专题12 图形的变化之相似三角形（70题）（上海专用）-【好题汇编】5年（2021-2025）中考1年模拟数学真题分类汇编

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 专题12 图形的变化之相似三角形（70题） 考点01:相似三角形 一、填空题 1．（2023·上海·中考真题）如图，在中，点D，E在边，上，，联结，设向量，，那么用，表示 ．    【答案】 【分析】先根据向量的减法可得，再根据相似三角形的判定可得，根据相似三角形的性质可得，由此即可得． 【详解】解：∵向量，， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了向量的运算、相似三角形的判定与性质，熟练掌握向量的运算是解题关键． 2．（2022·上海·中考真题）如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=90°，D为AB中点，E在线段AC上，，则 ． 【答案】或 【分析】由题意可求出，取AC中点E1，连接DE1，则DE1是△ABC的中位线，满足，进而可求此时，然后在AC上取一点E2，使得DE1＝DE2，则，证明△DE1E2是等边三角形，求出E1E2＝，即可得到，问题得解． 【详解】解：∵D为AB中点， ∴，即， 取AC中点E1，连接DE1，则DE1是△ABC的中位线，此时DE1∥BC，， ∴， 在AC上取一点E2，使得DE1＝DE2，则， ∵∠A=30°，∠B=90°， ∴∠C=60°，BC＝， ∵DE1∥BC， ∴∠DE1E2=60°， ∴△DE1E2是等边三角形， ∴DE1＝DE2＝E1E2＝， ∴E1E2＝， ∵， ∴，即， 综上，的值为：或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了三角形中位线的性质，平行线分线段成比例，等边三角形的判定和性质以及含30°角的直角三角形的性质等，根据进行分情况求解是解题的关键． 3．（2021·上海·中考真题）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD交于点O，已知，则 ． 【答案】 【分析】先根据等高的两个三角形的面积比等于边长比，得出，再根据△AOD∽△COB得出，再根据等高的两个三角形的面积比等于边长比计算即可 【详解】解：作AE⊥BC，CF⊥BD ∵ ∴△ABD和△BCD等高，高均为AE ∴ ∵AD∥BC ∴△AOD∽△COB ∴ ∵△BOC和△DOC等高，高均为CF ∴ ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、等高的两个三角形的面积比等于边长比，熟练掌握三角形的面积的特点是解题的关键 二、解答题 4．（2025·上海·中考真题）如图，已知，为中的两弦，联结，交弦于点，，且． (1)求证：； (2)如果，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，弧，弦与圆心角之间的关系，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线是解题的关键． （1）连接，由等边对等角得到，利用证明，得到，证明，得到，则可证明； （2）连接，由，得到，，证明，得到，则可证明，进而证明，推出；再证明，得到，则可证明． 【详解】（1）证明：如图所示，连接， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图所示，连接， ∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴； 由（1）可得， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 5．（2024·上海·中考真题）如图所示，在矩形中，为边上一点，且． (1)求证：； (2)为线段延长线上一点，且满足，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由矩形性质得到，，，由角的互余得到，从而确定，利用相似三角形性质得到； （2）由矩形性质，结合题中条件，利用等腰三角形的判定与性质得到，，， 进而由三角形全等的判定与性质即可得到． 【详解】（1）证明：在矩形中，，，， ， ， ， ， ， ， ，即， ， ； （2）证明：连接交于点，如图所示： 在矩形中，，则， ， ， ， ， ， 在矩形中，， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ． 【点睛】本题考查矩形综合，涉及矩形性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关几何性质与判定是解决问题第的关键． 6．（2023·上海·中考真题）如图，在梯形中，点F，E分别在线段，上，且，    (1)求证： (2)若，求证： 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）先根据平行线的性质可得，再根据三角形的全等的判定可得，然后根据全等的三角形的性质即可得证； （2）先根据全等三角形的性质可得，从而可得，再根据相似三角形的判定可得，然后根据相似三角形的性质即可得证． 【详解】（1）证明：， ， 在和中，， ， ． （2）证明：， ， ，即， 在和中，， ， ， 由（1）已证：， ， ． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． 7．（2022·上海·中考真题）如图所示，在等腰三角形ABC中，AB=AC，点E，F在线段BC上，点Q在线段AB上，且CF=BE，AE²=AQ·AB求证： (1)∠CAE=∠BAF； (2)CF·FQ=AF·BQ 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用SAS证明△ACE≌△ABF即可； （2）先证△ACE∽△AFQ可得∠AEC=∠AQF，求出∠BQF=∠AFE，再证△CAF∽△BFQ，利用相似三角形的性质得出结论． 【详解】（1）证明：∵AB=AC， ∴∠B=∠C， ∵CF=BE， ∴CE=BF， 在△ACE和△ABF中，， ∴△ACE≌△ABF（SAS）， ∴∠CAE=∠BAF； （2）证明：∵△ACE≌△ABF， ∴AE＝AF，∠CAE=∠BAF， ∵AE²=AQ·AB，AC＝AB， ∴，即， ∴△ACE∽△AFQ， ∴∠AEC=∠AQF， ∴∠AEF=∠BQF， ∵AE＝AF， ∴∠AEF=∠AFE， ∴∠BQF=∠AFE， ∵∠B=∠C， ∴△CAF∽△BFQ， ∴，即CF·FQ=AF·BQ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质以及相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关判定定理和性质定理是解题的关键． 一、单选题 8．（2025·上海闵行·三模）在中，，，，点是的中点，点是边上一动点，沿所在直线把翻折到的位置，交于点，如图为直角三角形，那么的长是（   ） A．1 B．3 C． D．2或 【答案】D 【分析】分两种情况画出图形，①如图1，当时，由相似三角形的性质及直角三角形的性质可求出答案；②如图2，当时，由相似三角形的性质及直角三角形的性质可求出答案． 【详解】解：①如图1，当时． 在中，，， ， 是的中点， ， ，， ， 又， ， ，即， 解得：， 设，则， ， ， ， ， 解得． ； ②如图2中，当时，连接，作交的延长线于． ，， ， ， 将沿直线翻折， ， ，， ， ， ， ， 设，则，， 在中，， ， 解得， ． 综上，的长为2或． 故选：D． 【点睛】本题考查了翻折变换、勾股定理、解直角三角形、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想解决问题． 9．（2025·上海奉贤·三模）从三角形（非等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，该顶点与该交点间的线段把这个三角形分割成两个小三角形．如果其中一个小三角形是等腰三角形，另一个与原三角形相似，那么我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．如图，在中，，，是的完美分割线，且是以为底边的等腰三角形，那么的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定和等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 根据题意可得，先求出，再根据即可求解． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 10．（2025·上海普陀·三模）如图，与位似，位似中心为点O，，的面积为4，则面积为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】此题考查了位似的性质、相似三角形的判定及性质，根据与位似得到，由相似三角形的性质即可得到答案．熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：，与位似， ， ， 的面积为4， ． 故选：D． 11．（2025·上海普陀·三模）如图，在矩形中，E、F分别为、上的点，且，连结，其中，，则（   ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，设未知数，利用勾股定理，用整体代入的思想是解题的关键．根据矩形的性质，设，，先证明，得出，在中，根据勾股定理得出，最后在中，利用勾股定理求得． 【详解】解：在矩形中，， ， ， ， 由， 设， ,即， 在中，，即， 在中， ， 故选：A． 12．（2025·上海徐汇·一模）已知，与的相似比为，与的相似比为，那么与的相似比为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据与的相似比为，即，再结合与的相似比为，所以，即，即可作答． 【详解】解：∵与的相似比为， ∴， ∵与的相似比为， ∴， 即， ∵， ∴与的相似比为， 故选：B． 13．（2025·上海徐汇·一模）定义一个三角形中一内角的平分线和该角对边上高，以及这条边围成的新三角形是它的“内拐三角形”．命题“两三角形相似，它们的内拐三角形相似”和其逆命题中，（  ）正确． A．两个都 B．仅原命题 C．仅原命题的逆命题 D．没有一个 【答案】B 【分析】本题考查了命题与定理的知识，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定，根据“内拐三角形”的定义分别画出图形，再判断原命题和逆命题的真假即可． 【详解】解：如图1情况，若、相似，的“内拐三角形”为、的“内拐三角形”为， 则，， ∴， 又∵， ∴； 如图3情况，也可同理得出此结论． 即：原命题为真命题． 逆命题：若两三角形的内拐三角形相似，则它们相似； 如图2，在直线上取一点，将沿翻折后与直线交于点， 此时、的内拐三角形都是，但、不相似， 因此逆命题为假命题． 综上所述，原命题为真命题，逆命题为假命题，即仅原命题正确． 故选：B． 14．（2025·上海宝山·一模）下列图形，相似的一组是（  ） A．两个直角三角形 B．两个等腰三角形 C．有一个内角为的两个菱形 D．边长分别是2厘米和3厘米的两个菱形 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似图形的判定，根据相似图形的定义进行判断即可． 【详解】解：A、两个直角三角形不一定相似，不符合题意； B、两个等腰三角形不一定相似，不符合题意； C、有一个内角为的两个菱形对应边成比例，相似，符合题意； D、边长分别为2厘米和3厘米的两个菱形对应角不一定相等，不符合题意． 故选：C． 15．（2025·上海宝山·一模）在比例尺为的图纸上，量得一座塔的高是厘米，那么它实际的高度是（  ） A．11米 B．110米 C．22米 D．220米 【答案】A 【分析】本题考查了比例，熟练掌握比例尺的定义“比例尺是图上距离与实际距离之比”是解题关键．比例尺是图上距离与实际距离之比，依此列出算式计算即可得． 【详解】解：设塔的实际的高度是厘米， 由题意得：， 解得， 因为厘米米， 所以塔的实际的高度是11米， 故选：A． 16．（2025·上海长宁·一模）在四边形中，对角线与交于点，下列说法正确的是（） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．根据相似三角形的判定和性质判断即可． 【详解】解：A．， ， 则不能得到，故不符合题意； B．， ， ， ， 不能得到，故不符合题意； C．， ， ， ， ， ，故不符合题意； D．， ， ， ， ， ，故符合题意； 故选：D． 17．（2025·上海长宁·一模）如果将一个的三边长都扩大为原来的3倍，那么新三角形的面积（   ） A．扩大为原来的3倍 B．扩大为原来的9倍 C．没有变化 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，理解题意，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 根据题意可得，可证，得到，由此即可求解． 【详解】解：的边长为，将的三边长都扩大为原来的3倍，假设为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴扩大为原来的9倍， 故选：B ． 18．（2025·上海静安·一模）泰勒斯是古希腊时期的思想家、科学家、哲学家，他曾通过测量同一时刻标杆的影长，标杆的高度，金字塔的影长，推算出金字塔的高度，这种测量原理，就是我们所学的（    ） A．图形的相似 B．图形的平移 C．图形的旋转 D．图形的翻折 【答案】A 【分析】本题主要考查将实际问题数学化，根据实际情况画出图形即可求解．根据在同一时刻的太阳光下物体的影长和物体的实际高度成比例即可判断． 【详解】解：根据题意画出如下图形：可以得到，则， 即为金字塔的高度，即为标杆的高度，通过测量影长即可求出金字塔的高度， ∴这种测量原理，就是我们所学的图形相似．    故选：A． 19．（2025·上海虹口·一模）下列各组图形中，一定相似的是（   ） A．两个菱形 B．两个正方形 C．两个三角形 D．两个等腰三角形 【答案】B 【分析】本题考查的是相似图形，根据相似图形的定义解答即可． 【详解】解：A、两个菱形的对应角不一定相等，故两个菱形不一定相似，不符合题意； B、两个正方形一定相似，符合题意； C、两个三角形不一定相似，不符合题意； D、两个等腰三角形不一定相似，不符合题意， 故选：B． 20．（2025·上海闵行·一模）已知：如图，中，点、、分别在边、和上，下列条件能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理．利用平行线分线段成比例定理判断即可． 【详解】解：A、，不能判断，本选项不符合题意； B、，可以判断，不能判断，本选项不符合题意； C、，即，能判断，本选项符合题意； D、，可以判断，不能判断，本选项不符合题意； 故选：C． 21．（2025·上海闵行·一模）形状与大小都确定的一个锐角三角形，点是边上一点，下列条件不能唯一确定与面积的比值的是（    ） A．点是边的黄金分割点 B．点是边的中点 C．是边上的高 D．是的平分线 【答案】A 【分析】本题考查了黄金分割，三角形的面积，准确熟练地进行计算是解题的关键．根据黄金分割，三角形的中线，三角形的面积，角平分线的性质，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、点D是边的黄金分割点，而的黄金分割点有两个，所以与面积的比值不唯一，故A符合题意； B、∵点D是边的中点， ∴， ∴与面积的比值为1， 故B不符合题意； C、∵是边上的高， ∴与面积的比值为， 故C不符合题意； D、∵是的平分线， ∴与面积的比值为， 故D不符合题意； 故选：A． 22．（2025·上海杨浦·一模）对一个三角形进行放缩运动时，下列结论中正确的是（） A．各个内角的大小始终保持不变 B．各条边的长度始终保持不变 C．三角形的面积始终保持不变 D．三角形的周长始终保持不变 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的面积，解题的关键是根据相似三角形的性质来判断．根据相似三角形的对应角相等、对应边成比例的性质来判断． 【详解】解：一个三角形进行放缩运动，各个内角的大小始终保持不变，故A符合题意； 一个三角形进行放缩运动，各条边的长度也进行变化，故B选项不符合题意； 一个三角形进行放缩运动，各条边的长度也进行变化，面积也进行变化，故C选项不符合题意； 一个三角形进行放缩运动，各条边的长度也进行变化，周长也进行变化，故D选项不符合题意， 故选：A． 23．（2025·上海嘉定·一模）下列两个三角形一定相似的是（   ） A．两个直角三角形 B．有一个内角为的两个直角三角形 C．两个等腰三角形 D．有一个内角是的两个等腰三角形 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的判定，根据相似三角形的判定方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、两个直角三角形不一定相似，不符合题意； B、根据两角相等的两个三角形相似，可以得到有一个内角为的两个直角三角形一定相似，符合题意； C、两个等腰三角形不一定相似，不符合题意； D、有一个内角是的两个等腰三角形不一定相似，比如一个的角是顶角，一个的角为底角，不符合题意； 故选B． 24．（2025·上海虹口·一模）如图，已知，联结，交于点，联结，，如果，，那么长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质．证明得到，证明得到，解得,即可求出长． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ∴， ∴ ∴ ∵，， ∴ ∴， ∴， ∴或（不合题意，舍去） ∴ 故选：C 25．（2025·上海普陀·一模）如图，矩形中，点在对角线上，延长交于点，过点作，分别交、于点、，，．如果，那么的长是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，过点作于点，根据矩形的性质得，由得，由勾股定理得，证明得，即，证明得∴继而得到，设，则，得，解得：，再根据可得结论． 【详解】如图，过点作于点，      ∵矩形中，，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 在中，， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∵，， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， 解得：， 在中，， ∴的长是． 故选：C． 【点睛】本题考查矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，直角三角形两锐角互余，等积变换等知识点．掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 26．（2025·上海徐汇·一模）下列两个图形一定相似的是（    ） A．两个矩形 B．两个菱形 C．两个等腰三角形 D．两个正方形 【答案】D 【分析】本题考查的是相似图形 的概念，掌握各个角对应相等，各边对应成比例的多边形，叫做相似多边形是解题的关键．根据相似图形的概念进行判断即可． 【详解】解：A．任意两个矩形各个角对应相等，但各边不一定对应成比例，故不一定相似，不符合题意； B．任意两个菱形的各边对应成比例，但各个角不一定对应相等，故不一定相似，不符合题意； C．任意两个等腰三角形的各个角不一定对应相等，各边不一定对应成比例，故不一定相似，不符合题意； D．任意两个正方形各个角对应相等，各边对应成比例，故一定相似，符合题意． 故选：D． 27．（2025·上海嘉定·一模）如图，两条不平行的直线与直线相交于点，四条平行线分别交直线于点、、、，分别交直线于点、、、，则有．如果，，，那么在下列结果中，线段之差最大的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线分线段成比例，根据平行线分线段成比例，分别求出线段之间的数量关系，逐一计算，比较大小即可． 【详解】解：∵，，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ， ∵， ∴的差最大； 故选D． 28．（2025·上海闵行·一模）定义：如果一个四边形的两条对角线将它分成的四个小三角形都是相似三角形，那么称这样的四边形为“全相似四边形”．如图，在四边形中，，，下列条件能使四边形成为“全相似四边形”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相似图形，全等三角形的判定和性质．如图，连接交于点O．证明，推出，再证明当时符合题意即可． 【详解】解：如图，连接交于点O． 在和中， ， ∴， ∴， 当时，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴，同法可证， 故选项B符合题意． 当或或时都不符合题意． 故选：B． 29．（2025·上海黄浦·一模）在中，点D、E分别在边、上，如果，，那么下列条件中能够推得的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行线的判定等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”可得，于是可得，进而可得，于是得解． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， 当时，， 又∵， ∴， ∴， ∴， 而根据选项A、B、C的条件都不能推出， 故选：D． 30．（2025·上海金山·一模）下列说法中，正确的是（    ） A．两个等腰三角形一定相似 B．两个直角三角形一定相似 C．含角的两个等腰三角形一定相似 D．含角的两个等腰三角形一定相似 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定，等腰直角三角形的性质，掌握相似三角形的判定是解题的关键．利用相似三角形的判定依次判断可求解． 【详解】解：A、两个等腰三角形不一定相似，故选项A不符合题意； B、两个直角三角形不一定相似，故选项B不符合题意； C、含角的两个等腰三角形不一定相似，故选项C不符合题意； D、含角的两个等腰三角形一定相似，故选项D符合题意； 故选：D． 31．（2025·上海青浦·一模）如果，那么是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握设k法是解题的关键．设，然后代入化简即可． 【详解】解：∵， ∴设， ∴． 故选D． 32．（2025·上海松江·一模）已知命题： ①两边及第三边上的中线对应成比例的两个三角形相似； ②两边及第三边上的高对应成比例的两个三角形相似． 下列对这两个命题的判断，正确的是（   ） A．①和②都是真命题 B．①和②都是假命题 C．①是真命题，②是假命题 D．①是假命题，②是真命题 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定，掌握其判定方法是解题的关键． 如图所示，在中，是边上的中线，如图所示，延长至点，使得，连接，可得，同理，延长至点，使得，连接，，可证，由此可证，可判定①；如图所示，在中，，是边上的高，由此可判定②；由此即可求解． 【详解】解：①两边及第三边上的中线对应成比例的两个三角形相似； 如图所示，在中，是边上的中线，， 如图所示，延长至点，使得，连接， ∴， ∴， ∴， 同理，延长至点，使得，连接， ，，， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 又∵， ∴，故①是真命题； ②两边及第三边上的高对应成比例的两个三角形相似． 如图所示，在中，，是边上的高， ∴，但与不相似，故②是假命题； 综上所述，①是真命题，②是假命题， 故选：C ． 33．（2025·上海松江·一模）已知线段，求作线段，使．下列作图方法中不合理的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，掌握比例的性质，线段成比例的计算方法是解题的关键． 根据作，结合线段成比例的计算方法判定即可． 【详解】解：A、已知线段，求作线段，作，可以运用平行线分线段成比例得到，故作图合理，不符合题意； B、求作线段的值，即运用确定的的计算，B选项中需要确定的长度，点A也可以在点C的右边，故无法保证，故作图不合理，符合题意； C、如图，交于点，， ∴， ∴，即， ∴，故作图合理，不符合题意； D、如图所示，，交于点，， ∴， ∴，即， ∴，故作图合理，不符合题意； 故选：B ． 34．（2025·上海松江·一模）如图，在中，是边的中点，交于点，如果的面积为，那么的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质．解决本题的关键是根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求出的面积．首先根据平行四边形的性质可证且相似比为，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可得，从而可求的面积． 【详解】解：四边形是平行四边形， 且， ， 点是的中点， ， ， ， ， ． 故选：B． 35．（2025·上海青浦·一模）如图，在中，点在边上，且，过点的射线与的延长线相交于点，如果，那么下列结论错误的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，证明，是解题的关键． 根据题意可证得，，然后利用相似三角形的性质逐项分析判断即可． 【详解】解：， ， ， ， 又， ， ，故结论正确，该选项不符合题意； ，， ， ，故结论正确，该选项不符合题意； ， ， ，故结论正确，该选项不符合题意； 与不能证明相似， ，故结论错误，该选项符合题意； 故选：． 36．（2025·上海青浦·一模）如图，在中，是的角平分线，是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，解题的关键掌握相似三角形的判定方法．，求出，根据平分可得，进而证得，根据相似三角形的性质证得结论． 【详解】解：， 平分， 设，则， 解得(不符合题意，舍去)或， 故选：C． 37．（2025·上海黄浦·一模）某学习小组研究问题“如图，已知D、E、F分别是的边、、的中点，求证：．”经过小组讨论得到以下方法，其中存在错误的是（   ） A．可证，进而证得 B．可证，，进而证得 C．可证，，进而证得 D．可证，，进而证得 【答案】C 【分析】由三角形中位线定理得到，证明，即可判断A选项正确；证明四边形都是平行四边形，则，，即可判断B选项正确；无法证明，即可判断C选项错误；证明，则，证明，即可判断D选项正确． 【详解】∵D、E、F分别是的边、、的中点， ∴， A. ∵ ∴， ∴，故选项正确，不符合题意； B. ∵， ∴四边形都是平行四边形， ∴，， ∴，故选项正确，不符合题意； C. ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 无法证明， 故无法证明证得； D. ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，则， ∵ ∴ ∴， ∴， 故选项正确，不符合题意； 故选：C 【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、三角形中位线定理、全等三角形的判定、平行四边形的判定和性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键． 38．（2025·上海黄浦·一模）已知线段，，如果线段c是线段a和b的比例中项，那么线段c的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据比例中项的定义，成比例线段，构建方程即可解决问题． 本题考查比例中项的定义，解题的关键是熟练掌握基本知识，利用成比例线段性质列出等式，属于中考常考题型． 【详解】解：解：∵线段c是线段a和b的比例中项， ∴， ∵，，， ∴， 故选：B． 39．（2025·上海奉贤·一模）下列哪个选项中的矩形与图中的矩形不是相似形（   ）    A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】根据相似多边形的定义，对应边成比例且对应角相等的两个多边形相似，解答即可． 本题考查了多边形的相似，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：∵原始矩形的长与宽的比值为，且四个角都是直角， A中矩形的长与宽的比值为，且四个角都是直角，与原始矩形相似， 此选项不符合题意； B中矩形的长与宽的比值为，且四个角都是直角，与原始矩形不相似， 此选项符合题意； C中矩形的长与宽的比值为，且四个角都是直角，与原始矩形相似， 此选项不符合题意； D中矩形的长与宽的比值为，且四个角都是直角，与原始矩形相似， 此选项不符合题意； 故选：B． 二、填空题 40．（2025·上海宝山·二模）如图，梯形中， ，分别是边上的点，且，，交的延长线于点，与交于点，如果，那么四边形与四边形周长的差是 ．（结果用含的代数式表示） 【答案】 【分析】本题主要考查了梯形的性质，平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握上述定理与性质是解题的关键．利用平行四边形的判定与性质得到，，利用相似三角形的判定与性质得到，，利用周长的公式运算，化简求值即． 【详解】解： ，， 四边形为平行四边形， ， ， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形与四边形周长的差 ， 故答案为：． 41．（2025·上海杨浦·二模）如图，，，与相交于点O，如果，，那么用、表示向量是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查向量的线性运算，相似的判定和性质；根据平行得到，根据相似的性质得到，再根据向量的三角形法则得到，即可求出． 【详解】解：∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ 故答案为：． 42．（2025·上海杨浦·二模）如图，已知正五边形的边长是4，联结交于点F，那么的长是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了正多边形内角和定理，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定等，先求出，则可求出，，则，设，则，证明，利用相似三角形的性质列出比例式求解即可． 【详解】解：∵五边形是正五边形， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴，，， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴，即， 解得或（舍去）， ∴， 故答案为：． 43．（2025·上海徐汇·一模）如图，在梯形中，在平行四边形中，其顶点都在梯形的边上，连接交于点M．若，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了梯形的性质，平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质等知识，设，则，四边形与等高，不妨设高为h，由得，解方程得，即，则，再由相似三角形的判定与性质可得，，进而得，再由可得答案． 【详解】解：设，则， 由平行四边形，得， 四边形与等高，不妨设高为h， ∵， ∴由梯形和三角形的面积公式，可得， 两边同时约去h，解得， 则， ∵在梯形中，在平行四边形中即， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：1． 44．（2025·上海徐汇·一模）两个相似三角形的对应面积比为，则其对应周长比为 ． 【答案】 【分析】本题考查对相似三角形性质的理解，相似三角形周长的比等于相似比．根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，对应周长的比等于相似比解答． 【详解】解：∵两个相似三角形对应的面积之比为， ∴相似比是， 又∵相似三角形对应周长的比等于相似比， ∴对应周长的比为， 故答案为：． 45．（2025·上海崇明·一模）如果，那么的值为 ． 【答案】2 【分析】此题考查了比例的性质．由得到，代入即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：2． 46．（2025·上海松江·一模）如图，是的边上一点，是的中点，，．如果，那么的长度为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质得到是解题的关键． 根据，得到，根据是的中点，可得到，由此即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， 同理，，得，， ∴， ∴， 故答案为：3 ． 47．（2025·上海松江·一模）如图，正方形中，点分别在边上，且，连接，交于点，如果，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，延长交于点，设，则，，由正方形的性质可知，，故，，根据相似三角形的性质求出，则，最后证明，根据相似三角形的性质即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，延长交于点， 设， ∵，， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∴，即， ∴，∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 48．（2025·上海松江·一模）已知线段，是线段的黄金分割点，且，那么 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了比例的性质，黄金分割点的计算，掌握线段成比例的计算方法，黄金分割点的计算是解题的关键． 根据黄金分割点的计算可得，代入计算即可求解． 【详解】解：线段，是线段的黄金分割点，且， ∴， ∴， 故答案为： ． 49．（2025·上海静安·一模）在两条直角边长分别是和的直角三角形的内部作矩形，如果分别在两条直角边上（如图所示），，那么矩形的面积是 ．    【答案】72 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质得到的值是解题的关键． 根据题意可证，得到，由题意设，则，由此列式得，解得，，则，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，    ∵两条直角边长分别是和的直角三角形的内部作矩形， ∴，，， ∴，且， ∴， ∴， ∵， ∴设，则， ∴， 解得，， ∴， ∴矩形的面积是， 故答案为：72 ． 50．（2025·上海静安·一模）如图，点O在四边形的内部，，，，如果，那么的长为 ．（用含字母a的式子表示） 【答案】 【分析】此题重点考查等腰直角三角形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．连接，由，，，得，，，所以，，，则，所以，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接， ∵，，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ 故答案为：． 51．（2025·上海静安·一模）我们把常用的纸的短边与长边的比叫作“白银比”，把这样的矩形称为“白银矩形”．如图，一张规格为的矩形纸片，将其长边对折（为折痕），得到两个全等的矩形纸片，且这两种规格的矩形纸片相似，那么这个“白银比”为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似多边形的性质，理解题意，掌握相似多边形的各边的比是解题的关键． 分别表示出原矩形的长和宽，折叠后的长与宽，结合题意“白银比”进行计算即可求解． 【详解】解：设矩形纸片长为，宽为， ∴折叠后矩形的长为，宽为， 根据题意可得，， ∴， 解得，， 故答案为： ． 52．（2025·上海静安·一模）把一个三角形放大为与它相似的三角形，如果它的面积扩大为原来的倍，那么它的周长扩大为原来的 倍． 【答案】3 【分析】本题考查了相似三角形的性质，理解并掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 根据题意，由相似三角形的面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比即可求解． 【详解】解：三角形放大为与它相似的三角形，如果它的面积扩大为原来的倍， ∴相似比为， ∴周长扩大为原来的3倍， 故答案为：3 ． 53．（2025·上海普陀·一模）如图，D、E分别是的边、上的点，，，垂足为点F．如果，，的面积为9，那么的面积为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形的面积，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 过点A作于点H，根据的面积及的长求出的长，证明，根据相似三角形面积之比等于相似比的平方即可求出的面积． 【详解】解：过点A作于点H， ∵的面积为9， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：4． 54．（2025·上海宝山·一模）如图，是四边形内一点，点分别在线段上，，，，，，，那么的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，推导出进而证明是解题的关键． 由，证明，得，由，证明，再证明，得，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：，，， ∴， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 55．（2025·上海长宁·一模）已知点、分别在的边、上，如果，那么的值为 时，． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 根据相似三角形的判定和性质、平行线的判定解答即可． 【详解】解：当，， ， ， 若，可推导出， ， ， ， ， 故答案为：． 56．（2025·上海虹口·一模）已知，且和的最长边分别是5和，如果的面积是6，那么的面积是 ． 【答案】 【分析】此题考查了相似三角形的性质．根据相似三角形的面积比等于相似比的平方进行解答即可． 【详解】解：∵，且和的最长边分别是5和， ∴， ∴， 故答案为： 57．（2025·上海宝山·一模）已知，那么的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查比例的知识，解题的关键是掌握比例的性质，根据题意，设，依次求出，，代入计算，即可． 【详解】解：设， ∴，，， ∴． 故答案为：． 58．（2025·上海长宁·一模）如图，，如果，，，那么的长是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理求解即可． 【详解】解： ， ， ，，， ， 解得：， ． 故答案为：． 59．（2025·上海长宁·一模）如果两个相似三角形的对应中线之比为，那么它们的对应高之比为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应角平分线的比、对应中线比、对应高线比等于相似比是解题的关键． 【详解】解：∵两个相似三角形的对应中线之比为， ∴两个相似三角形的相似比为， ∴它们的对应高之比为， 故答案为：． 60．（2025·上海长宁·一模）已知线段，，线段是线段、的比例中项，那么线段的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查比例中项的定义，解题的关键是掌握比例中项的定义：如果、，三个量成连比例，即，叫做和的比例中项．（内项要相等时才称为比例中项），比例中项又称“等比中项”或“几何中项”，即可． 【详解】解：∵线段，，线段是线段、的比例中项， ∴， ∴，（舍）， ∴线段的值为． 故答案为：． 61．（2025·上海闵行·一模）在等腰中，，是边上的高，将线段绕着点逆时针旋转，点旋转到点，与边交于点，且，如果与相似，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 根据题意， 只能， 设， ， 根据相似求出即可得出结论． 【详解】解：由题意得：只能过点作 于点， 交于点， 设则， ， ∴， ， ， ， ， ， ∵， ∴， ， ， ， 故答案为： ． 62．（2025·上海闵行·一模）已知两个相似三角形对应高之比为，那么这两个三角形的周长之比为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查的是相似三角形的性质，根据相似三角形周长的比、相似三角形对应边上的高的比等于相似比解答即可． 【详解】解：∵两个相似三角形对应边上的高的比为， ∴这两个三角形的相似比为， ∴这两个相似三角形的周长比为； 故答案为：． 63．（2025·上海虹口·一模）如图，直线，如果，，那么长 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理列出比例式计算即可，灵活运用平行线分线段成比例定理是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 64．（2025·上海崇明·一模）如图，长方形的边在的边上，顶点分别在、上．已知的边长，高为，且长方形的长是宽的2倍，那么的长度是 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 设交于点，由题意得， ，，，得出四边形是矩形，由得到，继而得到，即，计算即可求解． 【详解】解：设交于点，如图， 长方形的边在的边上，顶点分别在、上， ，， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ，，， ， ， ， 故答案为： ． 65．（2025·上海杨浦·一模）如果两个相似三角形对应高的比是，那么它们的面积比是 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 由相似三角形的性质可知，相似三角形对应高的比等于相似比，而相似三角形的面积比等于相似比的平方，由此即可得出答案． 【详解】解：由相似三角形的性质可知，相似三角形对应高的比等于相似比，而相似三角形的面积比等于相似比的平方， 它们的面积比是：， 故答案为：． 三、解答题 66．（2025·上海奉贤·三模）已知：如图，在梯形中，，，点E是腰上的点，，点F是线段上的点，联结交于点O． (1)求证：； (2)当时，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的性质等知识，熟练运用相似三角形的性质是解答的关键． （1）证明，利用相似三角形的对应角相等求解即可； （2）先证明得到，结合等腰三角形的性质得到，进而证明得到，再由得到，进而可得结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵，， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，又， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴． 67．（2025·上海嘉定·二模）如图，平行四边形中，已知，是边的中点，连接．，垂足在边上，连接并延长，交延长线于点． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质等知识，准确识图，灵活运用相关知识是解题的关键．     （1）证明，，由即可得到结论； （2）证明∽，则，得到，即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴//，， ∵//， ∴ ∵是边的中点， ∴ ∴ ∵， ∴， ∵//， ∴， 在中，∵是斜边的中点， ∴， ∴ ∵，，是边的中点， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）∵，， ∴， 又∵， ∴∽， ∴， 即， ∵， ∴． 68．（2025·上海奉贤·二模）如图，已知平行四边形中，点F是对角线上一点，，延长交边于点E． (1)求证：； (2)当时，求证：四边形是菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查平行四边形的性质，菱形的判定，相似三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形相似是解题的关键： （1）根据平行四边形的性质，得到，证明，得到，等量代换即可得出结论； （2）平行线分线段成比例，得到，进而得到，推出，相似三角形的性质，推出，进而得到，结合平行线的性质，推出，进而得到，即可得证． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴． 又∵，， ∴． 又∵， ∴． ∴ ∴ ∴ （2）∵四边形是平行四边形， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形． 69．（2025·上海虹口·二模）如图9，在梯形中，，连接，点在上，连接，使得，点在边上，连接，分别交、于点、，且，连接． (1)求证：四边形为菱形； (2)如果，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了菱形的判定，相似三角形的性质与判定，三角形中位线的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）根据题意得出，进而得出，根据中位线的性质可得出，结合已知可得四边形是平行四边形，根据，即可得证； （2）证明，得出进而证明得出，证明，即可证明得出，进而根据，，即可得证． 【详解】（1）证明：如图， ∵，即 ∴ ∵，即 ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴，即是的中点， 又∵， ∴是的中点， ∴ 又∵ ∴四边形是平行四边形， ∵ ∴四边形为菱形； （2）证明：∵，即 又 ∴ ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 又 ∴ ∴ ∴ ∴ 又∵是的中位线， ∴ 又 ∴即 70．（2025·上海金山·二模）如图，已知在等腰梯形中，，，，联结、交于点，为上一点，． (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了等腰梯形的性质，三角形相似的判定和性质，熟练掌握相似的判定和性质是解题的关键． （1）先证明，得到；由相似三角形性质可得，进而得出结论． （2）先证明，得到；再证明，得到，等量代换即可． 【详解】（1）证明：， ，， 又， ， ， （2），，， ， ， ， ． 在等腰梯形中，，， 又， ， ， ， ， ， 试卷第60页，共60页 试卷第59页，共60页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 专题12 图形的变化之相似三角形（70题） 考点01:相似三角形 一、填空题 1．（2023·上海·中考真题）如图，在中，点D，E在边，上，，联结，设向量，，那么用，表示 ．    2．（2022·上海·中考真题）如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=90°，D为AB中点，E在线段AC上，，则 ． 3．（2021·上海·中考真题）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD交于点O，已知，则 ． 二、解答题 4．（2025·上海·中考真题）如图，已知，为中的两弦，联结，交弦于点，，且． (1)求证：； (2)如果，求证：． 5．（2024·上海·中考真题）如图所示，在矩形中，为边上一点，且． (1)求证：； (2)为线段延长线上一点，且满足，求证：． 6．（2023·上海·中考真题）如图，在梯形中，点F，E分别在线段，上，且，    (1)求证： (2)若，求证： 7．（2022·上海·中考真题）如图所示，在等腰三角形ABC中，AB=AC，点E，F在线段BC上，点Q在线段AB上，且CF=BE，AE²=AQ·AB求证： (1)∠CAE=∠BAF； (2)CF·FQ=AF·BQ 一、单选题 8．（2025·上海闵行·三模）在中，，，，点是的中点，点是边上一动点，沿所在直线把翻折到的位置，交于点，如图为直角三角形，那么的长是（   ） A．1 B．3 C． D．2或 在中，，， ， 是的中点， ， ，， ， 又， ， ，即， 解得：， 设，则， ， ， ， ， 解得． 9．（2025·上海奉贤·三模）从三角形（非等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，该顶点与该交点间的线段把这个三角形分割成两个小三角形．如果其中一个小三角形是等腰三角形，另一个与原三角形相似，那么我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．如图，在中，，，是的完美分割线，且是以为底边的等腰三角形，那么的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 10．（2025·上海普陀·三模）如图，与位似，位似中心为点O，，的面积为4，则面积为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 11．（2025·上海普陀·三模）如图，在矩形中，E、F分别为、上的点，且，连结，其中，，则（   ） A． B．3 C． D． 12．（2025·上海徐汇·一模）已知，与的相似比为，与的相似比为，那么与的相似比为（  ） A． B． C． D． 13．（2025·上海徐汇·一模）定义一个三角形中一内角的平分线和该角对边上高，以及这条边围成的新三角形是它的“内拐三角形”．命题“两三角形相似，它们的内拐三角形相似”和其逆命题中，（  ）正确． A．两个都 B．仅原命题 C．仅原命题的逆命题 D．没有一个 14．（2025·上海宝山·一模）下列图形，相似的一组是（  ） A．两个直角三角形 B．两个等腰三角形 C．有一个内角为的两个菱形 D．边长分别是2厘米和3厘米的两个菱形 15．（2025·上海宝山·一模）在比例尺为的图纸上，量得一座塔的高是厘米，那么它实际的高度是（  ） A．11米 B．110米 C．22米 D．220米 16．（2025·上海长宁·一模）在四边形中，对角线与交于点，下列说法正确的是（） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 17．（2025·上海长宁·一模）如果将一个的三边长都扩大为原来的3倍，那么新三角形的面积（   ） A．扩大为原来的3倍 B．扩大为原来的9倍 C．没有变化 D．无法确定 18．（2025·上海静安·一模）泰勒斯是古希腊时期的思想家、科学家、哲学家，他曾通过测量同一时刻标杆的影长，标杆的高度，金字塔的影长，推算出金字塔的高度，这种测量原理，就是我们所学的（    ） A．图形的相似 B．图形的平移 C．图形的旋转 D．图形的翻折 19．（2025·上海虹口·一模）下列各组图形中，一定相似的是（   ） A．两个菱形 B．两个正方形 C．两个三角形 D．两个等腰三角形 20．（2025·上海闵行·一模）已知：如图，中，点、、分别在边、和上，下列条件能判定的是（    ） A． B． C． D． 21．（2025·上海闵行·一模）形状与大小都确定的一个锐角三角形，点是边上一点，下列条件不能唯一确定与面积的比值的是（    ） A．点是边的黄金分割点 B．点是边的中点 C．是边上的高 D．是的平分线 22．（2025·上海杨浦·一模）对一个三角形进行放缩运动时，下列结论中正确的是（） A．各个内角的大小始终保持不变 B．各条边的长度始终保持不变 C．三角形的面积始终保持不变 D．三角形的周长始终保持不变 23．（2025·上海嘉定·一模）下列两个三角形一定相似的是（   ） A．两个直角三角形 B．有一个内角为的两个直角三角形 C．两个等腰三角形 D．有一个内角是的两个等腰三角形 24．（2025·上海虹口·一模）如图，已知，联结，交于点，联结，，如果，，那么长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 25．（2025·上海普陀·一模）如图，矩形中，点在对角线上，延长交于点，过点作，分别交、于点、，，．如果，那么的长是（   ）    A． B． C． D． 26．（2025·上海徐汇·一模）下列两个图形一定相似的是（    ） A．两个矩形 B．两个菱形 C．两个等腰三角形 D．两个正方形 27．（2025·上海嘉定·一模）如图，两条不平行的直线与直线相交于点，四条平行线分别交直线于点、、、，分别交直线于点、、、，则有．如果，，，那么在下列结果中，线段之差最大的是（   ） A． B． C． D． 28．（2025·上海闵行·一模）定义：如果一个四边形的两条对角线将它分成的四个小三角形都是相似三角形，那么称这样的四边形为“全相似四边形”．如图，在四边形中，，，下列条件能使四边形成为“全相似四边形”的是（    ） A． B． C． D． 29．（2025·上海黄浦·一模）在中，点D、E分别在边、上，如果，，那么下列条件中能够推得的是（   ） A． B． C． D． 30．（2025·上海金山·一模）下列说法中，正确的是（    ） A．两个等腰三角形一定相似 B．两个直角三角形一定相似 C．含角的两个等腰三角形一定相似 D．含角的两个等腰三角形一定相似 31．（2025·上海青浦·一模）如果，那么是（   ） A． B． C． D． 32．（2025·上海松江·一模）已知命题： ①两边及第三边上的中线对应成比例的两个三角形相似； ②两边及第三边上的高对应成比例的两个三角形相似． 下列对这两个命题的判断，正确的是（   ） A．①和②都是真命题 B．①和②都是假命题 C．①是真命题，②是假命题 D．①是假命题，②是真命题 33．（2025·上海松江·一模）已知线段，求作线段，使．下列作图方法中不合理的是（   ） A． B． C． D． 34．（2025·上海松江·一模）如图，在中，是边的中点，交于点，如果的面积为，那么的面积为（   ） A． B． C． D． 35．（2025·上海青浦·一模）如图，在中，点在边上，且，过点的射线与的延长线相交于点，如果，那么下列结论错误的是（  ） A． B． C． D． 36．（2025·上海青浦·一模）如图，在中，是的角平分线，是（） A． B． C． D． 37．（2025·上海黄浦·一模）某学习小组研究问题“如图，已知D、E、F分别是的边、、的中点，求证：．”经过小组讨论得到以下方法，其中存在错误的是（   ） A．可证，进而证得 B．可证，，进而证得 C．可证，，进而证得 D．可证，，进而证得 38．（2025·上海黄浦·一模）已知线段，，如果线段c是线段a和b的比例中项，那么线段c的长为（   ） A． B． C． D． 39．（2025·上海奉贤·一模）下列哪个选项中的矩形与图中的矩形不是相似形（   ）    A．   B．   C．   D．   二、填空题 40．（2025·上海宝山·二模）如图，梯形中， ，分别是边上的点，且，，交的延长线于点，与交于点，如果，那么四边形与四边形周长的差是 ．（结果用含的代数式表示） 41．（2025·上海杨浦·二模）如图，，，与相交于点O，如果，，那么用、表示向量是 ． 42．（2025·上海杨浦·二模）如图，已知正五边形的边长是4，联结交于点F，那么的长是 ． 43．（2025·上海徐汇·一模）如图，在梯形中，在平行四边形中，其顶点都在梯形的边上，连接交于点M．若，则 ． 44．（2025·上海徐汇·一模）两个相似三角形的对应面积比为，则其对应周长比为 ． 45．（2025·上海崇明·一模）如果，那么的值为 ． 46．（2025·上海松江·一模）如图，是的边上一点，是的中点，，．如果，那么的长度为 ． 47．（2025·上海松江·一模）如图，正方形中，点分别在边上，且，连接，交于点，如果，那么的值为 ． 48．（2025·上海松江·一模）已知线段，是线段的黄金分割点，且，那么 ． 49．（2025·上海静安·一模）在两条直角边长分别是和的直角三角形的内部作矩形，如果分别在两条直角边上（如图所示），，那么矩形的面积是 ．    50．（2025·上海静安·一模）如图，点O在四边形的内部，，，，如果，那么的长为 ．（用含字母a的式子表示） 51．（2025·上海静安·一模）我们把常用的纸的短边与长边的比叫作“白银比”，把这样的矩形称为“白银矩形”．如图，一张规格为的矩形纸片，将其长边对折（为折痕），得到两个全等的矩形纸片，且这两种规格的矩形纸片相似，那么这个“白银比”为 ． 52．（2025·上海静安·一模）把一个三角形放大为与它相似的三角形，如果它的面积扩大为原来的倍，那么它的周长扩大为原来的 倍． 53．（2025·上海普陀·一模）如图，D、E分别是的边、上的点，，，垂足为点F．如果，，的面积为9，那么的面积为 ． 54．（2025·上海宝山·一模）如图，是四边形内一点，点分别在线段上，，，，，，，那么的长是 ． 55．（2025·上海长宁·一模）已知点、分别在的边、上，如果，那么的值为 时，． 56．（2025·上海虹口·一模）已知，且和的最长边分别是5和，如果的面积是6，那么的面积是 ． 57．（2025·上海宝山·一模）已知，那么的值是 ． 58．（2025·上海长宁·一模）如图，，如果，，，那么的长是 ． 59．（2025·上海长宁·一模）如果两个相似三角形的对应中线之比为，那么它们的对应高之比为 ． 60．（2025·上海长宁·一模）已知线段，，线段是线段、的比例中项，那么线段的长是 ． 61．（2025·上海闵行·一模）在等腰中，，是边上的高，将线段绕着点逆时针旋转，点旋转到点，与边交于点，且，如果与相似，那么的值为 ． 62．（2025·上海闵行·一模）已知两个相似三角形对应高之比为，那么这两个三角形的周长之比为 ． 63．（2025·上海虹口·一模）如图，直线，如果，，那么长 ． 64．（2025·上海崇明·一模）如图，长方形的边在的边上，顶点分别在、上．已知的边长，高为，且长方形的长是宽的2倍，那么的长度是 ． 65．（2025·上海杨浦·一模）如果两个相似三角形对应高的比是，那么它们的面积比是 ． 三、解答题 66．（2025·上海奉贤·三模）已知：如图，在梯形中，，，点E是腰上的点，，点F是线段上的点，联结交于点O． (1)求证：； (2)当时，求证：． 67．（2025·上海嘉定·二模）如图，平行四边形中，已知，是边的中点，连接．，垂足在边上，连接并延长，交延长线于点． (1)求证：； (2)求证：． 68．（2025·上海奉贤·二模）如图，已知平行四边形中，点F是对角线上一点，，延长交边于点E． (1)求证：； (2)当时，求证：四边形是菱形． 69．（2025·上海虹口·二模）如图9，在梯形中，，连接，点在上，连接，使得，点在边上，连接，分别交、于点、，且，连接． (1)求证：四边形为菱形； (2)如果，求证：． 70．（2025·上海金山·二模）如图，已知在等腰梯形中，，，，联结、交于点，为上一点，． (1)求证：； (2)若，求证：． 试卷第14页，共15页 试卷第15页，共15页 学科网（北京）股份有限公司 $$