第8章 第7节 第❸课时 定点问题（Word教参）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教B版）

第❸课时　定点问题 圆锥曲线中的定点问题一般是指与解析几何有关的直线或圆过定点的问题(其他曲线过定点太复杂，高中阶段一般不涉及)，是高考重要的考点和热点之一．其实质是当动直线或动圆变化时，这些直线或圆相交于一点，即这些直线或圆绕着定点转动． 　考点　　　定点问题(精研通)　　　　 【例】 (2023·全国乙卷)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，点A(－2，0)在C上． (1)求C的方程； (2)过点(－2，3)的直线交C于P，Q两点，直线AP，AQ与y轴的交点分别为M，N，证明：线段MN的中点为定点． (1)解：因为点A(－2，0)在C上，所以＝1，得b2＝4. 因为椭圆的离心率e＝＝，所以c2＝a2，又a2＝b2＋c2＝4＋a2，所以a2＝9，c2＝5， 故椭圆C的方程为＋＝1. (2)证明：由题意知，直线PQ的斜率存在且不为0，设lPQ：y－3＝k(x＋2)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 由 得(4k2＋9)x2＋(16k2＋24k)x＋16k2＋48k＝0， 则Δ＝(16k2＋24k)2－4(4k2＋9)(16k2＋48k)＝－36×48k>0，解得k<0， 故x1＋x2＝－，x1x2＝. 直线AP：y＝(x＋2)，令x＝0，解得yM＝，同理得yN＝， 则yM＋yN＝2 ＝2 ＝2 ＝2 ＝2× ＝6. 所以线段MN的中点的纵坐标为＝3，所以线段MN的中点为定点(0，3). 求定点问题的解题策略 (1)求解直线或曲线过定点问题的基本思路：把直线或曲线方程中的变量x，y当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x，y的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点． (2)由直线方程确定其过定点时，若得到了直线方程的点斜式y－y0＝k(x－x0)，则直线必过定点(x0，y0)；若得到了直线方程的斜截式y＝kx＋m，则直线必过定点(0，m). 1．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)过点(，1)，且渐近线方程为y＝±x. (1)求C的方程； (2)若抛物线x2＝2py(p>0)与C的右支交于点A，B，证明：直线AB过定点． (1)解：因为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)过点(，1)，且渐近线方程为y＝±x， 所以－＝1，＝1，解得a＝b＝，所以C的方程为－＝1， (2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x＝2py1，x＝2py2， 由可得y2－2py＋2＝0，Δ＝4p2－8>0，所以y1＋y2＝2p，y1y2＝2， 所以x1x2＝·＝2p. 因为kAB＝＝，所以直线AB的方程为y－y1＝(x－x1)， 即y＝x－x1＋y1＝x－＝x－， 所以直线AB过定点(0，－). 2．已知抛物线C：x2＝－2py过点(2，－1). (1)求抛物线C的方程及其准线方程； (2)设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y＝－1分别交直线OM，ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点． (1)解：由抛物线C：x2＝－2py过点(2，－1)，得p＝2. 所以抛物线C的方程为x2＝－4y，其准线方程为y＝1. (2)证明：抛物线C的焦点为F(0，－1).设直线l的方程为y＝kx－1(k≠0). 联立得x2＋4kx－4＝0，Δ＝16k2＋16>0恒成立．设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1x2＝－4. 直线OM的方程为y＝x. 令y＝－1，得点A的横坐标xA＝－.同理，得点B的横坐标xB＝－. 设点D(0，n)，则＝(－，－1－n)，＝(－，－1－n)， ·＝＋(n＋1)2＝＋(n＋1)2＝＋(n＋1)2＝－4＋(n＋1)2. 令·＝0，即－4＋(n＋1)2＝0，得n＝1或n＝－3. 综上，以AB为直径的圆经过y轴上的定点(0，1)和(0，－3). [分级练(59)见P414] 学科网（北京）股份有限公司 $$