.28 参，证明数列型不等式 ·59· ·数学（湘教版）选择性必修第二册· 参考答案及解析 香考答案及解析 一、选择题 a的取值范围为（一co,1一e).故选C 1.A【解析】由题意知f(x)=3.x2十a,若f(x)在R 上单调递增，则了(x)≥0，即a≥一3x2恒成立，故 6.B【解桥】构建函数/()一品>e,则了() a≥0，所以“a>0”是“f(x)在R上单调递增”的充分 h只>0在(e,+o©)内恒成立，所以f(x)在 不必要条件，故选A. (In x) 2.B【解析】因为f(x)=ax2+bx十2，a,b为正实数， (心，十∞)内单涧递增，又因为a=开 所以(x)=ar2+b>0恒成立，所以f(,x)在R 2n 2 上单调递增，所以f(x)在[0,1]上的最大值为 n2n4:所以f(4)>f(x)>f(e)=e,即c>> f(1)=a+6+2=4,即a+b=2,所以f(x)在 e.构建函数g(x)=x一sinx,x>0,则g'(x)=1一 [-1,0]上的最小值为f(-1)=-(a十b)+2=0. co5r≥0在(0，+)内恒成立，所以g(x)在 故选B. (0,十∞)内单嗣递增，则g(x)>g(0)=0,即x> 3.D【解析】易知f(x)=n工的定义城为xx≠ x sinx,r>0,所以上>sin上，且e>0,所以e> 0.因为f(-x)=二—立=(x,所以 一x esin。,即e>A综上所述>a>A故选B f(r)为偶函数，故B错误：又当x>0时，f(x) 二、选择题 nx,则f(x)=lhx+1,令了(x)>0,得x>1,令 7.BC【解析】由函数f(x)的图象可知，f(x)的单调 e ∫(x)<0,得0<x<合，故f(x)=hx在 递增区间为（一0，一1）（受，十∞），单调递减区间 (0,)上单调递减，在（仁，十一）上单调递增，结合 为(-1，号）所以当x<-1或x>号时fx>0: 选项A,C,D中的图象可知只有D中的图象符合题 当-1<x<号时.f(x)<0,所以了(2)<0， 意.放选D /(-1)=0(-2)>0,了(2)=0.故选C 4.A【解析】由题意知f(6)=6“+2×(6-7) 8.ABD【解析】对于A,因为y=sinx的周期T=2π， 3解得4=2，所以)=吕十2(-7以，利润 所以频率为云所以y一合nr的频率为2X云 y=f(.x)(x-4)=2+2(x-7)(x-4),则y=6(x- 7)(x-5),当x∈(4,5)时，y=6(x-7)(x-5)>0: 1,所以周期为T=元，所以红=元，解得u=2,所以 当x∈(5,7)时，y=6(x-7)(x-5)<0,所以y= 2十2(x一7)(x一4)在(4,5)上单满递增，在 f(x)=sinr+2in2ar∈R),因为y=sinc的周 (5,7)上单调递减，故当x=5时，yw=2+2×4=10 期T-2x,y-名in2x的周期T=,所以了(x)的 (百元)，选A. 最小正周期为2x,所以A正确：对于B.因为f(x)的 5.C【解析】因为函数f(x)与g(x)的图象上恰有两 最小正周期为2x,不妨设x∈[0,2π]，由f(x) 对关于x轴对称的点，所以一(x)=g(x),即一ax十 nr=e-1有两解，所以a=血二c+1有两解， sin sin 2,(c0s+cos 2.r- 2cos'r+cos x-1=(cos r+1)(2cos r-1),f(r) 令h(ax)=血二e+（r>0),则（x) >0,得cos>2或c0s<-1(合去)，则0<<号 e-1)-x2,所以当x∈(0,1)时，h'(x)>0. x 或<r<2x,此时f(x)单测通增：由了()<0，得 h(x)单调递增：当x∈(1，十∞)时，h(x)<0, h(x)单调递减，所以h(x)在x=1处取得极大值 -1<cosr<分，期吾<<受，此时f(x)单调递 h(1)=1一e,且当x∈(0,1)时，h(x)的值域为 (一o∞，1-e):当x∈(1，十∞)时，h(x)的值域为 减，所以当x=亏时·f(x)取得极大值∫（号) （一co,1一e),因此a=血一e十1有两解时，实数 3 2 4 4 ·60· 高二周测卷 ·数学（湘教版）选择性必修第二册· 所以(x)的最大值为3，所以B正确：对于C,因 当x<1或x>2时，广(x)>0:当1<x<2时， 4 f(x)<0, 为fx+2x)=sin(x+2a)+号sin2(x+2m) 所以f(x)在（一o∞，1），(2，十6∞)上单调递增，在 (1,2)上单调递诚， (8分) sinx+7sn2,f(-）=-sinr-名sin2x,所以 所以当1时，)取得极大值了)-号+a: f(x十2π)≠f(-x),所以∫(x)的图象不关于直线 当x=2时，f(x)取得极小值f(2)一2+a, r=π对称，所以C错误：对于D,由f(x)=sinx+ 且当x趋向于一∞时，f(x)趋向于一o:当x趋向 2sin2x=sinr十sin reos=0,得sinr=0或 于+o时，f(x)趋向于十o, (10分) 因为f(x)有三个零点， cosx=一1，因为x∈[0,2xJ,所以由inx=0.得x= 0或x=x或x=2x,由cosx=一1，得x=r,所以 所以+>0 (12分) f(x)在区间[0,2x]上有3个零点，所以D正确.故 2+a<0 选ABD. 三、填空题 解得5 <a<-2, 9.[0,8)【解析】因为f(x)=(x2一a)e在区间 故实数a的取值范周为（一号，-2）】 (13分) (一2,2)内只有极小值，无极大值，所以广(x)= (x+2x-a)c=0在区间(-2,2)内只有一个左负 12.解：(1)由题可知(x)=g-2x=4-2 -.E x 右正的异号根，即关于x的方程x2+2.x一a=0在区 (0,十0∞)， (1分) 间（一2,2）内只有一个左负右正的异号根，所以 1(-2)+2×(-2)-a≤0，解得a∈[0,8). 当a≤0时，f(x)<0, 则f(x)在区间(0，十∞)上单调递减： (3分) |2+2×2-a>0 10.[日，+∞）【解析】不等式2+f)>2十 当a>0时，令f(x>0,得0<r<√乞： f(知1)等价于f()-2x<∫()-2，令 令f)<0,得>√号 F(x)=f(x)-2.x,x∈(0，+∞)，F()< F(x:),义>x>0,所以函数F(x)=f(x) 故f()在区间(0√号)上单调递增，在区间 2x在(0，十∞)上单调递减，所以F(x)=(x) 2=2nx-2ax≤0在(0，十o)上恒成立，即'≤ (√受，+∞)上单调递减。 (5分) a在(0，+o∞)上恒成立.令g(x)=ln,x∈ 综上，当a≤0时，f(x)在区间(0，十o∞)上单调递 减：当a>0时，f(x)在区间(0受)上单调递 (0,+o),则g(r)=-ln三，所以当x∈ (7分) (0,e)时，g'(x)>0,g(x)单调递增：当x∈ 增，在区间（√受，十一）上单调递减。 (e,十o∞)时，g'(r)<0,g(x)单调递减，所以 (2)当a>0时，结合(1)知fx.=f(√号】 g=g(e)=。,所以a≥。，所以实数e的取 e 值范周为[片+一)小 --e, =aln2 (8分) 若存在，x>0,使得f(x)>0成立， 四、解答题 11.解：(1)由题可知广(x)=3.x2-9.x十6=3(x一1)· 则f（x)=aln√2一2 -e>0. (9分) (x-2), (1分) 当x∈[-2.1)时，f(r)>0,f(x)单调递增： 令u)=号n号-号-e(a>0… 当x∈(1,2)时，(x)<0,f(.x)单调递减： 当x∈(2,3]时，f(x)>0,f(x)单调递增，(4分) 则ga)=专n受 (11分) 所以f(x)=max{f(1),f(3)）, 当a∈(0,2)时，g(a)<0:当a∈(2，十∞)时， 因为f)=受+a,8)=号+e, g'(a)>0, 所以g(a)在区间(0,2)上单调递诚，在区间 所以f(1)<f(3), (2,十∞)上单调递增， (13分) 所以)在[-2.3]上的最大值为号+a,(6分) 又因为在区间(0,2)上，g(a)<0,g(2)=一1一e <0,g(2e2)=0, (2)由(1)知f(x)=3x2-9x+6=3(.x-1)(x-2), 所以a的取值范围是(2e,十o). (15分) ·61· ·数学（湘教版）选择性必修第二册· 参考答案及解析 13.解：（门）当a=-1时，f(x)=nx+上. 所以实数a的取值范偶是（←，一] (10分) x∈(0，+∞)， 则r)=学 （8)2知，当a=-时n≥-d e (2分) 当0<x<1时，(x)<0:当x>1时，f(x)>0, 所以>≥edh子 所以f(x)在(0,1)上单调递诚，在(1，+∞)上单调 所以x≥elnx,当且仅当x=e时等号成立，(12分) 递增， 所以+l>en"+=e[n(n+1)-lnn], 所以f(x)有极小值f(1)=1,无极大值. (5分) (2)由f(x)≥0恒成立，得Vx>0,a≤xnx, "co,"cloa-In(n-1)]. 令g(x)=xnx,x>0,则g'(x)=1+lnx, 当0<<亡时g)<0:当>时，g>0, g>dh号=eth2-lh1DneN (16分) 所以g)在(o,)上单调递减，在（日，+∞）上 所以中+片十…+是>eaa+1D-nn+ 单调递增。 (8分) In n-In(n-1)+...+In 2-In 1]=eln(n+1), 所以当x=时，g()取得最小值g(日） e (18分) 所以e++-+日>(n+1)(n∈N). (20分) 则a<- ·62·G 网，解答题（木题共3小题，共8分。解容风写出必要的文字说明，正明过程或消算步露） 13,木小题清分20.分) 11.(本小题满分13分) 已知函数)=hr一 已知函数)=r-昌r+ir+a (1)当u-一1时，求f八x)的极值： (1)求f《x)在[一2,3]上的是大能： 《2)若(r)恒成立，求实数：的取值范周： (2)若函数「(x)恰有三个零点，求实数难的取值范同。 (3)证明：+■宁>(m十1)(n∈N). 2.(本小题满分15分) 已知函数fx)=lnr一z一2（其中e为自然对数的底数，a∈R). (1)讨论f(x)的单西性： (2)当0时，若存在x0,使得/(x)>0成立，求a的取值范保. 数学（涌教服}头择性企修第二质第3真「共4页引 衡水会幕·究草最·喜二同步丽测卷三 监学（湘教极！选择性必修氧二研第4页共4西