21.1 一元二次方程（word教案）-【一本】2025-2026学年九年级数学上册同步训练（人教版）

一本 • 初中数学 9年级上册RJ版 配套资源 版权所有，侵权必究 21.1 一元二次方程 一、教学目标 1．通过设置问题，建立数学模型，模仿一元一次方程的概念给一元二次方程下定义． 2．一元二次方程的一般形式及其有关概念． 二、教学重点、难点 重点：一元二次方程的概念及其一般形式和用一元二次方程的有关概念解决问题． 难点：通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念中． 三、探究新知 问题1 （1）正方形桌面的面积是2 m2．若设正方形桌面的边长是x m，则可以用方程__________来描述该桌面的边长与面积之间的数量关系． （2）如图，矩形花圃一面靠墙，另外三面所围的栅栏的总长度是19 m，花圃的面积是24 m2．若设花圃的宽是x m，则花圃的长是__________m，可以用方程______________来描述该花圃的宽与面积之间的数量关系． （3）某校图书馆的藏书在两年内从5万册增加到9.8万册．若设该图书馆的藏书平均每年增长的百分率是x，图书馆的藏书一年后为__________万册，两年后为____________万册，可以用方程________________来描述该图书馆藏书年平均增长的百分率与藏书量之间的数量关系． 师生活动：教师出示问题，学生思考、讨论，教师找学生代表回答． 答案：（1）x2=2；（2）19-2x，x(19-2x)=24； （3）5(1+x)，[5(1+x)](1+x)，5(1+x)2=9.8． 问题2 如图，长5 m的梯子斜靠在墙上，梯子的底端到墙面的距离比梯子的顶端到地面的距离多1 m．设梯子的底端到墙面的距离是x m，怎样用方程来描述其中的数量关系？ 师生活动：教师出示问题，学生先独立思考，然后小组交流，最后得出结果． 解：由题意，知梯子的顶端到地面的距离是(x-1)m．由勾股定理，得x2+(x-1)2=52，用此方程可以来描述梯子的底端到墙面的距离、梯子的顶端到地面的距离以及梯子的长三者之间的数量关系． 问题3 方程x2=2、x(19-2x)=24、5(1+x)2=9.8、x2+(x-1)2=25有哪些共同的特征？你能结合学习一元一次方程概念的经验，给它们下个定义吗？ 师生活动：学生分组合作、小组讨论，经过讨论后交流小组的结论，可以发现上述几个方程都不是所学过的方程，它们的特征是：（1）都只含有一个未知数x；（2）未知数的最高次数都是2；（3）等号两边都是整式． 教师归纳：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程． 关于x的一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a、b、c是常数，a≠0)．其中，ax2、bx、c分别叫做二次项、一次项和常数项，a、b分别叫做二次项系数、一次项系数． 注意：如果a=0，那么方程ax2+bx+c=0就不是一元二次方程了． 四、例题精讲 例1 关于x的方程(k-2)x2-kx=x2-1，当k为何值时，它是一元二次方程？当k为何值时，它是一元一次方程？ 师生活动：教师出示例题，学生思考，教师分析、引导，师生共同完成解题过程． 教师分析：先通过移项把方程右边化为0，左边合并同类项，然后根据一元二次方程和一元一次方程的定义求解即可． 解：移项，得(k-2)x2- x2-kx+1=0．合并同类项，得(k-3)x2-kx+1=0． ∵当x2项的系数不等于0时，该方程为一元二次方程，∴k-3≠0．解得k≠3． ∴当k≠3时，关于x的方程(k-2)x2-kx=x2-1是一元二次方程． 当k=3时，原方程可化为-3x+1=0，是一元一次方程． 例2 将方程(8-2x)(5-2x)=18化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项． 教师提问：怎样把原方程化为一元二次方程的一般形式？ 学生回答：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0）．方程(8-2x)(5-2x)=18要想化成一般形式就必须运用整式运算进行整理，包括去括号、移项等． 解：去括号，得 40-16x-10x+4x2=18．移项，得4x2-26x+22=0． 其中二次项系数为4，一次项系数为-26，常数项为22． 五、课堂练习 1．用方程描述下列问题中的数量关系： （1）一张面积是240 cm2的长方形彩纸，长比宽多8 cm．设它的宽为x cm，可得方程_________________． （2）一枚圆形古钱币的中间是一个边长为1 cm的正方形孔．已知正方形面积是圆面积的．设圆的半径为x cm，可得方程_________________． 2．把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项． （1）x2-x=2；（2）4x+1=x2；（3）2x2=-3x+1；（4）x(x+3)=-2． 参考答案 1．（1）x(x+8)=240；（2）πx2=9． 2．（1）整理，得x2-x-2=0，二次项系数是1，一次项系数是-1，常数项是-2； （2）整理，得x2-4x-1=0，二次项系数是1，一次项系数是-4，常数项是-1； （3）整理，得2x2+3x-1=0，二次项系数是2，一次项系数是3，常数项是-1； （4）整理，得x2+3x+2=0，二次项系数是1，一次项系数是3，常数项是2． 六、课堂小结 1．一元二次方程的概念 等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程． 2．一元二次方程的一般形式 一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0)．其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项． 学科网（北京）股份有限公司 $$