21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系（习题课件）-【一本】2025-2026学年九年级数学上册同步训练（人教版）

初中数学 九年级上册·（RJ版） 第二十一章　一元二次方程 21.2　解一元二次方程 21.2.4　一元二次方程的根与系数的关系 目录 CONTENTS A 知识分点练 B 能力综合练 C 拓展探究练 知识点1　一元二次方程的根与系数的关系 1. 若x1，x2是一元二次方程x2－6x－7＝0的两个根，则( ) A. x1＋x2＝6 B. x1＋x2＝－6 C. x1x2＝ D. x1x2＝7 A 返回目录 上一页 下一页 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2. 已知一元二次方程x2＋6x＝3的两个根分别为x1和x2，则x1x2的值是_______. －3 返回目录 上一页 下一页 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3. 已知一元二次方程x2＋4x－1＝0的两个根分别为x1，x2，则x1＋x2＋x1x2的值是_______. －5 返回目录 上一页 下一页 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4. (教材P16练习变式)不解方程，求下列方程两个根x1，x2的和与积： (1)x2＋4x－6＝0； 解：∵a＝1，b＝4，c＝－6， ∴x1＋x2＝－＝－＝－4，x1x2＝＝－6. 返回目录 上一页 下一页 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4. (教材P16练习变式)不解方程，求下列方程两个根x1，x2的和与积： (2)3x2－5x－1＝0； 解：∵a＝3，b＝－5，c＝－1， ∴x1＋x2＝－＝－＝，x1x2＝＝－. 返回目录 上一页 下一页 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4. (教材P16练习变式)不解方程，求下列方程两个根x1，x2的和与积： (3)4x(x－2)＝3x－6； 解：整理，得4x2－11x＋6＝0. ∵a＝4，b＝－11，c＝6， ∴x1＋x2＝－＝－＝，x1x2＝＝. 返回目录 上一页 下一页 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4. (教材P16练习变式)不解方程，求下列方程两个根x1，x2的和与积： (4)3x2－x＋3＝5x＋2. 解：整理，得3x2－6x＋1＝0. ∵a＝3，b＝－6，c＝1， ∴x1＋x2＝－＝－＝2，x1x2＝＝. 返回目录 上一页 下一页 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 知识点2　一元二次方程的根与系数的关系的应用 5. (教材P15思考变式)在下列方程中，以3，－4 为根的一元二次方程是( ) A. x2－x－12＝0 B. x2＋x－12＝0 C. x2－x＋12＝0 D. x2＋x＋12＝0 B 返回目录 上一页 下一页 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6. 若m，n是一元二次方程x2－6x－1＝0的两个根，则m2n＋mn2的值是( ) A. －1 B. －5 C. －6 D. 6 C 返回目录 上一页 下一页 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7. (2025·大连高新区期末)若关于x的一元二次方程x2－3x＋c＝0有一个根是2，则另一个根是____. 1 返回目录 上一页 下一页 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8. 若关于x的一元二次方程x2＋(k－2)x－1＝0的两个实数根互为相反数，则k的值为____. 2 返回目录 上一页 下一页 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 9. (2025·营口期中)已知a，b是方程x2＋2x－5＝0的两个根，则a2＋4a＋2b的值为____. 1 返回目录 上一页 下一页 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10. 设x1，x2是方程2x2＋4x－1＝0的两个根，不解方程，求下列各式的值： (1)＋； 解：由题意，得x1＋x2＝－2，x1x2＝－. ＋＝＝＝4. 返回目录 上一页 下一页 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10. 设x1，x2是方程2x2＋4x－1＝0的两个根，不解方程，求下列各式的值： (2)＋； 解：＋＝(x1＋x2)2－2x1x2＝(－2)2－2×(－)＝4＋1＝5. (3)(x1－1)(x2－1). 解：(x1－1)(x2－1)＝x1x2－(x1＋x2)＋1＝－－(－2)＋1＝. 返回目录 上一页 下一页 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11. (2024·绥化)小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是6和1；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是－2和－5.原来的方程是( ) A. x2＋6x＋5＝0 B. x2－7x＋10＝0 C. x2－5x＋2＝0 D. x2－6x－10＝0 B 返回目录 上一页 下一页 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12. (2025·鞍山立山区月考)已知关于x的一元二次方程(x－3)(x－2)－m2＝0. (1)求证：无论m为何实数，方程总有两个不等的实数根； 解：证明：整理原方程，得x2－5x＋6－m2＝0， ∴Δ＝(－5)2－4(6－m2)＝1＋4m2. ∵无论m为何实数，总有4m2≥0，∴1＋4m2＞0恒成立，即Δ＞0恒成立， ∴无论m为何实数，方程总有两个不等的实数根. 返回目录 上一页 下一页 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12. (2025·鞍山立山区月考)已知关于x的一元二次方程(x－3)(x－2)－m2＝0. (2)若方程(x－3)(x－2)－m2＝0的两个实数根α，β满足α2＋β2＝17，求m的值. 解：整理原方程，得x2－5x＋6－m2＝0. ∵α，β是方程(x－3)(x－2)－m2＝0的两个实数根， ∴α＋β＝5，αβ＝6－m2， ∴α2＋β2＝(α＋β)2－2αβ＝25－2(6－m2)＝13＋2m2＝17， 解得m＝±. 返回目录 上一页 下一页 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 13.【新考法·阅读理解】阅读下列材料：有些数学问题看似与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程，并利用一元二次方程的有关知识将其解决.下面是两种基本构造方法. 方法1：利用根的定义构造.例如，如果实数m，n满足m2－m－1＝0，n2－n－1＝0，且m≠n，则可将m，n看作是方程x2－x－1＝0的两个不等的实数根. 方法2：利用根与系数的关系逆向构造.例如，如果实数a，b满足a＋b＝3，ab＝2，则可将a，b看作是方程x2－3x＋2＝0的两个实数根. 根据上述材料解决下列问题： (1)已知一元二次方程5x2－10x＋1＝0的两个实数根为x1，x2，则x1＋x2＝___； 2 返回目录 上一页 下一页 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 13.【新考法·阅读理解】阅读下列材料：有些数学问题看似与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程，并利用一元二次方程的有关知识将其解决.下面是两种基本构造方法. 方法1：利用根的定义构造.例如，如果实数m，n满足m2－m－1＝0，n2－n－1＝0，且m≠n，则可将m，n看作是方程x2－x－1＝0的两个不等的实数根. 方法2：利用根与系数的关系逆向构造.例如，如果实数a，b满足a＋b＝3，ab＝2，则可将a，b看作是方程x2－3x＋2＝0的两个实数根. 根据上述材料解决下列问题： (2)已知实数m，n满足3m2－m－2＝0，3n2－n－2＝0，且m≠n，求＋ 的值； 返回目录 上一页 下一页 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解：∵实数 m，n 满足 3m2－m－2＝0， 3n2－n－2＝0，且m≠n， ∴m，n可看作方程 3x2－x－2＝0 的两个不等的实数根， ∴m＋n＝，mn＝－， ∴＋＝＝＝＝－. 返回目录 上一页 下一页 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 13.【新考法·阅读理解】阅读下列材料：有些数学问题看似与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程，并利用一元二次方程的有关知识将其解决.下面是两种基本构造方法. 方法1：利用根的定义构造.例如，如果实数m，n满足m2－m－1＝0，n2－n－1＝0，且m≠n，则可将m，n看作是方程x2－x－1＝0的两个不等的实数根. 方法2：利用根与系数的关系逆向构造.例如，如果实数a，b满足a＋b＝3，ab＝2，则可将a，b看作是方程x2－3x＋2＝0的两个实数根. 根据上述材料解决下列问题： (3)已知实数a，b，t满足a＋b＝t－5，ab＝，且t＜5，求t的最大值. 返回目录 上一页 下一页 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解：∵a＋b＝t－5，ab＝， ∴将a，b 看作是方程x2－(t－5)x＋＝0的两个实数根. ∵Δ＝[－(t－5)]2－4×≥0，且t＜5， ∴(5－t)3≥64， ∴5－t≥4， 解得t≤1， ∴t的最大值为1. 返回目录 上一页 下一页 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 温馨提示：学习至此，建议使用本书第103～104页周周清小卷1(21.1～21.2) 返回目录 上一页 下一页 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 谢谢观看 $$